환의 표수

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1. 개요

환의 표수는 환의 덧셈 항등원 0을 만들기 위해 곱셈 항등원 1을 더해야 하는 최소 횟수이며, 1을 더해도 0이 되지 않으면 0이다. 유사환의 표수는 모든 원소 r에 대해 n번 더했을 때 0이 되는 가장 작은 양의 정수 n으로 정의되며, 환의 표수와 일치한다. 환의 표수는 정수환에서 환으로 가는 유일한 환 준동형 사상의 핵의 생성원으로 정의되거나, 순환환 Z/nZ와 동형인 부분환을 포함하는 가장 작은 자연수 n으로 정의될 수도 있다. 환 준동형 사상이 존재할 경우, 한 환의 표수는 다른 환의 표수의 약수이며, 소환의 표수는 0 또는 소수이다. 표수가 소수인 유사환에서는 신입생의 꿈이라는 분배 법칙이 성립하며, 표수는 환의 분류 및 구조 연구에 사용된다.

환의 표수

대수적 구조

정의	환에서, 0이 되는 가장 작은 양의 정수. 모든 양의 정수 배수가 0이 되지 않으면 표수는 0.
기호	char(R)
성질	환의 표수는 0이거나 소수

예시

표수가 0인 환	정수환 유리수체 실수체 복소수체
표수가 p인 환	유한체 GF(p^n)
표수가 1인 환	영환

소체	환의 표수는 그 환이 포함하는 소체의 표수와 같다.

2. 정의

환 $R$ 의 표수는 덧셈 항등원 0을 얻기 위해 곱셈 항등원 1을 더해야 하는 횟수로 정의된다. 1을 아무리 더해도 0이 되지 않으면 표수는 0이다. 예를 들어, 환에 곱셈 항등원 $1 \in R$ 이 있다고 하면, 환의 표수는 다음 식을 만족하는 가장 작은 양의 정수 $n$ 이다.

: $\underbrace{1+\cdots+1}_{n} = 0$

이러한 양의 정수가 존재하지 않는다면 환의 표수는 0이다.

유사환의 표수는 위에서 설명한 환의 표수 정의를 확장한 것이다. 유사환 $R$ 의 표수는 모든 원소 $r \in R$ 에 대해 다음을 만족하는 가장 작은 양의 정수 $n$ 이다.

: $nr=\overbrace{r+\cdots+r}^n=0\qquad\forall r\in R$

이러한 양의 정수가 존재하지 않는다면, 유사환 $R$ 의 표수는 0이다. 유사환의 표수는 환의 표수와 일치하며, 아벨 군의 덧셈군 구조에만 의존하므로 일반적인 아벨 군에 대해서도 정의할 수 있다. 아벨 군의 원소들의 차수는 최소공배수에 대하여 닫혀 있으므로, (유사)환의 표수는 그 덧셈군의 원소들의 최대 차수와 같다. 만약 원소 차수들의 상한이 존재하지 않는다면 표수는 0이다.

표수는 링의 덧셈군의 지수로도 볼 수 있다. 즉, 링의 모든 원소 $a$ 에 대해 다음 식을 만족하는 가장 작은 양의 정수 $n$ 을 의미한다.

: $\underbrace{a+\cdots+a}_{n \text{ summands}} = 0$

이러한 $n$ 이 존재하지 않으면 표수는 0이다. 이 정의는 rng에도 적용된다.

2.1. 환의 표수

정수환 $\mathbb Z$ 는 환의 범주 $\operatorname{Ring}$ 의 시작 대상이므로, 유일한 환 준동형 $\mathbb Z\to R$ 이 존재한다. 이 준동형의 핵은 $\mathbb Z$ 의 아이디얼이며, $(n)$ ( $n=0,1,2,\dots$ )의 꼴이다. 이 음이 아닌 정수 $n$ 을 환 $R$ 의 표수라고 한다.

표수가 0이 아닌 환 $R$ 는 순환환 $\mathbb Z/(n)=\mathbb Z/n\mathbb Z$ 를 부분환으로 가진다. 표수가 0인 환은 정수환 $\mathbb Z/(0)=\mathbb Z$ 를 부분환으로 가진다. 즉, $1\in R$ 이라고 하면, 환의 표수는
: $\underbrace{1+\cdots+1}_{n} = 0$
인 가장 작은 양의 정수다. 만약 이러한 양의 정수가 존재하지 않는다면 환의 표수는 0이다.

