스피너

3. 정의

일반적으로, (체 $\backslash mathbb\; F$에 대한) 벡터 공간 $V$와 계량 형식 $g\backslash colon\; V\backslash times\; V\backslash to\backslash mathbb\; F$가 주어졌을 때, '''스피너 표현'''은 회전 (로런츠) 대수 $\backslash mathfrak\{so\}(V,g)$의 표현 가운데 텐서 표현이 아닌 것이다. '''스피너'''는 스핀 표현의 원소이다. 스피너 표현은 클리퍼드 대수를 통하여 나타낼 수 있다.^[40]

3. 1. 클리퍼드 대수

3. 2. 표현론적 관점

3. 3. 기하학적 관점

4. 다양한 차원에서의 스피너

스피너의 성질은 보트 주기성을 따른다. 즉, $d+8$차원의 스피너 종류는 $d$차원과 같지만, 크기는 16배 더 크다. 낮은 차원의 유클리드 공간에서 가능한 스피너는 다음과 같다.

• 1차원: 자명한 1차원 실수 (마요라나) 표현.^[42]
• 2차원: 1차원 (바일) 복소 표현, 2차원 실수 (마요라나) 표현.^[42]
• 3차원: 2차원 디랙 스피너.
• 4차원: 두 개의 2차원 바일 스피너.
• 5차원: 4차원 디랙 스피너.
• 6차원: 4차원 바일 표현.
• 7차원: 8차원 마요라나 표현.
• 8차원: 두 개의 8차원 바일 표현 (8차원 벡터 표현과 함께 삼중성(triality^영어)을 이룸).

• 디랙 스피너: $2^k$ 복소 차원 ($2^\{k+1\}$ 실수 차원). 모든 $m=|(p-q)\backslash ;\backslash bmod\backslash ;8|$에 대해 존재.
• 바일 스피너: $2^\{k-1\}$ 복소 차원 ($2^k$ 실수 차원). $m=0,2,4$ (짝수 차원)에서만 존재.
• 마요라나 스피너: $2^k$ 실수 차원. $m=0,1,2$에서만 존재.
• 마요라나-바일 스피너: $2^\{k-1\}$ 실수 차원. $m=0$에서만 존재.

켤레변형이 m이면 왼손 바일 표현이 오른손으로 바뀌나, s이면 왼손 표현은 왼손, 오른손 표현은 오른손으로 변환한다. (1,3)차원 민코프스키 공간에서 왼쪽 바일 스피너는 오른쪽 바일 스피너의 복소수 켤레이나, 4차원 유클리드 공간에서는 오른쪽 바일 스피너의 복소수 켤레는 오른쪽 바일 스피너와 동형이며, 왼쪽 스피너의 복소수 켤레는 왼쪽 바일 스피너와 동형이다. m일 경우, 왼쪽·오른쪽 바일 스피너로 마요라나 스피너를 정의할 수 있다. s일 경우, 마요라나 스피너가 존재하려면 마요라나-바일 스피너 역시 존재해야 한다.

5. 민코프스키 공간의 스피너

클리퍼드 대수 또는 표현론의 관점에서 0차원 시공간에서 기하학적 객체로서 스피너를 정의할 수 있다. 디랙 스피너와 같은 물리학의 스피너를 얻기 위해서는 4차원 시공간 (민코프스키 공간)에서 스핀 구조를 얻도록 구성을 확장해야 한다. 시공간의 접선 다발에서 시작하여 각 점은 SO(3,1) 대칭을 가진 4차원 벡터 공간이고, 각 점에서 스핀 군을 구성한다. 점의 근방은 매끄러움과 미분 가능성의 개념을 부여받는다. 표준 구성은 섬유 다발의 하나이며, 섬유는 스핀 군 아래에서 변환되는 아핀 공간이다. 섬유 다발을 구성한 후, 디랙 방정식 또는 섬유 다발에 대한 바일 방정식과 같은 미분 방정식을 고려할 수 있다. 이러한 방정식(디랙 또는 바일)은 위에서 설명한 (0차원) 클리퍼드 대수/스핀 표현론에서 얻은 스피너의 대칭, 즉 섬유의 특성을 갖는 대칭을 가진 평면파 해를 갖는다. 이러한 평면파 해(또는 다른 해)는 미분 방정식의 페르미온이라고 부를 수 있다. 페르미온은 스피너의 대수적 특성을 갖는다. 일반적인 관례에 따라, 물리학에서는 "페르미온"과 "스피너"라는 용어가 서로 동의어로서 종종 상호 교환적으로 사용된다.

