바이어슈트라스 타원함수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 격자합
- 2.2. 미분 방정식
3. 성질
4. 타원곡선과의 관계
5. 야코비 타원함수와의 관계
6. 역사
7. 불변량
- 7.1. 특별한 경우
8. 세타 함수 표현
9. 응용
참조

1. 개요

바이어슈트라스 타원 함수는 복소수 평면에서 정의되는 타원 함수로, 주기 격자에 의해 생성된 복소수 평면에서 2차 극점을 갖는다. 두 복소수 ω₁, ω₂로 정의되거나 상반 평면의 모듈러스 τ를 사용하여 정의할 수 있으며, 타원 함수와 미분 방정식을 만족한다. 이 함수는 타원 곡선과 밀접한 관련이 있으며, 야코비 타원 함수로 표현될 수도 있다. 바이어슈트라스 타원 함수의 역함수는 타원 적분으로 표현되며, 타원 곡선의 매개변수화에 사용되는 등 다양한 분야에 응용된다.

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바이어슈트라스 타원함수
개요
복소 평면 상의 바이어슈트라스 타원 함수
정의	℘(z) = 1/z² + Σ' [1/(z - ω)² - 1/ω²]
변수	z: 복소 변수 ω: 주기 격자의 원소
관련 개념	타원 함수, 타원 곡선, 모듈러 형식
상세 정보
수학 분야	복소 해석학, 타원 함수론
성질	짝함수, 두 개의 기본 주기를 가짐
특이점	주기 격자점에서의 2차 극점
영점	(격자의 대칭성을 고려하여) 주기 영역 내에서 2개
주기
기본 주기	두 개의 복소수 ω₁과 ω₂ (비율이 실수 아님)
주기 격자	Λ = {mω₁ + nω₂ \| m, n ∈ ℤ}
불변량
g₂	60 Σ' ω⁻⁴
g₃	140 Σ' ω⁻⁶
미분 방정식
방정식	(℘'(z))² = 4℘(z)³ - g₂℘(z) - g₃
해	℘(z)
관련 함수
제타 함수	ζ(z) = 1/z - ∫ [℘(z) - 1/z²] dz
시그마 함수	σ(z) = z ∏' [1 - z/ω] exp(z/ω + (1/2)(z/ω)²)
응용
응용 분야	암호학, 수학, 물리학

2. 정의

바이어슈트라스 타원함수 $\wp(z;\omega_1,\omega_2)$ 는 복소 변수 ''z''와 주기 격자 $\Lambda$ 에 대해 정의되는 함수이다. 이 함수는 격자합을 통해 정의하거나, 이 함수가 만족하는 미분 방정식을 통해 정의할 수 있다.

바이어슈트라스 타원 함수는 타원 적분의 역함수로도 볼 수 있다. 타원 적분은 다음과 같이 정의된다.

: $u(z) = \int_z^\infty \frac{ds}{\sqrt{4s^3-g_2s-g_3}}.$

이 적분 함수의 역함수 $u^{-1}$ 을 복소 평면으로 확장하면 바이어슈트라스 타원함수 $\wp$ 함수와 같아진다.^[3]

2. 1. 격자합

두 복소수

\omega_1, \omega_2 \in \mathbb{C}

가

\mathbb{R}

상에서 선형 독립이고,

\Lambda := \mathbb{Z}\omega_1 + \mathbb{Z}\omega_2 := \{m\omega_1 + n\omega_2 : m, n \in \mathbb{Z}\}

를 이 수들에 의해 생성된 주기 격자라고 할 때, 바이어슈트라스 타원함수는 다음과 같이 정의된다.

:

\wp(z,\omega_1,\omega_2) := \wp(z) = \frac{1}{z^2} + \sum_{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}} \left( \frac{1}{(z-\lambda)^2} - \frac{1}{\lambda^2} \right).

이 급수는 복소수 토러스

\mathbb{C} \setminus \Lambda

에서 국소적으로 균등 절대 수렴한다.

격자의 생성자로 상반 평면

\mathbb{H} := \{z \in \mathbb{C} : \operatorname{Im}(z) > 0\}

에서

1

과

\tau

를 사용하는 것이 일반적이다.