* 환 $R$ 의 표수는 $n$ 이 $\mathbb{Z}$ 에서 $R$ 로의 유일한 환 준동형 사상의 핵이 되도록 하는 자연수이다.
* 표수는 $R$ 이 부분환과 동형인 몫환 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 을 포함하는 자연수 $n$ 이며, 이는 위의 준동형 사상의 상이다.
* 음이 아닌 정수 $\{0, 1, 2, 3, ...\}$ 가 약수 관계에 의해 부분 순서 집합으로 부분 순서화되면 $1$ 이 가장 작고 $0$ 이 가장 크다. 그러면 환의 표수는 $n \cdot 1 = 0$ 를 만족하는 $n$ 의 최소값이다. $0$ 보다 "작은"(이 순서에서) 것이 충분하지 않으면 표수는 $0$ 이다. 이러한 사실로 인해 적절한 부분 순서가 적용된다. 예를 들어 $\operatorname{char}(A \times B)$ 는 $\operatorname{char} A$ 와 $\operatorname{char} B$ 의 최소 공배수이고, $\operatorname{char} B$ 가 $\operatorname{char} A$ 를 나누지 않는 한 환 준동형 사상 $f : A \to B$ 는 존재하지 않는다.
* 환 $R$ 의 표수는 모든 $a \in R$ 에 대해 $ka = 0$ 라는 명제가 $k$ 가 $n$ 의 배수임을 의미할 때 정확히 $n$ 이다.

$R$ 을 단위원을 가진 환 (단위적 환), 1_R을 그 곱셈 단위원이라고 한다. 또한, 양의 정수 $n$ 에 대해
: $n\,1_R := 1_R + 1_R +\dotsb + 1_R$ ( $n$ 개의 합)
이라고 정의할 때, $n 1_R = 0_R$ ( $0_R$ 은 $R$ 의 영원)인 정수 $n$ > 0이 존재한다면, 그 최소값을 환 $R$ 의 표수라고 한다. 한편, 이러한 $n$ 이 존재하지 않을 때, 환 $R$ 의 표수는 0으로 정한다. 표수가 0이 아님을 나타내기 위해 양의 표수라는 용어를 사용하기도 한다. 환 $R$ 의 표수를 종종 ch( $R$ ), char( $R$ )과 같이 표기한다.

$R$ 을 임의의 단위적 환으로 한다. 단위적 환 $R$ 의 (단위적 환으로서의) 부분환은 반드시 단위원 1_R을 포함한다. 따라서 1_R에 의해 생성되는 환은 모든 부분환에 포함되어 $R$ 의 최소 부분환이 된다. 여기서 사상
: $\varphi_R\colon \mathbb{Z} \to R;\, n \mapsto n\,1_R$
을 0 및 음의 정수 $m = -n$ ( $n$ > 0)에 대하여
: $\varphi_R(0) = 0_R,\quad \varphi_R(m) = -(n\,1_R)$
라고 정의한다. 이 때, φ_R은 환의 준동형사상을 정하고, 상 φ_R( $\mathbb{Z}$ ) = { $n 1_R$ | $n \in \mathbb{Z}$ }는 단위원 1_R에 의해 생성되는 단위적 환과 일치한다. 한편, 준동형사상 φ_R의 핵 Ker(φ_R) = { $n \in \mathbb{Z}$ | $n 1_R = 0$ }는 $\mathbb{Z}$ 의 아이디얼을 이루지만, $\mathbb{Z}$ 는 유클리드 정역이므로 Ker(φ_R)는 단항 아이디얼 $m\mathbb{Z}$ (단, $m$ ≧ 0)로, $m$ 은 $R$ 의 표수 char( $R$ )와 일치한다. 이상으로부터, 환의 준동형 정리에 의해 $R$ 에서 1_R에 의해 생성되는 단위적 환은 $m$ = char( $R$ )를 법으로 하는 잉여환 $\mathbb{Z} / m \mathbb{Z}$ 와 동형이다.

나아가 단위적 환 $R$ 이 정역일 때, φ_R( $\mathbb{Z}$ )는 정역을 이룬다. 이것을 정역 $R$ 의 소정역이라고 부른다. 상이 정역이므로 이 준동형사상 φ_R의 핵은 $\mathbb{Z}$ 의 소 아이디얼이므로 {0} 또는 소수 $p$ 에 의해 생성되는 단항 아이디얼 ( $p$ ) = $p \mathbb{Z}$ 의 형태로 쓸 수 있다. 따라서, 모든 정역에 대해 그 표수는 0 또는 소수에 한정된다.

