허수
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1. 개요
허수는 실수가 아닌 복소수를 의미하며, 허수 단위 i (i = √-1)를 사용하여 a + bi (a, b는 실수, b ≠ 0) 형태로 나타낼 수 있다. 허수의 개념은 고대 그리스 시대부터 존재했으나, 16세기 이탈리아 수학자 라파엘 봄벨리에 의해 허수 단위가 정의되고 복소수의 곱셈 규칙이 정립되었다. 르네 데카르트는 허수를 비하하는 의미로 사용했으나, 레온하르트 오일러와 카를 프리드리히 가우스를 거치며 널리 알려졌다. 허수는 전기 공학, 신호 처리, 양자역학 등 다양한 분야에서 활용되며, 일부 프로그래밍 언어에서도 복소수 연산을 지원한다. 한국에서는 개화기 이후 서양 수학의 도입과 함께 허수 개념이 알려졌으며, 현재 대한민국의 수학 교육과정에서 이차 방정식의 해를 구하는 과정에서 허수가 도입된다.
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허수 | |
---|---|
개요 | |
![]() | |
정의 | 제곱하면 음수가 되는 수 |
표기 | bi (b는 0이 아닌 실수) |
예시 | 5i −25의 제곱근 |
수학적 특성 | |
허수 단위 | i |
실수와의 관계 | 모든 복소수는 실수 a와 허수 bi의 합 a + bi로 표현 가능 |
곱셈 | 허수에 실수를 곱하면 허수가 됨 |
활용 | |
분야 | 수학 물리학 공학 |
주의사항 | |
음수의 제곱근 | 음수의 제곱근은 허수 단위를 사용하여 표현 |
같이 보기 | |
관련 개념 | 복소수 허수 단위 실수 |
2. 역사
허수의 개념은 고대 그리스 시대부터 존재했지만, 실제 수학적 체계로 발전한 것은 16세기 이후이다. 고대 그리스의 수학자 헤론은 거듭제곱하여 음수가 되는 수에 대한 개념을 기록했다.[7][8]
1572년 이탈리아의 수학자 라파엘 봄벨리는 복소수의 곱셈 규칙을 처음으로 정립하였고, 허수 단위를 정의하였다.[28] 이 개념은 지롤라모 카르다노의 저서에서 더 일찍 등장하기도 했다. 하지만 당시에는 허수와 음수가 제대로 이해되지 않았고, 0처럼 허구적이거나 쓸모없는 것으로 여겨졌다.
르네 데카르트를 포함한 많은 수학자들은 허수의 사용을 받아들이는 데 소극적이었다. 데카르트는 그의 저서 《방법서설》의 부록 〈기하〉(La Géométrie프랑스어)에서 "imaginary"(허수)라는 용어를 비하하는 의미로 사용했다.[9][10]
허수의 사용은 레온하르트 오일러(1707–1783)와 카를 프리드리히 가우스(1777–1855)의 연구에 이르러서야 널리 받아들여졌다. 오일러는 허수 단위 기호로 를 도입하였다. 1799년 카스파르 베셀(1745–1818)은 복소수를 평면상의 점으로 나타내는 기하학적 의미를 처음으로 설명하였다.[11] 1843년, 윌리엄 로언 해밀턴은 평면상의 허수 축 개념을 사원수 허수의 4차원 공간으로 확장했다.[30]
실계수의 삼차 방정식을 근의 공식으로 풀 때, 서로 다른 3개의 실수해를 갖는 경우 허수의 세제곱근이 나타난다. 이는 계수의 가감승제와 멱근만으로는 나타낼 수 없다(환원불능). 데카르트는 1637년에 복소수의 허수를 nombre imaginaire프랑스어("상상의 수")라고 명명했다.[16]
허수를 발견한 사람은 카르다노이며, 1545년의 대수학 책[27]에는 숫자 "10"을, 합이 10이고 곱이 40인 두 수의 쌍으로 나누는 문제가 실려 있다. 카르다노는 이 문제는 불가능하지만 형식적으로 해를 구할 수는 있다고 기록했다.
봄벨리는 1572년의 대수학 책에서 삼차 방정식의 해가 실수임을 증명했다. 그러나 당시에는 0이나 음수조차 가공의 것, 쓸모없는 것으로 생각되었고, 음수의 제곱근인 허수는 더욱 그러했다.
이후, 오일러에 의한 허수 단위 도입 (1770년경), 가우스에 의한 복소 평면의 도입 (1831년 공표), 대수학의 기본 정리의 증명 (1799년)을 거쳐, 점차 많은 수학자, 사람들에게 받아들여지게 되었다.
1843년에 해밀턴은 복소 평면에 또 다른 허수 단위를 더하여 3차원으로 확장하려 시도한 결과, 전부 3개의 허수 단위를 더하여 얻어지는 사원수의 집합이 자연스러운 체계임을 발견했다.