\omega_1

으로 나누면 격자

\mathbb{Z}\omega_1 + \mathbb{Z}\omega_2

는

\tau = \tfrac{\omega_2}{\omega_1}

인 격자

\mathbb{Z} + \mathbb{Z}\tau

로 동형 사상된다.

-\tau

를

\tau

대신 사용할 수 있으므로 일반성을 잃지 않고

\tau \in \mathbb{H}

라고 가정할 수 있으며, 그런 다음

\wp(z,\tau) := \wp(z, 1,\tau)

를 정의한다.

주기쌍을 사용하여 정의하면 다음과 같다.

:

\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+\sum_{n^2+m^2 \ne 0}\left\{\frac{1}{(z+m\omega_1+n\omega_2)^2}-\frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2}\right\}

이때, 주기 격자

\Lambda=\{m\omega_1+n\omega_2:m,n\in\mathbb{Z}\}

을 생각하면, 격자의 임의의 생성쌍에 대해

\wp(z;\Lambda)=\wp(z;\omega_1,\omega_2)

는 복소 변수와 격자의 함수로서 바이어슈트라스 타원함수를 정의한다.

상반 평면에 속하는 복소수

\tau

에 대해, 다음과 같이 정의한다.

:

\wp(z;\tau) = \wp(z;1,\tau) = \frac{1}{z^2} + \sum_{n^2+m^2 \ne 0}\left\{{1 \over (z+m+n\tau)^2} - {1 \over (m+n\tau)^2}\right\}

위의 합은 -2-차 동차 합이다. 이 함수를 사용하면, 앞서 언급한 주기쌍에 대한 함수는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\wp(z;\omega_1,\omega_2) = \frac{\wp(\frac{z}{\omega_1}; \frac{\omega_2}{\omega_1})}{\omega_1^2}

2. 2. 미분 방정식

바이어슈트라스 타원함수는 다음과 같은 미분 방정식을 만족시킨다.^[5]

:

\wp'(z;\omega_1,\omega_2)^2=4\wp(z;\omega_1,\omega_2)^3-g_2(\omega_1,\omega_2)\wp(z;\omega_1,\omega_2)-g_3(\omega_1,\omega_2)

여기서

\wp'(z;\omega_1,\omega_2u)

는

z

에 대한 편미분이다.

g_2

와

g_3

는 '''타원 불변량'''(elliptic invariant^영어)이라고 불리는 모듈러 형식이며, 이는 주기

(\omega_1,\omega_2)

와 다음과 같은 관계를 가진다.

:

g_2(\omega_1,\omega_2)=60\sum_{(m,n)\ne(0,0)}(m\omega_1+n\omega_2)^{-4}

:

g_3(\omega_1,\omega_2)=140\sum_{(m,n)\ne(0,0)}(m\omega_1+n\omega_2)^{-6}

이는 타원곡선의 방정식이다.

g_2=60G_4

와

g_3=140G_6

으로 설정하면

\wp

함수는 다음 미분 방정식을 만족한다.^[5]

:

\wp'^2(z) = 4\wp ^3(z)-g_2\wp(z)-g_3.

이 관계는

\wp

와

\wp'

의 거듭제곱의 선형 결합을 형성하여

z=0

에서 극점을 제거함으로써 확인할 수 있다. 이는 리우빌 정리에 의해 상수가 되어야 하는 정칙 타원 함수를 생성한다.^[5]

3. 성질

바이어슈트라스 타원함수는 타원함수이므로 이중 주기성을 가지며, 짝함수이다. 그 도함수는 홀함수이다.

바이어슈트라스 함수 ℘는 복소 평면상의 유형 함수로, 각 격자점에서 2차 극을 갖는다. 주어진 주기를 갖는 이중 주기 유형 함수는 타원 곡선에 부속된 대수 함수체를 정의하는데, 이 체는

: $\mathbb{C}(\wp, \wp')$

이므로, 그러한 함수는 바이어슈트라스 함수와 그 도함수에 관한 유리 함수가 된다.

단독의 주기 평행사변형을 토러스 (도넛 모양의 리만 곡면)에 감을 수 있으므로, 주어진 주기 쌍에 부속된 타원 함수를 이 리만 곡면상의 함수로 간주할 수도 있다.

