유한차분법

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1. 개요

유한차분법은 미분 방정식을 풀기 위한 수치 해석 기법으로, 테일러 정리를 기반으로 하며, 미분 연산을 차분 몫으로 근사하여 해를 구한다. 유한 차분법은 오일러 방법과 같은 다양한 방법으로 분류되며, 전진, 후진, 중앙 차분과 명시적, 묵시적 방법을 포함한다. 유한 차분법은 열 방정식과 라플라스 연산자 등 다양한 분야에 응용되며, SBP-SAT 방법과 같은 기법을 통해 안정성과 정확성을 높일 수 있다. 오차 분석 및 안정성 분석을 통해 방법의 정확성과 수렴성을 평가하며, 국소 절단 오차와 같은 개념이 사용된다.

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유한차분법
개요
분야	수치해석학
목적	미분 방정식의 근사해 계산
관련 개념	테일러 급수 차분 (수학) 보간법 유한 요소법 유한 체적법
설명
정의	미분 연산자를 차분 연산자로 대체하여 미분 방정식을 이산 방정식으로 변환하는 방법
주요 활용	전산 유체 역학 구조 해석 열전달 파동 현상 시뮬레이션
방법
전진 차분법	현재 값과 미래 값의 차이를 사용하여 미분을 근사
후진 차분법	현재 값과 과거 값의 차이를 사용하여 미분을 근사
중앙 차분법	현재 값을 기준으로 양쪽 값의 차이를 사용하여 미분을 근사
장단점
장점	비교적 간단하고 구현 용이
단점	정확도가 낮을 수 있음 수치적 불안정성 문제 발생 가능 격자 간격에 따라 결과가 크게 달라질 수 있음
활용 예시
예시	열 방정식 파동 방정식 나비에-스토크스 방정식
기타
관련 기법	유한 요소법 유한 체적법 스펙트럴 방법

2. 역사적 배경

3. 유한 차분법의 기본 원리

테일러 정리에 따르면, ''n''번 미분 가능한 함수에 대한 테일러 급수 전개는 다음과 같다.

:''f''(''x''₀ + ''h'') = ''f''(''x''₀) + ''f''′(''x''₀)''h''/1! + ''f''⁽²⁾(''x''₀)''h''²/2! + ... + ''f''⁽ⁿ⁾(''x''₀)''h''ⁿ/n! + R_''n''(''x'')

여기서 ''n''!는 ''n''의 계승을 나타내며, ''R''_''n''(''x'')는 차수 ''n''의 테일러 다항식과 원래 함수의 차이를 나타내는 나머지 항이다.

테일러 다항식과 나머지를 잘라서 함수 ''f''의 1차 도함수에 대한 근사를 유도하면 다음과 같다.

:''f''(''x''₀ + ''h'') = ''f''(''x''₀) + ''f''′(''x''₀)''h'' + R₁(''x'')

''h''로 나누면 다음과 같다.

:''f''(''x''₀+''h'')/''h'' = ''f''(''x''₀)/''h'' + ''f''′(''x''₀)+R₁(''x'')/''h''

''f''′(''x''₀)에 대해 풀면 다음과 같다.

:''f''′(''x''₀) = (''f''(''x''₀ + ''h'')-''f''(''x''₀))/''h'' - R₁(''x'')/''h''

R₁(''x'')가 충분히 작다고 가정하면, ''f''의 1차 도함수의 근사는 다음과 같다.

:''f''′(''x''₀) ≈ (''f''(''x''₀+''h'')-''f''(''x''₀))/''h''

이것은 다음과 같은 미분의 정의와 유사하다.

:''f''′(''x''₀)=lim_''h''→0(''f''(''x''₀+''h'')-''f''(''x''₀))/''h''

다만 0으로의 극한이 없다는 점이 다르다.

예를 들어, 다음과 같은 상미분 방정식을 생각해 보자.

