정사각형

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1. 개요
2. 특징
3. 성질
4. 다른 도형과의 관계
5. 비유클리드 기하에서의 정사각형
6. 좌표와 방정식
7. 작도
8. 대칭성
9. 삼각형에 내접하는 정사각형
10. 원적문제
11. 교차 사각형
12. 그래프
13. 정사각형과 관련된 기타 사항
참조

1. 개요

정사각형은 네 변의 길이와 네 각의 크기가 모두 같고, 인접한 두 변의 길이가 같은 사각형이다. 마름모, 직사각형, 평행사변형, 연꼴, 등변사다리꼴의 일종이며, 정다각형의 성질을 갖는다. 정사각형은 네 내각이 직각이며, 대각선은 서로 수직 이등분하고 길이가 같다. 한 변의 길이가 a일 때 넓이는 a², 둘레는 4a이다. 비유클리드 기하학에서도 정의되며, 슐래플리 기호는 {4}이다. 정사각형은 작도가 가능하며, 대칭군 Dih₄를 갖는다. 또한, 교차 사각형과 같은 관련 도형이 있으며, 완전 그래프 K₄로 표현될 수 있다.

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정사각형
기본 정보
정사각형
넓이	a^2
둘레	4a
대각선 길이	a√2
내각	90°
슈플리 기호	{4}
꼭지점	4
변	4
대칭군	D4
쌍대 다각형	자기 쌍대
정의 및 성질
정의	네 변의 길이가 모두 같고 네 내각이 모두 직각인 사각형
성질	모든 변의 길이가 같다. 모든 내각의 크기가 90°이다. 두 대각선의 길이가 같고 서로를 수직이등분한다. 대각선은 내각을 이등분한다. 네 변의 길이가 같고 네 내각의 크기가 같은 정다각형이다.
면적
계산식	한 변의 길이의 제곱 (a^2)
둘레
계산식	한 변의 길이의 4배 (4a)
대각선
길이	한 변의 길이에 √2를 곱한 값 (a√2)
기타
관련 개념	정사각형 분할

2. 특징

정사각형은 다음과 같은 특징을 갖는다.^[2]^[3]

인접한 두 변의 길이가 같은 직사각형이다.
한 내각이 90°인 마름모이다.
모든 각의 크기가 같은 마름모이다.
대각선의 길이가 같고 서로 수직인 마름모이다.
한 내각이 90°이고 인접한 두 변의 길이가 같은 평행사변형이다.
네 변과 네 각의 크기가 모두 같은 사각형이다.

정사각형은 마름모, 연꼴, 평행사변형, 등변사다리꼴, 직사각형인 사각형이다.

정사각형은 정다각형이므로 정다각형의 일반적인 성질들을 모두 갖고 있다.

정사각형의 한 변의 길이가 $a$ 일 때, 정사각형의 넓이는 $a^2$ , 둘레는 $4a$ , 대각선의 길이는 $\sqrt{2}a$ 이다.
정사각형에 외접하는 원의 넓이는 그 정사각형의 넓이의 $\frac{\pi}{2}\simeq1.57$ 배이다.
둘레의 길이가 같은 모든 사각형들 중에서 정사각형의 넓이가 가장 크다.^[6]
정사각형에 내접하는 원의 넓이는 그 정사각형의 넓이의 $\frac{\pi}{4}\simeq0.79$ 배이다.
정사각형은 정다각형 중에서 한 가지 모양으로 평면 테셀레이션을 만들 수 있는 세 가지 도형 중 하나이다. (나머지는 정삼각형, 정육각형) 이것은 정사각형의 한 내각의 크기(90°)가 360°의 약수이기 때문이다.
정사각형은 2차원의 계량 폴리토프이면서 십자 폴리토프이다. 정사각형의 슐레플리 기호는 {4}이다.
정사각형은 많은 대칭성을 갖고 있다. 네 개의 대칭축에 대하여 선대칭이며, 90°, 180°, 270° 회전에 대하여도 대칭이다. 대칭군은 정이면체군 D₄이다.
정사각형의 네 개의 내각은 모두 같다 (각각 360°/4 = 90°, 직각).
정사각형의 중심각은 90° (360°/4)와 같다.
정사각형의 외각은 90°와 같다.
정사각형의 대각선은 길이가 같고 서로 이등분하며 90°에서 만난다.
정사각형의 대각선은 내각을 이등분하여 45°의 인접 각을 형성한다.
정사각형의 네 변의 길이는 모두 같다.
정사각형의 마주보는 변은 평행하다.

