존슨의 다면체
1. 개요
존슨의 다면체는 모든 면이 정다각형인 볼록 다면체로, 균일 다면체(플라톤 다면체, 아르키메데스 다면체 등)는 아니다. 노먼 존슨은 92개의 존슨 다면체를 목록으로 발표했으며, 각 다면체에 번호를 부여했다. 존슨의 다면체는 뿔, 컵 돔, 로툰다와 같은 기본 도형에서 파생되며, 접두사를 붙여 변형을 나타낸다. 존슨의 다면체는 J1부터 J92까지 번호가 매겨져 있으며, 정사각뿔부터 삼각 헤베스페노로툰다까지 92개가 존재한다.
2. 정의 및 배경
존슨의 다면체는 모든 면이 정다각형인 볼록 다면체이다. 다면체가 볼록하다는 것은 두 꼭짓점 사이의 최단 경로가 내부 또는 경계 내에 놓여 있고, 면이 공면(같은 평면을 공유하지 않고 "평평하게 놓이지 않음")이 아니며, 모서리가 공선(같은 선분의 선분이 아님)이 아닌 경우를 말한다. 일부 저자는 존슨의 다면체가 균일 다면체가 아니어야 한다고 요구했는데, 이는 존슨의 다면체가 플라톤 다면체, 아르키메데스 다면체, 각기둥, 정반대각기둥이 아니어야 함을 의미한다. 모든 면이 거의 정다각형이지만 일부는 정확히 정다각형이 아닌 볼록 다면체를 준실패 존슨 다면체라고 한다.
존슨의 다면체는 노먼 존슨과 빅토르 잘갈러 두 수학자의 이름을 따서 존슨-잘갈러 다면체라고도 한다. 1966년, 노먼 존슨은 92개의 존슨 다면체 목록을 발표하고 (5개의 플라톤 다면체, 13개의 아르키메데스 다면체, 무한히 많은 균일 각기둥 및 무한히 많은 균일 정반대각기둥 제외) 각 다면체에 이름과 번호를 부여했다. 그는 92개만 존재한다는 것을 증명하지는 않았지만, 더 이상은 없을 것이라고 추측했다. 1969년, 빅토르 잘갈러는 존슨의 목록이 완전하다는 것을 증명했다.
3. 명명법 및 목록
존슨의 다면체는 대부분 뿔, 컵 돔(cupola), 로툰다(rotunda)와 같은 기본 도형에서 파생되며, 여기에 접두사를 붙여 변형을 나타낸다. 존슨의 다면체는 J1부터 J92까지 번호가 매겨져 있다.
* 이-(Bi-): 다면체의 두 복사본이 밑면을 서로 연결하여 결합되었음을 나타낸다. 컵 돔과 로툰다의 경우, 동일한 면(정(ortho)-) 또는 다른 면(자이로(gyro)-)이 만나도록 다면체를 결합할 수 있다.
* 예시: 오각 쌍뿔은 오각뿔 두 개를 밑면끼리 연결한 것이다. 삼각 정이중컵 돔은 삼각 컵 돔 두 개를 밑면끼리 같은 면이 만나도록 연결한 것이다.
* 늘린(Elongated): 기둥이 다면체의 밑면에 연결되거나 밑면 사이에 연결됨을 나타낸다.
* 자이로늘린(Gyroelongated): 각기둥을 나타낸다.
* 증대된(Augmented): 다른 다면체, 즉 뿔 또는 컵 돔이 해당 다면체의 하나 이상의 면에 연결됨을 나타낸다.
* 감소된(Diminished): 뿔 또는 컵 돔이 해당 다면체의 하나 이상의 면에서 제거되었음을 나타낸다.
* [[자이레이션|자이레이트(Gyrate)]]: 해당 다면체에 장착되거나 특징으로 하는 컵 돔이 서로 다른 모서리가 일치하도록 회전되었음을 나타낸다.
