아쉬테카르 변수

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1. 개요
2. 아쉬테카르 변수의 정의 및 등장 배경
3. 아쉬테카르 변수와 루프 양자 중력
- 3.1. 해밀토니안 제약 조건의 단순화
- 3.2. 루프 표현과 양자화
4. 라그랑지안 공식화
참조

1. 개요

아쉬테카르 변수는 일반 상대성 이론을 정준 형식으로 표현하기 위해 도입된 변수 체계이다. 이 변수는 루프 양자 중력 및 양자 홀로노미 이론으로 이어진다. 아쉬테카르 변수는 드라이바인, 스핀 접속, 이미르지 매개변수를 사용하여 정의되며, 3차원 SU(2) 게이지 장과 그 켤레 운동량 변수 사이의 푸아송 괄호 관계를 만족한다. 아쉬테카르는 해밀토니안 제약 조건을 단순화하기 위해 복소수 변수를 사용했지만, 이후 토마스 티만이 실수 변수를 사용하는 일반화를 제시하여 양자화 문제를 해결했다. 아쉬테카르 변수는 일반 상대성 이론의 라그랑지안 공식화와도 관련이 있다.

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아쉬테카르 변수
개요
유형	변수
분야	일반 상대성 이론
이름의 유래	아비제이 아쉬테카르
상세 정보
관련 개념	프레임 장 스핀 접속 자체 쌍대 팔라티니 작용
참고 문헌	A. Ashtekar, New Variables for Classical and Quantum Gravity, Physical Review Letters 57, 2244–2247 (1986). J. Aastrup, J. M. Grimstrup, Quantum Holonomy Theory, Fortschritte der Physik 64, 783 (2015).

2. 아쉬테카르 변수의 정의 및 등장 배경

아쉬테카르 변수는 일반 상대성 이론을 정준 형식(canonical form)으로 표현하기 위해 도입된 새로운 변수 체계이다. 이 변수들은 정식 일반 상대성 이론의 연결 표현(connection representation)을 제공하며, 이는 양자 일반 상대성 이론의 루프 표현^[1]과 루프 양자중력, 양자 홀로노미 이론으로 이어진다.^[15]

아쉬테카르 변수는 '드라이바인'(Dreibein) 또는 '삼중항'이라고 불리는 세 개의 직교 벡터장을 기반으로 한다. 이 드라이바인을 통해 계량(metric)을 재구성하고, 외재적 곡률(extrinsic curvature)을 재구성하는 데 사용되는 접속(connection)을 정의한다.

아쉬테카르가 처음 변수를 제시했을 때는 해밀토니안 제약 조건을 단순화할 수 있었지만, 변수가 복소수가 되는 문제가 있었다.^[18]^[19] 이후 토마스 티만이 실수 값을 갖는 이미르지 매개변수를 도입하여 이 문제를 해결하였다.^[20]^[21]^[15]

리 스몰린, 테드 제이콥슨, 조셉 사무엘은 일반 상대성 이론의 테트라드 팔라티니 작용 원리의 자기 쌍대 공식화를 고려하여 이론의 라그랑지안 공식화가 실제로 존재한다는 것을 독립적으로 발견했다.^[22]^[23]^[24]

2. 1. 드라이바인 (삼중항)과 스핀 접속

아쉬테카르 변수는 '드라이바인'(Dreibein) 또는 '삼중항'이라고 불리는 세 개의 직교 벡터장

E^a_i

(

i = 1,2,3

)으로 구성된다. 이들은 다음 관계를 만족한다.

:

\delta_{ij} = q_{ab} E_i^a E_j^b

.

여기서

\delta_{ij}

는 크로네커 델타,

q_{ab}

는 시공간 계량 텐서이다. 드라이바인은 각 점에서 국소적인 관성계를 정의하며, 일반 상대성 이론의 계량을 드라이바인으로 표현할 수 있다.

