알라디-그린스테드 상수

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1. 개요
2. 팩토리얼과 소수
- 2.1. 예시
3. 함수 α(n)
- 3.1. 정의
4. α(n)의 극한값
- 4.1. 극한값 계산
참조

1. 개요

알라디-그린스테드 상수는 팩토리얼과 소수의 관계를 설명하는 수학적 개념이다. 함수 α(n)을 통해 팩토리얼을 소수의 거듭제곱 형태로 재정렬하고, 이 과정에서 나타나는 극한값을 계산한다. 이 함수의 극한값은 뤼로스 상수와 리만 제타 함수를 사용하여 표현할 수 있으며, 약 0.8093940205...에 접근한다.

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알라디-그린스테드 상수
지도 정보
기본 정보
이름	알라디-그린스테드 상수
분야	수학
정의	모든 양의 정수에 대한 다음 표현식의 값: Σ (-1)ⁿ⁻¹ / (n * ζ(n)) = 1 - 1/(2ζ(2)) + 1/(3ζ(3)) - ... 여기서 ζ(n)은 리만 제타 함수임.
값	0.26854499794...
표기	A
다른 이름	알라디 상수, 알라디-그린스테드 상수
수학적 속성
성질	초월수인지 여부는 알려지지 않음.

2. 팩토리얼과 소수

$n!$ 의 몇몇 초기 팩토리얼을 고려해본다.

가장 작은 소수로부터 자연수의 순서로 대상 정수 $n$ 의 개수대로 재정렬한다.

$4! = 4 \cdot 3!$

$\;\;\; = 4 \cdot 3 \cdot 2$

$\;\;\; = 2^2 \cdot 3 \cdot 2$

$\;\;\; = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$

$5! = 5 \cdot 4!$

$\;\;\; = 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2^2$

$\;\;\; = 2 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5$

$\;\;\; = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot3 \cdot 5$

$6! = 6 \cdot 5!$

$\;\;\; = 2 \cdot 3 \cdot 5!$

$\;\;\; = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5$

$\;\;\; = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5$

$\;\;\; = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$

$7! = 7 \cdot 6!$

$\;\;\; =7 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5$

$\;\;\; = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7$

$\;\;\; = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot7$

$8! = 8 \cdot 7!$

$\;\;\; = 2^3 \cdot 7!$

$\;\;\; = 2^3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7$

$\;\;\; = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3$

$\;\;\; = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot7 \cdot 8$

$9! = 9 \cdot 8!$

$\;\;\; = 3^2 \cdot 8!$

$\;\;\; = 3^2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3$

$\;\;\; = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3 \cdot 3^2$

$\;\;\; = 3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3$

$\;\;\; = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 5 \cdot7 \cdot 8$

$10! = 10 \cdot 9!$

$\;\;\; = 2 \cdot 5 \cdot 9!$

$\;\;\; = 2 \cdot 5 \cdot 3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3$

$\;\;\; = 3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3$

$\;\;\; = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3$

$\;\;\; = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3 \cdot 2^3$

$\;\;\; = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot7 \cdot 8 \cdot 8$

팩토리얼 정보가 소수의 제곱의 정보로 이동된다.^[4]

: $\alpha(n) =$

: $p=m(n)=max \left( P^{begin} \right)$

: $p$ 는 $n!$ 에서 재정렬후 가장 처음에오는 수의 소수제곱정보의 그 소수값 $P$ 이다.^[5]^[6]^[7]

2. 1. 예시

4!

부터

10!

까지의 팩토리얼을 소수의 곱으로 나타내면 다음과 같다.^[4]

:

4! = 4 \cdot 3!

:

\;\;\; = 4 \cdot 3 \cdot 2

:

\;\;\; = 2^2 \cdot 3 \cdot 2

:

\;\;\; =  2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

:

5! = 5 \cdot 4!

:

\;\;\; = 5 \cdot  2 \cdot 3 \cdot 2^2

:

\;\;\; =   2 \cdot 3 \cdot 2^2  \cdot 5

:

\;\;\; =   2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot3   \cdot 5

:

6! = 6 \cdot 5!

:

\;\;\; = 2 \cdot 3 \cdot 5!