증대, 감소, 자이레이션은 특정 대형 다면체에 대해 여러 번 수행할 수 있다. 이- & 삼-(Tri-)은 각각 이중 및 삼중 연산을 나타낸다. 파라-는 변경된 면이 평행한 경우, 메타-는 변경된 면이 기울어진 경우를 나타낸다.
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마지막 몇 개의 존슨의 다면체는 조립되는 특정 다각형 복합체를 기반으로 이름이 붙여졌다.
* 룬(lune): 정사각형의 반대쪽에 부착된 두 개의 삼각형의 복합체.
* 스페노(Spheno)-: 두 개의 인접한 룬으로 형성된 쐐기 모양 복합체. 디스페노(Dispheno)-는 두 개의 이러한 복합체를 나타낸다.
* 헤베스페노(Hebespheno)-: 세 번째 룬으로 분리된 두 개의 룬의 둔한 복합체.
* 코로나(Corona): 여덟 개의 삼각형으로 구성된 왕관 모양 복합체.
* 메가코로나(Megacorona): 열두 개의 삼각형으로 구성된 더 큰 왕관 모양 복합체.
* 접미사 -싱굴룸(-cingulum)은 열두 개의 삼각형 벨트를 나타낸다.
존슨의 다면체는 Jn으로 표시될 수 있으며, 여기서 n은 목록의 열거를 나타낸다. 다음은 92개의 존슨의 다면체 목록이다.
# 정사각뿔 (J1)
# 오각뿔 (J2)
# 삼각 컵 돔 (J3)
# 정사각 컵 돔 (J4)
# 오각 컵 돔 (J5)
# 오각 로툰다 (J6)
# 늘린 삼각뿔 (J7)
# 늘린 정사각뿔 (J8)
# 늘린 오각뿔 (J9)
# 자이로늘린 정사각뿔 (J10)
# 자이로늘린 오각뿔 (J11)
# 삼각 쌍뿔 (J12)
# 오각 쌍뿔 (J13)
# 늘린 삼각 쌍뿔 (J14)
# 늘린 정사각 쌍뿔 (J15)
# 늘린 오각 쌍뿔 (J16)
# 자이로늘린 정사각 쌍뿔 (J17)
# 늘린 삼각 컵 돔 (J18)
# 늘린 정사각 컵 돔 (J19)
# 늘린 오각 컵 돔 (J20)
# 늘린 오각 로툰다 (J21)
# 자이로늘린 삼각 컵 돔 (J22)
# 자이로늘린 정사각 컵 돔 (J23)
# 자이로늘린 오각 컵 돔 (J24)
# 자이로늘린 오각 로툰다 (J25)
# 자이로쌍쐐기 (J26)
# 삼각 정 이중 컵 돔 (J27)
# 정사각 정 이중 컵 돔 (J28)
# 정사각 자이로 이중 컵 돔 (J29)
# 오각 정 이중 컵 돔 (J30)
# 오각 자이로 이중 컵 돔 (J31)
# 오각 정 컵 돔 로툰다 (J32)
# 오각 자이로 컵 돔 로툰다 (J33)
# 오각 정 이중 로툰다 (J34)
# 늘린 삼각 정 이중 컵 돔 (J35)
# 늘린 삼각 자이로 이중 컵 돔 (J36)
# 늘린 정사각 자이로 이중 컵 돔 (J37)
# 늘린 오각 정 이중 컵 돔 (J38)
# 늘린 오각 자이로 이중 컵 돔 (J39)
# 늘린 오각 정 컵 돔 로툰다 (J40)
# 늘린 오각 자이로 컵 돔 로툰다 (J41)
# 늘린 오각 정 