전건 긍정

3. 형식 표기법

전건 긍정 규칙은 시퀀트 표기법으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$P\; \backslash to\; Q,\; \backslash ;\; P\; \backslash ;\; \backslash vdash\; \backslash ;\; Q$

여기서 ''P'', ''Q'' 및 ''P'' → ''Q''는 형식 언어의 명제(또는 진술)이며, ⊢는 어떤 논리 시스템에서 ''Q''가 ''P''와 ''P'' → ''Q''의 구문론적 결과임을 의미하는 메타논리 기호이다.^[22]

다른 표기법은 다음과 같다.

:$P\; \backslash implies\; Q,\; P\; \backslash vdash\; Q$

:$((P\; \backslash to\; Q)\; \backslash land\; P)\; \backslash vdash\; Q$

:$\backslash qquad\; \backslash frac\{(P\; \backslash rightarrow\; Q),\; P\}\{Q\}$

4. 예시

다음은 전건 긍정 논증의 예시이다.

: 만약 오늘이 화요일이라면, 존은 직장에 갈 것이다.

: 오늘은 화요일이다.

: 그러므로, 존은 직장에 갈 것이다.

이 논증은 타당하지만, 건전성은 전제가 참인지 거짓인지에 따라 달라진다.^[6] 예를 들어, 존이 수요일에도 직장에 갈 수 있다면, 존이 직장에 가는 이유(수요일이기 때문)는 건전하지 않다. 이 논증은 존이 직장에 가는 화요일에는 건전하지만, 일주일의 모든 날에는 타당하다.

5. 성질 및 정당성

전건 긍정은 진리표를 사용하여 그 타당성을 입증할 수 있다. 전건 긍정은 논리 법칙이 아니라, 연역적 증명을 위한 승인된 메커니즘 중 하나이다.^[6] 전건 긍정은 논리적 증명에서 조건문을 제거하는 역할을 하므로, '''분리 규칙'''^[7] 또는 '''분리 법칙'''이라고도 불린다.^[8]

전건 긍정의 타당성은 아래의 진리표를 통해 확인할 수 있다.

위 진리표에서 ''p'' → ''q''가 참이고 ''p''가 참인 경우는 첫 번째 줄뿐이다. 이 줄에서 ''q'' 또한 참이다. 따라서 ''p'' → ''q''가 참이고 ''p''가 참일 때마다 ''q''는 항상 참이 된다.

6. 다른 수학적 프레임워크와의 대응

대수적 의미론에서 전건 긍정은 $P\; \backslash wedge\; (P\; \backslash rightarrow\; Q)\; \backslash leq\; Q$로 표현될 수 있다. 기본적인 명제 논리에서 $\backslash rightarrow$는 물질 조건으로 해석되며, $P\; \backslash rightarrow\; Q\; =\; \backslash neg\{P\}\; \backslash vee\; Q$이다. $P\; \backslash wedge\; (P\; \backslash rightarrow\; Q)\; \backslash leq\; Q$임을 확인하는 것은 간단한데, 왜냐하면 $P\; \backslash wedge\; (P\; \backslash rightarrow\; Q)\; =\; P\; \backslash wedge\; Q$이고 $P\; \backslash wedge\; Q\; \backslash leq\; Q$이기 때문이다. $\backslash rightarrow$에 대한 다른 처리 방식에서는 의미론이 더 복잡해지고, 대수가 비 불 대수가 될 수 있으며, 전건 긍정의 유효성은 당연하게 여겨질 수 없다.

만약 $\backslash Pr(P\; \backslash rightarrow\; Q)\; =\; x$이고 $\backslash Pr(P)\; =\; y$라면, $\backslash Pr(Q)$는 구간 $[x\; +\; y\; -\; 1,\; x]$ 안에 있어야 한다.^[1] 특수한 경우 $x\; =\; y\; =\; 1$일 때, $\backslash Pr(Q)$는 $1$과 같아야 한다.

주관적 논리에서 ''전건 긍정''은 이항 연산자 인스턴스로 표현될 수 있다. 주관적 논리 추론은 ''전건 긍정''과 전확률의 법칙의 일반화를 나타낸다.^[13]

6. 1. 대수적 의미론

6. 2. 확률 계산

6. 3. 주관적 논리

7. 확장 (mmp)

multiple modus ponens^la(mmp)는 전건 긍정의 확장으로, 다음과 같은 형식이다.

: P이면, Q이다.

: Q이면, R이다.

: P이다.

: 따라서, R이다.

논리 연산 표기법으로 나타내면 다음과 같다.

: P → Q

: Q → R

: P

: ├ R

8. 실패 사례 (논란)

철학자들과 언어학자들은 전건 긍정이 실패하는 다양한 사례들을 제시했다. 반 맥기(Vann McGee)는 후건 자체가 조건문인 경우 전건 긍정이 실패할 수 있다고 주장했다.^[14] 예를 들어 다음과 같다.

