상극한과 하극한

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
- 4.1. 수열
- 4.2. 함수
5. 집합의 극한
- 5.1. 일반적인 경우
- 5.2. 이산 거리의 경우
참조

1. 개요

상극한과 하극한은 위상 공간에서 점렬 및 그 일반화에 대해 정의되는 개념으로, 함수의 극한, 특히 수열의 극한이 존재하지 않거나 일반적인 극한보다 더 많은 정보를 제공할 때 유용하게 사용된다. 집합족, 그물, 함수 등 다양한 수학적 대상에 대해 정의되며, 특히 실수의 수열, 함수의 진동, 집합의 극한 등을 연구하는 데 중요한 도구이다. 상극한과 하극한은 각각 가장 작고 가장 큰 극한점을 나타내며, 극한의 존재 여부와 관계없이 항상 존재한다.

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극한 - 수열의 극한
수열의 극한은 수열의 항들이 무한히 진행될 때 특정한 값에 한없이 가까워지는 개념으로, 해석학의 기초가 되며 실수 수열의 극한 외에도 발산이나 일반화된 형태를 포함한다.
극한 - 함수의 극한
함수의 극한은 변수가 특정 값에 가까워질 때 함수 값의 변화를 나타내는 미적분학의 기초 개념이며, 입실론-델타 논법으로 엄밀하게 정의되고 유한 값뿐만 아니라 무한대로의 접근도 포함한다.

상극한과 하극한
정의
상극한 (슈프리멈 리미트)	수열의 극한 상한
하극한 (인피멈 리미트)	수열의 극한 하한
표기법
상극한	lim sup, lim sup, limsup, lim̅, limsupₙ→∞, lim supₙ→∞, limsupₙ→∞
하극한	lim inf, lim inf, liminf, lim̲, liminfₙ→∞, lim infₙ→∞, liminfₙ→∞
특징
수렴 조건	수열이 수렴하면 상극한과 하극한은 같음
발산 조건	수열이 발산하더라도 상극한과 하극한은 존재할 수 있음
예시
수열	(-1)ⁿ
상극한	1
하극한	-1
일반화
함수 극한	함수의 극한에도 상극한과 하극한 개념을 적용 가능
집합족	집합족의 상극한과 하극한은 극한 집합의 개념으로 확장됨

2. 정의

상극한과 하극한은 기본적으로 부분 순서를 갖춘 위상 공간 속의 점렬에 대해 정의되는 개념이다. 이 개념은 위상수학에서 점렬의 일반화인 그물과 필터(또는 필터 기저)로 확장될 수 있다. 필터는 집합족의 일종이므로, 상극한과 하극한의 개념은 더 나아가 임의의 집합족에 대해서도 일반화될 수 있다.

또한, 주어진 함수 $f\colon X\to Y$ 와 정의역의 특정 점 $x_0\in X$ 에 대해, $f$ 가 $x_0$ 의 근방에서 취하는 값들의 집합족을 이용하여 함수 $f$ 의 $x_0$ 에서의 상극한과 하극한을 정의하는 것도 가능하다.

특히 실수 값 수열 $(x_n)$ 의 경우, 상극한과 하극한은 수열의 부분 수열 극한들의 상한(supremum)과 하한(infimum)으로 해석될 수 있다.^[1] 즉, 수열이 특정 값으로 수렴하지 않더라도, 부분적으로 수렴하는 값들이 존재할 때 그 값들의 범위 중 가장 큰 값(상극한)과 가장 작은 값(하극한)을 나타낸다. 실수열의 상극한과 하극한은 확장된 실수선 $\overline{\R}=[-\infty,\infty]$ 상에서 항상 존재하며, 일반적으로 $\liminf_{n\to\infty}x_n \leq \limsup_{n\to\infty}x_n$ 관계가 성립한다. 만약 두 값이 일치하면, 수열의 극한이 존재하며 그 값은 상극한 및 하극한과 같다. 이처럼 상극한과 하극한은 일반적인 극한 개념을 확장하여 극한이 존재하지 않는 경우에도 수열의 점근적 거동에 대한 정보를 제공한다.

집합들의 수열에 대해서도 상극한과 하극한을 정의할 수 있으며, 이는 확률론 등 다양한 분야에서 활용된다.

2. 1. 집합족

위상수학에서 점렬의 개념은 그물과 필터(또는 필터 기저)로 일반화된다. 필터는 집합족의 일종이며, 상극한과 하극한의 개념은 임의의 집합족에 대하여 일반화될 수 있다.

Y

가 완비 격자라고 하자.

Y

속의 집합족

\mathcal B\subseteq\mathcal P(Y)

가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

Y

의 부분 집합

:

\{\sup B\colon B\in\mathcal B\}

:

\{\inf B\colon B\in\mathcal B\}

을 정의할 수 있다. 만약

\mathcal B

가 하향 집합족이라면 이들 역시 하향 집합이며, 만약

\mathcal B

가 상집합이라면 이들 역시 상집합이다. 즉, 만약

\mathcal B

가 필터라면 이들 역시 필터이다.

이제,

Y

에 추가로 하우스도르프 위상이 부여되었다고 하고,

\mathcal B

가 하향 집합족이라고 하자. 그렇다면,

:

\sup\colon\mathcal B\to Y

:

\sup\colon(B\in\mathcal B)\to\sup B

는 그물을 이룬다. 만약 이 그물이 수렴한다면,

\mathcal B

의 '''상극한'''은 이 그물의 극한이다.

:

\limsup\mathcal B=\lim_{B\to\bot}\sup B

마찬가지로,

\mathcal B\subseteq\mathcal P(Y)

가 상향 집합족이라고 하자. 그렇다면,

:

\inf\colon\mathcal B\to Y

:

\inf\colon(B\in\mathcal B)\mapsto\inf B

는 그물을 이룬다. 만약 이 그물이 수렴한다면,

\mathcal B

의 '''하극한'''은 이 그물의 극한이다.

:

\liminf\mathcal B=\lim_{B\to\top}\inf B

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

부분 순서가 주어진 위상 공간 $Y$
상향 원순서 집합 $(I,\lesssim)$
$Y$ 위의 그물 $y\colon I\to Y$

그렇다면, 그물

y

의 꼬리들의 필터 기저

:

\operatorname{tail}(y)=\left\{\{y_i\colon i\le i_0\}\colon i_0\in I\right\}

를 생각하자. 그물

y

의 '''상극한''' 및 '''하극한'''은 필터 기저

\operatorname{tail}(y)

(또는 이로부터 생성되는 필터)의 상극한·하극한이다.

:

\limsup_{i\to\infty}y_i=\limsup\operatorname{tail}(y)

:

\liminf_{i\to\infty}y_i=\liminf\operatorname{tail}(y)

특히,

Y

의 점렬

y\colon\mathbb N\to Y

은 그물의 특수한 경우이므로, 그 상극한·하극한이 정의된다.

특히,

Y

가 순서 위상이 부여된 전순서 집합이며, 모든 상한과 하한이 존재한다고 하자 (예를 들어, 확장된 실수

Y=\bar{\mathbb R}=[-\infty,\infty]

). 그렇다면, 상극한·하극한의 정의는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\limsup_{i\to\infty}y_i=\lim_{i_0\to\infty}\sup_{i\ge i_0}y_i=\inf_{i_0\in I}\sup_{i\ge i_0}y_i

:

\liminf_{i\to\infty}y_i=\lim_{i_0\to\infty}\inf_{i\ge i_0}y_i=\sup_{i_0\in I}\inf_{i\ge i_0}y_i

집합 ''X''의 멱집합 ℘(''X'')는 완비 격자이며, 이는 포함 관계에 의해 정렬되므로 부분 집합들의 집합의 상한과 하한(집합 포함의 관점에서)은 항상 존재한다. 특히, ''X''의 모든 부분 집합 ''Y''는 ∅ ⊆ ''Y'' ⊆ ''X''이므로 ''X''에 의해 위로 유계이고, 공집합 ∅에 의해 아래로 유계이다. 따라서 ℘(''X'')의 수열(즉, ''X''의 부분 집합의 수열)의 상극한과 하극한을 고려하는 것이 가능하며, 때로는 유용하다.