바이어슈트라스 이론에는 바이어슈트라스 제타 함수라는 것도 있는데, 이는 바이어슈트라스 함수 ℘의 부정 적분으로, 이중 주기 함수가 되지 않는다. 또한 바이어슈트라스 제타를 로그 도함수로 하는, 바이어슈트라스 시그마 함수라고 불리는 세타 함수도 있다. 이 시그마 함수는 임의의 주기점에 영점을 가지며 (그 외에 영점을 갖지 않음), 야코비 타원 함수를 사용하여 나타낼 수도 있다. 이를 통해 바이어슈트라스 타원 함수와 야코비 타원 함수 사이의 상호 변환이 가능하다.

바이어슈트라스 시그마는 전체 함수이며, J.E.리틀우드의 '''랜덤 전체 함수'''론에서 "전형적"인 함수로서의 역할을 갖는다.

3. 1. 주기성

바이어슈트라스 타원함수는 타원함수이므로 주기성을 가진다.^[5] 임의의 격자 벡터 λ에 대해,

\wp(z + \lambda) = \wp(z)

가 성립한다. 즉, 임의의

n_1,n_2\in\mathbb Z

에 대하여, 다음이 성립한다.

:

\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\wp(z+n_1\omega_1+n_2\omega_2;\omega_1,\omega_2)

3. 2. 짝함수와 홀함수

바이어슈트라스 타원함수는 짝함수이며, 그 도함수는 홀함수이다. 즉, 모든

z \in \mathbb{C} \setminus \Lambda

에 대해

\wp(z)=\wp(-z)

이며, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\begin{align}\wp(-z) & =\frac{1}{(-z)^2} + \sum_{\lambda\in\Lambda\setminus\{0\}}\left(\frac{1}{(-z-\lambda)^2}-\frac{1}{\lambda^2}\right) \\& =\frac{1}{z^2}+\sum_{\lambda\in\Lambda\setminus\{0\}}\left(\frac{1}{(z+\lambda)^2}-\frac{1}{\lambda^2}\right) \\& =\frac{1}{z^2}+\sum_{\lambda\in\Lambda\setminus\{0\}}\left(\frac{1}{(z-\lambda)^2}-\frac{1}{\lambda^2}\right)=\wp(z).\end{align}

두 번째 등식은

\{-\lambda:\lambda \in \Lambda\}=\Lambda

이기 때문에 성립한다. 합이 절대적으로 수렴하므로 이 재배열은 극한을 변경하지 않는다.

바이어슈트라스 타원함수의 도함수는 다음과 같다.^[5]

:

\wp'(z)=-2\sum_{\lambda \in \Lambda}\frac1{(z-\lambda)^3}.

3. 3. 덧셈 공식

삼각함수나 야코비 타원함수와 마찬가지로, 바이어슈트라스 타원함수는 다음과 같은 덧셈 공식(addition formula^영어)을 만족시킨다.^[19]

:

\wp(z+w)=\frac14 \left[\frac{\wp'(z)-\wp'(w)}{\wp(z)-\wp(w)}\right]^2-\wp(z)-\wp(w).

만약

z=y

인 경우, 위 공식에 극한을 취해 다음과 같은 공식을 얻는다.

:

\wp(2z)=\frac14\left(\frac{\wp''(z)}{\wp'(z)}\right)^2-2\wp(z)

이 공식들은 또한 이전 섹션에서와 같이 타원 곡선

\bar C_{g_2,g_3}^\mathbb{C}

와 사상

{\varphi}:\mathbb{C}/\Lambda\to\bar C_{g_2,g_3}^\mathbb{C}

를 함께 고려하면 기하학적 해석을 갖는다.

(\mathbb{C}/\Lambda,+)

의 군 구조는 곡선

\bar C_{g_2,g_3}^\mathbb{C}

로 옮겨지며, 그곳에서 기하학적으로 해석될 수 있다.

세 개의 쌍으로 다른 점

a, b, c\in\bar C_{g_2,g_3}^\mathbb{C}

의 합이 0이 되려면, 이 점들이

\mathbb{P}_\mathbb{C}^2

에서 동일한 직선 위에 있어야 한다.^[20]

이것은 다음과 동치이다:^[21]

:

\det\left(\begin{array}{rrr}1&\wp(u+v)&-\wp'(u+v)\\1&\wp(v)&\wp'(v)\\1&\wp(u)&\wp'(u)\\\end{array}\right) =0 ,

여기서

\wp(u) = a

,

\wp(v)=b

이며

u,v\notin\Lambda

이다.