정사각형은 슐래플리 기호 {4}를 갖는다. 절단된 정사각형, t{4}는 팔각형 {8}이다. 번갈아 나타나는 정사각형, h{4}는 이각형 {2}이다. 정사각형은 ''n''-초입방체와 ''n''-정교점의 가족에서 ''n'' = 2인 경우이다.

네 변의 길이가

\ell

인 정사각형의 둘레는 다음과 같다.

:

P=4\ell

그리고 면적 ''A''는 다음과 같다.

:

A=\ell^2.

^[1]

4의 제곱이 16이므로, 4 x 4 정사각형의 면적은 둘레와 같다. 이러한 속성을 가진 유일한 다른 사각형은 3 x 6 직사각형이다.

고전 시대에는, 위 공식에서와 같이, 제곱은 정사각형의 면적으로 설명되었다. 이것은 "제곱"이라는 용어가 제곱을 의미하는 데 사용되도록 이끌었다.

면적은 대각선 ''d''를 사용하여 다음과 같이 계산할 수도 있다.

:

A=\frac{d^2}{2}.

외접원 반지름 ''R''로 나타낼 때, 정사각형의 면적은 다음과 같다.

:

A=2R^2;

원의 면적이

\pi R^2,

이므로, 정사각형은 외접원의

2/\pi \approx 0.6366

을 채운다.

내접원 반지름 ''r''로 나타낼 때, 정사각형의 면적은 다음과 같다.

:

A=4r^2;

따라서 내접원의 면적은 정사각형의

\pi/4 \approx 0.7854

이다.

정사각형은 동일한 둘레를 가진 다른 사각형보다 면적이 더 크다.^[7]

정사각형의 대각선 길이는 정사각형 한 변의 길이의 $\sqrt{2}$ (약 1.414) 배이다. 이 값은 2의 제곱근 또는 피타고라스의 상수^[1]로 알려져 있으며, 무리수임이 증명된 최초의 수이다.
정사각형은 또한 각을 이등분하는 길이가 같은 대각선을 가진 평행사변형으로 정의될 수 있다.
도형이 직사각형(직각)이자 마름모(변의 길이가 같음)라면 정사각형이다.
정사각형 타일링은 평면의 세 가지 정다각형 타일링 중 하나이다(나머지는 정삼각형과 정육각형이다).
정사각형은 2차원에서 두 개의 다포체족에 속한다: 초입방체와 교차 다포체. 정사각형의 슐레플리 기호는 {4}이다.
정사각형은 대칭성이 매우 높은 객체이다. 4개의 반사 대칭 선이 있으며 4차 회전 대칭을 갖는다(90°, 180° 및 270°). 대칭군은 이산면군 D₄이다.
정사각형은 모든 정다각형 내부에 내접할 수 있다. 이 속성을 가진 유일한 다른 다각형은 정삼각형이다.
정사각형의 한 변의 길이를 2제곱하면, 그 정사각형의 면적을 산출할 수 있다.
정사각형의 대각선의 길이에 그 절반의 길이를 곱하면, 그 정사각형의 면적을 산출할 수 있다. 즉 정사각형의 면적은, 그 대각선을 길이(직사각형의 긴 변의 길이)로 하고 그 절반을 폭(직사각형의 짧은 변의 길이)으로 하는 직사각형의 면적과 같다.
정사각형 A의 내접원과, 정사각형 B의 외접원, 각각의 원의 반지름이 같을 때, 정사각형 A의 면적은, 정사각형 B의 면적의 2배가 된다.
정사각형은, 모두 각의 각도가 같은 사각형이므로, 반드시 정사각형의 내각은 모두 직각이 된다. 따라서, 정사각형의 마주보는 변은, 반드시 평행이 된다.
모든 정사각형은, 서로 닮음이다(닮음이 아닌 정사각형은 존재하지 않는다). 게다가, 변의 길이가 같은 정사각형끼리는, 그것들은 합동이다. 또한, 대각선의 길이가 같은 정사각형끼리도, 그것들은 합동이다.
정사각형에는 2개의 대각선이 존재하지만, 그 길이는 같고, 또한 이 2개의 대각선은 직교한다. 또한, 이 2개의 대각선의 교점은, 정사각형의 무게중심이 되고 있다.
정사각형은, 대각선의 교점(무게중심)을 중심점으로 한 점대칭 도형이다. 그런데 점대칭이란, 중심점을 축으로 180도 회전한 상과 원래 상이 겹쳐지는 상태를 말한다. 따라서, 정사각형의 무게중심을 중심으로 180도 회전시키면 원래 상과 겹쳐지는 것은 당연하지만, 정사각형의 경우에는, 더욱이 무게중심을 중심으로 90도 회전시킨 경우도 원래 상과 겹쳐진다.
정사각형은, 대각선, 또는, 마주보는 변의 중점끼리 연결하는 선분에 대해서, 선대칭 도형이다. 따라서, 이러한 선으로 접었을 경우, 겹쳐진다. 또한, 이러한 선은 반드시 정사각형의 무게중심을 통과한다. 또한, 이러한 선은 합쳐서 4개가 있으므로, 대칭축이 4개 있다고 말할 수 있다. 덧붙여서, 사각형이 가질 수 있는 대칭축은, 최대 4개이다. 또한, 일반적으로, 정n각형에는 n개의 대칭축이 존재하지만, 정사각형(=정4각형)의 경우도 이 사실이 적용된다.

