자기 사상

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1. 개요

자기 사상은 범주론에서 정의역과 공역이 같은 사상을 의미한다. 집합의 범주에서는 자기 함수, 대수 구조의 범주에서는 자기 준동형 사상, 범주의 범주에서는 자기 함자라고 불린다. 자기 사상들은 모노이드를 이루며, 아벨 군의 경우 자기 사상환을 형성한다. 자기 동형 사상은 자기 사상 중 동형 사상인 경우를 말하며, 자기 사상은 연산자 이론과 고정점, 자기 함수 등 다양한 수학적 개념과 연관된다.

자기 사상

정의

설명	수학에서, 자기 사상(自己寫像, 영어: endomorphism)은 정의역과 공역이 같은 사상이다. 더 구체적으로, 자기 사상은 대상에서 자기 자신으로 가는 준동형 사상이다.

예시

집합의 자기 사상	집합 에 대하여, 에서 로 가는 함수 는 자기 사상이다.
군의 자기 준동형 사상	군 에 대하여, 에서 로 가는 군 준동형 사상 는 자기 준동형 사상이다.
벡터 공간의 자기 선형 변환	벡터 공간 에 대하여, 에서 로 가는 선형 변환 는 자기 선형 변환이다.

성질

집합의 자기 사상	집합 의 자기 사상 전체의 집합 은 함수의 합성에 대하여 모노이드를 이룬다. 만약 가 집합 범주의 대상이라면, 는 곱셈 모노이드이다.
환의 자기 준동형 사상	만약 가 범주 의 대상이라면, 의 자기 준동형 사상들은 집합 을 이룬다.

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 자기 사상의 종류
3. 자기 사상의 구조
- 3.1. 자기 동형 사상
4. 예시
5. 연산자 이론
6. 자기 함수
- 6.1. 특별한 자기 함수

2. 정의

범주 $\mathcal C$ 에서, $f\colon X\to X$ 와 같이 시작과 끝이 같은 사상을 자기 사상이라고 한다.

자기 사상은 어떤 범주를 다루느냐에 따라 다르게 불린다.

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범주	명칭
집합의 범주	정의역과 공역이 같은 함수이며, 자기 함수
대수 구조의 범주	자기 준동형 사상
(작은) 범주의 범주	정의역과 공역이 같은 함자이며, 자기 함자

범주

\mathcal C

의 대상

X

가 주어졌을 때,

X

의 자기 사상들은 모노이드를 이루며, 이를 자기 사상 모노이드라고 한다. 아벨 군의 범주

\operatorname{Ab}

의 모노이드 대상이 환이므로, 아벨 범주(또는 일반적으로 아벨 군에 대하여 풍성한 범주)의 대상

X

의 자기 사상들은 환을 이룬다. 이를 자기 사상환이라고 하고,

\operatorname{End}(X)

라고 쓴다. (작은) 범주의 범주

\operatorname{Cat}

는 2-범주이므로, 주어진 범주

\mathcal C

위의 자기 함자들의 모임

\operatorname{End}\mathcal C

는 범주를 이룬다. 즉, 이 범주의 사상은 자기 함자 사이의 자연 변환이다. 이를 자기 함자 범주라고 한다. 자기 함자 범주에서의 모노이드 대상은 모나드라고 한다.

동형 사상인 자기 사상을 자기 동형 사상이라고 한다. 구체적 범주의 자기 사상

f\colon X\to X

에 대하여, 고정점은

f(x)=x

인 원소

x\in X

이다. 자기 동형 사상에 대한 가역적인 사상을 자기 동형 사상이라고 부른다.

2.1. 자기 사상의 종류

* 집합의 범주에서 자기 사상은 정의역과 공역이 같은 함수이며, 이를 자기 함수(self-map^영어)라고 한다.
* 대수 구조의 범주에서 자기 사상은 자기 준동형 사상이라고 한다.
* (작은) 범주의 범주에서 자기 사상은 정의역과 공역이 같은 함자이며, 이를 자기 함자(endofunctor^영어)라고 한다.

3. 자기 사상의 구조

범주 $\mathcal C$ 에서, 시작과 끝이 같은 사상 $f\colon X\to X$ 를 자기 사상이라고 한다.

* 집합의 범주에서 자기 사상은 정의역과 공역이 같은 함수이며, 이를 자기 함수(self-map^영어)라고 한다.
* 대수 구조의 범주에서 자기 사상은 자기 준동형 사상이라고 한다.
* 작은 범주의 범주에서 자기 사상은 정의역과 공역이 같은 함자이며, 이를 자기 함자(endofunctor^영어)라고 한다.