페이 함수의 몇 가지 성질은 다음과 같다.

:

\begin{vmatrix}\wp(z) & \wp'(z) & 1\\\wp(y) & \wp'(y) & 1\\\wp(z+y) & -\wp'(z+y) & 1\end{vmatrix}=0.

이것의 대칭 버전은 ''u'' + ''v'' + ''w'' = 0으로 하여

:

\begin{vmatrix}\wp(u) & \wp'(u) & 1\\\wp(v) & \wp'(v) & 1\\\wp(w) & \wp'(w) & 1\end{vmatrix}=0

으로 쓸 수 있다.

2''z''가 주기[주기 함수]가 아닌 한 '''배수 공식'''은 다음과 같다.

:

\wp(2z)=\frac{1}{4}\left\{\frac{\wp''(z)}{\wp'(z)}\right\}^2-2\wp(z)

3. 4. 분지점

바이어슈트라스 타원함수

\wp(-;\omega_1,\omega_2)

는 타원 곡선

\mathbb C/\langle\omega_1,\omega_2\rangle

에서 리만 구면

\hat{\mathbb C}

로 가는 2겹 분지 피복을 정의한다. 이 경우, 리만-후르비츠 공식에 따라 총 4개의 분지점이 존재하며, 이들은 타원 곡선의 2차 꼬임 부분군이다. 분지점에서의 값들은 (무한대를 제외하고) 통상적으로

e_1,e_2,e_3

이라고 쓰며, 다음과 같다.

:

\widehat\infty=\wp(0;\omega_1,\omega_2)

:

e_1(\omega_1,\omega_2)=\wp(\omega_1/2;\omega_1,\omega_2)

:

e_2(\omega_1,\omega_2)=\wp(\omega_2/2;\omega_1,\omega_2)

:

e_3(\omega_1,\omega_2)=\wp(\omega_1/2+\omega_2/2;\omega_1,\omega_2)

4. 타원곡선과의 관계

바이어슈트라스 타원함수는 타원곡선을 매개변수화하는 데 사용된다. 복소 타원곡선은 바이어슈트라스 타원함수와 그 도함수를 통해 표현할 수 있다.^[1]

: $\varphi(\wp,\wp'): \mathbb{C}/\Lambda\to\bar C_{g_2,g_3}^\mathbb{C}, \quadz \mapsto \begin{cases}\left[\wp(z):\wp'(z):1\right] & z \notin \Lambda \\\left[0:1:0\right] \quad & z \in \Lambda\end{cases}$

여기서 $\bar C_{g_2,g_3}^\mathbb{C} = \{(x,y)\in\mathbb{C}^2:y^2=4x^3-g_2x-g_3\}\cup\{\infin\}\subset \mathbb{C}^{2} \cup \{\infty\} = \mathbb{P}_2(\mathbb{C}).$ 는 복소 사영 평면에서의 3차 곡선(타원 곡선)이다.

사상 $\varphi$ 는 전단사이며, 타원 곡선 $\bar C_{g_2,g_3}^\mathbb{C}$ 를 매개변수화한다.^[17] $\mathbb{C}/\Lambda$ 는 아벨 군이자 위상 공간이며, 몫 위상이 주어진다.

모든 바이어슈트라스 3차 곡선은 이러한 방식으로 주어진다. 즉, $\Delta = g_2^3 - 27g_3^2 \neq 0$ 인 모든 쌍 $g_2,g_3\in\mathbb{C}$ 에 대해 다음을 만족하는 격자 $\mathbb{Z}\omega_1+\mathbb{Z}\omega_2$ 가 존재한다.