원점에 무게중심이 있고, 변이 축에 평행하며, 한 변의 길이가 2인 정사각형

정사각형의 무게중심을 원점에 놓고, 축에 평행하게 놓은 변의 길이가 2인 정사각형의 꼭짓점의 좌표는 (''x'', ''y'') = (1, 1), (1, −1), (−1, 1), (−1, −1) 이 된다. 이 정사각형의 내부는 −1 < ''x'' < 1, −1 < ''y'' < 1 으로, (''x'', ''y'') 로 표시되는 점의 집합으로 쓸 수 있다. 또는 |''x''|^''n'' + |''y''|^''n'' < 1 의 ''n'' → ∞ 의 극한이다. 단, 이 식에서는 변과 꼭짓점은 포함하지 않는다.
정사각형은 정다각형의 일종이다. 정다각형 중 평면을 틈새없이 채울 수 있는 도형은, 정삼각형, 정사각형, 정육각형의 3종류뿐이다(덧붙여, 평면을 틈새없이 채울 수 있는 정다각형 이외의 도형은, 예를 들어 평행사변형 등, 그 외에도 존재한다). 또한, 정다각형 중 정다면체의 면이 될 수 있는 것은, 정삼각형, 정사각형, 정오각형의 3종류뿐이다. 모든 면이 정사각형인 정다면체는 정육면체이며, 일반적으로 입방체라고 불린다.

3. 성질

정사각형은 마름모, 연꼴, 평행사변형, 등변사다리꼴, 직사각형의 일종이므로, 이러한 도형들의 성질을 모두 갖는다.^[5] 정사각형은 정다각형이므로 정다각형의 일반적인 성질들을 모두 갖고 있다.