: u′(''x'') = 3u(''x'') + 2

이 방정식을 풀기 위한 오일러 방법은 유한 차분 몫

:(u(''x''+''h'') - u(''x''))/''h'' ≈ u′(''x'')

을 사용하여 미분 방정식을 근사한다. 먼저 u′(''x'')를 대입한 다음 약간의 대수 (양변에 h를 곱하고 양변에 u(''x'')를 더함)를 적용하여 다음과 같이 얻는다.

: u(''x''+''h'') ≈ u(''x'') + ''h''(3u(''x'')+2)

마지막 방정식은 유한 차분 방정식이며, 이 방정식을 풀면 미분 방정식에 대한 근사 해를 얻을 수 있다.

가장 간단한 예로서, 다음 1계 상미분 방정식을 생각해보자:

: $u'(x) = 3u(x) + 2 \,$

이것을 풀기 위해, 차분 상

: $\frac{u(x+h) - u(x)}{h} \approx u'(x)\quad (h \to 0)$

를 이용하여

: $u(x+h) = u(x) + h(3u(x)+2) \,$

로 근사한다. 이 방법을 '''오일러 방법'''이라고 한다. 이 마지막 방정식처럼, 미분 방정식의 미분을 차분 상으로 바꾼 것을, '''차분 방정식'''(difference equation)이라고 부른다.

3. 1. 테일러 급수와 유한 차분

테일러 정리에 따르면, ''n''번 미분 가능한 함수에 대한 테일러 급수 전개는 다음과 같다.

:''f''(''x''₀ + ''h'') = ''f''(''x''₀) + ''f''′(''x''₀)''h''/1! + ''f''⁽²⁾(''x''₀)''h''²/2! + ... + ''f''⁽ⁿ⁾(''x''₀)''h''ⁿ/n! + R_''n''(''x'')

여기서 ''n''!는 ''n''의 계승을 나타내며, ''R''_''n''(''x'')는 차수 ''n''의 테일러 다항식과 원래 함수의 차이를 나타내는 나머지 항이다.

테일러 다항식과 나머지를 잘라서 함수 ''f''의 1차 도함수에 대한 근사를 유도하면 다음과 같다.

:''f''(''x''₀ + ''h'') = ''f''(''x''₀) + ''f''′(''x''₀)''h'' + R₁(''x'')

''h''로 나누면 다음과 같다.

:''f''(''x''₀+''h'')/''h'' = ''f''(''x''₀)/''h'' + ''f''′(''x''₀)+R₁(''x'')/''h''

''f''′(''x''₀)에 대해 풀면 다음과 같다.

:''f''′(''x''₀) = (''f''(''x''₀ + ''h'')-''f''(''x''₀))/''h'' - R₁(''x'')/''h''

R₁(''x'')가 충분히 작다고 가정하면, ''f''의 1차 도함수의 근사는 다음과 같다.

:''f''′(''x''₀) ≈ (''f''(''x''₀+''h'')-''f''(''x''₀))/''h''

이것은 다음과 같은 미분의 정의와 유사하다.

:''f''′(''x''₀)=lim_''h''→0(''f''(''x''₀+''h'')-''f''(''x''₀))/''h''

다만 0으로의 극한이 없다는 점이 다르다.

가장 간단한 예로서, 다음 1계 상미분 방정식을 생각해 볼 수 있다.

: u′(''x'') = 3u(''x'') + 2

이것을 풀기 위해, 차분 상

:(u(''x''+''h'') - u(''x''))/''h'' ≈ u′(''x'') (''h'' → 0)

를 이용하여

:u(''x''+''h'') = u(''x'') + ''h''(3u(''x'')+2)

로 근사한다. 이 방법을 '''오일러 방법'''이라고 한다. 이 마지막 방정식처럼, 미분 방정식의 미분을 차분 상으로 바꾼 것을, '''차분 방정식'''(difference equation)이라고 부른다.

3. 2. 이산화

4. 유한 차분법의 종류

4. 1. 전진 차분, 후진 차분, 중앙 차분

4. 2. 명시적 방법과 묵시적 방법

유한차분법에서 사용되는 세 가지 주요 방법은 명시적 방법, 묵시적 방법, 그리고 크랭크-니콜슨 방법이다.