2.2. 유사환의 표수

유사환의 표수는 덧셈군의 지수와 같으며, 모든 원소를 $n$ 번 더했을 때 0이 되는 가장 작은 양의 정수 $n$ 으로 정의된다. 만약 이러한 양의 정수가 존재하지 않는다면, 표수는 0이다. 유사환의 표수는 그 덧셈군의 원소들의 최대 차수와 같으며, 이는 최소공배수에 대하여 닫혀있다. (만약 원소의 차수들의 상한이 존재하지 않는다면 표수는 0이다.)

3. 성질

두 환 $R$ , $S$ 사이에 환 준동형 $R\to S$ 가 적어도 하나 이상 존재한다면, $S$ 의 표수는 $R$ 의 표수의 약수이다. 특히, $R$ 와 $S$ 가 체인 경우, 체의 표수는 소수이므로 $\operatorname{char}S=\operatorname{char}R$ 이어야 한다.

모든 소환(특히, 모든 정역 · 체 · 나눗셈환)의 표수는 0이거나 소수이다. 모든 순서체의 표수는 0이다.

표수가 소수 $p$ 인 유사환 $R$ 에서는 다음과 같은 분배 법칙이 성립하며, 이를 신입생의 꿈(freshman’s dream^영어)이라고 한다.
: $(r+s)^p=r^p+s^p\qquad\forall r,s\in R$

모듈러 산술에서 정수 $n$ 에 대한 환 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 는 표수가 $n$ 이다. 만약 $R$ 이 $S$ 의 부분환이면, $R$ 과 $S$ 는 동일한 표수를 갖는다.

3.1. 소정역과 소체

만약 환 R과 환 S 사이에 환 준동형사상 R → S 가 존재한다면, S의 표수는 R의 표수를 나눈다. 비자명환 R이 비자명 영인자를 갖지 않으면, 그 표수는 0 또는 소수이다. 특히, 이는 모든 체, 모든 정역, 그리고 모든 나눗셈환에 적용된다.

정수 n의 모듈러 산술에 대한 환 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 는 표수가 n이다. 만약 R이 S의 부분환이면, R과 S는 동일한 표수를 갖는다.

단위적 환 R에서 단위원 1_R에 의해 생성되는 단위적 환은 m = char(R)을 법으로 하는 잉여환 Z / m Z와 동형이다.

단위적 환 R이 정역일 때, φ_R(Z)는 정역을 이룬다. 이것을 정역 R의 소정역이라고 부른다. 모든 정역에 대해 그 표수는 0 또는 소수에 한정된다.

소체(prime field^영어)는 자기 자신 이외에는 부분체를 갖지 않는 체를 말한다. 체 F가 양의 표수 p를 가지면 F는 반드시 Z / p Z와 동형인 소정역을 포함한다. Z / p Z는 체이므로, 양의 표수의 체의 소정역은 그 자체가 소체가 된다. F의 표수가 0인 경우에는, 유리수체 Q (와 동형인 체)가 F에 포함된다. 따라서, 소체는 Q 및 Z / p Z (p는 소수)에 의해 (동형의 차이를 제외하고) 모두 채워져 있다고 할 수 있다.

4. 예시

* $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 의 표수는 $n$ 이다.
* 복소수체 $\mathbb{C}$ 의 표수는 0이다.
* 유한체 $\mathbb{F}_{p^n}$ 의 표수는 $p$ 이다.
* 표수가 소수 $p$ 인 정역에서 프로베니우스 사상 $x \mapsto x^p$ 는 환 준동형 사상이다.

5. 응용

유한체 GF^영어(p{{sup^영어는 표수 p^영어를 갖는다. 소수 표수를 갖는 무한체도 존재하는데, 예를 들어 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 위의 모든 유리 함수의 체, $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 의 대수적 폐포 또는 형식적 로랑 급수의 체 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}((T))$ 가 있다.

소수 표수 p^영어를 갖는 모든 유한환의 크기는 p^영어의 거듭제곱이다. 이는 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 를 포함하므로, 해당 체 위의 벡터 공간이기도 하다. 선형대수학에 따르면 유한체 위의 유한 벡터 공간의 크기는 체의 크기의 거듭제곱이다.

어떤 환 R과 그 임의의 부분환 S에 대해, S의 표수는 R의 표수와 같다.

한편, 잉여환의 표수는 원래 환의 표수와 같지 않을 수도 있다. 예를 들어, p진 정수환 Z_p는 Z를 부분환으로 포함하며 표수가 0이지만, 그 유일한 극대 아이디얼 p Z_p에 의한 잉여환은 Z / p Z와 동형이며 표수는 p이다. 환 R과 그 아이디얼 I (특히, DVR과 그 극대 아이디얼)에 대해, R과 R/I의 표수가 같은 상황을 등표수, 다른 상황을 혼합 표수라고 부르기도 한다.