: $g_2=g_2(\omega_1,\omega_2)$ 및 $g_3=g_3(\omega_1,\omega_2)$ .^[18]

이는 타원곡선의 방정식 $y^2=4x^3-g_2x-g_3$ 으로 나타낼 수 있다. 즉, 다음과 같은 함수

: $f\colon\mathbb C/\Lambda\to\mathbb{CP}^2$

: $f\colon z\mapsto[1,\wp(z;\tau),\wp'(z;\tau)]$

를 정의하면, 이는 원환면 $\mathbb C/\Lambda$ 로부터 타원곡선으로 가는, 복소다양체의 동형사상을 이룬다. 여기서 $\Lambda$ 는 $\tau$ 에 대한 격자

: $\Lambda=\{m+n\tau\colon m,n\in\mathbb Z\}$

이다. 이에 따라서, 복소 타원곡선은 위상수학적으로 원환면임을 알 수 있다.

$\mathbb{Q}$ 위의 타원 곡선이 $\mathbb{Q}$ 위에서 매개화될 수 있다는 명제는 모듈성 정리로 알려져 있다. 이것은 정수론에서 중요한 정리이며, 앤드루 와일스가 페르마의 마지막 정리를 증명(1995)하는 데 사용되었다.

바이어슈트라스 함수 ℘는 복소 평면상의 유형 함수로, 각 격자점에서 2차 극을 가지며, 1과 τ를 주기로 갖는 이중 주기 함수이다. 즉,

: $\wp(z+1) = \wp(z+\tau) = \wp(z)$

이 성립한다.

이 함수의 ''z''에 대한 도함수는 ℘에 관해 대수적인 관계식

: $\wp'^2 = 4\wp^3 - g_2 \wp - g_3$

을 얻을 수 있다. 여기서 ''g''₂, ''g''₃는 τ에만 의존하여 결정되며, 또한 τ의 모듈러 형식이 된다.

대수 방정식

: $Y^2 = 4 X^3 - g_2 X - g_3$

은 타원 곡선을 정하며, (℘, ℘')이 이 곡선의 매개변수화라는 것을 확인할 수 있다.

5. 야코비 타원함수와의 관계

바이어슈트라스 타원함수는 야코비 타원함수로 표현할 수 있으며, 다음과 같다.^[14]

: $\wp(z)=e_3+\frac{e_1-e_3}{\operatorname{sn}^2(w;m)}=e_2+ \left(e_1-e_3\right) \frac{\operatorname{dn}^2(w;m)}{\operatorname{sn}^{2}(w;m)}= e_{1} + \left( e_1-e_3 \right) \frac{\operatorname{cn}^2(w;m)}{\operatorname{sn}^2(w;m)}$

여기서 $e_1,e_2$ 및 $e_3$ 는 세 개의 근이며, 다음이 성립한다.

: $w=z\sqrt{e_1-e_3}$

: $m=(e_2-e_3)/(e_1-e_3)$

야코비 타원 함수의 모듈러스 ''k''는 다음과 같다.

: $k = \sqrt\frac{e_2 - e_3}{e_1 - e_3}$

그리고 그 인자 ''w''는 다음과 같다.

: $w = z \sqrt{e_1 - e_3}.$

수치 계산을 위해, 야코비 타원 함수를 사용하여 바이어슈트라스 타원 함수를 계산하는 것이 종종 편리하다.

6. 역사

카를 바이어슈트라스가 1862년 베를린 대학교에서의 타원함수에 대한 강의에서 정의하였다. 이는 기존의 야코비 타원함수들의 복잡한 이론을 하나의 함수만을 사용하여 단순화시킨 것이다.

7. 불변량

바이어슈트라스 타원함수는 다음과 같은 미분 방정식을 만족시킨다.^[6]

: $\wp'(z;\omega_1,\omega_2)^2=4\wp(z;\omega_1,\omega_2)^3-g_2(\omega_1,\omega_2)\wp(z;\omega_1,\omega_2)-g_3(\omega_1,\omega_2)$

여기서 $g_2$ 와 $g_3$ 는 '''타원 불변량'''(elliptic invariant^영어)이라고 불리는 모듈러 형식이며, 주기 $(\omega_1,\omega_2)$ 와 다음과 같은 관계를 가진다.

: $g_2(\omega_1,\omega_2)=60\sum_{(m,n)\ne(0,0)}(m\omega_1+n\omega_2)^{-4}$

: $g_3(\omega_1,\omega_2)=140\sum_{(m,n)\ne(0,0)}(m\omega_1+n\omega_2)^{-6}$

이 수치들은 타원곡선 방정식의 계수로 사용된다.

