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열두제곱근 2

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목차

1. 개요

12제곱근 2는 약 1.0594630943592952645의 값을 가지며, 평균율 음악에서 중요한 역할을 한다. 평균율은 옥타브를 12개의 동일한 반음으로 나누어 음정을 계산하며, 각 음의 음높이는 12제곱근 2의 거듭제곱을 곱하여 결정된다. 이 값은 음정의 주파수 비율을 나타내며, 음악의 피치 조절 및 다양한 음계 연구에도 활용된다. 이 개념은 1580년 시몬 스테빈에 의해 처음 제안되었으며, 1584년 주재욱에 의해 소수점 24자리까지 계산되었다.

2. 값

12제곱근 2의 값은 약 1.0594630943592952645이다.[2] 18/17 ≈ 1.0588와 비슷하다.

반올림하여 소수점 아래 50번째 자리까지 나타낸 값은 다음과 같다.

:1.05946 30943 59295 26456 18252 94946 34170 07792 04317 49419

20자리의 유효 숫자로 나타낸 12제곱근 2는 1.0594630943592952646이다.[2][7][8][9] 정확도가 증가하는 순서대로 분수 근사값은 18/17, 89/84, 196/185, 1657/1564, 18904/17843이 있다.[2]

3. 평균율

 진동수
Hz배율
 계수
(6째 자리까지)A440.0020/121.000000A/B466.1621/121.059463B493.8822/121.122462C523.2523/121.189207C/D554.3724/121.259921D587.3325/121.334839D/E622.2526/121.414213E659.2627/121.498307F698.4628/121.587401F/G739.9929/121.681792G783.99210/121.781797G/A830.61211/121.887748A880.00212/122.000000



한 옥타브 높은 가(A)음은 880 Hz로 원래의 가 음 주파수인 440 Hz의 두배가 된다. 음악적 음정은 주파수의 비율이며, 균등하게 조율된 반음계는 옥타브 (2:1의 비율을 가짐)를 12개의 동일한 부분으로 나눈다. 각 음은 그 아래 음의 주파수보다 21/12배 더 높은 주파수를 갖는다.[3]

이 값을 반음계의 음에 순차적으로 적용하면, 가운데 '''C''' 위의 '''A''' (A4) (주파수가 440 Hz)에서 시작하여 다음과 같은 음고 시퀀스가 생성된다.

음A 440과 관련된 표준 음정 이름주파수
(Hz)		배수계수
(소수점 여섯 자리까지)		순정 율
비교용 비율		센트 단위의
차이 (균등 음율과 순정 율 사이)
A일치440.0020/121.00000010
A/B단2도/반음/반음466.1621/121.059463≈ 16/15+11.73
B장2도/온음/온음493.8822/121.122462≈ 9/8−3.91
C단3도523.2523/121.189207≈ 6/5+15.64
C/D장3도554.3724/121.259921≈ 5/4−13.69
D완전4도587.3325/121.334839≈ 4/3−1.96
D/E증4도/감5도/트라이톤622.2526/121.414213≈ 7/5+17.49
E완전5도659.2627/121.498307≈ 3/2+1.96
F단6도698.4628/121.587401≈ 8/5+13.69
F/G장6도739.9929/121.681792≈ 5/3−15.64
G단7도783.99210/121.781797≈ 16/9+3.91
G/A장7도830.61211/121.887748≈ 15/8−11.73
A옥타브880.00212/122.00000020



마지막 '''A''' (A5: 880 Hz)는 낮은 '''A''' (A4: 440 Hz)의 정확히 두 배의 주파수를 가지며, 즉, 1옥타브 더 높다.

음정은 주파수의 비이기 때문에, 평균율의 반음계는 옥타브 (2:1의 주파수비)를 12등분한다.

이 값을 다(C) 위의 가(A)음 (440 Hz의 주파수를 가지며, A4라고 불림)에서 시작하는 반음계의 음에 연속적으로 적용하면, 다음의 음높이 열을 얻을 수 있다.

음주파수
(Hz)		승수계수
(8자리까지)		근사비
가440.00000020/121.000000001
가/내림나466.16376221/121.05946309≈ 16/15
나493.88330122/121.12246205≈ 9/8
다523.25113123/121.18920712≈ 6/5
다/내림라554.36526224/121.25992105≈ 5/4
라587.32953625/121.33483985≈ 4/3
라/내림마622.25396726/121.41421356≈ 7/5
마659.25511427/121.49830708≈ 3/2
바698.45646328/121.58740105≈ 8/5
바/내림사739.98884529/121.68179283≈ 5/3
사783.990872210/121.78179744≈ 9/5
사/내림가830.609395211/121.88774863≈ 15/8
가880.000000212/122.000000002



마지막의 '''가''' (A5: 880 Hz)는 낮은 쪽의 '''가''' (A4: 440 Hz)의 정확히 2배의 주파수를 갖는다. 즉 1옥타브 높다.

3. 1. 평균율 음계표

음정은 주파수의 비이다. 평균율의 반음계는 옥타브 (2:1의 주파수비)를 12등분한다.

다(C) 위의 가(A)음 (440 Hz의 주파수를 가지며, A4라고 불림)에서 시작하는 반음계의 음에 이 값을 연속적으로 적용하면, 다음과 같은 음높이 열을 얻을 수 있다.