:

\;\;\; = 2 \cdot 3  \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2^2  \cdot 5

:

\;\;\; = 2 \cdot 2  \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2  \cdot 5

:

\;\;\; = 2 \cdot 2  \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4  \cdot 5

:

7! = 7 \cdot 6!

:

\;\;\; =7 \cdot 2 \cdot 2  \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2  \cdot 5

:

\;\;\; = 2 \cdot 2  \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2  \cdot 5  \cdot7

:

\;\;\; = 2 \cdot 2  \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4  \cdot 5  \cdot7

:

8! = 8 \cdot 7!

:

\;\;\; = 2^3  \cdot 7!

:

\;\;\; = 2^3 \cdot 2 \cdot 2  \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2  \cdot 5  \cdot7

:

\;\;\; = 2 \cdot 2  \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2  \cdot 5  \cdot7   \cdot 2^3

:

\;\;\; = 2 \cdot 2  \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4  \cdot 5  \cdot7   \cdot 8

:

9! = 9 \cdot 8!

:

\;\;\; = 3^2  \cdot 8!

:

\;\;\; = 3^2  \cdot 2 \cdot 2  \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2  \cdot 5  \cdot7   \cdot 2^3

:

\;\;\; =  2 \cdot 2  \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2  \cdot 5  \cdot7   \cdot 2^3   \cdot 3^2

:

\;\;\; =     3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^2  \cdot 5  \cdot7   \cdot 2^3

:

\;\;\; =      3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4  \cdot 5  \cdot7   \cdot 8

:

10! = 10 \cdot 9!

:

\;\;\; = 2 \cdot 5   \cdot 9!

:

\;\;\; = 2 \cdot 5 \cdot 3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^2  \cdot 5  \cdot7   \cdot 2^3

:

\;\;\; = 3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5  \cdot7   \cdot 2^3

:

\;\;\; = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot 5 \cdot 5  \cdot7   \cdot 2^3

:

\;\;\; = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2  \cdot 5 \cdot 5 \cdot7   \cdot 2^3 \cdot 2^3

:

\;\;\; = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4  \cdot 5 \cdot 5 \cdot7   \cdot 8 \cdot 8

이 과정에서 팩토리얼 정보가 소수의 제곱 정보로 이동하는 것을 보여준다.^[4]

:

\alpha(n) =

:

p=m(n)=max \left( P^{begin} \right)

:

p

는

n!

에서 재정렬후 가장 처음에오는 수의 소수제곱정보의 그 소수값

P

이다.^[5]^[6]^[7]

3. 함수 α(n)

$n!$ 의 몇몇 초기 팩토리얼을 고려해본다. 가장 작은 소수로부터 자연수의 순서로 대상 정수 $n$ 의 개수대로 재정렬한다.^[4]

: $4! = 4 \cdot 3! = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 2^2 \cdot 3 \cdot 2 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$

: $5! = 5 \cdot 4! = 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2^2 = 2 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot3 \cdot 5$

: $6! = 6 \cdot 5! = 2 \cdot 3 \cdot 5! = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$

: $7! = 7 \cdot 6! =7 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot7$

: $8! = 8 \cdot 7! = 2^3 \cdot 7! = 2^3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot7 \cdot 8$

: $9! = 9 \cdot 8! = 3^2 \cdot 8! = 3^2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3 \cdot 3^2$

: $\;\;\; = 3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 5 \cdot7 \cdot 8$

: $10! = 10 \cdot 9! = 2 \cdot 5 \cdot 9! = 2 \cdot 5 \cdot 3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3 = 3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3$

: $\;\;\; = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot7 \cdot 8 \cdot 8$

팩토리얼 정보가 소수의 제곱의 정보로 이동된다.^[4]

: $\alpha(n) =$

: $p=m(n)=max \left( P^{begin} \right)$

: $p$ 는 $n!$ 에서 재정렬후 가장 처음에오는 수의 소수제곱정보의 그 소수값 $P$ 이다.^[5]^[6]^[7]

3. 1. 정의

n!