이중 로툰다 (J42)
# 늘린 오각 자이로 이중 로툰다 (J43)
# 자이로늘린 삼각 이중 컵 돔 (J44)
# 자이로늘린 정사각 이중 컵 돔 (J45)
# 자이로늘린 오각 이중 컵 돔 (J46)
# 자이로늘린 오각 컵 돔 로툰다 (J47)
# 자이로늘린 오각 이중 로툰다 (J48)
# 증대된 삼각 기둥 (J49)
# 이중 증대된 삼각 기둥 (J50)
# 삼각뿔 증대 삼각 기둥 (J51)
# 증대된 오각 기둥 (J52)
# 이중 증대된 오각 기둥 (J53)
# 증대된 육각 기둥 (J54)
# 파라증대 육각 기둥 (J55)
# 메타증대 육각 기둥 (J56)
# 삼각뿔 증대 육각 기둥 (J57)
# 증대된 십이면체 (J58)
# 파라증대 십이면체 (J59)
# 메타증대 십이면체 (J60)
# 삼각뿔 증대 십이면체 (J61)
# 메타감소 이십면체 (J62)
# 삼중감소 이십면체 (J63)
# 증대 삼중감소 이십면체 (J64)
# 증대 절단 사면체 (J65)
# 증대 절단 육면체 (J66)
# 이중 증대 절단 육면체 (J67)
# 증대 절단 십이면체 (J68)
# 파라증대 절단 십이면체 (J69)
# 메타증대 절단 십이면체 (J70)
# 삼각뿔 증대 절단 십이면체 (J71)
# 자이레이트 롬비십이십면체 (J72)
# 파라빅자이레이트 롬비십이십면체 (J73)
# 메타빅자이레이트 롬비십이십면체 (J74)
# 삼중자이레이트 롬비십이십면체 (J75)
# 감소 롬비십이십면체 (J76)
# 파라자이레이트 감소 롬비십이십면체 (J77)
# 메타자이레이트 감소 롬비십이십면체 (J78)
# 빅자이레이트 감소 롬비십이십면체 (J79)
# 파라비감소 롬비십이십면체 (J80)
# 메타비감소 롬비십이십면체 (J81)
# 자이레이트 비감소 롬비십이십면체 (J82)
# 삼중감소 롬비십이십면체 (J83)
# 코뿔소 이면체 (J84)
# 코뿔소 정사각 각기둥 (J85)
# 스페노코로나 (J86)
# 증대된 스페노코로나 (J87)
# 스페노메가코로나 (J88)
# 헤베스페노메가코로나 (J89)
# 디스페노싱굴룸 (J90)
# 쌍룬 이중 로툰다 (J91)
# 삼각 헤베스페노로툰다 (J92)
일부 존슨의 다면체는 기본 다면체로 분류될 수 있다. 이는 다면체를 평면으로 분리하여 정규 면을 가진 두 개의 작은 볼록 다면체를 만들 수 없음을 의미한다. 존슨의 다면체의 예로는 처음 여섯 개의 존슨의 다면체—정사각뿔, 오각뿔, 삼각 컵 돔, 정사각 컵 돔, 오각 컵 돔, 및 오각 로툰다—삼중감소 이십면체, 파라비감소 롬비십이십면체, 삼중감소 롬비십이십면체, 코뿔소 이면체, 코뿔소 정사각 각기둥, 스페노코로나, 스페노메가코로나, 헤베스페노메가코로나, 디스페노싱굴룸, 쌍룬 이중 로툰다, 및 삼각 헤베스페노로툰다가 있다. 다른 존슨의 다면체는 일부 기본 다면체를 부착하여 구성되기 때문에 복합 다면체이다.