2. 1. 초기 개념
고대 그리스의 수학자 헤론은 거듭제곱하여 음수가 되는 수에 대한 개념을 기록한 바 있다.[7][8] 1572년 이탈리아의 수학자 라파엘 봄벨리는 허수 단위를 정의하였다.[28] 지롤라모 카르다노의 저서에서도 이 개념이 등장했다. 당시 허수와 음수는 제대로 이해되지 않았으며, 한때 0이 그랬던 것처럼 허구적이거나 쓸모없는 것으로 간주되었다.2. 2. 허수 명칭의 등장
르네 데카르트는 《방법서설》의 부록 〈기하〉(La Géométrie프랑스어)에서 '상상의 수(imaginary numbers)'라 불렀는데, 이것이 '허수'라는 이름으로 정착되었다.[28] '허수'라는 용어는 레온하르트 오일러와 카를 프리드리히 가우스에 의해 널리 알려졌다.[9][10]2. 3. 한국에서의 허수 개념 수용
1873년, 중국 수학서 《대수술》(존 프라이어(:zh:傅兰雅), 화형방 저)에서 '허수'로 번역되었다.[17] 1885년, 일본 도쿄수학물리학회 기사에서 'Impossible or Imaginary Quantity'를 '허수'로 번역하였다.[18] 조선 말 개화기 이후 서양 수학이 도입되면서 한국에서도 허수 개념이 알려지기 시작했다.2. 4. 복소수의 발전
1572년 라파엘 봄벨리가 허수 단위를 정의한 이후, 르네 데카르트는 《방법서설》의 부록 〈기하〉(La Géométrie프랑스어)에서 '상상의 수'(imaginary numbers)라고 칭하며 허수라는 이름이 정착되었다.[28] 레온하르트 오일러는 허수 단위 기호로 를 도입하였고, 오일러 공식을 통해 지수함수와 삼각함수의 관계를 밝혔다. 1799년 카스파르 베셀이 복소수의 기하학적 표현을 완성하였다.[29] 1843년 윌리엄 로언 해밀턴은 복소수를 확장하여 사원수 체계를 만들었다.[30]3. 용어 및 정의
허수는 실수가 아닌 복소수를 말한다.[20] 허수 단위 ''i''영어는 제곱하여 -1이 되는 수로 정의된다. 즉, ''i''영어 = √-1 이다. 허수는 a + bi (a, b는 실수, b ≠ 0) 형태로 나타낼 수 있다. 특히, 실수부가 0인 허수를 순허수라고 한다.
영어 'imaginary number'는 보통 허수를 의미하지만, 종종 "제곱한 값이 0 이하의 실수가 되는 복소수"를 나타내는 경우가 있다.[21][22]
3. 1. 한국어 용어
한국어 '허수'는 1873년 중국 수학서 《대수술》(존 프라이어(:zh:傅兰雅), 화형방 저)에서 영어 'imaginary number'를 번역한 것이다.[17] 1885년 일본 도쿄수학물리 학회 기사에서 "Impossible or Imaginary Quantity"를 "허수"로 번역했다.[18]영어 'imaginary number'는 때때로 '제곱하여 0 이하의 실수가 되는 복소수'를 의미하기도 한다.[19]
4. 수학적 성질
허수에는 일반적인 크기 관계를 부여할 수 없다.[23][24] 즉, 복소수체는 순서체가 아니다.
(귀류법으로 증명)
: 허수 단위 i와 실수 사이에 +, ×와 양립하는 전순서가 있다고 가정한다.
: ''i''2 = −1이므로, ''i'' ≠ 0
: ∴ ''i'' > 0 또는 ''i'' < 0
: ''i'' > 0이라면, 양변에 i를 곱하면, −1 > 0이 되어 모순이다.
: ''i'' < 0이라면, 양변에 i를 곱하면, −1 > 0이 되어 모순이다.
: 따라서 i와 실수 사이에 일반적인 크기 관계는 존재하지 않는다.
: 따라서, 허수에도 일반적인 크기 관계는 존재하지 않는다.(증명 종료)
사전식 순서는 전순서이지만, 복소수에 적용하면 +, ×와 양립하지 않는다.
허수 단위 i의 정수 거듭제곱 in은 정수 n을 4로 나눈 나머지를 n mod 4로 나타내면 다음과 같이 간단하게 표현할 수 있다.
: in = in mod 4
즉, k를 정수로 하면 다음이 성립한다.
