점근 밀도

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 위쪽 및 아래쪽의 점근 밀도
3. 성질 및 예시
4. 다른 밀도 함수
참조

1. 개요

점근 밀도는 자연수의 부분집합 A에 대해, A의 원소 중 n 이하의 값들의 개수를 n으로 나눈 값의 극한으로 정의되는 개념이다. 위쪽 점근 밀도와 아래쪽 점근 밀도를 통해 점근 밀도를 정의하며, 0과 1 사이의 값을 갖는다. 점근 밀도는 집합의 여집합, 유한 집합, 완전 제곱수, 짝수 집합 등 다양한 집합에 대해 계산할 수 있으며, 소수 정리와 같은 수학적 개념과 관련이 있다. 또한 로그 밀도와 같은 다른 밀도 함수도 존재한다.

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점근 밀도
점근 밀도
분야	수학, 정수론
정의	자연수 집합의 밀도
관련 개념	자연 밀도, 상대 밀도
자연 밀도와의 관계
자연 밀도 존재 시	점근 밀도 존재 및 동일
점근 밀도 존재 시	자연 밀도 존재 여부 불확실

2. 정의

자연수의 부분집합 ''A''가 주어졌을 때, ''A''의 원소 중 ''n'' 이하의 값들의 개수를 ''a''(''n'')라고 한다. ''n''이 무한대로 갈 때 극한값

: $\lim_{n\to \infty} \frac{a(n)}{n} = \alpha$

이 존재하면, ''A''는 점근밀도 $\alpha$ 를 갖는다고 말한다.^[4]

임의의 자연수 ''n''에 대해 ''a''(''n'')을 ''n''보다 작거나 같은 ''A''의 원소 개수로 정의하면, ''A''의 자연 밀도는 다음과 같다.

: $\frac{a(n)}{n} \rightarrow \alpha$ (''n'' → ∞ 일 때)

''A''가 자연 밀도 $\alpha$ 를 가지면 $0 \le \alpha \le 1$ 이 된다.

2. 1. 위쪽 및 아래쪽의 점근 밀도

자연수의 부분집합 ''A''가 주어져 있을 때, ''A''의 원소 중 ''n'' 이하의 값들의 개수를 ''a''(''n'')라고 하면, ''n''이 무한대로 갈 때 극한값

:

\lim_{n\to \infty} \frac{a(n)}{n} = \alpha

이 존재하면 점근밀도

\alpha

를 갖는다고 말한다.

위에서 쓰인 기호를 토대로 '''위쪽 점근 밀도'''(upper asymptotic density)를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\overline{d}(A) = \limsup_{n \rightarrow \infty} \frac

{n}

이때 lim sup은 상극한이다.

마찬가지로 '''아래쪽 점근 밀도'''(lower asymptotic density)를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\underline{d}(A) = \liminf_{n \rightarrow \infty} \frac{ | A(n)| }{n}

만약 이 두 극한이 일치한다면, 즉

\underline{d}(A)=\overline{d}(A)

이라면, 이 값을 점근 밀도

d(A)

라고 부를 수 있다.^[1]

이러한 정의는 다음과 같은 방식으로도 표현될 수 있다.

\mathbb{N}

의 부분 집합

A

가 주어지면, 자연수로 인덱싱된 증가하는 수열로 작성한다.

:

A = \{a_1 < a_2 < \ldots\}.

그런 다음

:

\underline{d}(A) = \liminf_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{a_n},

:

\overline{d}(A) = \limsup_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{a_n}

그리고

:

d(A) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{a_n}

만약 그 극한이 존재한다면.

밀도에 대한 다소 약한 개념은 집합

A \subseteq \mathbb{N}

의 '''상 바나흐 밀도'''

d^*(A)

이다. 이것은 다음과 같이 정의된다.

:

d^*(A) = \limsup_{N-M \rightarrow \infty} \frac

{N-M+1}.

3. 성질 및 예시

어떤 집합 $A$ 의 점근 밀도 $d(A)$ 가 존재하면 그 여집합의 점근 밀도는 $1- d(A)$ 이다.
$d(\mathbb{N})= 1$ 이다.
임의의 유한 집합 $F$ 에 대해서 $d(F)=0$ 이다.
완전 제곱수의 점근 밀도는 0이다.
짝수 집합의 점근 밀도는 1/2이다. 마찬가지로 임의의 등차수열 $A = \{an+b | n \in \mathbb{N}\}$ 에 대해, $d(A)=1/a$ 이다.
소수 정리에 의해 소수 집합 $P$ 의 점근밀도는 $d(P)=0$ 이다.
제곱수로 나누어지지 않는 수(Square-free integer)의 점근밀도는 $\textstyle \frac{6}{\pi^2}$ 이다.
과잉수(abundant numbers)의 점근밀도는 0.2474와 0.2480 사이의 값을 갖는다고 알려져 있다.^[2]^[3]
이진 전개가 홀수 개의 숫자를 포함하는 숫자들의 집합은 점근 밀도를 갖지 않는 집합의 예시이다. 이 집합의 상위 밀도는 2/3이고 하위 밀도는 1/3이다.
십진법 전개가 숫자 1로 시작하는 숫자의 집합은 자연 밀도를 갖지 않는다. 하위 밀도는 1/9이고 상위 밀도는 5/9이다.^[4]
만약 ''S''가 양의 상위 밀도를 갖는 집합이면, 세메레디 정리는 ''S''가 임의로 큰 유한 등차 수열을 포함한다고 말하며, 퍼스텐버그-사르쾨지 정리는 ''S''의 두 구성원이 제곱수로 다르다고 말한다.

4. 다른 밀도 함수

자연수의 부분 집합에 대해 다른 밀도 함수도 비슷하게 정의할 수 있다. 예를 들어, 집합 ''A''의 ''로그 밀도''는 다음 극한으로 정의된다(존재하는 경우).

: $\mathbf{\delta}(A) = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{\log x} \sum_{n \in A, n \le x} \frac{1}{n} \ .$

상한 및 하한 로그 밀도도 비슷하게 정의된다.

정수 수열의 배수 집합의 경우, 데번포트-에르되스 정리는 자연 밀도가 존재할 경우 로그 밀도와 같다고 말한다.^[5]

참조

_[1] 서적 2000
_[2] 서적 Divisors Cambridge University Press 1988
_[3] 논문 Bounds for the density of abundant integers http://projecteuclid[...] 1998
_[4] 서적 1995
_[5] 간행물 Sets of multiples https://books.google[...] Cambridge University Press, Cambridge 1996

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