| Jn | 명칭 | 전개도 | 투영도 | 꼭 짓 점 | 모 서 리 | 면 | 정 n 각형 면 | 대 칭 성 | 기타 성질 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 | |||||||||
| 1 | 정사각뿔 | -- | -- | 5 | 8 | 5 | 4 | 1 | C4v | |||||
| 2 | 오각뿔 | -- | -- | 6 | 10 | 6 | 5 | 1 | C5v | |||||
| 3 | 삼각 컵 돔 | -- | -- | 9 | 15 | 8 | 4 | 3 | 1 | C3v | ||||
| 4 | 정사각 컵 돔 | -- | -- | 12 | 20 | 10 | 4 | 5 | 1 | C4v | ||||
| 5 | 오각 컵 돔 | -- | -- | 15 | 25 | 12 | 5 | 5 | 1 | 1 | C5v | |||
| 6 | 오각 로툰다 | -- | -- | 20 | 35 | 17 | 10 | 6 | 1 | C5v | ||||
| 7 | 늘린 삼각뿔 | -- | -- | 7 | 12 | 7 | 4 | 3 | C3v | |||||
| 8 | 늘린 정사각뿔 | -- | -- | 9 | 16 | 9 | 4 | 5 | C4v | |||||
| 9 | 늘린 오각뿔 | -- | -- | 11 | 20 | 11 | 5 | 5 | 1 | C5v | ||||
| 10 | 자이로늘린 정사각뿔 | -- | -- | 9 | 20 | 13 | 12 | 1 | C4v | |||||
| 11 | 자이로늘린 오각뿔 | -- | -- | 11 | 25 | 16 | 15 | 1 | C5v | |||||
| 12 | 삼각 쌍뿔 | -- | -- | 5 | 9 | 6 | 6 | D3h | 델타 다면체 | |||||
| 13 | 오각 쌍뿔 | -- | -- | 7 | 15 | 10 | 10 | D5h | 델타 다면체 | |||||
| 14 | 늘린 삼각 쌍뿔 | -- | -- | 8 | 15 | 9 | 6 | 3 | D3h | |||||
| 15 | 늘린 정사각 쌍뿔 | -- | -- | 10 | 20 | 12 | 8 | 4 | D4h | |||||
| 16 | 늘린 오각 쌍뿔 | -- | -- | 12 | 25 | 15 | 10 | 5 | D5h | |||||
| 17 | 자이로늘린 정사각 쌍뿔 | -- | -- | 10 | 24 | 16 | 16 | D4d | 델타 다면체 | |||||
| 18 | 늘린 삼각 컵 돔 | -- | -- | 15 | 27 | 14 | 4 | 9 | 1 | C3v | ||||
| 19 | 늘린 정사각 컵 돔 | -- | -- | 20 | 36 | 18 | 4 | 13 | 1 | C4v | ||||
| 20 | 늘린 오각 컵 돔 | -- | -- | 25 | 45 | 22 | 5 | 15 | 1 | 1 | C5v | |||
| 21 | 늘린 오각 로툰다 | -- | -- | 30 | 55 | 27 | 10 | 10 | 6 | 1 | C5v | |||
| 22 | 자이로늘린 삼각 컵 돔 | -- | -- | 15 | 33 | 20 | 16 | 3 | 1 | C3v | ||||
| 23 | 자이로늘린 정사각 컵 돔 | -- | -- | 20 | 44 | 26 | 20 | 5 | 1 | C4v | ||||
| 24 | 자이로늘린 오각 컵 돔 | -- | -- | 25 | 55 | 32 | 25 | 5 | 1 | 1 | C5v | |||
| 25 | 자이로늘린 오각 로툰다 | -- | -- | 30 | 65 | 37 | 30 | 6 | 1 | C5v | ||||
| 26 | 엇각 쌍 삼각 기둥 | -- | 8 | 14 | 8 | 4 | 4 | D2d | ||||||
| 27 | 삼각 정 이중 컵 돔 | -- | -- | 12 | 24 | 14 | 8 | 6 | D3h | |||||
| 28 | 정사각 쌍 컵 돔 | -- | -- | 16 | 32 | 18 | 8 | 10 | D4h | |||||