쌍대 드라이바인(dual dreibein)

E^i_a

는 다음과 같이 정의된다.^[15]

:

E^i_a = q_{ab} E^b_i

드라이바인과 쌍대 드라이바인은 다음과 같은 두 가지 직교 관계를 만족한다.

:

\delta^{ij} = q^{ab} E^i_a E^j_b

:

E_i^a E^i_b = \delta_b^a

.

여기서

q^{ab}

는

q_{ab}

의 역행렬이다.

역 계량 텐서

q^{ab}

는 드라이바인을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

q^{ab} = \sum_{i=1}^{3} E_i^a E_i^b,

밀도화된 드라이바인(densitized dreibein)

\tilde{E}_i^a

는 다음과 같이 정의된다.

:

\tilde{E}_i^a = \sqrt{\det (q)} E_i^a

밀도화된 드라이바인을 사용하면 역 계량 텐서를 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

(\mathrm{det} (q)) q^{ab} = \sum_{i=1}^{3} \tilde{E}_i^a \tilde{E}_i^b

\tilde{E}_i^a

는 내부 첨자

i

에 대해 국소적 회전을 가해도 변하지 않으므로,

SU(2)

게이지 불변성을 가진다.

V_i^b

와 같은 양에 대한 공변 미분(covariant derivative)은 다음과 같이 정의된다.^[15]

:

D_a V_i^b = \partial_a V_i^b - \Gamma_{a \;\; i}^{\;\; j} V_j^b + \Gamma^b_{ac} V_i^c

여기서

\Gamma^b_{ac}

는 레비치비타 접속이고,

\Gamma_{a \;\; i}^{\;\; j}

는 스핀 접속이다.

짜임새 변수(configuration variable)

A_a^i

는 다음과 같이 정의된다.^[15]

:

A_a^i = \Gamma_a^i + \beta K_a^i

여기서

\Gamma_a^i = \Gamma_{ajk} \epsilon^{jki}

,

K_a^i = K_{ab} \tilde{E}^{bi} / \sqrt{\det (q)}

이고,

\beta

는 이미르지 매개변수이다.

밀도화된 드라이바인

\tilde{E}_i^a

과 짜임새 변수

A^j_b

는 다음과 같은 푸아송 괄호 관계를 만족한다.^[15]

:

\{ \tilde{E}_i^a (x), A^j_b (y) \} = 8\pi G_{\mathrm{Newton}} \beta \delta^a_b \delta^j_i \delta^3 (x - y)

.

아쉬테카르 변수는

\beta = -i

(여기서

i

는 허수 단위)를 선택한 경우에 해당하며, 이때

A_a^i

는 키랄 스핀 접속이라고 불린다.

2. 2. SU(2) 게이지 불변성

아쉬테카르 변수의 중요한 특징은 SU(2) 게이지 불변성을 가진다는 것이다. 이는 드라이바인^[15]의 국소적인 회전에 대해 물리 법칙이 변하지 않는다는 것을 의미한다.

세 개의 직교 벡터 장

E^a_i

(

i = 1,2,3

)을 도입하면, 이들은 다음과 같은 관계를 만족한다.

:

\delta_{ij} = q_{ab} E_i^a E_j^b

.

여기서

E_i^a

는 트라이어드 또는 드라이바인(독일어 직역: "세 다리")이라고 불린다. 이 식에서

a, b, c

는 "공간" 첨자를 나타내고,

i, j, k

는 "내부" 첨자를 나타낸다. 내부 첨자를 올리고 내리는 데 사용되는 "계량"은

\delta_{ij}

이다. 쌍대 드라이바인

E^i_a

는 다음과 같이 정의된다.^[15]

:

E^i_a = q_{ab} E^b_i

이에 따라 두 가지 직교 관계가 성립한다. 첫 번째는

:

\delta^{ij} = q^{ab} E^i_a E^j_b

이고, 두 번째는

:

E_i^a E^i_b = \delta_b^a

이다.

