여집합

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1. 개요

여집합은 주어진 집합에 속하지 않는 모든 원소로 이루어진 집합을 의미하며, 전체 집합에 대한 차집합으로 표현된다. 절대 여집합은 전체 집합 U가 정의되었을 때 U의 부분 집합 A에 대해 U \ A로 정의되며, A^c, complement A, 또는 overline A와 같이 표기한다. 상대 여집합은 두 집합 A, B에 대해 B에서 A에 속하는 원소를 제외한 B \ A로 정의하며, 차집합이라고도 한다. 여집합은 드 모르간의 법칙, 여집합 법칙, 이중 여집합 법칙 등 다양한 성질을 갖는다. 이항 관계 R의 여관계는 R의 집합 여집합으로 정의되며, 관계 미적분의 기본 연산 중 하나이다. 여집합은 A^c, A', 또는 overline A와 같이 표기하며, 차집합은 B \ A 또는 B - A로 표기한다.

여집합

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1. 개요
2. 여집합
- 2.1. 절대 여집합
- 2.2. 상대 여집합 (차집합)
  - 2.2.1. 정의
  - 2.2.2. 예시
3. 여집합의 성질
4. 여관계
5. 표기법

2. 여집합

여집합은 주어진 집합에 속하지 않는 모든 원소로 이루어진 집합을 의미하며, 전체 집합이 정의되어 있을 때 그 전체 집합에 대한 차집합으로 표현된다.

여집합은 보통 $A^\complement$ 로 표기된다. 다른 표기법으로는 $\overline A, A',$ $\complement_U A, \text{ 그리고 } \complement A$ 가 있다.

전체 집합 U의 부분 집합 A에 대해,
: $U \smallsetminus A$
를 A의 (절대) 여집합이라고 하며, U가 명확한 문맥에서는 단순히
* $A^{\mathrm{c}}$
* $\complement A$
* $\overline{A}$
와 같이 나타낸다.

* 어떤 집합의 여집합의 여집합은 원래 집합 자신이다.
* 자연수 집합에서 홀수 집합의 여집합은 짝수 집합이다.
* 실수 집합에서 유리수 집합의 여집합은 무리수 집합이다.

2.1. 절대 여집합

흰색 원의 절대 여집합은 빨간색 영역이다. — 흰색 원의 **절대 여집합**은 빨간색 영역이다.

집합 A가 있을 때, A의 절대 여집합(또는 단순히 A의 여집합)은 A에 속하지 않는 원소들의 집합이다(암묵적으로 정의된 더 큰 집합 내에서). 다시 말해, U를 연구 대상인 모든 원소를 포함하는 집합이라고 하자. U를 언급할 필요가 없다면, 이전에 명시되었거나, 명백하고 유일하기 때문이다. 이 경우 A의 절대 여집합은 U에서 A의 상대 여집합이다.
:

A^\complement = U \setminus A = \{ x \in U : x \notin A \}.

A의 절대 여집합은 보통

A^\complement

로 표기된다. 다른 표기법으로는

\overline A, A',

\complement_U A,

\complement A

가 있다.

전체 집합(또는 보편 집합) 등으로 불리는 (큰) 집합 U를 고정하고, 그 부분 집합에 대해서만 생각할 때 (예를 들어, U가 자연수 전체, 실수 전체 또는 어떤 위상 공간일 때 등) U의 부분 집합 A에 대해,
:

U \smallsetminus A

를 A의 (절대) 보집합이라고 하며, U가 이해되는 문맥에서는 단순히
*

A^{\mathrm{c}}

\complement A

\overline{A}

와 같이 나타낸다.

* 어떤 집합의 보집합의 보집합은 원래 집합 자신이다.
* 자연수에 대해 생각할 때, 홀수 전체의 집합의 보집합은 짝수 전체의 집합이다.
* 실수 전체 에 대해 생각할 때, 유리수 전체 의 보집합

\mathbf{R} \setminus \mathbf{Q}

는 무리수 전체이다.

다음은 절대 여집합의 예시이다.
* 전체 집합이 정수 집합이라고 가정하자. 만약 A가 홀수의 집합이라면, A의 여집합은 짝수의 집합이다. 만약 A가 3의 배수 집합이라면, A의 여집합은 3을 법으로 1 또는 2와 합동인 숫자들의 집합이다(또는, 간단히 말해서 3의 배수가 아닌 정수).
* 전체 집합이 표준 52 카드 덱이라고 가정하자. 만약 집합 A가 스페이드 무늬라면, A의 여집합은 클럽, 다이아몬드, 하트 무늬의 합집합이다. 만약 집합 A가 클럽과 다이아몬드 무늬의 합집합이라면, A의 여집합은 하트와 스페이드 무늬의 합집합이다.