집합 수열의 극한을 정의하는 데에는 두 가지 일반적인 방법이 있다. 두 경우 모두 다음과 같다.

수열은 단일 점 자체가 아닌 점들의 집합 주변에 ''축적''된다. 즉, 수열의 각 요소 자체가 집합이므로 수열의 무한히 많은 요소에 근접한 축적 ''집합''이 존재한다.
상한/상극한/외부 극한은 이러한 축적 집합을 합집합하는 집합이다. 즉, 모든 축적 집합의 합집합이다. 집합 포함으로 정렬할 때, 상한 극한은 축적점 집합의 최소 상계이다. 왜냐하면 각 축적점을 ''포함''하기 때문이다. 따라서 이는 극한점의 상한이다.
하한/하극한/내부 극한은 이러한 모든 축적 집합이 교집합하는 집합이다. 즉, 모든 축적 집합의 교집합이다. 집합 포함으로 정렬할 때, 하한 극한은 축적점 집합의 최대 하계이다. 왜냐하면 각 축적점을 ''포함''하기 때문이다. 따라서 이는 극한점의 하한이다.
정렬은 집합 포함에 의해 이루어지므로 외부 극한은 항상 내부 극한을 포함한다(즉, lim inf ''X''_''n'' ⊆ lim sup ''X''_''n''). 따라서 집합 수열의 수렴을 고려할 때 일반적으로 해당 수열의 외부 극한의 수렴을 고려하는 것으로 충분하다.

두 정의의 차이점은 위상수학 (즉, 분리를 정량화하는 방법)이 어떻게 정의되는가에 있다. 사실, 두 번째 정의는 ''X''에 위상을 유도하기 위해 이산 거리가 사용될 때 첫 번째 정의와 동일하다.

거리 공간

X

에서 집합의 수열은 수열의 각 구성원의 원소가 극한 집합의 원소에 접근할 때 극한 집합에 접근한다. 특히,

(X_n)

이

X

의 부분 집합의 수열이면,

$\limsup X_n,$ 는 '''상극한'''이라고도 하며, 가산적으로 무한히 많은 $n$ 에서 가져온 $X_n$ 의 점의 극한으로 이루어진다. 즉, $x \in \limsup X_n$ 는 점의 수열 $(x_k)$ 와 $(X_n)$ 의 부분 수열 $(X_{n_k})$ 이 존재하여 $x_k \in X_{n_k}$ 이고 $\lim_{k\to\infty} x_k = x$ 일 때이다.
$\liminf X_n,$ 는 '''하극한'''이라고도 하며, 유한 개를 제외한 모든 $n$ (즉, 공유한 많은 $n$ )에 대한 $X_n$ 의 점의 극한으로 이루어진다. 즉, $x \in \liminf X_n$ 는 점의 수열 $(x_k)$ 가 존재하여 $x_k \in X_k$ 이고 $\lim_{k\to\infty} x_k = x$ 일 때이다.

극한

\lim X_n

는

\liminf X_n

와

\limsup X_n

가 일치할 때 존재하며, 이 경우

\lim X_n = \limsup X_n = \liminf X_n

이다.^[6] 상극한과 하극한은 공간의 위상 구조에 민감하지 않은, 집합론적 상한 및 하한과 혼동해서는 안 된다.

집합 ''X'' ⊆ ''Y''의 하극한은 집합의 모든 극한점들의 하한이다. 즉,

:

\liminf X := \inf\,\{ x \in Y : x \text{는 } X \text{의 극한점} \}\,

마찬가지로, ''X''의 상극한은 집합의 모든 극한점들의 상한이다. 즉,

:

\limsup X := \sup\,\{ x \in Y : x \text{는 } X \text{의 극한점} \}\,

이러한 정의가 의미를 가지려면 집합 ''X''는 또한 위상 공간인 부분 순서 집합 ''Y''의 부분 집합으로 정의되어야 한다. 또한 상한과 하한이 항상 존재하도록 완비 격자여야 한다. 이 경우 모든 집합은 상극한과 하극한을 갖는다. 또한 집합의 하극한과 상극한이 집합의 원소일 필요는 없다는 점에 유의해야 한다.

2. 2. 그물과 점렬

상극한과 하극한은 기본적으로 부분 순서를 갖춘 위상 공간 속의 점렬 및 그 일반화에 대하여 정의되는 개념이다. 위상수학에서 점렬의 개념은 그물과 필터(또는 필터 기저)로 일반화될 수 있다.

다음과 같은 요소들이 주어졌다고 가정해 보자.

부분 순서가 주어진 위상 공간 $Y$
상향 원순서 집합 $(I,\lesssim)$
$Y$ 위의 그물 $y\colon I\to Y$

그렇다면, 그물

y

의 꼬리들의 필터 기저

:

\operatorname{tail}(y)=\left\{\{y_i\colon i\le i_0\}\colon i_0\in I\right\}

를 생각할 수 있다. 그물

y

의 상극한 및 하극한은 필터 기저

\operatorname{tail}(y)

(또는 이로부터 생성되는 필터)의 상극한·하극한이다.

:

\limsup_{i\to\infty}y_i=\limsup\operatorname{tail}(y)

:

\liminf_{i\to\infty}y_i=\liminf\operatorname{tail}(y)

특히,

Y

의 점렬

y\colon\mathbb N\to Y

은 그물의 특수한 경우이므로, 그 상극한·하극한이 위와 같이 정의된다.

만약

Y

가 순서 위상이 부여된 전순서 집합이며, 모든 상한과 하한이 존재한다고 가정하면 (예를 들어, 확장된 실수

Y=\bar{\mathbb R}=[-\infty,\infty]

), 상극한·하극한의 정의는 다음과 같이 더 구체적으로 쓸 수 있다.

:

\limsup_{i\to\infty}y_i=\lim_{i_0\to\infty}\sup_{i\ge i_0}y_i=\inf_{i_0\in I}\sup_{i\ge i_0}y_i

:

\liminf_{i\to\infty}y_i=\lim_{i_0\to\infty}\inf_{i\ge i_0}y_i=\sup_{i_0\in I}\inf_{i\ge i_0}y_i

수열

(x_n)

의 하극한은 다음과 같이 정의된다.

\liminf_{n\to\infty} x_n := \lim_{n\to\infty}\! \Big(\inf_{m \geq n} x_m\Big)

또는

\liminf_{n\to\infty} x_n := \sup_{n \geq 0}\,\inf_{m \geq n} x_m = \sup\,\{\, \inf\,\{\,x_m : m \geq n\,\} : n \geq 0\,\}.

마찬가지로, 수열

(x_n)

의 상극한은 다음과 같이 정의된다.

\limsup_{n\to\infty} x_n := \lim_{n\to\infty}\! \Big(\sup_{m \geq n} x_m\Big)

또는

\limsup_{n\to\infty} x_n := \inf_{n \geq 0}\,\sup_{m \geq n} x_m = \inf\,\{\, \sup\,\{\,x_m : m \geq n\,\} : n \geq 0\,\}.

때로는

\varliminf_{n\to\infty} x_n := \liminf_{n\to\infty} x_n

과

\varlimsup_{n\to\infty} x_n := \limsup_{n\to\infty} x_n

표기가 사용되기도 한다.

상극한과 하극한은 수열

(x_n)

의 부분 수열 극한의 개념을 사용하여 동등하게 정의될 수도 있다.^[1] 확장된 실수

\overline{\R}

의 원소

\xi

가

(x_n)

의 ''부분 수열 극한''이라는 것은,

\xi=\lim_{k\to\infty} x_{n_k}

인 자연수의 단조 증가 수열

(n_k)

가 존재한다는 의미이다. 만약

E \subseteq \overline{\R}

이

(x_n)

의 모든 부분 수열 극한의 집합이라면, 다음이 성립한다.

:

\limsup_{n\to\infty} x_n = \sup E

이고

:

\liminf_{n\to\infty} x_n = \inf E.