역 계량

q^{ab}

는 드라이바인을 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.^[15]

:

q^{ab} = \sum_{i=1}^{3} E_i^a E_i^b,

밀도화된 드라이바인

\tilde{E}_i^a

는 다음과 같이 정의된다.

:

(\mathrm{det} (q)) q^{ab} = \sum_{i=1}^{3} \tilde{E}_i^a \tilde{E}_i^b

여기서

\tilde{E}_i^a = \sqrt{\det (q)} E_i^a

이다.

\tilde{E}_i^a

는 유일하게 결정되지 않으며, 내부 첨자

i

에 대해 국소적 회전을 가해도 (역) 계량은 변하지 않는다. 이것이 SU(2) 게이지 불변성의 기원이다.

내부 첨자를 가진 객체

V_i^b

에 대한 공변 도함수는 다음과 같이 정의된다.^[15]

:

D_a V_i^b = \partial_a V_i^b - \Gamma_{a \;\; i}^{\;\; j} V_j^b + \Gamma^b_{ac} V_i^c

여기서

\Gamma^b_{ac}

는 레비치비타 접속이고,

\Gamma_{a \;\; i}^{\;\; j}

는 스핀 접속이다.

짜임새 변수

A_a^i

는 다음과 같이 정의된다.^[15]

:

A_a^i = \Gamma_a^i + \beta K_a^i

여기서

\Gamma_a^i = \Gamma_{ajk} \epsilon^{jki}

이고,

K_a^i = K_{ab} \tilde{E}^{bi} / \sqrt{\det (q)}

이다.

밀도화된 드라이바인

\tilde{E}_i^a

는 3차원 SU(2) 게이지 장(또는 접속)

A^j_b

의 켤레 운동량 변수이며, 다음과 같은 푸아송 괄호 관계를 만족한다.^[15]

:

\{ \tilde{E}_i^a (x), A^j_b (y) \} = 8\pi G_{\mathrm{Newton}} \beta \delta^a_b \delta^j_i \delta^3 (x - y)

.

여기서

\beta

는 이미르지 매개변수이고,

G_{\mathrm{Newton}}

는 뉴턴 상수이다.

2. 3. 켤레 운동량 변수와 푸아송 괄호 관계

밀도화된 드라이바인

\tilde{E}_i^a

는 3차원

SU(2)

게이지 장(또는 접속)

A^j_b

의 켤레 운동량 변수이며, 이들은 다음과 같은 푸아송 괄호 관계를 만족한다.^[15]

:

\{ \tilde{E}_i^a (x), A^j_b (y) \} = 8\pi G_{\mathrm{Newton}} \beta \delta^a_b \delta^j_i \delta^3 (x - y)

여기서,

$x$ , $y$ 는 3차원 공간상의 좌표
$\delta^a_b$ 는 크로네커 델타
$\delta^j_i$ 는 크로네커 델타
$\delta^3 (x - y)$ 는 3차원 디랙 델타 함수
$G_{\mathrm{Newton}}$ 는 뉴턴 상수
$\beta$ 는 이미르지 매개변수. 이미르지 매개변수는 뉴턴 상수 $G_{\mathrm{Newton}}$ 를 재규격화하는 인자이다.^[15]

밀도화된 드라이바인은 계량을 재구성하는 데 사용될 수 있으며, 접속은 외재적 곡률을 재구성하는 데 사용될 수 있다. 아쉬테카르 변수는

\beta = -i

(여기서

i

는 허수)를 선택하는 것에 해당하며, 이때

A_a^i

는 키랄 스핀 접속이라고 한다. 아쉬테카르가 이러한 스핀 접속을 선택한 이유는 정준 일반 상대성 이론의 가장 까다로운 방정식, 즉 루프 양자 중력의 해밀토니안 제약 조건을 훨씬 단순화할 수 있었기 때문이다. 이 선택으로 인해 두 번째 항이 사라지고 나머지 항은 그의 새로운 변수에서 다항식이 되었다. 이것은 정식 양자 중력 프로그램에 대한 새로운 희망을 불러일으켰다.^[18] 그러나 아쉬테카르 변수는 해밀토니안을 단순화하는 장점이 있지만, 변수가 복소수가 되는 문제가 있었다.^[19]

2. 4. 이미르지 매개변수

아쉬테카르 변수에는 이미르지 매개변수(

\beta

)라는 상수가 포함되어 있는데, 이 매개변수는 뉴턴 상수

G_{\mathrm{Newton}}

를 재규격화하는 역할을 한다.^[15] 이미르지 매개변수의 값은 양자 중력 이론의 예측에 영향을 미친다.