의 몇몇 초기 팩토리얼을 고려해본다. 가장 작은 소수로부터 자연수의 순서로 대상 정수

n

의 개수대로 재정렬한다.^[4]

:

4! = 4 \cdot 3! = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 2^2 \cdot 3 \cdot 2 =  2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

:

5! = 5 \cdot 4! = 5 \cdot  2 \cdot 3 \cdot 2^2 =   2 \cdot 3 \cdot 2^2  \cdot 5 =   2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot3   \cdot 5

:

6! = 6 \cdot 5! = 2 \cdot 3 \cdot 5! = 2 \cdot 3  \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2^2  \cdot 5 = 2 \cdot 2  \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2  \cdot 5 = 2 \cdot 2  \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4  \cdot 5

:

7! = 7 \cdot 6! =7 \cdot 2 \cdot 2  \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2  \cdot 5 = 2 \cdot 2  \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2  \cdot 5  \cdot7 = 2 \cdot 2  \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4  \cdot 5  \cdot7

:

8! = 8 \cdot 7! = 2^3  \cdot 7! = 2^3 \cdot 2 \cdot 2  \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2  \cdot 5  \cdot7 = 2 \cdot 2  \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2  \cdot 5  \cdot7   \cdot 2^3 = 2 \cdot 2  \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4  \cdot 5  \cdot7   \cdot 8

:

9! = 9 \cdot 8! = 3^2  \cdot 8! = 3^2  \cdot 2 \cdot 2  \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2  \cdot 5  \cdot7   \cdot 2^3 =  2 \cdot 2  \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2  \cdot 5  \cdot7   \cdot 2^3   \cdot 3^2

:

\;\;\; =     3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^2  \cdot 5  \cdot7   \cdot 2^3 =      3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4  \cdot 5  \cdot7   \cdot 8

:

10! = 10 \cdot 9! = 2 \cdot 5   \cdot 9! = 2 \cdot 5 \cdot 3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^2  \cdot 5  \cdot7   \cdot 2^3 = 3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5  \cdot7   \cdot 2^3

:

\;\;\; = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot 5 \cdot 5  \cdot7   \cdot 2^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2  \cdot 5 \cdot 5 \cdot7   \cdot 2^3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4  \cdot 5 \cdot 5 \cdot7   \cdot 8 \cdot 8

팩토리얼 정보가 소수의 제곱의 정보로 이동된다.^[4]

:

\alpha(n) =

:

p=m(n)=max \left( P^{begin} \right)

:

p

는

n!

에서 재정렬후 가장 처음에오는 수의 소수제곱정보의 그 소수값

P

이다.^[5]^[6]^[7]

4. α(n)의 극한값

$\alpha(8)$ 과 $\alpha(9)$ 의 값은 다음과 같이 계산할 수 있다.

: $\alpha(8) = ==={1\over3}=0.3333\cdots$

: $\alpha(9) = ==={1\over2}=0.5$

: $n$ 이 무한히 커지면서 $\alpha (n)$ 은 $0.80939 40205 ....$ 에 접근한다.

: $\lim_{n\to\infty} \alpha (n)= e^{c-1}= 0.80939 40205 ....(OEIS A085291)$

: $c = \sum_{k=2}^{\infty} {1\over k}\ln \;\;\; c$ 는 뤼로스 상수이다.

: $c = \sum_{n=1}^{\infty} \;\;\; \zeta$ 는 리만 제타 함수이다.

: $\;\;\; = 0.78853 05659 ... (OEIS A085361)$

4. 1. 극한값 계산

\alpha(8)

과

\alpha(9)

의 값은 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

\alpha(8) = ==={1\over3}=0.3333\cdots

:

\alpha(9) = ==={1\over2}=0.5

:

n

이 무한히 커지면서

\alpha (n)

은

0.80939 40205 ....

에 접근한다.

:

\lim_{n\to\infty} \alpha (n)= e^{c-1}= 0.80939 40205 ....(OEIS A085291)

:

c = \sum_{k=2}^{\infty} {1\over k}\ln \;\;\; c

는 뤼로스 상수이다.

:

c = \sum_{n=1}^{\infty}   \;\;\; \zeta

는 리만 제타 함수이다.

:

\;\;\; = 0.78853 05659 ... (OEIS A085361)

참조

_[1] 웹인용 보관된 사본 http://plouffe.fr/si[...] 2018-02-22
_[2] 웹인용 보관된 사본 http://oeis.org/A085[...] 2018-02-22
_[3] 웹사이트 http://mathworld.wol[...]
_[4] 웹사이트 http://mathworld.wol[...]
_[5] OEIS
_[6] OEIS
_[7] OEIS

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