$g_2$ 와 $g_3$ 는 동차 함수이며, 다음과 같은 성질을 갖는다.

: $g_2(\lambda \omega_1, \lambda \omega_2) = \lambda^{-4} g_2(\omega_1, \omega_2)$

: $g_3(\lambda \omega_1, \lambda \omega_2) = \lambda^{-6} g_3(\omega_1, \omega_2)$ ( $\lambda \neq 0$ 일 때)

$\tau=\tfrac{\omega_2}{\omega_1}$ 라고 하고, $g_2(\tau):=g_2(1,\tau)$ , $g_3(\tau):=g_3(1,\tau)$ 와 같이 정의하면, $g_2,g_3$ 는 모듈러 형식이 된다.

$g_2$ 와 $g_3$ 에 대한 푸리에 급수는 다음과 같다.^[8]

: $g_2(\tau)=\frac43\pi^4 \left[ 1+ 240\sum_{k=1}^\infty \sigma_3(k) q^{2k} \right]$

: $g_3(\tau)=\frac{8}{27}\pi^6 \left[ 1- 504\sum_{k=1}^\infty \sigma_5(k) q^{2k} \right]$

여기서 $\sigma_m(k):=\sum_{d\mid{k}}d^m$ 는 약수 함수이고 $q=e^{\pi i\tau}$ 는 노메이다.

''모듈러 판별식'' Δ는 다음과 같이 정의된다.

: $\Delta=g_2^3-27g_3^2.$

이는 가중치 12의 모듈러 형식이다. 즉, 모듈러 군의 작용 하에서 다음과 같이 변환된다.

: $\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) = \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)$

여기서 $a,b,d,c\in\mathbb{Z}$ 이며 ''ad'' − ''bc'' = 1이다.^[9]

펠릭스 클라인의 '''''j''-불변량'''(또는 ''j''-함수)은 다음과 같이 정의된다.

:

j(\tau)=j(1, \tau)=\frac{1728g_2^3(1, \tau)}{\Delta(1, \tau)}

\Delta

의 푸리에 계수에 대해서는 라마누잔 타우 함수를 참조한다.

7. 1. 특별한 경우

불변량 ''g''₂, ''g''₃의 값에 따라 다음과 같은 특별한 경우로 분류된다.

''g''₂ = 0, ''g''₃ = 1일 때: 등비조화 함수
''g''₂ = 1, ''g''₃ = 0일 때: 레므니게이트 타원 함수

8. 세타 함수 표현

Weierstrass elliptic function^영어 $\wp (z,\tau)=\wp (z,1,\omega_2/\omega_1)$ 는 야코비 세타 함수로 나타낼 수 있다.^[15]

: $\wp (z,\tau)=\left(\pi \theta_2(0,q)\theta_3(0,q)\frac{\theta_4(\pi z,q)}{\theta_1(\pi z,q)}\right)^2-\frac{\pi^2}{3}\left(\theta_2^4(0,q)+\theta_3^4(0,q)\right)$

여기서 $q=e^{\pi i\tau}$ 는 노메(nome)이고 $\tau$ 는 주기 비 $(\tau\in\mathbb{H})$ 이다.^[15] 이것은 또한 $\wp (z,\tau)$ 를 계산하기 위한 매우 빠른 알고리즘을 제공한다.

페 함수는 수렴이 빠른 세타 함수를 사용하여 나타내면, 위의 정의에 사용된 급수를 사용하는 것보다 빠르게 계산할 수 있다. 세타 함수에 의한 표시는 다음과 같다.