짜임새 변수는 다음과 같이 정의된다.^[15]

:

A_a^i = \Gamma_a^i + \beta K_a^i

여기서

\Gamma_a^i = \Gamma_{ajk} \epsilon^{jki}

,

K_a^i = K_{ab} \tilde{E}^{bi} / \sqrt{\det (q)}

이고,

\tilde{E}_i^a

는 밀도화된 드라이바인이다.

밀도화된 드라이바인

\tilde{E}_i^a

은 3차원

SU(2)

게이지 장(또는 접속)

A^j_b

의 켤레 운동량 변수이며, 이들은 다음의 포아송 괄호 관계를 만족한다.^[15]

:

\{ \tilde{E}_i^a (x), A^j_b (y) \} = 8\pi G_{\mathrm{Newton}} \beta \delta^a_b \delta^j_i \delta^3 (x - y)

아쉬테카르가 처음 선택한 값은

\beta = -i

(복소수)였는데, 이 경우

A_a^i

는 키랄 스핀 접속이라고 불린다. 이 선택은 루프 양자 중력의 해밀토니안 제약 조건을 단순화했지만, 변수가 복소수가 되어 양자화 과정에서 어려움이 발생했다.^[18]^[19] 이후 토마스 티만이

\beta

가 실수 값을 갖는 일반화를 제시하여 이 문제를 해결했다.^[20]^[21]^[15]

3. 아쉬테카르 변수와 루프 양자 중력

아쉬테카르 변수는 정식 일반 상대성 이론의 연결 표현을 제공하며, 이는 루프 양자 중력 및 양자 홀로노미 이론으로 이어진다.^[1]

3개의 직교 벡터장 $E^a_i$ ( $i = 1,2,3$ )을 도입하면, 다음과 같은 관계가 성립한다.

: $\delta_{ij} = q_{ab} E_i^a E_j^b$ .

여기서 $E_i^a$ 는 트라이어드 또는 드라이바인(독일어: "세 다리")이라고 불린다. 이 식에는 공간 첨자 $a, b, c$ 와 내부 첨자 $i, j, k$ 의 두 가지 유형이 있다. 내부 첨자를 올리고 내리는 데 사용되는 계량은 $\delta_{ij}$ 이다. 쌍대 드라이바인 $E^i_a$ 는 다음과 같이 정의된다.^[15]

: $E^i_a = q_{ab} E^b_i$

그러면 다음과 같은 두 가지 직교 관계가 성립한다.^[15]

: $\delta^{ij} = q^{ab} E^i_a E^j_b$

: $E_i^a E^i_b = \delta_b^a$ .

이러한 관계를 통해 역 계량 $q^{ab}$ 를 드라이바인으로 표현할 수 있다.^[15]

: $q^{ab} = \sum_{i,j=1}^{3} \delta_{ij} E_i^a E_j^b = \sum_{i=1}^{3} E_i^a E_i^b,$

즉, 드라이바인은 계량의 "제곱근"으로 생각할 수 있다. 실제로는 밀도화된 드라이바인 $\tilde{E}_i^a = \sqrt{\det (q)} E_i^a$ 를 사용하며, 이는 다음과 같이 표현된다.^[15]