| 29 | 엇각 사각 쌍 컵 돔 | -- | -- | 16 | 32 | 18 | 8 | 10 | D4d | |||||
| 30 | 정오각 쌍 컵 돔 | -- | -- | 20 | 40 | 22 | 10 | 10 | 2 | D5h | ||||
| 31 | 엇각 오각 쌍 컵 돔 | -- | -- | 20 | 40 | 22 | 10 | 10 | 2 | D5d | ||||
| 32 | 정오각 컵 돔 로툰다 | -- | -- | 25 | 50 | 27 | 15 | 5 | 7 | C5v | ||||
| 33 | 엇각 오각 컵 돔 로툰다 | -- | -- | 25 | 50 | 27 | 15 | 5 | 7 | C5v | ||||
| 34 | 정오각 쌍 로툰다 | -- | -- | 30 | 60 | 32 | 20 | 12 | D5h | |||||
| 35 | 늘린 삼각 정 이중 컵 돔 | -- | -- | 18 | 36 | 20 | 8 | 12 | D3h | |||||
| 36 | 늘린 엇각 삼각 쌍 컵 돔 | -- | -- | 18 | 36 | 20 | 8 | 12 | D3d | |||||
| 37 | 늘린 엇각 사각 쌍 컵 돔 | -- | -- | 24 | 48 | 26 | 8 | 18 | D4d | 모든 꼭짓점 형상 이합동 | ||||
| 38 | 늘린 정오각 쌍 컵 돔 | -- | -- | 30 | 60 | 32 | 10 | 20 | 2 | D5h | ||||
| 39 | 늘린 엇각 오각 쌍 컵 돔 | -- | -- | 30 | 60 | 32 | 10 | 20 | 2 | D5d | ||||
| 40 | 늘린 정오각 컵 돔 로툰다 | -- | -- | 35 | 70 | 37 | 15 | 15 | 7 | C5v | ||||
| 41 | 늘린 엇각 오각 컵 돔 로툰다 | -- | -- | 35 | 70 | 37 | 15 | 15 | 7 | C5v | ||||
| 42 | 늘린 정오각 쌍 로툰다 | -- | -- | 40 | 80 | 42 | 20 | 10 | 12 | D5h | ||||
| 43 | 늘린 엇각 오각 쌍 로툰다 | -- | -- | 40 | 80 | 42 | 20 | 10 | 12 | D5d | ||||
| 44 | 자이로늘린 삼각 이중 컵 돔 | -- | -- | 18 | 42 | 26 | 20 | 6 | D3 | 키랄 | ||||
| 45 | 자이로늘린 정사각 이중 컵 돔 | -- | -- | 24 | 56 | 34 | 24 | 10 | D4 | 키랄 | ||||
| 46 | 자이로늘린 오각 이중 컵 돔 | -- | -- | 30 | 70 | 42 | 30 | 10 | 2 | D5 | 키랄 |
4. 성질
존슨의 다면체는 모든 면이 정다각형인 볼록 다면체이다. 여기서 존슨의 다면체는 플라톤 다면체, 아르키메데스 다면체, 각기둥, 정반대각기둥은 제외된다.
존슨의 다면체는 다음과 같은 성질을 갖는다.
* 92개의 존슨의 다면체 중 5개를 제외한 모든 다면체는 루퍼트 성질을 갖는다. 이는 다면체 내부에 있는 구멍을 통해 더 큰 복사본이 통과할 수 있다는 것을 의미한다. 이 성질을 갖지 않는 5개의 다면체는 회전 롬비십이이십면체, 평행 이중회전 롬비십이이십면체, 메타 이중회전 롬비십이이십면체, 삼중회전 롬비십이이십면체, 평행 반회전 감소 롬비십이이십면체이다.
* 모든 존슨의 다면체 중에서 늘린 정사각 쌍둥이 컵반구(가사롬비큐보옥타헤드론이라고도 함)는 각 꼭짓점에 4개의 면(정사각형 3개와 삼각형 1개)이 동일한 배열로 존재한다. 그러나 꼭짓점마다 대칭성이 다르기 때문에 꼭짓점 추이적이지 않다.
* 면의 종류는 1종류(5종의 델타 다면체) 또는 여러 종류가 있다.
* 면의 종류는 정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형, 정팔각형, 정십각형의 6종류뿐이다. 정육각형, 정팔각형, 정십각형 중에서는 최대 1종류만 사용된다. 또한 정2n각형(n ≥ 3)이 사용될 때는 정n각형도 함께 사용된다.
