야코비 형식

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 야코비 형식의 조건
3. 예시
4. 응용
참조

1. 개요

야코비 형식은 무게와 지표를 갖는 두 복소 변수(τ와 z)의 함수로 정의되며, 특정 변환 조건과 푸리에 급수 전개를 만족한다. 이 형식은 정수 λ, μ에 대한 주기성 조건과 모듈러 군의 원소에 대한 변환 조건을 따른다. 야코비 형식의 예시로는 야코비 세타 함수, 바이어슈트라스 타원 함수, 지겔 모듈러 형식의 푸리에-야코비 계수가 있으며, 아핀 리 대수 및 가짜 모듈러 형식 이론에도 등장한다. 야코비 형식은 2차원 초등각 장론과 끈 이론 등 이론 물리학 분야에 응용된다.

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야코비 형식

2. 정의

무게(weight^영어)가 ''k''이고 지표(index^영어)가 ''m''인 '''야코비 형식''' $\phi(\tau;z)$ 은 상반평면 $\tau\in\mathbb H$ 와 $z\in\mathbb C$ 두 개의 복소 변수에 대한 함수로, 특정 변환 성질과 푸리에 급수 전개 형태를 만족시켜야 한다. 변수가 ''n''개인 경우 $\phi(\tau;z_1,z_2,\dots)$ 에도 정의할 수 있으며, 이 경우 ''n''을 야코비 형식의 준위(level^영어)라고 한다.

2. 1. 야코비 형식의 조건

무게(weight^영어)가 ''k''이고 지표(index^영어)가 ''m''인 야코비 형식

\phi(\tau;z)

은 상반평면

\tau\in\mathbb H

와

z\in\mathbb C

두 개의 복소 변수에 대한 함수이다. 변수가 ''n''개인 경우

\phi(\tau;z_1,z_2,\dots)

에도 정의할 수 있으며, 이 경우 ''n''을 야코비 형식의 준위(level^영어)라고 한다. 야코비 형식은 다음 세 가지 조건을 만족시킨다.

변환 조건
주기성 조건
푸리에 급수 전개

2. 1. 1. 변환 조건

레벨 1, 가중치 ''k'', 지수 ''m''의 야코비 형식은 두 복소 변수(상반 평면에 있는 τ)의 함수

\phi(\tau,z)

로서 다음과 같은 변환 조건을 만족한다.

:

\phi\left(\frac{a\tau+b}{c\tau+d},\frac{z}{c\tau+d}\right) = (c\tau+d)^ke^{\frac{2\pi i mcz^2}{c\tau+d}}\phi(\tau,z)

(

\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\operatorname{SL}_2(\mathbb Z)

)

:임의의 정수

\lambda,\mu

에 대하여,

\phi(\tau,z+\lambda\tau+\mu) = e^{-2\pi i m(\lambda^2\tau+2\lambda z)}\phi(\tau,z)

2. 1. 2. 주기성 조건

임의의 정수

\lambda

,

\mu

에 대하여,

\phi(\tau,z+\lambda\tau+\mu) = e^{-2\pi i m(\lambda^2\tau+2\lambda z)}\phi(\tau,z)

이다. 이는 함수가 두 변수에 대해 특정 주기성을 가짐을 의미한다.

2. 1. 3. 푸리에 급수 전개

\phi

는 다음과 같은 푸리에 급수를 갖는다.

::

\phi(\tau,z) = \sum_{n\ge 0} \sum_{r^2\le 4mn} c(n,r)e^{2\pi i (n\tau+rz)}.

레벨 1, 가중치 ''k'', 지수 ''m''의 야코비 형식도 위와 같은 푸리에 전개를 갖는다.

3. 예시

야코비 세타 함수, 바이어슈트라스 ℘ 함수, 종수 2인 지겔 모듈러 형식의 푸리에-야코비 계수 등이 야코비 형식의 예시이다. 아핀 리 대수나 가짜 모듈러 형식 이론에서도 야코비 형식이 나타난다.

3. 1. 1변수 야코비 형식

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3. 1. 1. 야코비 세타 함수

준위가 1(2변수)인 경우, 야코비 세타 함수와 바이어슈트라스 타원함수가 대표적인 예이다. 또한, 종수가 2인 지겔 모듈러 형식의 푸리에-야코비 계수 또한 2변수 야코비 형식이다.

더 많은 변수의 야코비 형식의 경우, 아핀 리 대수나 가짜 모듈러 형식(mock modular form)의 이론에 등장한다. 메로모픽 야코비 형식은 가짜 모듈 형식 이론에서 나타난다.

3. 1. 2. 바이어슈트라스 타원 함수

준위가 1(2변수)인 경우, 야코비 세타 함수와 바이어슈트라스 타원함수가 대표적인 예이다. 바이어슈트라스 ℘ 함수도 그 예 중 하나이다.

3. 2. 2변수 야코비 형식

2변수 야코비 형식은 아직 충분히 발전되지 않았다.

3. 2. 1. 지겔 모듈러 형식의 푸리에-야코비 계수

종수가 2인 지겔 모듈러 형식의 푸리에-야코비 계수는 2변수 야코비 형식이다.^[1]

두 변수에서의 예시로는 야코비 세타 함수, 바이어슈트라스 ℘ 함수 등이 있다.^[1]

3. 3. 다변수 야코비 형식

아핀 리 대수나 가짜 모듈러 형식 이론에서 야코비 형식이 등장한다. 2개 이상의 변수를 갖는 야코비 형식의 예시로는 아핀 Kac–Moody 대수의 몇몇 기약 최고 가중 표현의 문자가 있다. 메로모픽 야코비 형식은 가짜 모듈 형식 이론에서 나타난다.^[1]

3. 3. 1. 아핀 리 대수

아핀 리 대수나 가짜 모듈러 형식(mock modular form) 이론에서 야코비 형식이 등장한다. 2개 이상의 변수를 갖는 야코비 형식의 예시로는 아핀 Kac–Moody 대수의 몇몇 기약 최고 가중 표현의 문자가 있다. 메로모픽 야코비 형식은 가짜 모듈 형식 이론에서 나타난다.^[1]

3. 3. 2. 가짜 모듈러 형식

가짜 모듈러 형식 이론에서 나타난다.^[1] 메로모픽 야코비 형식은 이 이론에서 찾을 수 있다.

4. 응용

야코비 형식은 이론물리학, 특히 2차원 𝒩=2 초등각 장론과 끈 이론에서 등장한다.^[1]^[2]

참조

_[1] 논문 Quantum black holes, wall crossing, and mock modular forms 2012
_[2] 논문 Jacobi forms of higher index and paramodular groups in $\mathcal N=2$ , $D=4$ compactifications of string theory 2013

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