자연에 존재하는 스핀-1/2를 갖는 모든 기본 입자는 중성미자를 제외하고는 디랙 방정식으로 묘사되는 것으로 보인다. 스피너에 대한 완벽하게 유효한 선택은 Cℓ_2,2|Cℓ_2,2^영어(실수)의 비 복소화된 버전인 마요라나 스피너가 될 것이다.^[6] 또한 바일 스피너가 기본 입자로서 자연에 나타나는 것에 대한 특별한 금지도 없는 것으로 보인다.

디랙, 바일, 마요라나 스피너는 상호 관련되어 있으며, 그 관계는 실제 기하 대수를 바탕으로 설명될 수 있다.^[7]

응집 물질 물리학의 상황은 다르다. 다양한 물리적 물질에서 2차원 및 3차원 "시공간"을 구성할 수 있으며, 이는 반도체에서 훨씬 더 이국적인 물질에 이르기까지 다양하다. 2015년, 프린스턴 대학교 과학자들이 이끄는 국제 연구팀은 바일 페르미온처럼 행동하는 준입자를 발견했다고 발표했다.^[9]

5. 1. 바일 스피너

5. 2. 디랙 스피너

5. 3. 마요라나 스피너

5. 4. 바일 스피너의 표기

6. 스피너장

클리퍼드 대수 또는 표현론의 관점에서 주어진 구성은 스피너를 0차원 시공간에서 기하학적 대상으로 정의하는 것으로 생각할 수 있다. 디랙 스피너와 같은 물리학의 스피너를 얻기 위해서는 4차원 시공간 (민코프스키 공간)에서 스핀 구조를 얻도록 구성을 확장해야 한다. 효과적으로, 시공간의 접다발에서 시작하며, 각 점은 SO(3,1) 대칭을 가진 4차원 벡터 공간이고, 각 점에서 스핀 군을 구성한다. 점의 근방은 매끄러움과 미분 가능성의 개념을 부여받는다. 표준 구성은 올다발의 하나이며, 올은 스핀 군 아래에서 변환되는 아핀 공간이다. 올다발을 구성한 후, 디랙 방정식 또는 올다발에 대한 바일 방정식과 같은 미분 방정식을 고려할 수 있다. 이러한 방정식(디랙 또는 바일)은 위에서 설명한 (0차원) 클리퍼드 대수/스핀 표현론에서 얻은 스피너의 대칭, 즉 올의 특성을 갖는 대칭을 가진 평면파 해를 갖는다. 이러한 평면파 해(또는 다른 해)는 미분 방정식의 페르미온이라고 부를 수 있다. 페르미온은 스피너의 대수적 특성을 갖는다. 일반적인 관례에 따라, 물리학에서는 "페르미온"과 "스피너"라는 용어가 서로 동의어로서 종종 상호 교환적으로 사용된다.

자연에 존재하는 스핀-1/2를 갖는 모든 기본 입자는 중성미자를 제외하고는 디랙 방정식으로 묘사되는 것으로 보인다. 이러한 이유에 대한 어떠한 ''사전적'' 이유도 없어 보인다. 스피너에 대한 완벽하게 유효한 선택은 Cℓ|2,2^영어($\backslash Reals$)의 비 복소화된 버전인 마요라나 스피너가 될 것이다.^[6] 또한 바일 스피너가 기본 입자로서 자연에 나타나는 것에 대한 특별한 금지도 없는 것으로 보인다.

디랙, 바일, 마요라나 스피너는 상호 관련되어 있으며, 그 관계는 실제 기하 대수를 바탕으로 설명될 수 있다.^[7] 디랙 및 바일 스피너는 복소수 표현이고, 마요라나 스피너는 실수 표현이다.