수열의 항이 실수일 경우, 실수와 ±∞ (즉, 확장된 실수선)는 완비 거리 공간이므로 상극한과 하극한은 항상 존재한다. 더 일반적으로는, 이러한 정의는 상한과 하한이 존재하는 모든 부분 순서 집합에서 의미가 있으며, 완비 격자 등이 그러한 예이다.

일반적인 극한이 존재할 때마다, 하극한과 상극한은 모두 그 극한과 같아진다. 따라서 각 극한은 극한이 ''존재하지 않는'' 경우에도 유용하게 사용될 수 있는 일반적인 극한의 확장 개념으로 볼 수 있다.

\liminf_{n\to\infty} x_n

과

\limsup_{n\to\infty} x_n

이 모두 존재할 때, 항상 다음 부등식이 성립한다.

:

\liminf_{n\to\infty}x_n \leq \limsup_{n\to\infty}x_n.

2. 3. 함수

임의의 함수

f\colon X\to Y

및 임의의 점

x_0\in X

가 주어졌을 때,

f

가

x_0

의 근방에서 취하는 값들의 집합족을 정의할 수 있으며, 이를 통해 함수

f

의, 특정한 점

x_0\in X

에서의 상극한·하극한을 정의할 수 있다.

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

부분 순서가 주어진 위상 공간 $Y$
위상 공간 $X$
함수 $f\colon X\to Y$
점 $x_0\in X$

그렇다면, 다음과 같은 집합족을 생각할 수 있다.

:

B_{f,x_0,U}=f(U\setminus\{x_0\})=\left\{f(x)\colon x\in U\setminus\{x_0\}\right\}

:

\mathcal B_{f,x_0}=\left\{B_{f,U,x_0}\colon U\in\mathcal N_{X,x_0}\right\}

여기서

\mathcal N_{X,x_0}

는

x_0\in X

의 근방 필터이다. 즉,

x_0

의 근방에서

f

가 취하는 값들의 집합족이다.

\mathcal B_{f,x_0}

는

Y

속의 필터를 이룬다.

f

의

x_0\in X

에서의 '''상극한'''

\textstyle\limsup_{x\to x_0}f(x)

과 '''하극한'''

\textstyle\liminf_{x\to x_0}f(x)

은 각각 필터

\mathcal B_{f,x_0}

의 상극한과 하극한이다.

:

\limsup_{x\to x_0}f(x)=\limsup\mathcal B_{f,x_0}

:

\liminf_{x\to x_0}f(x)=\liminf\mathcal B_{f,x_0}

특히, 만약

Y

가 순서 위상이 부여된 완비 전순서 집합이라고 하자 (예를 들어, 확장된 실수

Y=\bar{\mathbb R}=[-\infty,\infty]

). 그렇다면 이는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\limsup_{x\to x_0}f(x)=\inf_{U\in\mathcal N_{X,x_0}}\sup f\left(U\setminus\{x_0\}\right)

:

\liminf_{x\to x_0}f(x)=\sup_{U\in\mathcal N_{X,x_0}}\inf f\left(U\setminus\{x_0\}\right)

수학적 분석에서 상극한과 하극한은 실수의 수열을 연구하는 데 중요한 도구이다. 실수 집합의 무한 집합의 상한과 하한이 존재하지 않을 수 있으므로(실수는 완비 격자가 아님), 확장된 실수 체계에서 수열을 고려하는 것이 편리하다. 우리는 양의 무한대와 음의 무한대를 실수선에 추가하여 완비 전순서 집합 [-∞,∞]을 제공하는데, 이는 완비 격자이다.

함수가 실수의 부분 집합에서 실수로 정의된다고 가정하자. 수열의 경우와 마찬가지로, 극한 하한과 극한 상한은 +∞와 −∞ 값을 허용하면 항상 잘 정의된다. 사실, 둘 다 일치하면 극한이 존재하고 공통 값과 같다(다시 말해 무한대를 포함할 수도 있다). 예를 들어,

f(x) = \sin(1/x)

가 주어지면,

\limsup_{x\to 0} f(x) = 1

과

\liminf_{x\to 0} f(x) = -1

을 갖는다. 이 둘의 차이는 함수가 얼마나 "심하게" 진동하는지에 대한 대략적인 척도이며, 이 사실을 관찰하여 0에서 ''f''의 진동이라고 한다. 이러한 진동 개념은, 예를 들어, 리만 적분 가능한 함수를 연속 함수로 특징짓는 데 충분하며, 이는 측도 영 집합을 제외한 곳에서 성립한다.^[5] 0이 아닌 진동 지점(즉, ''f''가 "잘못된 행동"을 보이는 지점)은 불연속성이며, 측도 영 집합을 구성하지 않는 한 무시할 수 있는 집합에 국한된다.

계량 공간 상의 함수에 대한 상극한과 하극한의 개념이 있으며, 이는 실수 값을 갖는 함수의 극한과의 관계가 실수열의 상극한, 하극한 및 극한 사이의 관계를 반영한다. 계량 공간

X

와,

X

에 포함된 부분 공간

E

, 그리고 함수

f:E \to \mathbb{R}

을 생각하자.

E

의 모든 극한점

a

에 대해,

:

\limsup_{x \to a} f(x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \left(\sup\,\{ f(x) : x \in E \cap B(a,\varepsilon)\setminus\{a\} \}\right)

이고

:

\liminf_{x \to a} f(x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \left(\inf\,\{ f(x) : x \in E \cap B(a,\varepsilon)\setminus\{a\} \}\right)

여기서

B(a,\varepsilon)

는

a

를 중심으로 하는 반지름

\varepsilon

의 계량 공을 나타낸다.

참고로, ''ε''가 줄어들면서 공 위에서의 함수의 상한은 감소하지 않으며 (엄격하게 감소하거나 동일하게 유지), 따라서 다음을 얻는다.

:

\limsup_{x \to a} f(x) = \inf_{\varepsilon > 0} \left(\sup\,\{ f(x) : x \in E \cap B(a,\varepsilon)\setminus\{a\} \}\right)

그리고 마찬가지로

:

\liminf_{x \to a} f(x) = \sup_{\varepsilon > 0} \left(\inf\,\{ f(x) : x \in E \cap B(a,\varepsilon)\setminus\{a\} \}\right).

이것은 마침내 일반적인 위상 공간에 대한 정의를 유도한다. 이전과 같이 ''X'', ''E'', ''a''를 취하되, 이제 ''X''를 위상 공간이라고 하자. 이 경우, 거리 구를 근방으로 대체한다.

:

\limsup_{x \to a} f(x) = \inf\,\{\, \sup\,\{ f(x) : x \in E \cap U\setminus\{a\} \} : U\ \mathrm{열린}, a \in U,\, E \cap U\setminus\{a\} \neq \emptyset \}

:

\liminf_{x \to a} f(x) = \sup\,\{\, \inf\,\{ f(x) : x \in E \cap U\setminus\{a\} \} : U\ \mathrm{열린}, a \in U,\, E \cap U\setminus\{a\} \neq \emptyset \}

(넷과 근방 필터를 사용하여 "lim"을 사용하는 공식을 작성하는 방법이 있다.) 이 버전은 분석에서 자주 나타나는 반연속성에 대한 논의에서 종종 유용하다. 흥미로운 점은 이 버전이 수열을 확장된 실수선의 위상 부분 공간으로서 자연수로부터 공간으로의 함수로 간주하여 수열 버전을 포함한다는 것이다('''N'''의 폐포는 [−∞,∞]에서 '''N''' ∪ {∞}이다.)

3. 성질

확장된 실수 $\overline{\R}=[-\infty, \infty]$ 에서 정의된 수열이나 그물의 상극한과 하극한은 그 극한의 존재 여부와 관계없이 항상 존재한다. 이는 확장된 실수가 순서 위상이 부여된 완비 전순서 집합이기 때문이다. 따라서 실수 수열을 다룰 때, $\pm\infty$ 값을 허용하는 확장된 실수 체계에서 상극한과 하극한을 고려하는 것이 편리하다.

일반적으로 수열 $(x_n)$ 에 대해 하극한은 상극한보다 작거나 같다.