명시적 방법(FTCS 방식)은 현재 시간 단계의 값들을 이용하여 다음 시간 단계의 값을 직접 계산하는 방식이다.^[7] 시간

t_n

에서 전진 차분을 사용하고 위치

x_j

에서 공간 미분에 대해 2차 중앙 차분을 사용하면 다음 반복 방정식을 얻는다.

:

\frac{u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n}}{k \Delta t } = \frac{u_{j+1}^n - 2u_{j}^n + u_{j-1}^n}{h^2}.

이를 통해

u_j^{n+1}

을 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

u_{j}^{n+1} = (1-2r)u_{j}^{n} + ru_{j-1}^{n} + ru_{j+1}^{n}

여기서

r=k \Delta t /h^2

이다. 이 방법은

r\le 1/2

일 때 수치적으로 안정하고 수렴한다.^[7] 수치 오차는 시간 간격에 비례하고 공간 간격의 제곱에 비례한다.:

\Delta u = O(k)+O(h^2)

묵시적 방법은 다음 시간 단계의 값을 구하기 위해 연립 방정식을 풀어야 한다. 시간

t_{n+1}

에서 후방 차분을 사용하고 위치

x_j

에서 공간 도함수에 대한 2차 중심 차분(BTCS 방식)을 사용하면 다음 방정식을 얻는다.

:

\frac{u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n}}{ k \Delta  t } =\frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_{j}^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2}.

이를 정리하면 다음과 같은 선형 방정식 시스템을 얻는다.

:

(1+2r)u_j^{n+1} - r u_{j-1}^{n+1} - ru_{j+1}^{n+1}= u_j^n

이 시스템을 풀어

u_j^{n+1}

을 구한다. 묵시적 방법은 항상 수치적 안정성이 있고 수렴하지만, 각 시간 단계에서 방정식을 풀어야 하므로 명시적 방법보다 계산 비용이 크다. 오차는 시간 단계에 대해 선형이고 공간 단계에 대해 2차이다.:

\Delta u = O(k)+O(h^2).

크랭크-니콜슨 방법(CTCS 방식)은 명시적 방법과 묵시적 방법의 평균을 취하는 형태로, 시간

t_{n+1/2}

에서의 중심 차분과 위치

x_j

에서의 공간 미분에 대한 2차 중심 차분을 사용한다.

:

\frac{u_j^{n+1} - u_j^{n}}{ k \Delta  t } = \frac{1}{2} \left(\frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_j^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2}+\frac{u_{j+1}^{n} - 2u_j^{n} + u_{j-1}^{n}}{h^2}\right).

이를 통해 다음 선형 방정식 시스템을 얻는다.

:

(2+2r)u_j^{n+1} - ru_{j-1}^{n+1} - ru_{j+1}^{n+1}= (2-2r)u_j^n + ru_{j-1}^n + ru_{j+1}^n

이 시스템을 풀어

u_j^{n+1}

을 구한다. 크랭크-니콜슨 방법은 항상 수치적 안정성과 수렴성을 가지며, 오차는 시간 단계와 공간 단계 모두에서 2차이다.:

\Delta u = O(k^2)+O(h^2).

일반적으로 크랭크-니콜슨 방법은 작은 시간 간격에서 가장 정확하며, 큰 시간 간격에서는 묵시적 방법이 계산 효율성이 높다. 명시적 방법은 구현이 가장 쉽지만, 안정성 조건(

r\le 1/2

)을 만족해야 한다.

아래 그림은 열 방정식을 근사하기 위해 위에서 설명한 방법들로 얻은 해를 보여주는 예시이다.

:

U_t = \alpha U_{xx}, \quad \alpha = \frac{1}{\pi^2},

경계 조건은 다음과 같다.

:

U(0, t) = U(1, t) = 0.

정확한 해는 다음과 같다.

:

U(x, t) = \frac{1}{\pi^2}e^{-t}\sin(\pi x).