: $(\mathrm{det} (q)) q^{ab} = \sum_{i=1}^{3} \tilde{E}_i^a \tilde{E}_i^b$

$\tilde{E}_i^a$ 는 내부 첨자 $i$ 에 대한 국소적 회전에 대해 불변하므로, $SU(2)$ 게이지 불변성이 나타난다. 내부 첨자를 가진 객체에 대한 공변 도함수는 다음과 같이 정의된다.^[15]

: $D_a V_i^b = \partial_a V_i^b - \Gamma_{a \;\; i}^{\;\; j} V_j^b + \Gamma^b_{ac} V_i^c$

여기서 $\Gamma^b_{ac}$ 는 레비치비타 접속이고, $\Gamma_{a \;\; i}^{\;\; j}$ 는 스핀 접속이다. 짜임새 변수는 다음과 같이 정의된다.^[15]

: $A_a^i = \Gamma_a^i + \beta K_a^i$

여기서 $\Gamma_a^i = \Gamma_{ajk} \epsilon^{jki}$ , $K_a^i = K_{ab} \tilde{E}^{bi} / \sqrt{\det (q)}$ 이다. 밀도화된 드라이바인 $\tilde{E}_i^a$ 는 3차원 $SU(2)$ 게이지 장(접속) $A^j_b$ 의 켤레 운동량 변수이며, 다음과 같은 푸아송 괄호 관계를 만족한다.^[15]

: $\{ \tilde{E}_i^a (x), A^j_b (y) \} = 8\pi G_{\mathrm{Newton}} \beta \delta^a_b \delta^j_i \delta^3 (x - y)$ .

여기서 $\beta$ 는 이미르지 매개변수이고, $G_{\mathrm{Newton}}$ 는 뉴턴 상수이다. 아쉬테카르 변수는 $\beta = -i$ 를 선택한 경우로, 이때 $A_a^i$ 는 키랄 스핀 접속이라고 불린다.

리 스몰린, 테드 제이콥슨, 조셉 사무엘은 일반 상대성 이론의 테트라드 팔라티니 작용 원리의 자기 쌍대 공식화를 통해 이론의 라그랑지언 공식화가 존재함을 독립적으로 발견했다.^[22]^[23]^[24]

3. 1. 해밀토니안 제약 조건의 단순화

아쉬테카르 변수를 사용하면 일반 상대성 이론의 해밀토니안 제약 조건을 크게 단순화할 수 있다. 아쉬테카르는 원래 키랄 스핀 접속을 나타내는 복소수 변수

A_a^i

를 선택하여 해밀토니안을 단순화했다. 이 선택으로 인해 해밀토니안의 복잡한 항이 사라지고, 나머지 항들은 다항식 형태가 되어 계산이 쉬워졌다.^[18] 하지만 이 때문에 변수가 복소수가 되는 문제가 발생했고, 양자화 과정에서 실수 일반 상대성 이론을 복구하는 것이 어려워졌다.^[19] 또한, 아쉬테카르가 사용한 해밀토니안은 원래의 해밀토니안이 아닌 밀도화된 버전(

\tilde{H} = \sqrt{\det (q)} H

)이었기 때문에, 이를 양자 연산자로 만드는 데 어려움이 있었다.

이후 1996년, 토마스 티만은 실수 값을 갖는 이미르지 매개변수(

\beta

)를 사용하여 아쉬테카르 변수를 일반화하고, 원래의 해밀토니안을 포함한 두 번째 항까지 단순화하는 방법을 제시했다.^[20]^[21]^[15] 티만은 또한 이 해밀토니안 제약 조건을 루프 양자 중력 이론 내에서 잘 정의된 양자 연산자로 승격시키는 데 성공했다.

3. 2. 루프 표현과 양자화

루프 양자 중력에서는 아쉬테카르 변수를 사용하여 시공간을 루프 형태로 표현하고, 이를 양자화한다.^[17]^[15] 아쉬테카르 변수는 해밀토니안을 단순화하는 장점이 있지만, 변수가 복소수가 되는 문제가 있었다.^[19] 따라서 이론을 양자화할 때 복소 일반 상대성이론이 아닌 실수 일반 상대성이론을 복구하는 것은 어려운 작업이었다. 또한, 아쉬테카르가 작업한 해밀토니안 제약 조건은 원래의 해밀토니안이 아니라 밀도화된 버전이었다.^[18] 이를 양자 연산자로 승격하는 데에는 심각한 어려움이 있었다.