: $\liminf_{n\to\infty}x_n \leq \limsup_{n\to\infty}x_n.$

상극한과 하극한은 수열의 부분 수열 극한값들 중 각각 가장 큰 값과 가장 작은 값에 해당한다.^[1]^[3] 즉, 수열의 모든 극한점 중 최댓값과 최솟값이다.

수열 $(x_n)$ 이 (확장된 실수 내에서) 수렴할 필요충분조건은 상극한과 하극한이 일치하는 것이다. 이 경우, 수열의 극한값은 상극한과 하극한의 공통 값과 같다.

이 외에도 상극한과 하극한은 부호 반전, 수열의 합과 곱에 대한 부등식 등 다양한 대수적 성질을 만족하며, 자세한 내용은 하위 섹션에서 다룬다.

3. 1. 극한과의 관계

일반적인 극한이 존재할 때마다, 하극한과 상극한은 모두 그 극한과 같다. 따라서 상극한과 하극한은 극한이 존재하지 않는 경우에도 유용하게 사용될 수 있는 일반화된 극한 개념으로 볼 수 있다.^[1] 수열

(x_n)

의 하극한과 상극한이 모두 존재할 때, 항상 다음 부등식이 성립한다.

:

\liminf_{n\to\infty}x_n \leq \limsup_{n\to\infty}x_n.

실수 수열

(x_n)

을 확장된 실수 집합

[-\infty, \infty]

에서 생각하면 상극한과 하극한은 항상 존재한다. 이 확장된 실수 집합에서 수열

(x_n)

이 수렴하는 것과 상극한과 하극한이 일치하는 것은 서로 동치이다. 즉,

\liminf_{n\to\infty} x_n = \limsup_{n\to\infty} x_n

일 때, 그리고 오직 이때만 수열

(x_n)

은 수렴하며, 그 극한값

\lim_{n\to\infty} x_n

은 상극한과 하극한의 공통 값과 같다. (단, 일반적인 실수 공간

\R

에서는

\pm\infty

로의 수렴은 발산으로 간주한다.)

상극한과 하극한 값에 따라 다음과 같은 관계가 성립한다.

\begin{alignat}{4}\liminf_{n\to\infty} x_n &=   \infty &&\;\;\text{ 이면 }\;\; \lim_{n\to\infty} x_n = \infty\text{ 이다}. \\[0.3ex]\limsup_{n\to\infty} x_n &= - \infty &&\;\;\text{ 이면 }\;\; \lim_{n\to\infty} x_n = - \infty\text{ 이다}.\end{alignat}

만약

I = \liminf_{n\to\infty} x_n

이고

S = \limsup_{n\to\infty} x_n

이면, 구간

[I, S]

는 수열

(x_n)

의 모든 극한점 (부분 수열의 극한값)을 포함하며,

I

는 가장 작은 극한점,

S

는 가장 큰 극한점이다.^[3] 임의의 양수

\epsilon > 0

에 대해, 충분히 큰

n

에 대해서는

x_n

값들이 구간

[I - \epsilon, S + \epsilon]

안에 존재하게 된다. 즉, 유한 개의 항을 제외한 모든 항이 이 구간 안에 포함된다.

수열이 유계인 경우, 모든 $\epsilon > 0$ 에 대해 거의 모든 수열의 원소는 열린 구간 $(\liminf_{n\to\infty} x_n - \epsilon,\limsup_{n\to\infty} x_n + \epsilon)$ 에 속한다.

극한의 존재와 상극한/하극한의 일치 사이의 이러한 관계는 수열뿐만 아니라 다음과 같은 더 일반적인 대상에 대해서도 성립한다.

그물: 순서 위상이 부여된 완비 전순서 집합 $(X,\le)$ 위의 그물 $x\colon I\to X$ 가 점 $x_0\in X$ 로 수렴할 필요충분조건은 상극한과 하극한이 $x_0$ 으로 일치하는 것이다. 즉, $\textstyle\lim_{i\in I} x_i = x_0 \iff x_0=\limsup_{i\in I} x_i =\liminf_{i\in I} x_i$ 이다.

함수: 계량 공간 또는 위상 공간 위에서 정의된 실수 값 함수 $f$ 에 대해서도 유사한 관계가 성립한다. 점 $a$ 에서 함수 $f(x)$ 의 극한이 존재할 필요충분조건은 $a$ 에서의 상극한과 하극한이 일치하는 것이다. 즉,

\lim_{x \to a} f(x) = L \quad \iff \quad \liminf_{x \to a} f(x) = \limsup_{x \to a} f(x) = L

예를 들어, 함수

f(x) = \sin(1/x)

는

x \to 0

일 때 극한값이 존재하지 않는데, 이는

\limsup_{x\to 0} f(x) = 1

이고

\liminf_{x\to 0} f(x) = -1

로 서로 다르기 때문이다. 이 차이는 함수가

x=0

근방에서 얼마나 심하게 진동하는지를 나타낸다.^[5]

필터 기저: 위상 공간 $X$ 내의 필터 기저 $B$ 에 대해서도, 만약 하극한과 상극한이 일치한다면, 정확히 하나의 집적점이 존재하며 필터 기저의 극한은 이 유일한 집적점과 같다.

3. 2. 상극한과 하극한의 관계

임의의 순서체

(K,\le)

에서 집합족

\mathcal B\subseteq\mathcal P(K)

, 그물

x\colon I\to K

, 또는 위상 공간

X

위의 함수

f\colon X\to K

에 대해 상극한과 하극한은 다음과 같은 관계를 가진다.

=== 부호 관계 ===

상극한과 하극한은 서로 반대 부호 관계를 가진다.

집합족: $-\liminf\mathcal B=\limsup(-\mathcal B)$ (여기서 $-\mathcal B=\{-B\colon B\in\mathcal B\}=\left\{\{-b\colon b\in B\}\colon B\in\mathcal B\right\}$ )
그물: $-\liminf_{i\to\infty}x_i=-\limsup_{n\to\infty}(-x_i)$
함수: $-\liminf_{x\to x_0}f(x)=\limsup_{x\to x_0}(-f(x))$
실수 수열: $\limsup_{n\to\infty} \left(-x_n\right) = -\liminf_{n\to\infty} x_n$

=== 대소 관계 ===

하한 (infimum), 하극한 (limit inferior), 상극한 (limit superior), 상한 (supremum) 사이에는 다음과 같은 대소 관계가 성립한다.

그물: $\inf_{i\in I}x_i\le\liminf_{i\to\infty}x_i\le\limsup_{i\to\infty}(x_i)\le\sup_{i\in I}x_i$
함수: $\inf_{x\in X}f(x)\le\liminf f(x)\le\limsup_{x\to x_0}f(x)\le\sup_{x\in X}f(x)$
수열: $\inf_n x_n \leq \liminf_{n\to\infty} x_n \leq \limsup_{n\to\infty} x_n \leq \sup_n x_n.$

특히, 항상

\liminf_{n\to\infty}x_n \leq \limsup_{n\to\infty}x_n

이 성립한다.

=== 극한과의 관계 ===

일반적인 극한이 존재하는 경우, 하극한과 상극한은 모두 그 극한값과 같다. 따라서 상극한과 하극한은 극한이 존재하지 않는 경우에도 유용한 일반화된 개념으로 볼 수 있다.

확장된 실수선

[-\infty, \infty]

에서 수열

\left(x_n\right)

이 수렴할 필요충분조건은 하극한과 상극한이 일치하는 것이다.

:

\liminf_{n\to\infty} x_n = \limsup_{n\to\infty} x_n

이 경우, 극한값

\lim_{n\to\infty} x_n

은 이 공통 값과 같다. (단, 실수 집합

\R

에서만 고려할 경우,

-\infty

또는

\infty

로의 수렴은 일반적인 의미의 수렴으로 간주하지 않는다.)

또한 다음 관계가 성립한다.

$\liminf_{n\to\infty} x_n = \infty$ 이면 $\lim_{n\to\infty} x_n = \infty$ 이다.
$\limsup_{n\to\infty} x_n = - \infty$ 이면 $\lim_{n\to\infty} x_n = - \infty$ 이다.