5. 오차 분석 및 안정성

방법의 해에서의 오차는 근사값과 정확한 해석적 해의 차이로 정의된다. 유한 차분법에서 오차의 두 가지 원인은 반올림 오차로, 컴퓨터가 십진수 값을 반올림하여 정밀도가 손실되는 것과, 절단 오차 또는 이산화 오차로, 원래 미분 방정식의 정확한 해와 완벽한 산술(반올림 없음)을 가정했을 때의 정확한 양의 차이이다.

유한 차분법을 사용하여 문제의 해를 근사하려면 먼저 문제의 영역을 이산화해야 한다. 이는 일반적으로 영역을 균일한 격자로 나누어 수행된다(그림 참조). 즉, 유한 차분법은 도함수에 대한 일련의 이산 수치 근사값을 생성하며, 종종 "시간 단계" 방식으로 수행된다.

일반적인 관심 대상의 표현은 방법의 국소 절단 오차이다. 일반적으로 빅 오 표기법을 사용하여 표현되며, 국소 절단 오차는 방법의 단일 적용에서 발생하는 오차를 나타낸다. 즉,

f'(x_i)

가 정확한 값을 나타내고

f'_i

가 수치 근사값을 나타내는 경우,

f'(x_i) - f'_i

의 양이다. 테일러 급수의 나머지 항을 사용하여 국소 절단 오차를 분석할 수 있다.

f(x_0 + h)

에 대한 테일러 급수의 나머지 항의 라그랑주 형태를 사용하면,

R_n(x_0 + h) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (h)^{n+1} \, , \quad x_0 < \xi < x_0 + h,

국소 절단 오차의 지배적인 항을 발견할 수 있다. 예를 들어, 다시 첫 번째 도함수에 대한 전진 차분 공식을 사용하면,

f(x_i)=f(x_0+i h)

임을 알고,

f(x_0 + i h) = f(x_0) + f'(x_0)i h + \frac{f''(\xi)}{2!} (i h)^{2},

일부 대수 조작을 통해, 이는 다음으로 이어진다.

\frac{f(x_0 + i h) - f(x_0)}{i h} = f'(x_0) + \frac{f''(\xi)}{2!} i h,

그리고 왼쪽의 양이 유한 차분법에서 얻은 근사값이고 오른쪽의 양이 관심 있는 정확한 양에 나머지를 더한 것임을 추가로 알면, 분명히 그 나머지가 국소 절단 오차이다. 이 예시와 그 차수의 최종 표현은 다음과 같다.

\frac{f(x_0 + i h) - f(x_0)}{i h} = f'(x_0) + O(h).

이 경우, 국소 절단 오차는 단계 크기에 비례한다. 시뮬레이션된 FDM 해의 품질과 지속 시간은 이산화 방정식 선택과 단계 크기(시간 및 공간 단계)에 따라 달라진다. 데이터 품질과 시뮬레이션 기간은 단계 크기가 작을수록 크게 증가한다.^[2] 따라서 데이터 품질과 시뮬레이션 기간 사이의 합리적인 균형이 실제 사용에 필요하다. 큰 시간 단계는 실제로 시뮬레이션 속도를 높이는 데 유용하다. 그러나 너무 큰 시간 단계는 불안정성을 유발하고 데이터 품질에 영향을 미칠 수 있다.^[3]^[4]

폰 노이만 안정성 분석 및 쿠랑-프리드리히스-레비 조건 기준은 수치 모델의 안정성을 결정하기 위해 자주 평가된다.^[3]^[4]^[5]^[6]

5. 1. 오차의 종류

유한차분법에서 오차는 크게 두 가지 원인으로 발생한다. 하나는 반올림 오차로, 컴퓨터가 십진수 값을 반올림하여 정밀도가 손실되는 것이다.^[2] 다른 하나는 절단 오차 또는 이산화 오차로, 원래 미분 방정식의 정확한 해와 완벽한 산술(반올림 없음)을 가정했을 때의 정확한 양의 차이이다.^[2]

국소 절단 오차는 방법의 단일 적용에서 발생하는 오차를 나타내며, 빅 오 표기법을 사용하여 표현된다.^[2] 예를 들어 전진 차분 공식을 사용하면 국소 절단 오차는 단계 크기에 비례한다.