음주파수
(Hz)		승수계수
(8자리까지)		근사비
가440.00000020/121.000000001
가/내림나466.16376221/121.05946309≈ 16/15
나493.88330122/121.12246205≈ 9/8
다523.25113123/121.18920712≈ 6/5
다/내림라554.36526224/121.25992105≈ 5/4
라587.32953625/121.33483985≈ 4/3
라/내림마622.25396726/121.41421356≈ 7/5
마659.25511427/121.49830708≈ 3/2
바698.45646328/121.58740105≈ 8/5
바/내림사739.98884529/121.68179283≈ 5/3
사783.990872210/121.78179744≈ 9/5
사/내림가830.609395211/121.88774863≈ 15/8
가880.000000212/122.000000002



마지막의 '''가''' (A5: 880 Hz)는 낮은 쪽의 '''가''' (A4: 440 Hz)의 정확히 2배의 주파수를 갖는다. 즉 1옥타브 높다.

3. 2. 다른 조율 음계

다른 조율 음계는 약간 다른 음정 비율을 사용한다. 순정률 또는 피타고라스 조율 완전 5도는 3/2이며, 평균율 완전 5도와 순정률 완전 5도의 차이는 그래드로, 피타고라스 콤마의 12제곱근({\displaystyle {\sqrt[{12}]{531441/524288}}})이다. 평균율 볼렌-피어스 음계는 3의 13제곱근({\displaystyle {\sqrt[{13}]{3}}}) 음정을 사용한다. 슈톡하우젠의 ''Studie II''(1954)는 5의 25제곱근({\displaystyle {\sqrt[{25}]{5}}})을 사용하여, 5×5 부분으로 나뉜 복합적인 장3도를 사용한다. 델타 음계는 ≈{\displaystyle {\sqrt[{50}]{3/2}}}을 기반으로 한다. 감마 음계는 ≈{\displaystyle {\sqrt[{20}]{3/2}}}을 기반으로 한다. 베타 음계는 ≈{\displaystyle {\sqrt[{11}]{3/2}}}을 기반으로 한다. 알파 음계는 ≈{\displaystyle {\sqrt[{9}]{3/2}}}을 기반으로 한다.

4. 피치 조정

녹음 재생 속도를 조절하여 피치를 변경할 수 있다. 반음의 주파수 비율이 약 106%(100\sqrt[12]{2} \approx 105.946)이므로 녹음 재생 속도를 6% 증가 또는 감소시키면 피치가 약 반음, 즉 "반 단계"만큼 위 또는 아래로 이동한다. 고급 릴 투 릴 오디오 테이프 레코더는 일반적으로 최대 ±6%의 피치 조절 기능을 갖추고 있으며, 이는 약간 다른 튜닝을 가진 다른 음악 소스(또는 정확한 속도로 작동하지 않는 장비에서 녹음된 경우)에 재생 또는 녹음 피치를 맞추는 데 사용된다. 현대 녹음 스튜디오에서는 디지털 피치 시프트를 사용하여 센트 단위부터 여러 반음까지 피치를 조정한다. 릴 투 릴 조정은 녹음된 사운드의 템포에도 영향을 미치지만, 디지털 시프트는 그렇지 않다.

5. 역사

역사적으로 이 숫자는 1580년 시몬 스테빈에 의해 음악 조율과 관련하여 처음 제안되었다(초안 작성, 1610년 재작성).[4] 1581년 이탈리아 음악가 빈첸초 갈릴레이는 12음 평균율을 제안한 최초의 유럽인일 수 있다.[1] 12제곱근 2는 1584년 중국의 수학자이자 음악가인 주재욱이 주판을 사용하여 소수점 24자리까지 정확하게 계산했다.[1] 이후 1605년경 시몬 스테빈,[1] 1636년 마랭 메르센,[1][5] 1691년 안드레아스 베르크마이스터에 의해 계산되었다.[5]

대한민국에서는 조선시대 세종이 박연과 함께 전통 음악의 기준 음높이를 정립하려는 노력이 있었으며, 이는 평균율과는 다른 독자적인 음계 체계였다. 현대에는 평균율이 널리 쓰이지만, 국악에서는 여전히 전통적인 음계를 기반으로 하는 경우가 많다.

참조

[1] 서적 The Crest of the Peacock Princeton
[2] OEIS Decimal expansion of 12th root of 2
[3] 웹사이트 Equal temperament {{!}} Definition & Facts {{!}} Britannica https://www.britanni[...] 2024-06-03
[4] 서적 The Cambridge History of Western Music Theory https://archive.org/[...] Cambridge University Press
[5] 서적 A Short History of the Chinese People https://books.google[...] Courier
[6] 서적 The Cambridge history of Western music theory Cambridge University Press
[7] OEIS
[8] Wolfram Alpha Wolfram Alpha http://www.wolframal[...]
[9] Sage Sage (数式処理システム) http://sagecell.sage[...]
[10] OEIS
[11] Wolfram Alpha Wolfram Alpha http://www.wolframal[...]
[12] Sage Sage (数式処理システム) http://sagecell.sage[...]


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