:
5. 기하학적 해석
기하학적으로 허수는 복소 평면의 수직 축에서 발견되며, 이를 통해 실수 축에 수직으로 표현할 수 있다. 허수를 보는 한 가지 방법은 표준 수직선을 고려하는 것인데, 이는 오른쪽으로 갈수록 크기가 양의 방향으로 증가하고 왼쪽으로 갈수록 크기가 음의 방향으로 증가한다. x-축의 0에서 "양의" 방향이 위로 향하는 y-축을 그릴 수 있다. 그러면 "양의" 허수는 위쪽으로 크기가 증가하고, "음의" 허수는 아래쪽으로 크기가 증가한다. 이 수직 축은 종종 "허수 축"[12]이라고 불리며, 또는 로 표시된다.[13]
이러한 표현에서 와의 곱셈은 원점을 중심으로 반시계 방향으로 90도 회전하는 것에 해당하며, 이는 원의 4분의 1이다. 와의 곱셈은 원점을 중심으로 시계 방향으로 90도 회전하는 것에 해당한다. 마찬가지로, 가 실수인 순수 허수 를 곱하면 원점에 대해 반시계 방향으로 90도 회전하고, 결과값에 만큼 크기를 조정한다. 일 때는 대신 시계 방향으로 90도 회전하고 만큼 크기를 조정하는 것으로 설명할 수 있다.[14]
왼쪽 그림과 같이 실수부는 같고 허수부의 부호만 반대인 와 를 생각할 수 있다. 이를 켤레복소수(복소켤레)라고 한다. 켤레 복소수는 극좌표에서 반지름이 같고 x축에 대해 대칭인 점이 된다.[32]
실수 직선을 확장한 복소 평면에서 순허수는 허축 상의 원점을 제외한 부분의 점이다. 허수는 실수와 순허수의 선형 결합이다. 허수 전체는 복소 평면에서 실수축을 제외한 부분이다.
허수의 도입으로 를 작용시키는 것은 복소 평면상에서 원점을 중심으로 한 회전에 해당한다. 에서 허수 단위 는 복소 평면상에서 실수 단위 을 원점 중심으로 회전한 위치에 있다.
6. 응용
일반적으로 다양한 데이터 표현에는 실수가 많이 사용된다. 그러나 사람 수를 세는 데는 쓸모가 없는 분수도 돌의 크기를 비교하는 데는 유용하며, 물체의 무게를 기술하는 데는 쓸모가 없는 음의 수도 빚의 액수를 나타내는 데 필수적이다.[25] 마찬가지로, 신호 처리, 제어 이론, 전자기학, 양자역학, 지도학 등의 분야를 기술할 때 허수가 필요하게 된다.
6. 1. 공학
전기 공학에서 전지가 생성하는 직류 전압은 +12볼트나 -12볼트 등과 같이 실수로 나타내지만, 가정용 교류 전압을 나타내려면 진폭과 위상이라는 두 가지 매개변수가 필요하다. 이러한 2차원 값은 수학적으로 평면 벡터 또는 복소수로 나타낼 수 있다. 벡터 표현에서는 직교 좌표계를 통상 X 성분과 Y 성분으로 나타낸다. 한편, 페이저 표시법이라고 불리는 복소수 표현에서는 실수부와 허수부로 나타낸다. 예를 들어 실수부가 0이고 허수부가 120인 순허수는 위상이 90도이고 120볼트의 전압을 의미한다.[25]전기 관련 분야에서 ''i''는 전류를 나타내기 때문에 허수 단위에는 ''j''가 사용된다.[25] 신호 처리, 제어 이론, 전자기학 등의 분야를 기술할 때 허수가 필요하게 된다.
6. 2. 과학
일반적으로 다양한 데이터 표현에는 실수가 많이 사용되지만, 신호 처리, 제어 이론, 전자기학, 양자역학, 지도학 등의 분야를 기술할 때는 허수가 필요하다.[25]6. 3. 컴퓨터 프로그래밍
일부 프로그래밍 언어는 복소수 연산을 지원한다. 예를 들어 파이썬에서는 허수 단위를 j를 사용하여 복소수를 표현한다.```
(5+2j) * (8+5j)
(30+41j)
```
MATLAB에서는 다음과 같이 표현한다.
```
(5+2j) * (8+5j)
ans =
30.0000 +41.0000i
(5+i*2) * (8+5j)
ans =
30.0000 +41.0000i
```
여기서 `*`는 곱셈 기호이고, `>` 기호는 입력을 나타내는 프롬프트이다.[25]
7. 교육
이차 방정식의 해를 설명하는 과정에서 허수가 종종 도입된다. 이 과정은 다음과 같이 몇 단계로 나누어진다. 먼저 이차 방정식에서 음수의 제곱근이 나타날 수 있음을 인정하고, 이를 나타내는 수로서 허수를 도입한다. 그 후 실수에 허수 단위를 더한 집합을 생각하고, 이 경우에도 실수와 마찬가지로 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있음을 확인한다.[26]
참조
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기전연구사
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