=== 부분 수열 극한과의 관계 ===

수열

(x_n)

의 모든 부분 수열 극한값들의 집합을

E \subseteq \overline{\R}

라고 할 때, 상극한과 하극한은 각각

E

의 상한과 하한과 같다.^[1]

:

\limsup_{n\to\infty} x_n = \sup E

:

\liminf_{n\to\infty} x_n = \inf E.

즉, 수열의 하극한과 상극한은 각각 가장 작은 극한점과 가장 큰 극한점이다.^[3]

만약 수열

(a_n)

의 부분 수열

(b_n)

이 수렴한다면, 그 극한값은 원래 수열의 하극한과 상극한 사이에 있다.

:

\liminf_{n\to\infty}a_n\leq\lim_{n\to\infty}b_n\leq\limsup_{n\to\infty}a_n.

또한, 원래 수열

(a_n)

의 부분 수열 중 상극한값으로 수렴하는 것과 하극한값으로 수렴하는 것이 항상 존재한다.

=== 수열의 합과 곱에 대한 부등식 ===

'''합''': 임의의 두 실수 수열 $(a_n), (b_n)$ 에 대해, 우변이 정의될 때( $\infty - \infty$ 또는 $-\infty + \infty$ 가 아닐 때), 상극한은 준가법적(subadditive)이고 하극한은 초가법적(superadditive)이다.

::

\limsup_{n\to\infty}\, (a_n + b_n) \leq \limsup_{n\to\infty} a_n +\ \limsup_{n\to\infty} b_n.

::

\liminf_{n\to\infty}\, (a_n + b_n) \geq \liminf_{n\to\infty} a_n +\ \liminf_{n\to\infty} b_n.

::특히, 수열 중 하나가

a_n \to a

와 같이 수렴하면, 위 부등식은 등식이 된다.

'''곱''': 임의의 두 비음 실수 수열 $(a_n), (b_n)$ 에 대해, 우변이 $0 \cdot \infty$ 형태가 아닐 때 다음 부등식이 성립한다.

::

\limsup_{n\to\infty}\, (a_n b_n) \leq \left(\limsup_{n\to\infty} a_n \!\right) \!\!\left(\limsup_{n\to\infty} b_n \!\right)

::

\liminf_{n\to\infty}\, (a_n b_n) \geq \left(\liminf_{n\to\infty} a_n \right)\!\!\left(\liminf_{n\to\infty} b_n\right)

::만약

\lim_{n\to\infty} a_n = A

가 존재하고(

A = +\infty

포함)

B = \limsup_{n\to\infty} b_n

일 때,

A B

가

0 \cdot \infty

형태가 아니라면

\limsup_{n\to\infty} \left(a_n b_n\right) = A B

가 성립한다.

=== 함수에서의 관계 ===

함수

f(x)

에 대해서도 상극한과 하극한을 정의할 수 있다. 예를 들어,

f(x) = \sin(1/x)

의 경우,

x \to 0

일 때 상극한은 1이고 하극한은 -1이다 (

\limsup_{x\to 0} f(x) = 1

,

\liminf_{x\to 0} f(x) = -1

). 이 둘의 차이는 함수가 얼마나 심하게 진동하는지를 나타내는 척도가 되며, 이를 함수의 진동이라고 한다. 이 개념은 리만 적분 가능 함수를 측도 영 집합을 제외한 거의 모든 점에서 연속 함수인 것으로 특징짓는 데 사용된다.^[5] 0이 아닌 진동을 가지는 점은 함수의 불연속점이다.

3. 3. 가법성

임의의 두 실수 수열

(a_n), (b_n)

에 대해, 상극한은 부등식의 우변이 정의될 때마다(즉,

\infty - \infty

또는

-\infty + \infty

가 아닐 때) 다음의 준가법성(subadditivity)을 만족한다:

\limsup_{n\to\infty}\, (a_n + b_n) \leq \limsup_{n\to\infty} a_n +\ \limsup_{n\to\infty} b_n.

유사하게 하극한은 다음의 초가산성(superadditivity)을 만족한다:

\liminf_{n\to\infty}\, (a_n + b_n) \geq \liminf_{n\to\infty} a_n +\ \liminf_{n\to\infty} b_n.

특히, 두 수열 중 하나가 수렴하는 경우, 예를 들어

a_n \to a

이면, 위의 두 부등식은 등식이 된다. 즉,

\limsup_{n\to\infty} a_n

또는

\liminf_{n\to\infty} a_n

을 극한값

a

로 대체하여 등호가 성립한다.

4. 예

(내용 없음)

4. 1. 수열

수열

(x_n)

의 '''하극한'''(limit inferior^영어)은 다음과 같이 정의된다.

\liminf_{n\to\infty} x_n := \lim_{n\to\infty}\! \Big(\inf_{m \geq n} x_m\Big)

이는 수열의 꼬리 부분(

n

번째 항 이후)의 하한(infimum)들의 극한값이다. 다르게 표현하면 다음과 같다.

\liminf_{n\to\infty} x_n := \sup_{n \geq 0}\,\inf_{m \geq n} x_m = \sup\,\{\, \inf\,\{\,x_m : m \geq n\,\} : n \geq 0\,\}.

마찬가지로, 수열

(x_n)

의 '''상극한'''(limit superior^영어)은 다음과 같이 정의된다.

\limsup_{n\to\infty} x_n := \lim_{n\to\infty}\! \Big(\sup_{m \geq n} x_m\Big)

이는 수열의 꼬리 부분(

n

번째 항 이후)의 상한(supremum)들의 극한값이다. 다르게 표현하면 다음과 같다.

\limsup_{n\to\infty} x_n := \inf_{n \geq 0}\,\sup_{m \geq n} x_m = \inf\,\{\, \sup\,\{\,x_m : m \geq n\,\} : n \geq 0\,\}.

또는,

\varliminf_{n\to\infty} x_n := \liminf_{n\to\infty} x_n

과

\varlimsup_{n\to\infty} x_n := \limsup_{n\to\infty} x_n

표기가 사용되기도 한다.

상극한과 하극한은 수열

(x_n)

의 부분 수열 극한 개념을 사용하여 동등하게 정의될 수도 있다.^[1] 확장된 실수

\overline{\R}

의 원소

\xi

가

(x_n)

의 ''부분 수열 극한''인 것은,

\xi=\lim_{k\to\infty} x_{n_k}

인 자연수의 단조 증가 수열

(n_k)

가 존재할 때이다. 만약

E \subseteq \overline{\R}

이

(x_n)

의 모든 부분 수열 극한의 집합이라면, 다음이 성립한다.

\limsup_{n\to\infty} x_n = \sup E

\liminf_{n\to\infty} x_n = \inf E.

수열의 항이 실수일 경우, 실수와 ±∞ (즉, 확장된 실수선)는 완비 거리 공간이므로 상극한과 하극한은 항상 존재한다. 더 일반적으로는, 이러한 정의는 상한과 하한이 존재하는 모든 부분 순서 집합에서 의미가 있으며, 완비 격자 등이 그러하다.

일반적인 극한이 존재할 때마다, 하극한과 상극한은 모두 그 극한과 같으므로, 각 극한은 극한이 ''존재하지 않는'' 경우에 주로 유용한 일반적인 극한의 일반화로 간주될 수 있다.

\liminf_{n\to\infty}x_n

과

\limsup_{n\to\infty}x_n

이 모두 존재할 때, 다음이 성립한다.

\liminf_{n\to\infty}x_n \leq \limsup_{n\to\infty}x_n.

하극한과 상극한은 빅 오 표기법과 관련이 있는데, 이는 수열을 "극한에서만" 경계짓기 때문이다. 즉, 수열은 경계를 초과할 수 있다. 그러나, 빅 오 표기법에서는 수열이 수열의 유한한 앞부분에서만 경계를 초과할 수 있는 반면, e^−''n''과 같은 수열의 상극한은 실제로 수열의 모든 원소보다 작을 수 있다. 단지 수열의 어떤 꼬리가 상극한에 임의로 작은 양수를 더한 값으로 위에서 경계지어지고, 하극한에서 임의로 작은 양수를 뺀 값으로 아래에서 경계지어진다는 것만 보장된다.