* 대칭성은 순환 또는 이면각이다. 이는 회전 대칭성에 대해서 1개(순환) 또는 2개(이면각)의 축밖에 갖지 않는 낮은 대칭성이다.
5. 분류
존슨의 다면체는 기본 도형과 그 변형, 기타 형태로 분류할 수 있다.
기본 도형
* 각뿔: 처음 두 존슨의 다면체인 J1(사각뿔)과 J2(오각뿔)가 해당한다. 정삼각뿔은 정사면체와 같다.
* 지붕 및 둥근지붕: J3(삼각지붕)부터 J6(오각둥근지붕)까지 네 종류가 있다. 지붕은 n각형 윗면과 2n각형 밑면, 옆면은 정삼각형과 정사각형으로 이루어진다. 둥근지붕은 십이이십면체를 절반으로 자른 형태이다.
각뿔, 지붕, 둥근지붕의 변형
* 늘린/비틀어 늘린 각뿔: 각뿔에 각기둥이나 엇각기둥을 붙여 만든다. J7(늘린 삼각뿔)부터 J11(비틀어 늘린 오각뿔)까지 해당한다.
* 쌍각뿔/늘린 쌍각뿔/비틀어 늘린 쌍각뿔: 두 개의 각뿔을 맞붙이거나, 각기둥/엇각기둥을 넣어 늘린다. J12(삼각쌍뿔)부터 J17(비틀어 늘린 사각쌍뿔)까지 해당하며, 정팔면체도 사각쌍뿔의 일종이다.
* 늘린/비틀어 늘린 지붕/둥근지붕: 지붕/둥근지붕에 각기둥/엇각기둥을 붙여 늘린다. J18(늘린 삼각지붕)부터 J25(비틀어 늘린 오각둥근지붕)까지 해당한다.
* 맞붙인/비틀어 붙인 지붕/지붕-둥근지붕/둥근지붕: 두 개의 지붕, 지붕과 둥근지붕, 두 개의 둥근지붕을 붙인다. J26(비틀어 붙인 이각지붕)부터 J34(맞붙인 오각둥근지붕)까지 해당하며, 육팔면체와 십이이십면체도 포함된다.
* 늘린/비틀어 늘린 맞붙인 지붕/지붕-둥근지붕/둥근지붕: J35(늘린 맞붙인 삼각지붕)에서 J48(비틀어 늘린 맞붙인 오각둥근지붕)까지 해당하며, 마름모육팔면체도 포함된다.
각기둥의 변형
* 각기둥 옆면에 사각뿔을 붙인다. J49(사각뿔이 붙은 삼각기둥)부터 J57(세 사각뿔이 붙은 육각기둥)까지 해당한다.
정다면체/준정다면체의 변형
* 정십이면체, 정이십면체, 깎은 정사면체, 깎은 정육면체, 깎은 정십이면체, 마름모십이이십면체 등에 오각뿔이나 사각지붕을 붙이거나, 일부 면을 제거하거나 비트는 방식으로 변형한다. J58(오각뿔이 붙은 정십이면체)부터 J83(세 곳을 자른 마름모십이이십면체)까지 해당한다.
기타
* 위의 방법으로 만들 수 없는 나머지 존슨의 다면체들이다. J84(다듬은 맞붙인 쐐기꼴)부터 J92(오각둥근지붕을 잘라 붙인 둔한 삼면 쐐기꼴)까지 해당한다.
5.1. 기본 도형
처음 두 존슨의 다면체인 J1과 J2는 각뿔이다. 정삼각뿔은 정사면체이다.
다음 네 개의 존슨의 다면체는 지붕류이다. 세 개의 지붕(cupola)과 한 개의 둥근지붕(rotunda)이 있다.