2.2. 상대 여집합 (차집합)

집합 B에 대한 A의 차집합( 또는 )은 집합 B에는 속하지만 집합 A에는 속하지 않는 원소들의 집합이다.

여집합은 부분집합 관계인 두 집합의 차집합과 같다. 전체집합 U에서의 A의 여집합은 곧 차집합 이다.

차집합 연산의 성질은 집합대수 글을 참고한다.

2.2.1. 정의

집합 에서 집합 에 속하는 원소를 제외하여 얻는 집합을
:

B \setminus A, \quad B \smallsetminus A

또는 로 표현하며, 에서 를 뺀 차 또는 차집합이라고 부르며 에서의 의 (상대)여집합이라고도 부른다. 기호를 사용하여 쓰면,
:

x \in B \setminus A \iff x \in B \land x \notin A,

즉,
:

\begin{align}B \setminus A &= \{x \mid x \in B \land x \notin A\} \\&= \{ x \in B \mid x \notin A \}\end{align}

가 차집합의 정의이다. 이것은 가 아닐 경우에도 정의된다.

B \setminus A

는 에서의 의 여집합이다. 일반적으로 집합의 차는 교환 법칙을 만족하지 않는다.
:

A \setminus B \neq B \setminus A.

이것들이 같아지는 것은, 일 때, 그리고 그 때 뿐이다.

에 대한 의 상대 여집합은 ISO 31-11 표준에 따라

B \setminus A

로 표기한다. 때로는

B - A,

로도 쓰이지만, 이 표기법은 모호성을 띠는데, 몇몇 맥락(예: 민코프스키 집합 연산 in 함수해석학)에서는 는 에서, 는 에서 가져온 모든 원소

b - a,

의 집합으로 해석될 수 있기 때문이다.

형식적으로는 다음과 같다.
:

B \setminus A = \{ x\in B : x \notin A \}.

2.2.2. 예시

* {1, 2, 3} ∖ {2, 3, 4} = {1}
* {2, 3, 4} ∖ {1, 2, 3} = {4}
* 실수^한국어 집합에서 유리수^한국어 집합을 뺀 차집합은 무리수^한국어 집합이다.
* P = {1, 3, 5, 7, 9} (10 이하의 홀수 집합)
* Q = {2, 3, 5, 7} (10 이하의 소수 집합)
* P ∖ Q = {1, 9}
* Q ∖ P = {2}

3. 여집합의 성질

여집합은 드 모르간의 법칙, 교집합/합집합과의 관계 등 다양한 성질을 가지며, 이러한 성질들은 집합 연산을 간소화하고 논리적 추론을 하는 데 중요한 역할을 한다.

* 어떤 집합의 여집합의 여집합은 원래 집합 자신이다.
* 자연수에 대해 생각할 때, 홀수 전체의 집합의 여집합은 짝수 전체의 집합이다.
* 실수 전체 집합에서 유리수 전체 집합의 여집합은 무리수 전체이다.

전체 집합 $U$ 와 그 부분집합 $A$ , $B$ , $C$ 에 대해, 상대 여집합의 주요 성질은 다음과 같다.

:* $C \setminus (A \cap B) = (C \setminus A) \cup (C \setminus B)$
:* $C \setminus (A \cup B) = (C \setminus A) \cap (C \setminus B)$
:* $C \setminus (B \setminus A) = (C \cap A) \cup (C \setminus B)$
:*: 특히 $C \setminus (C \setminus A) = (C \cap A)$ 는 교집합이 상대 여집합 연산만으로 표현될 수 있음을 보여준다.
:* $(B \setminus A) \cap C = (B \cap C) \setminus A = B \cap (C \setminus A)$
:* $(B \setminus A) \cup C = (B \cup C) \setminus (A \setminus C)$
:* $A \setminus A = \emptyset$
:* $\empty \setminus A = \empty$
:* $A \setminus \empty = A$
:* $A \setminus U = \empty$
:* 만약 $A\subset B$ 이면, $C\setminus A\supset C\setminus B$ 이다.
:* $A \supseteq B \setminus C$ 는 $C \supseteq B \setminus A$ 와 동치이다.

3.1. 드 모르간의 법칙

드 모르간의 법칙은 두 집합의 합집합의 여집합은 각 집합의 여집합의 교집합과 같고, 두 집합의 교집합의 여집합은 각 집합의 여집합의 합집합과 같다는 법칙이다.

: $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$
: $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$

$P$ , $Q$ 를 어떤 집합의 부분 집합이라고 할 때, 다음이 성립한다.