수열의 상극한과 하극한은 함수의 상극한과 하극한의 특수한 경우이다.

실수 수열

(x_n)

을 고려해 보자. 상극한과 하극한이 실수라고 가정한다(무한대가 아님).

$x_n$ 의 상극한은 모든 양의 실수 $\varepsilon$ 에 대해, 모든 $n>N$ 에 대해 $x_n 이 성립하는 자연수 N 이 존재하는 가장 작은 실수 b 이다. 즉, 상극한보다 큰 모든 수는 수열의 최종 상한이다. 수열의 요소 중 b+\varepsilon 보다 큰 것은 유한 개뿐이다.$
$x_n$ 의 하극한은 모든 양의 실수 $\varepsilon$ 에 대해, 모든 $n>N$ 에 대해 $x_n>b-\varepsilon$ 이 성립하는 자연수 $N$ 이 존재하는 가장 큰 실수 $b$ 이다. 즉, 하극한보다 작은 모든 수는 수열의 최종 하한이다. 수열의 요소 중 $b-\varepsilon$ 보다 작은 것은 유한 개뿐이다.

실수의 수열에 대한 하극한과 상극한의 관계는 다음과 같다.

\limsup_{n\to\infty} \left(-x_n\right) = -\liminf_{n\to\infty} x_n

앞서 언급했듯이,

\R

을

[-\infty, \infty]

로 확장하는 것이 편리하다. 그러면

[-\infty, \infty]

에서

\left(x_n\right)

은 다음의 경우에만 수렴한다.

\liminf_{n\to\infty} x_n = \limsup_{n\to\infty} x_n

이 경우

\lim_{n\to\infty} x_n

은 공통 값과 같다. (단,

\R

에서만 작업할 때는

-\infty

또는

\infty

로의 수렴은 수렴으로 간주되지 않는다.) 하극한은 상극한보다 작거나 같으므로 다음 조건이 성립한다.

\begin{alignat}{4}\liminf_{n\to\infty} x_n &=   \infty &&\;\;\text{ 는 }\;\; \lim_{n\to\infty} x_n = \infty\text{ 임을 의미한다}, \\[0.3ex]\limsup_{n\to\infty} x_n &= - \infty &&\;\;\text{ 는 }\;\; \lim_{n\to\infty} x_n = - \infty\text{ 임을 의미한다}.\end{alignat}

만약

I = \liminf_{n\to\infty} x_n

이고

S = \limsup_{n\to\infty} x_n

이면, 구간

[I, S]

는 숫자

x_n

을 포함하지 않을 수 있지만, 임의로 작은

\epsilon > 0

에 대한 모든 작은 확대

[I - \epsilon, S + \epsilon]

는 마지막 유한 개수의 지수

n

을 제외하고 모든

x_n

을 포함한다. 실제로, 구간

[I, S]

는 이 속성을 가진 가장 작은 닫힌 구간이다. 이 속성은 다음과 같이 공식화할 수 있다. 즉,

x_n

의 부분 수열

x_{k_n}

과

x_{h_n}

(여기서

k_n

과

h_n

은 증가한다)가 존재하여 다음을 만족한다.

\liminf_{n\to\infty} x_n + \epsilon>x_{h_n} \;\;\;\;\;\;\;\;\; x_{k_n} > \limsup_{n\to\infty} x_n - \epsilon

반면에, 모든

n \geq n_0

에 대해 다음을 만족하는

n_0\in\mathbb{N}

가 존재한다.

\liminf_{n\to\infty} x_n - \epsilon < x_n < \limsup_{n\to\infty} x_n + \epsilon

요약하면 다음과 같다.

$\Lambda$ 가 상극한보다 크면, $\Lambda$ 보다 큰 $x_n$ 은 최대 유한 개수이고, 작으면 무한히 많다.
$\lambda$ 가 하극한보다 작으면, $\lambda$ 보다 작은 $x_n$ 은 최대 유한 개수이고, 크면 무한히 많다.

반대로, 다음을 증명할 수도 있다.

$\Lambda$ 보다 크거나 같은 $x_n$ 이 무한히 많으면, $\Lambda$ 는 상극한보다 작거나 같고, $\Lambda$ 보다 큰 $x_n$ 이 유한하게만 존재하면, $\Lambda$ 는 상극한보다 크거나 같다.
$\lambda$ 보다 작거나 같은 $x_n$ 이 무한히 많으면, $\lambda$ 는 하극한보다 크거나 같고, $\lambda$ 보다 작은 $x_n$ 이 유한하게만 존재하면, $\lambda$ 는 하극한보다 작거나 같다.^[2]

일반적으로,

\inf_n x_n \leq \liminf_{n\to\infty} x_n \leq \limsup_{n\to\infty} x_n \leq \sup_n x_n.

수열의 liminf와 limsup는 각각 가장 작고 가장 큰 극한점이다.^[3]

임의의 두 실수 수열 $(a_n), (b_n),$ 에 대해 상극한은 부등식의 우변이 정의될 때마다(즉, $\infty - \infty$ 또는 $-\infty + \infty$ 가 아닐 때) 준 가법성을 만족한다:

\limsup_{n\to\infty}\, (a_n + b_n) \leq \limsup_{n\to\infty} a_n +\ \limsup_{n\to\infty} b_n.

유사하게 하극한은 초 가법성을 만족한다:

\liminf_{n\to\infty}\, (a_n + b_n) \geq \liminf_{n\to\infty} a_n +\ \liminf_{n\to\infty} b_n.

특히 수열 중 하나가 실제로 수렴하는 경우, 예를 들어

a_n \to a,

위의 부등식은 등식이 된다(

\limsup_{n\to\infty} a_n

또는

\liminf_{n\to\infty} a_n

은

a

로 대체됨).

임의의 두 비음의 실수 수열 $(a_n), (b_n),$ 에 대해 다음 부등식이 성립한다.

\limsup_{n\to\infty}\, (a_n b_n) \leq \left(\limsup_{n\to\infty} a_n \!\right) \!\!\left(\limsup_{n\to\infty} b_n \!\right)

\liminf_{n\to\infty}\, (a_n b_n) \geq \left(\liminf_{n\to\infty} a_n \right)\!\!\left(\liminf_{n\to\infty} b_n\right)

우변이

0 \cdot \infty

형식이 아닌 경우.

만약

\lim_{n\to\infty} a_n = A

가 존재하고(

A = +\infty

인 경우 포함)

B = \limsup_{n\to\infty} b_n,

이면

\limsup_{n\to\infty} \left(a_n b_n\right) = A B

는

A B

가

0 \cdot \infty

형식이 아닌 경우에 성립한다.

=== 예시 ===

사인 함수로 주어진 수열 $x_n = \sin(n)$ 을 고려해 보자. π가 무리수라는 사실을 이용하면, 다음이 성립한다.

\liminf_{n\to\infty} x_n = -1

\limsup_{n\to\infty} x_n = +1.

(이는 수열

\{1, 2, 3, \ldots\}

가 균등 분포 정리에 의해

2\pi

를 법으로 한 균등 분포를 따르기 때문이다.)

수론의 예로, $n$ 번째 소수를 $p_n$ 이라 할 때, 다음 하극한을 고려할 수 있다.

\liminf_{n\to\infty}\, (p_{n+1} - p_n)

이 하극한의 값은 2로 추정되는데, 이는 쌍둥이 소수 추측이며, 2014년 4월 기준으로 246 이하임이 증명되었다.^[4] 이에 대응하는 상극한은

+\infty

인데, 이는 연속하는 소수 간에 임의로 큰 소수 간격이 존재하기 때문이다.

4. 2. 함수

함수가 실수의 부분 집합에서 실수로 정의된다고 가정하자. 수열의 경우와 마찬가지로, 함수의 상극한과 하극한은 +∞와 −∞ 값을 허용하는 확장된 실수 체계에서 항상 잘 정의된다. 만약 상극한과 하극한이 같다면, 함수의 극한이 존재하고 그 공통 값과 같다(무한대 포함).