범주 $\mathcal C$ 의 대상 $X$ 가 주어졌을 때, $X$ 의 자기 사상들은 모노이드를 이루며, 이를 자기 사상 모노이드(endomorphism monoid^영어)라고 한다.
* 아벨 군의 범주 $\operatorname{Ab}$ 의 모노이드 대상이 환이므로, 아벨 범주(또는 일반적으로 아벨 군에 대하여 풍성한 범주)의 대상 $X$ 의 자기 사상들은 환을 이룬다. 이를 자기 사상환(endomorphism ring^영어)이라고 하고, $\operatorname{End}(X)$ 라고 쓴다.
* 작은 범주의 범주 $\operatorname{Cat}$ 는 2-범주이므로, 주어진 범주 $\mathcal C$ 위의 자기 함자들의 모임 $\operatorname{End}\mathcal C$ 는 범주를 이룬다. 즉, 이 범주의 사상은 자기 함자 사이의 자연 변환이다. 이를 자기 함자 범주(endofunctor category^영어)라고 한다. 자기 함자 범주에서의 모노이드 대상은 모나드라고 한다.

구체적 범주의 자기 사상 $f\colon X\to X$ 에 대하여, 고정점은 $f(x)=x$ 인 원소 $x\in X$ 이다.

3.1. 자기 동형 사상

동형 사상인 자기 사상을 자기 동형 사상이라고 한다.

자기 동형 사상에 대한 가역적인 사상을 자기 동형 사상이라고 부른다. 모든 자기 동형 사상의 집합은 군 구조를 가지며, 이를 자기 동형 사상 군이라고 하고 $\operatorname{Aut}(X)$ 로 표기한다. 다음 다이어그램에서 화살표는 함의를 나타낸다.

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자기 동형 사상	⇒	동형 사상
⇓		⇓
사상	⇒	(준)동형 사상

X의 가역 자기 준동형은 자기동형이라고 불린다. 모든 자기동형의 집합은 군 구조를 갖춘

\operatorname{End}(X)

의 부분 집합이며, X의 자기동형군이라고 불리고

\operatorname{Aut}(X)

로 표기된다. 다음 그림에서 화살표는 포함 관계를 나타낸다.

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자기동형	$\Rightarrow$	동형
$\Downarrow$		$\Downarrow$
자기 준동형	$\Rightarrow$	준동형

4. 예시

체 $K$ 에 대한 벡터 공간의 범주 $K\text{-Vect}$ 에서, 벡터 공간 $V$ 의 자기 사상은 선형 변환 $V\to V$ 이다. 유한 차원의 경우, 이는 정사각 행렬로 나타낼 수 있다. 준군의 경우, 모든 자기 사상은 자기 동형 사상이다. 모노이드 $M$ 을 하나의 대상 $\bullet$ 만을 갖는 범주로 간주하였을 때, 유일한 대상의 자기 사상 모노이드 $\operatorname{End}(\bullet)$ 는 $M$ 자체와 동형이다.

위상 공간의 자기 사상의 경우, 렙셰츠 고정점 정리나 브라우어르 고정점 정리와 같은 정리들이 성립한다.

5. 연산자 이론

어떤 구체적 범주, 특히 벡터 공간의 경우, 자기 사상은 집합에서 자기 자신으로의 사상이며, 해당 집합에 대한 단항 연산자로 해석될 수 있고, 집합의 원소에 작용하여 원소 궤도의 개념을 정의할 수 있게 한다.

해당 범주에 대해 정의된 추가적인 구조(위상수학, 거리 등)에 따라, 이러한 연산자는 연속성, 유계성 등의 성질을 가질 수 있다. 자세한 내용은 작용소 이론 문서를 참고하라.

6. 자기 함수

자기 함수는 정의역이 공역과 같은 함수를 말한다. 준동형 사상인 자기 함수는 자기 준동형 사상이다.

임의의 집합 S 위의 자기 함수 중에는, S의 순열과 S의 모든 원소 x를 S의 같은 원소 c에 연결하는 상수 함수가 있다.

유한 자기 함수는 유향 유사 숲과 같다. 크기가 n인 집합에 대해, 그 집합 위에는 nⁿ개의 자기 함수가 존재한다.

6.1. 특별한 자기 함수

순열은 전단사 자기 함수이다. 상수 함수는 모든 원소를 같은 원소로 보내는 자기 함수이다. 바닥 함수는 각 자연수를 n/2의 바닥 함수에 대응시키는 자기 함수이며 가역적이지 않다. 대합은 역함수가 자기 자신과 같은 전단사 자기 함수이다.