지붕은 n각형의 윗면과 2n각형의 밑면, 정삼각형과 정사각형의 옆면을 가진 도형이다. 오각둥근지붕은 십이이십면체를 절반으로 자른 도형이다.
| Jn | 명칭 | 전개도 | 투영도 | 꼭 짓 점 | 모 서 리 | 면 | 정 n 각형 면 | 대 칭 성 | 기타 성질 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 | ||||||||
| 1 | 정사각뿔 | 80px | 80px | 5 | 8 | 5 | 4 | 1 | C4v | ||||
| 2 | 정오각뿔 | 80px | 80px | 6 | 10 | 6 | 5 | 1 | C5v | ||||
| 3 | 삼각 컵파 | 80px | 80px | 9 | 15 | 8 | 4 | 3 | 1 | C3v | |||
| 4 | 사각 컵파 | 80px | 80px | 12 | 20 | 10 | 4 | 5 | 1 | C4v | |||
| 5 | 오각 컵파 | 80px | 80px | 15 | 25 | 12 | 5 | 5 | 1 | 1 | C5v | ||
| 6 | 오각 로툰다 | 80px | 80px | 20 | 35 | 17 | 10 | 6 | 1 | C5v |
5.2. 각뿔, 지붕, 둥근지붕의 변형
다음은 늘린 각뿔과 비틀어 늘린 각뿔에 대한 설명이다.
* 늘린 각뿔은 각뿔에 각기둥을 붙인 도형이다.
* 비틀어 늘린 각뿔은 각뿔에 엇각기둥을 붙인 도형이다.
다음은 쌍각뿔, 늘린 쌍각뿔, 비틀어 늘린 쌍각뿔에 대한 설명이다.
| 쌍각뿔 | 늘린 쌍각뿔 | 비틀어 늘린 쌍각뿔 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| J12 | 정다면체 | J13 | J14 | J15 | J16 | J17 |
| 삼각쌍뿔 | 사각쌍뿔 | 오각쌍뿔 | 늘린 삼각쌍뿔 | 늘린 사각쌍뿔 | 늘린 오각쌍뿔 | 비틀어 늘린 사각쌍뿔 |
다음은 늘린 지붕/둥근지붕과 비틀어 늘린 지붕/둥근지붕에 대한 설명이다.
| 늘린 지붕 | 늘린 둥근지붕 | 비틀어 늘린 지붕 | 비틀어 늘린 둥근지붕 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| J18 | J19 | J20 | J21 | J22 | J23 | J24 | J25 |
| 늘린 삼각지붕 | 늘린 사각지붕 | 늘린 오각지붕 | 늘린 오각둥근지붕 | 비틀어 늘린 삼각지붕 | 비틀어 늘린 사각지붕 | 비틀어 늘린 오각지붕 | 비틀어 늘린 오각둥근지붕 |
다음은 맞붙인 지붕, 맞붙인 지붕-둥근지붕, 늘린 맞붙인 지붕, 늘린 지붕-둥근지붕/늘린 붙인 둥근지붕, 비틀어 늘린 붙인 지붕에 대한 설명이다.