예를 들어, 위상수학자의 사인 곡선을 정의하는 함수를 생각해보자.

:

f\colon\mathbb R\to\mathbb R

:

f\colon x\mapsto\begin{cases}\sin(1/x)&x\ne0\\0&x=0\end{cases}

이 함수의

x

가 0으로 갈 때의 상극한과 하극한은 다음과 같다.

:

\liminf_{x\to 0}f(x)=-1

:

\limsup_{x\to 0}f(x)=1

(참고로,

x=0

에서의 함수값

f(0)

은 이 극한값들에 영향을 주지 않는다.)

이 예시에서 상극한과 하극한의 차이(

1 - (-1) = 2

)는 함수가

x=0

근방에서 얼마나 "심하게" 진동하는지에 대한 척도를 제공한다. 이를

x=0

에서 함수 ''f''의 진동이라고 부른다. 이러한 진동 개념은 예를 들어, 리만 적분 가능한 함수를 측도 영 집합을 제외한 대부분의 점에서 연속 함수인 것으로 특징짓는 데 사용될 수 있다.^[5] 함수가 불연속인 지점, 즉 진동이 0이 아닌 지점은 함수의 "잘못된 행동"을 나타내며, 이러한 점들의 집합은 측도가 0인 무시할 수 있는 집합에 국한된다.

5. 집합의 극한

집합 ''X''의 멱집합 ℘(''X'')는 포함 관계에 의해 순서가 정해지는 완비 격자이므로, 부분 집합들의 모임에 대한 상한과 하한은 항상 존재한다. 모든 부분 집합 ''Y''는 공집합 ∅과 전체 집합 ''X'' 사이에 위치하므로(∅ ⊆ ''Y'' ⊆ ''X''), 항상 아래로 유계이고 위로 유계이다. 따라서 ''X''의 부분 집합으로 이루어진 수열, 즉 ℘(''X'')에서의 수열에 대해서도 상극한( $\limsup$ )과 하극한( $\liminf$ )을 정의하고 사용하는 것이 가능하다.

집합 수열의 극한을 정의하는 데에는 여러 접근 방식이 있으며, 주로 수열의 각 항인 집합들이 특정 '축적 집합' 주변에 모이는 개념을 활용한다. 일반적으로 상극한은 이러한 축적 집합들의 합집합과 관련되고, 하극한은 교집합과 관련된다. 정의상 항상 하극한은 상극한의 부분 집합이 된다 ( $\liminf X_n \subseteq \limsup X_n$ ).

집합 극한의 구체적인 정의 방식은 점들 사이의 '가까움'이나 '분리'를 어떻게 정의하는지, 즉 위상수학적 구조를 어떻게 부여하는지에 따라 달라질 수 있다. 예를 들어, 거리 공간에서의 정의, 순수하게 집합론적 연산에 기반한 정의 등이 있으며, 공간에 이산 거리를 부여하면 특정 형태의 정의가 도출된다. 이러한 집합의 극한 개념은 측도론이나 확률론과 같은 다양한 수학 분야에서 중요한 도구로 사용된다.

5. 1. 일반적인 경우

집합 ''X''의 멱집합 ℘(''X'')는 포함 관계에 의해 정렬되는 완비 격자이므로, 부분 집합들의 모임에 대한 상한과 하한이 항상 존재한다. 모든 부분 집합 ''Y''는 공집합 ∅과 전체 집합 ''X'' 사이에 있으므로(∅ ⊆ ''Y'' ⊆ ''X''), 항상 아래로 유계이고 위로 유계이다. 따라서 ''X''의 부분 집합으로 이루어진 수열, 즉 ℘(''X'')에서의 수열에 대해 상극한과 하극한을 정의하고 사용하는 것이 가능하다.

집합 수열의 극한을 정의하는 데에는 일반적으로 두 가지 접근 방식이 있다. 두 방식 모두 수열의 각 항인 집합들이 특정 '축적 집합' 주변에 모이는 개념을 사용한다.

상극한 (상한 극한, 외부 극한): 모든 가능한 축적 집합들의 합집합이다. 이는 집합 포함 관계에서 축적점 집합들의 최소 상계에 해당한다.
하극한 (하한 극한, 내부 극한): 모든 가능한 축적 집합들의 교집합이다. 이는 집합 포함 관계에서 축적점 집합들의 최대 하계에 해당한다.
정의에 따라 항상 하극한은 상극한의 부분 집합이 된다. 즉, $\liminf X_n \subseteq \limsup X_n$ 이다.

이 두 정의 방식의 차이는 점들 사이의 '가까움'이나 '분리'를 어떻게 정의하는지, 즉 위상수학적 구조를 어떻게 부여하는지에 따라 달라진다. 만약 이산 거리를 사용한다면 두 정의는 사실상 같아진다.

=== 거리 공간에서의 정의 ===

거리 공간

X

에서 부분 집합들의 수열

(X_n)

의 상극한과 하극한은 점들의 극한을 이용하여 다음과 같이 정의된다.

'''상극한''' $(\limsup X_n)$ : 무한히 많은 $n$ 에 대해, 각각의 $X_n$ 에 속하는 점들로 만들 수 있는 수렴하는 점렬들의 극한값 전체의 집합이다. 즉, 어떤 점 $x$ 가 $\limsup X_n$ 에 속한다는 것은, $X$ 안의 점렬 $(x_k)$ 와 $(X_n)$ 의 부분 수열 $(X_{n_k})$ 가 존재하여, 각 $k$ 에 대해 $x_k \in X_{n_k}$ 이고 $\lim_{k\to\infty} x_k = x$ 가 성립함을 의미한다.
'''하극한''' $(\liminf X_n)$ : 유한 개를 제외한 모든 $n$ 에 대해(즉, 거의 모든 $n$ 에 대해), 각각의 $X_n$ 에 속하는 점들로 만들 수 있는 수렴하는 점렬들의 극한값 전체의 집합이다. 즉, 어떤 점 $x$ 가 $\liminf X_n$ 에 속한다는 것은, $X$ 안의 점렬 $(x_k)$ 가 존재하여, 각 $k$ 에 대해 $x_k \in X_k$ 이고 $\lim_{k\to\infty} x_k = x$ 가 성립함을 의미한다.

만약 상극한과 하극한이 일치하면, 집합 수열

(X_n)

은 극한

\lim X_n

을 가지며, 이 극한값은 상극한 및 하극한과 같다(

\lim X_n = \limsup X_n = \liminf X_n

).^[6] 이 정의는 거리 공간의 위상 구조에 의존하며, 단순히 집합들의 합집합과 교집합만을 이용하는 집합론적 상한 및 하한과는 구별된다.

=== 집합론적 정의 (쿠라토프스키 극한) ===

집합의 수열

(A_n)

에 대해, 위상 구조를 고려하지 않고 순수하게 집합 연산만으로 상극한과 하극한을 정의할 수도 있다. 이를 쿠라토프스키 극한이라고도 한다.

$\varlimsup_{n\to\infty} A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} A_k$
이 집합은 수열 $(A_n)$ 에서 무한히 많은 집합에 속하는 원소들의 모임이다. 즉, $x \in \limsup A_n$ 이라는 것은 $x$ 가 속하는 $A_k$ 가 무한히 많다는 의미이다.
$\varliminf_{n\to\infty} A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} A_k$
이 집합은 수열 $(A_n)$ 에서 유한 개의 집합을 제외한 모든 집합에 속하는 원소들의 모임이다. 즉, $x \in \liminf A_n$ 이라는 것은 어떤 자연수 $N$ 이 존재하여 모든 $k \ge N$ 에 대해 $x \in A_k$ 가 성립한다는 의미이다.

여기서도 상극한과 하극한이 일치할 때 집합 수열이 수렴한다고 하며, 그 극한을

\lim_{n\to\infty} A_n

으로 표기한다. 이 정의는 각 집합

A_n

의 지시 함수 수열의 점별 상극한/하극한과 동일한 개념이다.