정사각형의 네 내각은 모두 같다(각각 360°/4 = 90°, 직각).
정사각형의 중심각은 90°(360°/4)와 같다.
정사각형의 외각은 90°와 같다.
정사각형의 대각선은 길이가 같고 서로 이등분하며 90°에서 만난다.
정사각형의 대각선은 내각을 이등분하여 45°의 인접 각을 형성한다.
정사각형의 네 변의 길이는 모두 같다.
정사각형의 마주보는 변은 평행하다.
정사각형의 한 변의 길이가 $a$ 일 때, 넓이는 $a^2$ , 둘레는 $4a$ , 대각선의 길이는 $\sqrt{2}a$ 이다.
정사각형에 외접하는 원의 넓이는 그 정사각형 넓이의 $\frac{\pi}{2}\simeq1.57$ 배이다.
둘레의 길이가 같은 모든 사각형들 중에서 정사각형의 넓이가 가장 크다.^[6]
정사각형에 내접하는 원의 넓이는 그 정사각형 넓이의 $\frac{\pi}{4}\simeq0.79$ 배이다.
정사각형은 정다각형 중에서 한 가지 모양으로 평면 테셀레이션을 만들 수 있는 세 가지 도형 중 하나이다. (나머지는 정삼각형, 정육각형)
정사각형은 2차원의 계량 폴리토프(measure polytope)이면서 십자 폴리토프(cross polytope)이다. 정사각형의 슐레플리 기호(Schläfli symbol)는 {4}이다.
정사각형은 네 개의 대칭축에 대하여 선대칭이며, 90°, 180°, 270° 회전에 대하여도 대칭이다. 대칭군은 정이면체군 D₄이다.

4. 다른 도형과의 관계

정사각형은 직사각형, 마름모, 평행사변형, 연꼴, 사다리꼴의 특수한 경우이다.

정사각형과 직사각형: 정사각형은 모든 각의 크기가 같으므로 직사각형의 일종이다. 그러나 직사각형은 네 변의 길이가 모두 같지 않을 수 있으므로 일반적으로 정사각형이 아니다.
정사각형과 마름모: 정사각형은 두 대각선의 길이가 같고 서로 직교한다. 대각선의 길이가 같은 마름모는 정사각형이 된다. 그러나 마름모는 네 각의 크기가 모두 같지 않을 수 있으므로 일반적으로 정사각형이 아니다.
정사각형과 평행사변형: 정사각형은 마주보는 변이 평행하므로 평행사변형의 일종이다. 그러나 평행사변형은 네 변의 길이나 네 각의 크기가 모두 같지 않을 수 있으므로 일반적으로 정사각형이 아니다.
정사각형과 사다리꼴: 평행사변형은 사다리꼴의 일종이므로, 정사각형은 사다리꼴(마주보는 한 쌍의 변이 평행한 사각형)의 일종이라고 할 수 있다. 그러나 사다리꼴은 마주보는 두 쌍의 변이 모두 평행하지 않을 수 있으므로 일반적으로 정사각형이 아니다.
정사각형과 연꼴: 정사각형은 네 변의 길이가 모두 같으므로 대각선으로 마주보는 꼭짓점(변을 공유하지 않는 두 꼭짓점)에 접하는 변의 길이도 같다. 따라서 정사각형은 연꼴(한 쌍의 대각선 꼭짓점에 접하는 변의 길이가 같은 사각형)의 일종이다. 그러나 연꼴은 네 변의 길이나 네 각의 크기가 모두 같다는 특징을 일반적으로 가지지 않으므로 정사각형이 아니다.

5. 비유클리드 기하에서의 정사각형

비유클리드 기하에서도 정사각형을 정의할 수 있다. 예를 들어 구면 기하에서 정사각형이란, 모든 변의 길이가 같고, 변들이 만나서 이루는 각의 크기도 모두 같은 평면 사각형을 말한다. 평면 사각형(일반적으로 평면 다각형)의 변이란 대원의 일부인 호이다. 구면에서의 정사각형의 한 내각은 직각보다 크다.^[1]

쌍곡 기하학에서는 직각을 가진 정사각형은 존재하지 않는다. 대신, 쌍곡 기하학의 정사각형은 직각보다 작은 각을 가진다. 더 큰 쌍곡 정사각형은 더 작은 각을 가진다.^[1]

'''예시:'''

--

6. 좌표와 방정식

수직 및 수평 변을 갖고 원점에 중심이 있으며 변의 길이가 2인 정사각형의 꼭짓점 좌표는 (±1, ±1)이며, 이 정사각형의 내부는 -1 < ''x''_''i'' < 1 및 -1 < ''y''_''i'' < 1인 모든 점 (''x''_i, ''y''_i)로 구성된다. 방정식