| 맞붙인 지붕 | 비틀어 붙인 이각지붕 | 비틀어 붙인 지붕 | |||
|---|---|---|---|---|---|
| J27 | J28 | J30 | J26 | J29 | J31 |
| 맞붙인 삼각지붕 | 맞붙인 사각지붕 | 맞붙인 오각지붕 | 비틀어 붙인 이각지붕 | 비틀어 붙인 삼각지붕 | 비틀어 붙인 사각지붕 |
| 지붕-둥근지붕 | 붙인 둥근지붕 | 준정다면체 | |
|---|---|---|---|
| J32 | J33 | J34 | |
| 맞붙인 오각지붕과 오각둥근지붕 | 비틀어 붙인 오각지붕과 오각둥근지붕 | 맞붙인 오각둥근지붕 | 비틀어 붙인 오각둥근지붕 |
| 늘린 맞붙인 지붕 | 늘린 비틀어 붙인 지붕 | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| J35 | 준정다면체 | J38 | J36 | J37 | J39 |
| 늘린 맞붙인 삼각지붕 | 늘린 맞붙인 사각지붕 | 늘린 맞붙인 오각지붕 | 늘린 비틀어 붙인 삼각지붕 | 늘린 비틀어 붙인 사각지붕 | 늘린 비틀어 붙인 오각지붕 |
| 늘린 지붕-둥근지붕 | 늘린 붙인 둥근지붕 | ||
|---|---|---|---|
| J40 | J41 | J42 | J43 |
| 늘린 맞붙인 오각지붕과 오각둥근지붕 | 늘린 비틀어 붙인 오각지붕과 오각둥근지붕 | 늘린 맞붙인 오각둥근지붕 | 늘린 비틀어 붙인 오각둥근지붕 |
| 비틀어 늘린 붙인 지붕 | 비틀어 늘린 지붕과 둥근지붕 | 비틀어 늘린 붙인 둥근지붕 | ||
|---|---|---|---|---|
| J44 | J45 | J46 | J47 | J48 |
| 비틀어 늘린 맞붙인 삼각지붕 | 비틀어 늘린 맞붙인 사각지붕 | 비틀어 늘린 맞붙인 오각지붕 | 비틀어 늘린 맞붙인 오각지붕과 오각둥근지붕 | 비틀어 늘린 맞붙인 오각둥근지붕 |
5.3. 각기둥의 변형
각뿔에 각기둥을 붙인 늘린 각뿔과 각뿔에 엇각기둥을 붙인 비틀어 늘린 각뿔이 있다.
| J52 | J53 | J54 | J55 | J56 | J57 |
|---|---|---|---|---|---|
| 사각뿔이 붙은 오각기둥 | 두 사각뿔이 붙은 오각기둥 | 사각뿔이 붙은 육각기둥 | 두 사각뿔이 마주보게 붙은 육각기둥 | 두 사각뿔이 비껴보게 붙은 육각기둥 | 세 사각뿔이 붙은 육각기둥 |
| 붙은 다면체 | |||||
| 오각기둥 사각뿔 | 육각기둥 사각뿔 | ||||
| -- -- | |||||
5.4. 정다면체/준정다면체의 변형
| 정다면체 | J58 | J59 | J60 | J61 |
|---|---|---|---|---|
| 정십이면체 | 오각뿔이 붙은 정십이면체 | 두 오각뿔이 마주보게 붙은 정십이면체 | 두 오각뿔이 비껴보게 붙은 정십이면체 | 세 오각뿔이 붙은 정십이면체 |
| 붙은 다면체 | ||||
| 정십이면체와 오각뿔 | ||||
| 준정다면체 | J68 | J69 | J70 | J71 |
|---|---|---|---|---|
| 깎은 정십이면체 | 오각지붕이 붙은 깎은 정십이면체 | 두 오각지붕이 마주보게 붙은 깎은 정십이면체 | 두 오각지붕이 비껴보게 붙은 깎은 정십이면체 | 세 오각지붕이 붙은 깎은 정십이면체 |
| J72 | J73 | J74 | J75 |
|---|---|---|---|
| 한 곳을 비튼 마름모십이이십면체 | 두 곳을 마주보게 비튼 마름모십이이십면체 | 두 곳을 비껴보게 비튼 마름모십이이십면체 | 세 곳을 비튼 마름모십이이십면체 |
| J76 | J77 | J78 | J79 |
|---|---|---|---|
| 한 곳을 자른 마름모십이이십면체 | 두 곳을 마주보게 자르고 비튼 마름모십이이십면체 | 두 곳을 비껴보게 자르고 비튼 마름모십이이십면체 | 한 곳을 자르고 두 곳을 비튼 마름모십이이십면체 |
| J80 | J81 | J82 | J83 |
| 두 곳을 마주보게 자른 마름모십이이십면체 | 두 곳을 비껴보게 자른 마름모십이이십면체 | 두 곳을 자르고 한 곳을 비튼 마름모십이이십면체 | 세 곳을 자른 마름모십이이십면체 |