=== 위상 공간과 필터 기저 ===

더 일반적인 위상 공간에서는 필터 기저라는 개념을 사용하여 상극한과 하극한을 정의할 수 있다. 위상 공간

X

안의 필터 기저

B

에 대해, 모든 집적점들의 집합은 각

B_0 \in B

의 폐포

\overline{B}_0

들의 교집합

\bigcap\, \{ \overline{B}_0 : B_0 \in B \}

으로 주어진다. 이 집합은 닫힌 집합이다. 만약

X

가 부분 순서 집합이기도 하다면, 이 집적점 집합의 상한과 하한을 각각 상극한과 하극한으로 정의할 수 있다 (존재한다면).

$\limsup B := \sup\, \bigcap\, \{ \overline{B}_0 : B_0 \in B \}$
$\liminf B := \inf\, \bigcap\, \{ \overline{B}_0 : B_0 \in B \}$

만약

X

가 전순서 집합이고 완비 격자이며 순서 위상을 가진다면, 정의는 다음과 같이 단순화될 수 있다.

$\limsup B = \inf\,\{ \sup B_0 : B_0 \in B \}$
$\liminf B = \sup\,\{ \inf B_0 : B_0 \in B \}$

상극한과 하극한이 일치하면, 필터 기저의 극한은 유일한 집적점과 같다.

=== 확률론에서의 응용 ===

집합열의 상극한과 하극한 개념은 확률론에서 사건열을 다룰 때 중요하게 사용된다. 사건열

(A_n)

에 대해, 상극한과 하극한은 다음과 같은 의미를 지닌 새로운 사건이 된다.

'''사건열의 상극한''' ( $\limsup A_n$ 또는 $\{A_n \text{ i.o.}\}$ ): 무한히 많은 $n$ 에 대해 사건 $A_n$ 이 일어나는 사건 ("infinitely often"). 예를 들어, 주사위를 무한히 던질 때 1의 눈이 무한 번 나오는 사건이 이에 해당한다.
'''사건열의 하극한''' ( $\liminf A_n$ 또는 $\{A_n \text{ a.e.}\}$ ): 유한 개의 $n$ 을 제외한 모든 $n$ 에 대해 사건 $A_n$ 이 일어나는 사건 ("almost everywhere" 또는 "eventually"). 예를 들어, 주사위를 무한히 던질 때, 어느 시점부터는 계속 1의 눈만 나오는 사건 (즉, 1 이외의 눈은 유한 번만 나오는 사건)이 이에 해당한다.

이러한 상극한 사건과 하극한 사건도 사건이므로 확률을 계산할 수 있다. 예를 들어, 공정한 주사위를 무한히 던지는 경우, 1의 눈이 나오는 사건을

A_n

이라 하면, 1의 눈이 무한 번 나올 확률(

P(\limsup A_n)

)은 1이고, 어느 시점 이후로 계속 1만 나올 확률(

P(\liminf A_n)

)은 0이다. 이러한 확률이 0 또는 1이 되는 조건을 다루는 중요한 정리로 보렐-칸텔리 보조정리가 있다.

5. 2. 이산 거리의 경우

집합 ''X''에 이산 거리(discrete metric)를 부여하면, 위상적 정의는 다음과 같은 집합론적 정의와 동일해진다. 이산 거리 공간에서 두 점 ''x'', ''y'' ∈ ''X'' 사이의 거리는 다음과 같이 정의된다.

:

d(x,y) := \begin{cases} 0 &\text{if } x = y,\\ 1 &\text{if } x \neq y, \end{cases}

이 거리 공간에서 점들의 수열 (''x''_''k'')가 점 ''x'' ∈ ''X''로 수렴한다는 것은, 유한 개의 ''k''를 제외하고는 모두 ''x''_''k'' = ''x''라는 의미이다. 즉, 수열의 항들이 어느 시점부터는 계속 ''x''와 같아야 한다.

집합 ''X''의 부분 집합들의 수열 (''X''_''n'')이 주어졌을 때, 상극한과 하극한은 다음과 같이 정의된다.

'''상극한''' ( $\limsup_{n\to\infty} X_n$ 또는 $\varlimsup_{n\to\infty} X_n$ ): 무한히 많은 ''n''에 대해 ''X''_''n''에 속하는 원소 ''x'' ∈ ''X''들의 집합이다. 즉, ''x''가 상극한에 속한다는 것은, 모든 ''k''에 대해 ''x'' ∈ ''X''_{''n''_''k''}를 만족하는 (''X''_''n'')의 부분 수열 (''X''_{''n''_''k''})가 존재한다는 것을 의미한다.^[7]
'''하극한''' ( $\liminf_{n\to\infty} X_n$ 또는 $\varliminf_{n\to\infty} X_n$ ): 유한 개의 ''n''을 제외한 모든 ''n''에 대해 ''X''_''n''에 속하는 원소 ''x'' ∈ ''X''들의 집합이다. 즉, ''x''가 하극한에 속한다는 것은, 어떤 자연수 ''m''이 존재하여 ''n'' > ''m''인 모든 ''n''에 대해 ''x'' ∈ ''X''_''n''가 성립한다는 것을 의미한다.^[7]

어떤 원소 ''x''가 상극한에 속한다는 것은, 그 원소를 포함하지 않는 집합 ''X''_''n''^c의 하극한에는 속하지 않는다는 것과 동치이다. 즉,

x \in \limsup_{n\to\infty} X_n \iff x \notin \liminf_{n\to\infty} X_n^c

이다.

집합 수열의 극한

\lim_{n\to\infty} X_n

은 상극한과 하극한이 같을 때 존재하며, 이 경우

\lim_{n\to\infty} X_n = \limsup_{n\to\infty} X_n = \liminf_{n\to\infty} X_n

이다.^[6]^[7] 이는 ''X''의 모든 점이 유한 개를 제외한 모든 ''X''_''n''에 속하거나, 유한 개를 제외한 모든 ''X''_''n''^c에 속하는 경우에 해당한다.

집합론의 관점에서 상극한과 하극한은 수열의 '꼬리'(tail) 부분 집합들의 교집합과 합집합을 이용하여 표현할 수도 있다.

수열의 ''n''-꼬리의 교집합을 $I_n = \bigcap_{m=n}^{\infty} X_m$ 이라고 하자. 이 교집합들의 수열 (''I''_''n'')은 단조 증가(집합의 포함 관계 기준, $I_n \subseteq I_{n+1}$ )한다. 하극한은 이 증가하는 교집합들의 합집합으로 정의된다.

::

\liminf_{n\to\infty} X_n = \bigcup_{n=1}^\infty \left({\bigcap_{m=n}^\infty}X_m\right)

:이는 하극한이 유한 개를 제외한 모든 ''X''_''n''에 포함되는 원소들의 집합임을 보여준다.

수열의 ''n''-꼬리의 합집합을 $J_n = \bigcup_{m=n}^{\infty} X_m$ 이라고 하자. 이 합집합들의 수열 (''J''_''n'')은 단조 감소(집합의 포함 관계 기준, $J_n \supseteq J_{n+1}$ )한다. 상극한은 이 감소하는 합집합들의 교집합으로 정의된다.

::

\limsup_{n\to\infty} X_n = \bigcap_{n=1}^\infty \left({\bigcup_{m=n}^\infty}X_m\right)

:이는 상극한이 무한히 많은 ''X''_''n''에 포함되는 원소들의 집합임을 보여준다.

이러한 집합 수열의 상극한 개념은 확률론에서 중요한 역할을 하며, 보렐-칸텔리 보조정리는 이 개념을 활용하는 대표적인 예시이다.

참조

_[1] 서적 Principles of Mathematical Analysis https://archive.org/[...] McGraw-Hill
_[2] 서적 Fundamentals of abstract analysis
_[3] 서적 Fundamentals of abstract analysis 1992
_[4] 웹사이트 Bounded gaps between primes http://michaelnielse[...] 2014-05-14
_[5] 웹사이트 Lebesgue's Criterion for Riemann integrability (MATH314 Lecture Notes) http://tt.lamf.uwind[...] 2006-02-24
_[6] 간행물 Hybrid dynamical systems
_[7] 서적 Measure Theory D. Van Nostrand Company, Inc.

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