바일 스피너는 전자와 같은 질량이 있는 입자를 묘사하기에는 부족하다. 왜냐하면 바일 평면파 해는 필연적으로 빛의 속도로 이동하기 때문이다. 질량이 있는 입자의 경우, 디랙 방정식이 필요하다. 입자 물리학의 표준 모형의 초기 구성은 전자와 중성미자를 질량이 없는 바일 스피너로 시작한다. 힉스 메커니즘은 전자에 질량을 부여한다. 고전적인 중성미자는 질량이 없는 상태로 유지되었고, 따라서 바일 스피너의 예였다. 그러나 관찰된 중성미자 진동 때문에, 현재는 이들이 바일 스피너가 아니라 마요라나 스피너일 가능성이 있다고 여겨진다.^[8] 바일 스피너 기본 입자가 자연에 존재하는지는 알려져 있지 않다.

응집 물질 물리학의 상황은 다르다. 다양한 물리적 물질에서 2차원 및 3차원 "시공간"을 구성할 수 있으며, 이는 반도체에서 훨씬 더 이국적인 물질에 이르기까지 다양하다. 2015년, 프린스턴 대학교 과학자들이 이끄는 국제 연구팀은 바일 페르미온처럼 행동하는 준입자를 발견했다고 발표했다.^[9]

7. 현상론

중성미자는 과거에 바일 입자(손지기 페르미온)로 생각되었으나, 중성미자 진동의 발견으로 인해 이 이론은 반증되었다. 아직까지 중성미자가 디랙 입자인지, 마요라나 입자인지는 확인되지 않았다.

8. 명시적 구성

스피너의 공간은 클리퍼드 대수를 이용하여 구체적인 객체로 구성할 수 있다. 이러한 구성은 복소 클리포드 대수의 스피너 표현이 유일하다는 점에서 동일한 결과를 낳는다. 3차원에서 스피너를 구체적으로 구성하는 방법은 3차원의 스피너 문서를 참고하면 된다.

8. 1. 성분 스피너

8. 2. 추상 스피너

• 최소 이상을 이용한 정의:
• 클리퍼드 대수의 왼쪽 작용에 대한 최소 이상을 찾는다.
• 최소 이상은 $C\backslash ell(V,\; g)\backslash omega$ 형태로 표현되며, 여기서 $\backslash omega$는 클리퍼드 대수의 멱영원 또는 멱등원이다.
• 이 방식을 통해 스피너 표현은 클리퍼드 대수 자체의 특정 부분 공간으로 정의된다.

• 외대수를 이용한 정의:
• 벡터 공간 $V$의 등방성 부분 공간 $W$를 이용한다.
• $W$의 외대수 $\backslash Lambda^*\; W$를 구성한다.
• 클리퍼드 대수의 작용을 외대수에 정의하여 스피너 공간을 구성한다.

• $(V,\; g)$를 비퇴화 쌍선형 형식을 갖춘 $n$차원 복소수 벡터 공간이라 하자.
• $V$가 실수 벡터 공간이면, 복소화 $V\; \backslash otimes\_\backslash Reals\; \backslash Complex$를 사용하고, $g$를 유도된 쌍선형 형식으로 둔다.
• 최대 등방성 부분 공간 $W$를 선택한다. ($g|\_W\; =\; 0$인 $V$의 최대 부분 공간)

• $n\; =\; 2k$ (짝수)이면, $W\text{'}$를 $W$에 상보적인 등방성 부분 공간으로 둔다.
• $n\; =\; 2k\; +\; 1$ (홀수)이면, $W\; \backslash cap\; W\text{'}\; =\; 0$인 최대 등방성 부분 공간을 $W\text{'}$로 두고, $U$를 $W\; \backslash oplus\; W\text{'}$의 직교 여원으로 둔다.
• 두 경우 모두 $W$와 $W\text{'}$는 차원 $k$를 갖는다. 홀수 차원의 경우 $U$는 1차원이며, 단위 벡터 $u$에 의해 생성된다.

• $W\text{'}$가 등방성이므로, $C\backslash ell(V,\; g)$ 내에서 $W\text{'}$의 원소 곱셈은 왜곡된다.
• $C\backslash ell(W\text{'},\; g|\_\{W\text{'}\})\; =\; C\backslash ell(W\text{'},\; 0)$는 외대수 $\backslash Lambda^*\; W\text{'}$와 같다.
• $W\text{'}$^''k''의 생성자 $\backslash omega$를 정의한다. (예: $\backslash omega\; =\; w\text{'}\_1\; w\text{'}\_2\; \backslash cdots\; w\text{'}\_k$)
• $\backslash omega$는 멱영원($\backslash omega^2\; =\; 0$)이며, 모든 $w\text{'}\; \backslash in\; W\text{'}$에 대해 $w\text{'}\backslash omega\; =\; 0$이다.