시뮬레이션된 FDM 해의 품질과 지속 시간은 이산화 방정식 선택과 단계 크기(시간 및 공간 단계)에 따라 달라진다.^[2] 데이터 품질과 시뮬레이션 기간은 단계 크기가 작을수록 크게 증가하므로, 이 둘 사이의 균형을 맞추는 것이 중요하다.^[2] 큰 시간 단계는 시뮬레이션 속도를 높이지만, 너무 크면 불안정성을 유발하여 데이터 품질에 영향을 미칠 수 있다.^[3]^[4] 폰 노이만 안정성 분석 및 쿠랑-프리드리히스-레비 조건 기준은 수치 모델의 안정성을 결정하는 데 자주 사용된다.^[3]^[4]^[5]^[6]

5. 2. 국소 절단 오차

유한차분법에서 오차는 반올림 오차와 절단 오차로 나뉜다.^[2] 절단 오차는 원래 미분 방정식의 정확한 해와 유한 차분법으로 얻은 근사값의 차이이다. 국소 절단 오차는 한 번의 시간 단계에서 발생하는 오차를 의미하며, 테일러 급수의 나머지 항을 이용하여 분석할 수 있다.^[2]

예를 들어, 첫 번째 도함수에 대한 전진 차분 공식을 사용하면, 테일러 급수의 나머지 항의 라그랑주 형태는 다음과 같다.

:

R_n(x_0 + h) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (h)^{n+1} \, , \quad x_0 < \xi < x_0 + h,

이를 통해 국소 절단 오차의 지배적인 항을 찾을 수 있다.

f(x_i)=f(x_0+i h)

임을 알고, 테일러 급수를 전개하면 다음과 같다.

:

f(x_0 + i h) = f(x_0) + f'(x_0)i h + \frac{f''(\xi)}{2!} (i h)^{2},

이를 정리하면,

:

\frac{f(x_0 + i h) - f(x_0)}{i h} = f'(x_0) + \frac{f''(\xi)}{2!} i h,

여기서 왼쪽 항은 유한 차분법으로 얻은 근사값이고, 오른쪽 항은 정확한 값에 나머지 항을 더한 것이다. 따라서 나머지 항이 국소 절단 오차가 된다. 이 예시에서 국소 절단 오차는 다음과 같이 단계 크기

h

에 비례한다.

:

\frac{f(x_0 + i h) - f(x_0)}{i h} = f'(x_0) + O(h).

시뮬레이션된 FDM 해의 품질과 지속 시간은 이산화 방정식 선택과 단계 크기(시간 및 공간 단계)에 따라 달라진다. 데이터 품질과 시뮬레이션 기간은 단계 크기가 작을수록 크게 증가한다.^[2] 큰 시간 단계는 시뮬레이션 속도를 높이는 데 유용하지만, 너무 큰 시간 단계는 불안정성을 유발하고 데이터 품질에 영향을 미칠 수 있다.^[3]^[4] 폰 노이만 안정성 분석 및 쿠랑-프리드리히스-레비 조건 기준은 수치 모델의 안정성을 결정하기 위해 자주 평가된다.^[3]^[4]^[5]^[6]

5. 3. 안정성 분석

6. 유한 차분법의 응용

6. 1. 열 방정식

1차원 열 방정식은 균질 디리클레 경계 조건에서 다음과 같이 표현된다.

:

\begin{cases}U_t = U_{xx} \\U(0,t) = U(1,t) = 0 & \text{(경계 조건)} \\U(x,0) = U_0(x)     & \text{(초기 조건)}\end{cases}

이 방정식을 수치적으로 풀기 위해, 공간 영역(

x_0, \dots, x_J

)과 시간 영역(

t_0, \dots, t_N

)을 격자로 분할한다. 공간 간격을 ''h'', 시간 간격을 ''k''라 하고,

u(x_j, t_n) = u_{j}^n

는

u(x_j, t_n).

의 수치적 근삿값을 나타낸다.

시간

t_n

에서 전진 차분, 위치

x_j

에서 2차 중앙 차분을 사용하는 FTCS 방식은 다음과 같은 반복 방정식을 제공한다.