: $\wp(z; \tau) = \pi^2 \vartheta^2(0;\tau) \vartheta_{10}^2(0;\tau){\vartheta_{01}^2(z;\tau) \over \vartheta_{11}^2(z;\tau)}-{\pi^2 \over {3}}\left[\vartheta^4(0;\tau) + \vartheta_{10}^4(0;\tau)\right]$

$g_2 = -4(e_1e_2+e_2e_3+e_3e_1),\quad g_3 = 4e_1e_2e_3$ 이므로 이것들도 세타 함수를 사용하여 쓸 수 있다. 바이어슈트라스 함수도 세타 함수를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $\wp(z; \tau) = \pi^2 \vartheta^2(0;\tau) \vartheta_{10}^2(0;\tau){\vartheta_{01}^2(z;\tau) \over \vartheta_{11}^2(z;\tau)} + e_2(\tau)$

9. 응용

바이어슈트라스 타원함수와 그 도함수를 사용하여 타원 곡선을 매개변수화할 수 있다. 예를 들어, 단위 원을 사인 함수와 코사인 함수를 통해 매개변수화하는 것과 유사하다. 이때 정의역은 토러스와 위상 동형인 $\mathbb{C}/\Lambda$ 이다.^[1]

타원 함수는 타원 적분의 역함수로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 적분 함수

$u(z) = \int_z^\infty \frac{ds}{\sqrt{4s^3-g_2s-g_3}}$

의 역함수 $u^{-1}$ 는 복소 평면으로 확장하면 바이어슈트라스 타원함수 $\wp$ 와 같다.^[3] 이러한 가역성은 복소 해석에서 이동 특이점으로서 극점만을 허용하는 특정 비선형 미분 방정식을 해결하는 데 사용된다.^[4]

참조

_[1] 서적 Funktionentheorie 1 Springer 2006
_[2] 서적 Real and the complex: a history of analysis in the 19th century 2015
_[3] 서적 Funktionentheorie 1 Springer 2006
_[4] 서적 Complex Variables: Introduction and Applications Cambridge University Press 2003
_[5] 서적 Modular functions and Dirichlet series in number theory Springer-Verlag 1976
_[6] 서적 Modular functions and Dirichlet series in number theory https://www.worldcat[...] Springer-Verlag 1976
_[7] 서적 Modular functions and Dirichlet series in number theory Springer-Verlag 1976
_[8] 서적 Modular functions and Dirichlet series in number theory https://www.worldcat[...] Springer-Verlag 1990
_[9] 서적 Modular functions and Dirichlet series in number theory https://www.worldcat[...] Springer-Verlag 1976
_[10] 서적 Elliptic functions https://www.worldcat[...] Springer-Verlag 1985
_[11] 서적 Funktionentheorie 1 Springer 2006
_[12] 서적 Modular functions and Dirichlet series in number theory Springer-Verlag 1976
_[13] 서적 Elliptic functions Springer-Verlag 1985
_[14] 서적 Mathematical Handbook for Scientists and Engineers McGraw–Hill
_[15] dlmf Weierstrass Elliptic and Modular Functions
_[16] 서적 Elementare Algebraische Geometrie : Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen Vieweg+Teubner Verlag 2012
_[17] 서적 Elementare Algebraische Geometrie : Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen Vieweg+Teubner Verlag 2012
_[18] 서적 Elementare Algebraische Geometrie : Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen Vieweg+Teubner Verlag 2012
_[19] 서적 Funktionentheorie 1 Springer 2006
_[20] 서적 Funktionentheorie 1 Springer 2006
_[21] 서적 Funktionentheorie 1 Springer 2006
_[22] 웹사이트 The letter ℘ Name & origin? https://mathoverflow[...] MathOverflow 2017-08-17
_[23] 웹사이트 Known Anomalies in Unicode Character Names http://unicode.org/n[...] Unicode, Inc. 2017-04-10
_[24] 웹사이트 NameAliases-10.0.0.txt https://www.unicode.[...] Unicode, Inc. 2017-05-06
_[25] 문서 Apostol, Theorem 1.15, p.15
_[26] 문서 Apostol, Theorem 1.18, p.20
_[27] 문서 Apostol, Theorem 3.3, p.51
_[28] 문서 Apostol, Theorem 3.2, p.50
_[29] 문서 Apostol, Theorem 1.19, p.20
_[30] 문서 Apostol, Chapter 1.12, p. 15 では係数1728を乗ぜずに定義している。
_[31] 문서 Apostol, Theorem 1.16, p.17
_[32] 문서 Apostol, Theorem 1.20, p.21
_[33] 문서 [[Abramowitz and Stegun]], p. 629
_[34] 간행물 On the zeros of the Weierstrass ℘-Function
_[35] 서적 Mathematical Handbook for Scientists and Engineers McGraw-Hill

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