• $n\; =\; 2k$이면, 좌 아이디얼 $\backslash Delta\; =\; C\backslash ell(V,\; g)\backslash omega$는 최소 좌 아이디얼이며, 짝수 클리퍼드 대수의 작용으로 두 스핀 공간 $\backslash Delta\_+\; =\; C\backslash ell^\{\backslash text\{even\}\}\backslash omega$와 $\backslash Delta\_-\; =\; C\backslash ell^\{\backslash text\{odd\}\}\backslash omega$로 나뉜다.
• $n\; =\; 2k\; +\; 1$이면, 단위 벡터 $u$의 작용은 좌 아이디얼 $C\backslash ell(V,\; g)\backslash omega$를 두 개의 동형인 기약 고유 공간 $\backslash Delta$로 분해한다.

• 스피너 표현은 외대수 $\backslash Lambda^*\; W$를 이용하여 정의할 수 있다.
• $\backslash Delta\; =\; \backslash Lambda^*\; W$를 $W$의 외대수로 두고, 클리퍼드 작용 $c$를 정의한다.
• 짝수 차원: $c(v)w\_1\; \backslash wedge\; \backslash cdots\; \backslash wedge\; w\_n\; =\; (\backslash epsilon(w)\; +\; i(w\text{'}))(w\_1\; \backslash wedge\; \backslash cdots\; \backslash wedge\; w\_n)$
• 홀수 차원: $W\; \backslash oplus\; W\text{'}$에서 $c$는 이전과 같이 정의하고, $u$에 대해서는 로 정의한다.

• 짝수 차원에서 스핀 표현 $\backslash Delta$는 반 스핀 표현(바일 스피너) $\backslash Delta\_+\; =\; \backslash Lambda^\{\backslash text\{even\}\}W,\; \backslash Delta\_-\; =\; \backslash Lambda^\{\backslash text\{odd\}\}W$로 분해된다.

9. 클레브쉬-고르단 분해

하나의 스핀 표현과 다른 스핀 표현의 텐서 곱에 대해 여러 개의 클레브쉬-고르단 분해가 가능하다.^[28] 이러한 분해는 직교군의 교대 표현 측면에서 텐서 곱을 표현한다.

실수 또는 복소수의 경우, 교대 표현은 다음과 같다.

• , 랭크 ''r''의 반대칭 텐서에 대한 직교군의 표현.

• ''σ''₊: O(''p'', ''q'') → {−1, +1}은 로 주어지며, ''R''이 ''V''의 공간적 방향을 반전시키면 -1, ''R''이 ''V''의 공간적 방향을 보존하면 +1이다. (''공간적 문자''.)
• ''σ''₋: O(''p'', ''q'') → {−1, +1}은 로 주어지며, ''R''이 ''V''의 시간적 방향을 반전시키면 -1, ''R''이 ''V''의 시간적 방향을 보존하면 +1이다. (''시간적 문자''.)
• ''σ'' = ''σ''₊''σ''₋. (''방향 문자''.)

• 스피너의 벡터에 대한 작용.
• 실수 스핀 군의 복소수 표현에 대한 에르미트 계량.
• 각 스핀 표현에 대한 디랙 연산자.

• ''q''가 짝수이면, $\backslash bar\{\backslash Delta\}\_+\; \backslash cong\; \backslash sigma\_-\; \backslash otimes\; \backslash Delta\_+^*$ 및 $\backslash bar\{\backslash Delta\}\_-\; \backslash cong\; \backslash sigma\_-\; \backslash otimes\; \backslash Delta\_-^*.$
• ''q''가 홀수이면, $\backslash bar\{\backslash Delta\}\_+\; \backslash cong\; \backslash sigma\_-\; \backslash otimes\; \backslash Delta\_-^*$ 및 $\backslash bar\{\backslash Delta\}\_-\; \backslash cong\; \backslash sigma\_-\; \backslash otimes\; \backslash Delta\_+^*.$

참조

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_[11] 서적 The Strangest Man: The hidden life of Paul Dirac, quantum genius Faber & Faber
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_[17] 간행물 Lösung der Diracschen Gleichungen ohne Spezialisierung der Diracschen Operatoren
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