잘 설정된 문제

3. 조건 불량 문제 (Ill-conditioned problem)

문제가 잘 설정되어 있더라도, 초기 데이터의 작은 오류가 결과에서 훨씬 더 큰 오류를 초래할 수 있다는 의미에서 여전히 ''조건 불량''일 수 있다.^[1] 비선형 복잡계 (소위 카오스 시스템)는 불안정성의 잘 알려진 예시를 제공한다.^[1] 조건 불량 문제는 큰 조건수로 나타난다.^[1]

문제가 잘 설정되어 있다면, 안정적인 알고리즘을 사용하여 컴퓨터에서 문제를 해결할 가능성이 크다.^[1] 문제가 잘 설정되어 있지 않다면, 수치적 처리를 위해 문제를 재구성해야 하며, 일반적으로 이는 해의 매끄러움과 같은 추가적인 가정을 포함하는 것을 의미한다.^[1] 이 과정은 ''정칙화''라고 알려져 있으며, 티호노프 정칙화는 선형 조건 불량 문제의 정칙화에 가장 일반적으로 사용되는 방법 중 하나이다.^[1]

4. 국소 해의 존재성

국소 해의 존재는 종종 잘 설정된 문제의 중요한 부분이며, 에너지 방법과 같은 많은 추정 방법의 기초가 된다.

코시-코발레프스키 정리에 따르면, 코시 초기값 문제에서 편미분 방정식의 항이 모두 해석 함수로 구성되어 있고 특정 횡단 조건이 충족되면 (초기 데이터가 제시되는 초평면 또는 초곡면이 편미분 연산자에 대해 비특성적이어야 함) 특정 영역에서 반드시 해석 함수인 해가 존재한다. 이는 해석 편미분 방정식 연구의 기본적인 결과이다. 놀랍게도, 이 정리는 매끄러운 함수 설정에서는 성립하지 않는다. 1957년 한스 레비가 발견한 레비의 예는 계수가 매끄럽지만(즉, 모든 차수의 도함수를 가지지만) 해석적이지 않은 선형 편미분 방정식으로, 해가 존재하지 않는다. 따라서 코시-코발레프스키 정리는 그 적용 범위가 해석 함수로 제한될 수밖에 없다.

5. 에너지 방법 (Energy method)

에너지 방법은 초기 조건에 대한 해의 유일성과 연속성을 확립하는 데 유용한 방법이지만, 해의 존재성을 확립하지는 않는다. 이 방법은 주어진 문제에 대한 에너지 유사 함수에 대한 상한을 도출하는 것을 기반으로 한다.

예를 들어, 균일한 디리클레 경계 조건과 적절한 초기 데이터 $f(x)$ (예: $f(0)=f(1)=0$)를 갖는 단위 구간에서의 확산 방정식을 고려하면, 방정식 $u\_t=D\; u\_\{xx\}$에 $u$를 곱하고 단위 구간에 대해 공간적으로 적분하여 $\backslash |u\backslash |\_2$(p-노름)가 시간에 따라 증가할 수 없음을 보일 수 있다. 이를 통해 에너지 추정 $\backslash |u(\backslash cdot,t)\backslash |\_2^2\; \backslash leq\; \backslash |f(\backslash cdot)\backslash |\_2^2$를 얻을 수 있다.

해의 고유성을 보이기 위해 동일한 초기 데이터를 만족하는 두 해 $u$와 $v$를 가정하고, $w=u-v$에 에너지 추정을 적용하면 $\backslash |w(\backslash cdot,t)\backslash |\_2^2\; \backslash leq\; 0$이 되어 $u=v$임을 알 수 있다. 초기 조건에 대한 연속성을 보이기 위해 서로 다른 초기 데이터 $f(x)$와 $g(x)$에 해당하는 해 $u$와 $v$를 가정하고, $w=u-v$에 대한 에너지 추정 $\backslash |w(\backslash cdot,t)\backslash |\_2^2\; \backslash leq\; D\backslash |f(\backslash cdot)-g(\backslash cdot)\backslash |\_2^2$를 통해 연속성을 보일 수 있다.

최대 원리는 이 예제에 대해 해의 유일성과 연속성을 확립하는 대안적인 접근 방식이며, 이 문제에 대한 해의 존재성은 푸리에 급수를 사용하여 확립될 수 있다.

6. 반군 이론 (Semi-group theory)

코시 문제 $\backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; t\}=Au,\; u(0)=u\_0\; \backslash text\{\; (1)\}$의 해를 ''X''의 조밀한 선형 부분 공간 ''D(A)''을 ''X''로 매핑하는 선형 연산자 ''A''로 나타낼 수 있다면, $u(t)=S(t)u\_0$이며, 여기서 $\backslash \{S(t);t\backslash geq\; 0\backslash \}$는 ''X''에 대한 선형 연산자 집합이다. 이 집합은 다음 성질을 만족한다.

• ''S(0)=I''
• 모든 ''a,b≥0''에 대해 ''S(a+b)=S(a)S(b)=S(b)S(a)''
• 모든 ''X''의 ''w''에 대해 $t\backslash mapsto\; S(t)w$는 연속이다.
• 모든 ''X''의 ''w''에 대해 $\backslash frac\{d\}\{dt\}S(t)w=AS(t)w$

7. 정칙화 (Regularization)

문제가 잘 설정되어 있더라도, 초기 데이터의 작은 오류가 결과에서 훨씬 더 큰 오류를 초래할 수 있다는 점에서 여전히 조건 불량일 수 있다.^[1] 조건 불량 문제는 큰 조건수로 나타난다. 문제가 잘 설정되어 있다면, 안정적인 알고리즘을 사용하여 컴퓨터에서 문제를 해결할 가능성이 크다. 문제가 잘 설정되어 있지 않다면, 수치적 처리를 위해 문제를 재구성해야 한다. 일반적으로 이는 해의 매끄러움과 같은 추가적인 가정을 포함한다. 이 과정은 정칙화라고 알려져 있다.^[1] 티호노프 정칙화는 선형 조건 불량 문제의 정칙화에 가장 일반적으로 사용되는 방법 중 하나이다.^[1]

8. 대한민국에서의 적절성 및 부적절성 문제 연구