:

\max(x^2, y^2) = 1

는 이 정사각형의 경계를 지정한다. 이 방정식은 "''x''² 또는 ''y''² 중 더 큰 값이 1과 같다."를 의미한다. 이 정사각형의 외접원 반지름(정사각형의 꼭짓점을 지나는 원의 반지름)은 정사각형 대각선의 절반이며,

\sqrt{2}

와 같다. 그러면 외접원의 방정식은 다음과 같다.

:

x^2 + y^2 = 2.

또는 방정식

:

\left|x - a\right| + \left|y - b\right| = r.

는 중심이 좌표계 (''a'', ''b'')이고 수평 또는 수직 반지름이 ''r''인 정사각형의 경계를 설명하는 데에도 사용할 수 있다. 따라서 이 정사각형은 택시 기하학에 따른 위상 구의 모양이다.

7. 작도

다음은 컴퍼스와 자를 사용하여 정사각형을 작도하는 방법을 보여주는 애니메이션이다. 이는 4 = 2², 즉 2의 거듭제곱이기 때문에 가능하다.^[1]

주어진 변의 길이를 갖는 정사각형, 탈레스의 정리를 사용하여 직각을 만듦

8. 대칭성

정사각형은 Dih₄ 대칭, 차수 8을 갖는다. Dih₂, Dih₁의 2개의 이면군과 Z₄, Z₂, Z₁의 3개의 순환군이 있다.^[11]

정사각형은 여러 대칭성을 가지는데, 네 개의 대칭축에 대하여 선대칭이며, 90°, 180°, 270° 회전에 대하여도 대칭이다. 대칭군은 정이면체군 D₄이다.^[5]

존 콘웨이는 문자와 군의 차수를 사용하여 정사각형의 8개의 서로 다른 대칭을 다음과 같이 나타냈다.^[11]

대칭 종류	설명	자유도
r8	정사각형의 전체 대칭	0
a1	대칭 없음	1
d4	직사각형의 대칭	1/2
p4	마름모의 대칭	1/2
d2	이등변 사다리꼴의 대칭	1
p2	연의 대칭	1
g2	평행사변형의 기하학 정의	1
g4	유향 변이 있는 정사각형	0

각 하위 그룹 대칭은 불규칙한 사변형에 대해 하나 이상의 자유도를 허용한다. '''g4''' 하위 그룹만 자유도가 없지만, 유향 변이 있는 정사각형으로 볼 수 있다.^[11]

9. 삼각형에 내접하는 정사각형

모든 예각 삼각형은 세 개의 내접 정사각형을 갖는다(정사각형의 네 꼭짓점이 삼각형의 변 위에 놓이도록 삼각형 내부에 있는 정사각형, 따라서 그중 두 개는 같은 변 위에 놓이며, 정사각형의 한 변은 삼각형의 변의 일부와 일치한다). 직각 삼각형에서 두 개의 정사각형은 일치하고 삼각형의 직각에 꼭짓점이 있으므로, 직각 삼각형은 두 개의 ''구별되는'' 내접 정사각형만 갖는다. 둔각 삼각형은 한 변이 삼각형의 가장 긴 변의 일부와 일치하는 하나의 내접 정사각형만 갖는다.

10. 원적문제

원적문제는 고대 기하학자들이 제시한 문제로, 컴퍼스와 자만을 사용하여 유한한 단계 내에서 주어진 원과 넓이가 동일한 정사각형을 작도하는 것이다.^[1]

1882년, 이 문제는 린데만-바이어슈트라스 정리의 결과로 불가능함이 증명되었는데, 이 정리는 원주율(π|파이^영어)이 대수적 무리수가 아닌 초월수임을 증명한다.^[1] 즉, 유리수 계수를 가진 어떤 다항식의 근이 아니다.^[1]

11. 교차 사각형

'''교차 사각형'''은 사각형의 깎은 도형으로, 사각형의 마주보는 두 변을 제거하고 두 대각선으로 다시 연결하여 만들어진 자기 교차 다각형이다. 사각형의 대칭성의 절반인 Dih₂, 차수 4를 갖는다. 사각형과 같은 꼭짓점 배치를 가지며, 꼭짓점 추이적이다. 공통 꼭짓점을 갖는 두 개의 45-45-90 삼각형으로 나타나지만, 기하학적 교차점은 꼭짓점으로 간주되지 않는다.

