허수

3. 용어 및 정의

허수는 실수가 아닌 복소수를 말한다.^[20] 허수 단위 ''i''^영어는 제곱하여 -1이 되는 수로 정의된다. 즉, ''i''^영어 = √-1 이다. 허수는 a + bi (a, b는 실수, b ≠ 0) 형태로 나타낼 수 있다. 특히, 실수부가 0인 허수를 순허수라고 한다.

영어 'imaginary number'는 보통 허수를 의미하지만, 종종 "제곱한 값이 0 이하의 실수가 되는 복소수"를 나타내는 경우가 있다.^[21][22]

3. 1. 한국어 용어

4. 수학적 성질

허수에는 일반적인 크기 관계를 부여할 수 없다.^[23][24] 즉, 복소수체는 순서체가 아니다.

(귀류법으로 증명)

: 허수 단위 i와 실수 사이에 +, ×와 양립하는 전순서가 있다고 가정한다.

: ''i''² = −1이므로, ''i'' ≠ 0

: ∴ ''i'' > 0 또는 ''i'' < 0

: ''i'' > 0이라면, 양변에 i를 곱하면, −1 > 0이 되어 모순이다.

: ''i'' < 0이라면, 양변에 i를 곱하면, −1 > 0이 되어 모순이다.

: 따라서 i와 실수 사이에 일반적인 크기 관계는 존재하지 않는다.

: 따라서, 허수에도 일반적인 크기 관계는 존재하지 않는다.(증명 종료)

사전식 순서는 전순서이지만, 복소수에 적용하면 +, ×와 양립하지 않는다.

허수 단위 i의 정수 거듭제곱 iⁿ은 정수 n을 4로 나눈 나머지를 n mod 4로 나타내면 다음과 같이 간단하게 표현할 수 있다.

: iⁿ = i^{n mod 4}

즉, k를 정수로 하면 다음이 성립한다.

:$\backslash begin\{array\}\{lcl\}$

i^{\,4k} &=& 1 \\

i^{\,4k+1} &=& i \\

i^{\,4k+2} &=& -1 \\

i^{\,4k+3} &=& -i

\end{array}

5. 기하학적 해석

6. 응용

일반적으로 다양한 데이터 표현에는 실수가 많이 사용된다. 그러나 사람 수를 세는 데는 쓸모가 없는 분수도 돌의 크기를 비교하는 데는 유용하며, 물체의 무게를 기술하는 데는 쓸모가 없는 음의 수도 빚의 액수를 나타내는 데 필수적이다.^[25] 마찬가지로, 신호 처리, 제어 이론, 전자기학, 양자역학, 지도학 등의 분야를 기술할 때 허수가 필요하게 된다.

6. 1. 공학

6. 2. 과학

6. 3. 컴퓨터 프로그래밍

7. 교육

이차 방정식의 해를 설명하는 과정에서 허수가 종종 도입된다. 이 과정은 다음과 같이 몇 단계로 나누어진다. 먼저 이차 방정식에서 음수의 제곱근이 나타날 수 있음을 인정하고, 이를 나타내는 수로서 허수를 도입한다. 그 후 실수에 허수 단위를 더한 집합을 생각하고, 이 경우에도 실수와 마찬가지로 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있음을 확인한다.^[26]

참조

_[1] 기타
_[2] 서적 Fundamentals of Waves and Oscillations Cambridge University Press
_[3] 웹사이트 Imaginary Number https://mathworld.wo[...] 2020-08-10
_[4] 서적 A Text Book of Mathematics Class XI https://books.google[...] Rastogi Publications
_[5] 서적 Mathematical Analysis: Approximation and Discrete Processes https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[6] 서적 College Algebra: Enhanced Edition https://books.google[...] Cengage Learning
_[7] 서적 Fivefold Symmetry https://books.google[...] World Scientific
_[8] 서적 Complex Numbers: lattice simulation and zeta function applications https://books.google[...] Horwood
_[9] 문서 Descartes, René, Discours de la méthode (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: La Géométrie, book three, p. 380 http://gallica.bnf.f[...]
_[10] 인용 Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent Princeton University Press
_[11] 서적 A History of Non-Euclidean Geometry: Evolution of the Concept of a Geometric Space Springer
_[12] 서적 Electric Power Systems – A Conceptual Introduction https://books.google[...] John Wiley & Sons 2006
_[13] 서적 Clash of Symbols – A Ride Through the Riches of Glyphs Springer Science+Business Media 2018
_[14] 서적 Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality https://books.google[...] Princeton University Press 1999
_[15] 서적 An Imaginary Tale: The Story of "i" [the square root of minus one] https://books.google[...] Princeton University Press
_[16] 기타 なぜ虚数単位iの2乗は-1になるのか?#6.3.2. 虚数の由来 https://xseek-qm.net[...]
_[17] 서적 数学用語と記号ものがたり 裳華房 2003-08-25
_[18] 학술지 HONKWAI KIJI 3 https://doi.org/10.1[...] 日本物理学会、日本数学会
_[19] 서적 Complex Analysis. McGraw-Hill
_[20] 서적 岩波数学辞典 岩波書店
_[21] 서적 The CRC concise encyclopedia of mathematics CRC Press
_[22] 서적 Encyclopaedia of Mathematics Springer
_[23] 서적 NEW ACTION LEGEND数学2+B―思考と戦略 数列・ベクトル 東京書籍 2019-02-01
_[24] Mathworld Complex Number
_[25] 서적 Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent Princeton University Press
_[26] 학술지 AspectsとGrundvorstellungenを視点とした複素数の定義活動の再考 https://doi.org/10.1[...] 日本科学教育学会 2021-12
_[27] 서적 数学用語と記号ものがたり https://ndlsearch.nd[...] 裳華房 2003
_[28] 기타
_[29] 기타
_[30] 기타
_[31] 서적 알기 쉬운 공업 수학 기문사
_[32] 서적 알기 쉬운 공업 수학 기문사
_[33] 서적 꿈꾸는 과학 풀로엮은집
_[34] 서적 대학수학 기전연구사