토마스 티만은 1996년에 아쉬테카르 공식화의 일반화를 실수 접속에 사용할 수 있었고, 특히 원래 해밀토니안을 단순화하는 방법을 고안했다.^[20]^[21]^[15] 그는 또한 이 해밀턴 제약을 루프 표현 내에서 잘 정의된 양자 연산자로 승격시킬 수 있었다.

4. 라그랑지안 공식화

리 스몰린, 테드 제이콥슨, 조셉 사무엘은 일반 상대성 이론의 테트라드 팔라티니 작용 원리의 자기 쌍대 공식화를 고려하여 이론의 라그랑지언 공식화가 실제로 존재한다는 것을 독립적으로 발견하였다.^[22]^[23]^[24] 이러한 증명은 스피너의 관점에서 주어졌으며, 새로운 변수의 순수한 텐서 증명은 골드버그^[25]가, 테트라드에 대해서는 Henneaux et al가 제시하였다.^[26]^[15]

참조

_[1] 서적 Gravitation W. H. Freeman and company
_[2] 논문 New variables for classical and quantum gravity
_[3] 논문 Knot Theory and Quantum Gravity
_[4] 논문 Quantum Holonomy Theory
_[5] 서적 Lectures on Non-Perturbative Canonical Gravity World Scientific Publishing
_[6] 서적 Gauge Fields, Knots and Gravity World scientific Publishing
_[7] 논문 Anomaly-free formulation of non-perturbative, four-dimensional Lorentzian quantum gravity Elsevier BV
_[8] 웹사이트 The Hamiltonian constraint in the loop representation of quantum gravity https://math.ucr.edu[...] University of California, Riverside
_[9] 논문 A Lagrangian basis for Ashtekar's formulation of canonical gravity https://www.ias.ac.i[...] Indian National Science Academy 1987-04-01
_[10] 논문 The left-handed spin connection as a variable for canonical gravity Elsevier
_[11] 논문 Covariant action for Ashtekar's form of canonical gravity 1988-04-01
_[12] 논문 Triad approach to the Hamiltonian of general relativity American Physical Society (APS) 1988-04-15
_[13] 논문 Derivation of Ashtekar variables from tetrad gravity American Physical Society (APS) 1989-01-15
_[14] 서적 Gravitation W. H. Freeman and company
_[15] 논문 Quantum Holonomy Theory
_[16] 논문 New variables for classical and quantum gravity
_[17] 논문 Knot Theory and Quantum Gravity
_[18] 서적 Lectures on Non-Perturbative Canonical Gravity World Scientific Publishing Co. Pte. LtD.
_[19] 서적 Gauge Fields, Knots and Gravity World scientific Publishing Co. Pte. LtD.
_[20] 논문 Anomaly-free formulation of non-perturbative, four-dimensional Lorentzian quantum gravity https://archive.org/[...] Elsevier BV
_[21] 웹사이트 The Hamiltonian Constraint in the Loop Representation of Quantum Gravity https://math.ucr.edu[...]
_[22] 논문 A Lagrangian basis for Ashtekar's formulation of canonical gravity https://www.ias.ac.i[...] Indian National Science Academy 1987-04-01
_[23] 논문 The left-handed spin connection as a variable for canonical gravity https://archive.org/[...] Elsevier BV
_[24] 논문 Covariant action for Ashtekar's form of canonical gravity IOP Publishing 1988-04-01
_[25] 논문 Triad approach to the Hamiltonian of general relativity American Physical Society (APS) 1988-04-15
_[26] 논문 Derivation of Ashtekar variables from tetrad gravity American Physical Society (APS) 1989-01-15

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