:

\frac{u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n}}{k \Delta t } = \frac{u_{j+1}^n - 2u_{j}^n + u_{j-1}^n}{h^2}.

이는 1차원 열 방정식을 풀기 위한 명시적 방법이며, 다음으로 표현할 수 있다.

:

u_{j}^{n+1} = (1-2r)u_{j}^{n} + ru_{j-1}^{n} + ru_{j+1}^{n}

여기서

r=k \Delta t /h^2.

이다. 이 명시적 방법은

r\le 1/2

일 때 수치적으로 안정하고 수렴한다.^[7] 수치 오차는 시간 간격과 공간 간격의 제곱에 비례한다.

:

\Delta u = O(k)+O(h^2)

시간

t_{n+1}

에서 후방 차분, 위치

x_j

에서 2차 중앙 차분을 사용하는 내재적 방법("BTCS")은 다음과 같다.

:

\frac{u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n}}{ k \Delta  t } =\frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_{j}^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2}.

선형 방정식 시스템을 풀어

u_j^{n+1}

을 구한다.

:

(1+2r)u_j^{n+1} - r u_{j-1}^{n+1} - ru_{j+1}^{n+1}= u_j^n

이 방식은 항상 수치적 안정성이 있고 수렴하지만, 명시적 방법보다 계산량이 많다. 오차는 시간 단계에 대해 선형이고 공간 단계에 대해 2차이다.

:

\Delta u = O(k)+O(h^2).

|right|thumb|크랭크-니콜슨 스텐실]]

시간

t_{n+1/2}

에서 중앙 차분, 위치

x_j

에서 공간 미분에 대한 2차 중앙 차분을 사용하는 크랭크-니콜슨 방법("CTCS")은 다음과 같다.

:

\frac{u_j^{n+1} - u_j^{n}}{ k \Delta  t } = \frac{1}{2} \left(\frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_j^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2}+\frac{u_{j+1}^{n} - 2u_j^{n} + u_{j-1}^{n}}{h^2}\right).

선형 방정식 시스템을 풀어

u_j^{n+1}

를 구한다.

:

(2+2r)u_j^{n+1} - ru_{j-1}^{n+1} - ru_{j+1}^{n+1}= (2-2r)u_j^n + ru_{j-1}^n + ru_{j+1}^n

이 방법은 항상 수치적 안정성과 수렴성을 가지지만, 계산량이 많을 수 있다. 오차는 시간 단계와 공간 단계 모두에서 2차이다.

:

\Delta u = O(k^2)+O(h^2).

일반적으로 크랭크-니콜슨 방법은 작은 시간 간격에서 가장 정확하고, 큰 시간 간격에서는 음함수 방법이 효율적이다. 양함수 방법은 구현이 쉽지만 정확도가 낮고 불안정할 수 있다.

아래 그림은 열 방정식

:

U_t = \alpha U_{xx}, \quad \alpha = \frac{1}{\pi^2},

와 경계 조건

:

U(0, t) = U(1, t) = 0.

에 대한 해를 위의 방법들로 구한 예시이다. 정확한 해는 다음과 같다.

:

U(x, t) = \frac{1}{\pi^2}e^{-t}\sin(\pi x).

유한 차분법 비교

양함수 방식 (불안정)

음함수 방식 (안정)

크랭크-니콜슨 방식 (안정)

6. 2. 라플라스 연산자

n차원에서 연속 라플라스 연산자는

\Delta u(x) = \sum_{i=1}^n \partial_i^2 u(x)

로 주어진다. 이산 라플라스 연산자

\Delta_h u

는 차원

n

에 따라 달라진다.

1차원에서 라플라스 연산자는 다음과 같이 근사된다.

\Delta u(x) = u''(x)\approx \frac{u(x-h)-2u(x)+u(x+h)}{h^2 }=: \Delta_h u(x) \,.

이 근사는 일반적으로 스텐실을 통해 표현된다.

\Delta_h = \frac{1}{h^2}\begin{bmatrix}1 & -2 & 1\end{bmatrix}

그리고 이는 대칭 삼대각 행렬을 나타낸다. 등간격 격자의 경우 토플리츠 행렬을 얻는다.