# 셰익스피어 또는 홉스가 ''햄릿''을 썼다.

# 셰익스피어 또는 홉스가 ''햄릿''을 썼다면, 셰익스피어가 쓰지 않았다면 홉스가 쓴 것이다.

# 따라서 셰익스피어가 ''햄릿''을 쓰지 않았다면, 홉스가 쓴 것이다.

셰익스피어가 실제로 ''햄릿''을 썼기 때문에 첫 번째 전제는 참이다. 두 번째 전제 또한 참인데, 작가 후보를 셰익스피어와 홉스로 제한하고 한 명을 제외하면 다른 한 명이 남기 때문이다. 그러나 결론은 의심스러운데, 셰익스피어를 ''햄릿''의 작가에서 제외하면 홉스보다 더 그럴듯한 대안이 될 수 있는 수많은 후보가 남기 때문이다.

맥기 유형의 전건 긍정 반례의 일반적인 형식은 $P,\; P\; \backslash rightarrow\; (Q\; \backslash rightarrow\; R)$, 따라서 $Q\; \backslash rightarrow\; R$이다. 이러한 사례가 전건 긍정의 실패를 구성하는지는 논리학자들 사이에서 논쟁의 여지가 있지만, 이 사례를 어떻게 처리해야 하는지에 대한 의견은 다양하다.^[15][16][17]

의무 논리에서 조건적 의무의 일부 예시 또한 전건 긍정 실패의 가능성을 제기한다. 예를 들어, "만약 도(Doe)가 어머니를 살해한다면, 부드럽게 해야 한다"와 같은 경우, 의심스러운 무조건적 결론은 "도는 어머니를 부드럽게 살해해야 한다"가 될 것이다.^[18] 도가 실제로 어머니를 부드럽게 살해하고 있다면, 전건 긍정에 의해 그는 무조건적으로 해야 할 일을 정확히 하고 있는 셈이다. 이러한 전건 긍정 실패는 일반적으로 받아들여지는 것은 아니지만, 때때로 주장되기도 한다.^[19]

9. 관련 오류

후건 긍정의 오류는 긍정식을 흔히 잘못 해석하는 것이다.^[20]

전건 긍정의 예시는 다음과 같다.

• 오늘이 화요일이라면, 나는 일하러 간다.
• 오늘은 화요일이다.
• 그러므로, 나는 일하러 간다.

• 논증이 전건 긍정이고, 그 전제가 참이라면, 그 논증은 타당하다.
• 전제는 참이다.
• 따라서, 그 논증은 타당하다.

10. 응용

인공 지능에서 전건 긍정은 전방 연쇄 규칙으로 사용된다.^[1] 명제 논리에서 전건 긍정은 추론 규칙으로 사용된다.^[1] 가설 연역법은 전건 긍정에 기초하여 정식화된다.^[1] 컷 제거 정리에 따르면, 특정 논리 계산에서 전건 긍정(컷 규칙)은 타당하고 허용 가능한 추론 규칙이다.^[1] 커리-하워드 대응은 전건 긍정을 함수 적용과 관련시킨다.^[1]

11. 한국 사회에서의 전건 긍정

전건 긍정은 한국 사회의 다양한 분야에서 활용된다.

• 법률 해석: 법 조항(P)과 사실 관계(Q)를 연결하여 판결을 내리는 과정에 적용된다.
• 정책 결정: 특정 정책(P)이 가져올 결과(Q)를 예측하고, 그 결과를 바탕으로 정책 시행 여부를 결정하는 데 사용된다.
• 일상 대화: 일상적인 의사소통에서 논리적 추론을 통해 상대방을 설득하거나 자신의 주장을 뒷받침하는 데 활용된다.

참조

_[1] 서적 Latin for the Illiterati: Exorcizing the Ghosts of a Dead Language https://archive.org/[...] Routledge
_[2] 웹사이트 Oxford reference: affirming the antecedent https://www.oxfordre[...]
_[3] 문서 Enderton 2001:110
_[4] 간행물 The Development of Modus Ponens in Antiquity
_[5] 웹사이트 Ancient Logic: Forerunners of Modus Ponens and Modus Tollens http://plato.stanfor[...]
_[6] 문서 Alfred Tarski 1946:47. Also Enderton 2001:110ff
_[7] 문서 Tarski 1946:47
_[8] 웹사이트 Modus ponens - Encyclopedia of Mathematics https://www.encyclop[...] 2018-04-05
_[9] 문서 Enderton 2001:111
_[10] 문서 Whitehead and Russell 1927:9
_[11] 서적 Formal Logic Humanities-Ebooks LLP
_[12] 서적 Sentential Probability Logic: Origins, Development, Current Status, and Technical Applications Associated University Presses
_[13] 문서 Audun Jøsang 2016:92
_[14] 간행물 A Counterexample to Modus Ponens
_[15] 간행물 A Defense of Modus Ponens
_[16] 간행물 Assumption and the Supposed Counterexamples to Modus Ponens
_[17] 간행물 Modus Ponens Defended
_[18] 웹사이트 Deontic Logic https://plato.stanfo[...] 2020-01-30
_[19] 간행물 Ifs and Oughts
_[20] 웹사이트 Fallacies https://www.iep.utm.[...] 2020-03-06
_[21] 서적
_[22] 서적