: $\begin{align}(P \cup Q)^{\mathrm{c}} &= P^{\mathrm{c}} \cap Q^{\mathrm{c}} \\(P \cap Q)^{\mathrm{c}} &= P^{\mathrm{c}} \cup Q^{\mathrm{c}}\end{align}$

$P_\lambda$ 를 어떤 기초가 되는 집합의 부분 집합족이라고 할 때, 다음이 성립한다.

: $\begin{align}\left( \bigcup_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda \right) ^{\mathrm{c}} &= \bigcap_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda^{\mathrm{c}} \\\left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda \right) ^{\mathrm{c}} &= \bigcup_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda^{\mathrm{c}}\end{align}$

이것을 드 모르간 법칙이라고 한다. 이 법칙은 대응하는 논리 기호의 성질(특히 쌍대성)을 반영한다.

3.2. 여집합 법칙

어떤 집합과 그 여집합의 합집합은 전체 집합이 되고, 교집합은 공집합이 된다.

* $A \cup A^\complement = U.$
* $A \cap A^\complement = \empty .$
* $\empty^\complement = U.$
* $U^\complement = \empty.$
* 만약 $A\subseteq B$ 라면, $B^\complement \subseteq A^\complement.$
* 이는 조건문과 그 대우의 동치 관계에서 따른다.

위의 처음 두 여집합 법칙은 $A$ 가 $U$ 의 공집합이 아닌 진부분집합이라면, $\{A, A^\complement\}$ 는 $U$ 의 분할임을 보여준다.

3.3. 이중 여집합 법칙

대합 또는 이중 여집합 법칙에 따르면, 어떤 집합의 여집합의 여집합은 원래 집합과 같다.

* $\left(A^\complement\right)^\complement = A.$

3.4. 차집합과의 관계

차집합은 상대 여집합으로 표현될 수 있다. 예를 들어, 집합 B에서 집합 A를 뺀 차집합은 B ∖ A 또는 B - A로 표기되며, B에 속하지만 A에는 속하지 않는 원소들의 집합을 의미한다. 이는 B와 A의 여집합의 교집합으로 나타낼 수 있다. 즉, $A \setminus B = A \cap B^\complement$ 이다.

드 모르간의 법칙에 따르면, 두 집합 A와 B의 합집합의 여집합은 각 집합의 여집합의 교집합과 같고, 두 집합의 교집합의 여집합은 각 집합의 여집합의 합집합과 같다.

* $\left(A \cup B \right)^\complement = A^\complement \cap B^\complement$
* $\left(A \cap B \right)^\complement = A^\complement \cup B^\complement$

여집합의 성질은 다음과 같다.

* $A \cup A^\complement = U$ (전체집합)
* $A \cap A^\complement = \empty$ (공집합)
* $\empty^\complement = U$
* $U^\complement = \empty$
* 만약 $A\subseteq B$ 이면, $B^\complement \subseteq A^\complement$

이중 여집합 법칙에 의해, A의 여집합의 여집합은 A와 같다.

* $\left(A^\complement\right)^\complement = A$

상대 여집합과 절대 여집합 사이의 관계는 다음과 같이 표현된다.

* $A \setminus B = A \cap B^\complement$
* $(A \setminus B)^\complement = A^\complement \cup B$

차집합과의 관계는 다음과 같다.

* $A^\complement \setminus B^\complement = B \setminus A$

이러한 관계들을 통해 집합 간의 복잡한 관계를 여집합과 차집합을 이용하여 간단하게 표현할 수 있다. 예를 들어, $C \setminus (C \setminus A) = (C \cap A)$ 는 교집합이 상대 여집합 연산만으로 표현될 수 있음을 보여준다.

4. 여관계

이항 관계 R은 집합의 곱 X × Y의 부분 집합으로 정의된다. 여관계 $\bar{R}$ 은 X × Y에서 R의 여집합이다. 관계 R의 여집합은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\bar{R} \ = \ (X \times Y) \setminus R.$

여기서, R은 종종 행이 X의 원소를 나타내고, 열이 Y의 원소를 나타내는 논리 행렬로 간주된다. aRb가 참인 것은 행 a, 열 b에서 1에 해당하는 것과 같다. 따라서 R에 대한 여관계를 만드는 것은 여집합의 논리 행렬에서 모든 1을 0으로, 0을 1로 바꾸는 것이다.

관계의 합성 및 역관계와 함께 여관계와 집합 대수는 관계 미적분의 기본 연산이다.

5. 표기법

여집합은 주로 A^c, A', 또는 $\overline{A}$ 와 같이 표기된다. 전체 집합 U가 정해져 있을 때, U에서 A를 뺀 차집합 $U \smallsetminus A$ 으로 정의된다.

차집합은 B ∖ A 또는 B - A로 표기된다. LaTeX에서는 `\setminus` 명령어를 사용하여 차집합 기호를 나타낸다.