2차원 케이스는 보다 일반적인 n차원 케이스의 모든 특성을 보여준다. 각 2차 편미분은 1차원 케이스와 유사하게 근사되어야 한다.

\begin{align}\Delta u(x,y) &= u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y) \\&\approx \frac{u(x-h,y)-2u(x,y)+u(x+h,y) }{h^2}+ \frac{u(x,y-h) -2u(x,y) +u(x,y+h)}{h^2} \\&= \frac{u(x-h,y)+u(x+h,y) -4u(x,y)+u(x,y-h)+u(x,y+h)}{h^2} \\&=: \Delta_h u(x, y) \,,\end{align}

이는 일반적으로 다음과 같은 스텐실로 제공된다.

\Delta_h =\frac{1}{h^2}\begin{bmatrix}& 1 \\1 & -4 & 1 \\& 1\end{bmatrix}\,.

6. 3. SBP-SAT 방법

SBP-SAT(부분 합 - 동시 근사 항) 방법은 고차 유한 차분을 사용하여 잘 정립된 편미분 방정식의 이산화 및 경계 조건을 부과하는 안정적이고 정확한 기술이다.^[8]^[9]

이 방법은 미분 연산자가 부분 합 속성을 나타내는 유한 차분에 기반한다. 일반적으로 이러한 연산자는 이산 설정에서 부분 적분을 모방하도록 설계된 신중하게 선택된 일방 경계 스텐실과 내부의 중심 차분 스텐실을 갖는 미분 행렬로 구성된다. SAT 기술을 사용하면 편미분 방정식(PDE)의 경계 조건이 약하게 부과되어 경계 값이 정확하게 충족되기보다는 원하는 조건으로 "당겨진다". 튜닝 매개변수(SAT 기술에 내재)가 적절하게 선택되면 결과 ODE 시스템은 연속 PDE와 유사한 에너지 동작을 나타낸다. 즉, 시스템은 비물리적 에너지 증가가 없다. 이는 4차 Runge-Kutta 방법과 같이 허수 축의 일부를 포함하는 안정성 영역을 가진 적분 스킴을 사용하는 경우 안정성을 보장한다. 이는 예를 들어 고차 미분 연산자를 사용하는 경우 일반적으로 안정적이지 않은 주입 방법과 대조적으로 SAT 기술을 고차 유한 차분 방법에 대한 경계 조건을 부과하는 매력적인 방법으로 만든다.

7. 한국의 유한 차분법 연구 및 활용 현황

7. 1. 연구 분야

7. 2. 산업 활용 사례

7. 3. 더불어민주당의 과학 기술 정책과 유한 차분법

참조

_[1] 서적 Numerical Treatment of Partial Differential Equations https://archive.org/[...] Springer Science & Business Media
_[2] 서적 A first course in the numerical analysis of differential equations https://archive.org/[...] Cambridge University Press
_[3] 서적 Numerical methods for engineers and scientists CRC Press, Boca Raton
_[4] 논문 Computational heat transfer
_[5] 서적 Computational methods for heat and mass transfer Taylor and Francis, New York
_[6] 서적 Numerical solution of partial differential equations: finite difference methods Oxford University Press
_[7] 문서 The Mathematics of Diffusion Oxford 1975
_[8] 논문 Summation by Parts for Finite Difference Approximations for d/dx
_[9] 논문 Time-stable boundary conditions for finite-difference schemes solving hyperbolic systems: Methodology and application to high-order compact schemes
_[10] 서적 コンピュータによる流体力学シュプリンガー・フェアラーク東京
_[11] 서적 Numerical Treatment of Partial Differential Equations Springer Science & Business Media
_[12] 서적 A first course in the numerical analysis of differential equations Cambridge University Press
_[13] 서적 Numerical methods for engineers and scientists CRC Press, Boca Raton
_[14] 논문 Computational heat transfer
_[15] 서적 Computational methods for heat and mass transfer Taylor and Francis, New York
_[16] 서적 Numerical solution of partial differential equations: finite difference methods Oxford University Press

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