교차 사각형은 때때로 나비 넥타이 또는 나비에 비유된다. 교차 직사각형은 직사각형의 깎은 도형으로 관련되어 있으며, 두 도형 모두 교차 사변형의 특수한 경우이다.^[12]

교차 사각형의 내부는 시계 방향 또는 반시계 방향의 감김 방향에 따라 각 삼각형에서 ±1의 다각형 밀도를 가질 수 있다.

사각형과 교차 사각형은 다음과 같은 공통된 속성을 가진다:

마주보는 변의 길이는 같다.

두 대각선의 길이는 같다.

두 개의 반사 대칭선과 2차 회전 대칭(180°)을 갖는다.

이는 균일한 별 다면체인 사면체반육면체의 꼭짓점 도형에 존재한다.

12. 그래프

완전 그래프 K₄는 종종 모든 모서리가 연결된 정사각형으로 그려지며, 두 대각선이 그려진 정사각형으로 나타난다. 이 그래프는 정규 3-단순체(정사면체)의 4개 꼭짓점과 6개 모서리의 정사영을 나타내기도 한다.

13. 정사각형과 관련된 기타 사항

정육면체(입방체)의 면은 정사각형이다.^[1]
지도 도법의 일종인 정적 원통 도법은 '''정사각형 도법'''이라는 별칭을 가지고 있다. 이는 정적 원통 도법으로 그려진 지도의 경선과 위선이 등간격으로 직교하여 정확히 정사각형의 격자가 생기기 때문이다.^[1]
일반적인 종이 접기는 정사각형 종이를 사용한다.^[1]
수의 일종인 제곱수는 '''정사각형수'''라고도 불린다.^[1]
"임의의 정사각형을 2개 이상의 모두 다른 크기의 정사각형으로 분할할 수 있는가"라는 문제는 루진의 문제로 알려져 있다. 과거에는 해답이 없을 것이라고 예상되었지만, 후에 몇 개의 해답이 발견되었다.^[1]
다음 수식으로 정사각형을 나타낼 수 있다.^[1]

::

r=n\sec((1/4)\arccos(\cos(4\theta)))

(

n

은 정사각형의 한 변의 길이)

참조

_[1] 웹사이트 Square https://mathworld.wo[...] 2020-09-02
_[2] 서적 The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition Information Age Publishing 2008
_[3] 웹사이트 Problem Set 1.3 http://jwilson.coe.u[...] 2017-12-12
_[4] 간행물 "Properties of equidiagonal quadrilaterals" http://forumgeom.fau[...] 2014
_[5] 웹사이트 Quadrilaterals - Square, Rectangle, Rhombus, Trapezoid, Parallelogram https://www.mathsisf[...] 2020-09-02
_[6] 서적 A Distorted View of Geometry Mathematical Association of America 1979
_[7] 웹사이트 Vagn Lundsgaard Hansen http://www2.mat.dtu.[...] 2017-12-12
_[8] 웹사이트 Geometry classes, Problem 331. Square, Point on the Inscribed Circle, Tangency Points. Math teacher Master Degree. College, SAT Prep. Elearning, Online math tutor, LMS. http://gogeometry.co[...] 2017-12-12
_[9] 간행물 "Regular polytope distances" http://forumgeom.fau[...] 2016
_[10] 논문 Cyclic Averages of Regular Polygonal Distances https://ijgeometry.c[...] 2021
_[11] 서적 The Symmetries of Things 2008
_[12] 웹사이트 Quadrilaterals http://www.technolog[...] 2017-12-12
_[13] 웹인용 Square https://mathworld.wo[...] 2024-06-16

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