제약 충족 문제
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1. 개요
제약 충족 문제는 변수, 값의 영역, 제약 조건의 집합으로 정의되는 문제로, 주어진 제약 조건을 만족하는 변수 값을 찾는 것을 목표로 한다. 이러한 문제는 백트래킹, 제약 전파, 지역 탐색 등의 다양한 해결 방법을 통해 해결될 수 있으며, 일반적인 제약 충족 문제는 NP-완전 문제이지만 특정 조건을 만족하는 경우 다항 시간 내에 해결 가능하다. 제약 충족 문제의 변형으로 동적 CSP, 유연한 CSP, 분산 CSP 등이 있으며, 다양한 문제에 적용될 수 있다.
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| 제약 충족 문제 | |
|---|---|
| 문제 정의 | |
| 유형 | 계산 문제 |
| 분야 | 인공지능, 알고리즘, 운영 연구 |
| 복잡도 | NP-완전 |
| 설명 | |
| 제약 조건 | 변수가 가질 수 있는 값의 제한. |
| 목표 | 모든 변수에 값을 할당하여 모든 제약 조건을 만족시키는 것. |
| 응용 분야 | 스케줄링, 자원 할당, 자동 계획, 유전자 가위 |
2. 정의
제약 충족 문제는 변수 집합, 각 변수의 값 영역, 그리고 제약 조건 집합으로 구성된다. 제약 충족 문제는 형식적으로 세 개의 튜플 로 정의된다.[13]
변수의 평가는 변수의 부분 집합에서 해당 영역의 부분 집합 내 특정 값 집합으로의 함수이다. 평가가 제약 조건을 만족한다는 것은 변수에 할당된 값이 해당 관계를 만족한다는 의미이다.
평가는 제약 조건을 위반하지 않으면 일관적이고, 모든 변수를 포함하면 완전하다. 일관적이고 완전한 평가는 해법이라고 하며, 이러한 평가는 제약 충족 문제를 해결한다고 말한다.
2. 1. 형식적 정의
제약 충족 문제는 수학적으로 세 가지 요소 <math><X,D,C></math>로 정의된다.[13]- <math>X = \{X_1, \ldots,X_n\}</math>는 변수들의 집합이다.
- <math>D = \{D_1, \ldots, D_n\}</math>는 각 변수가 가질 수 있는 값들의 영역 집합이다.
- <math>C = \{C_1, \ldots, C_m\}</math>는 제약 조건들의 집합이다.
각 변수 <math>X_i</math>는 비어 있지 않은 영역 <math>D_i</math>에서 값을 가질 수 있다. 모든 제약 조건 <math>C_j \in C</math>는 <math>\langle t_j,R_j \rangle</math> 쌍으로 표현된다. 여기서 <math>t_j \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}</math>는 <math>k</math>개 인덱스의 집합이고, <math>R_j</math>는 해당 영역의 곱 <math>\times_{i \in t_j} D_i</math>에 대한 <math>k</math>항 관계이다. 곱은 인덱스를 오름차순으로 사용하여 계산한다.
변수의 "평가"는 변수의 부분 집합에서 해당 영역의 부분 집합 내 특정 값 집합으로의 함수이다. 평가 <math>v</math>가 제약 조건 <math>\langle t_j, R_j \rangle</math>을 만족한다는 것은 변수 <math>t_j</math>에 할당된 값들이 관계 <math>R_j</math>를 만족한다는 의미이다.
평가는 제약 조건을 위반하지 않을 때 "일관적"이라고 한다. 모든 변수를 포함하는 평가는 "완전"하다고 한다. 평가가 일관적이고 완전하면 "해결"이라고 하며, 이러한 평가는 제약 충족 문제를 "해결"한다고 말한다.
3. 해결 방법
제약 충족 문제를 해결하기 위해 다양한 알고리즘이 사용된다. 일반적으로 탐색 알고리즘, 제약 전파, 지역 탐색 (최적화) 등의 방법이 쓰인다. 이들은 VLNS과 같이 결합되기도 하며, 선형 계획법 같은 다른 기술도 연구되고 있다.[14]
| 알고리즘 종류 |
|---|
| 탐색 알고리즘 |
| 제약 전파 |
| 지역 탐색 (최적화) |
3. 1. 탐색 알고리즘
백트래킹은 재귀적인 알고리즘으로, 변수에 값을 순차적으로 할당하며 제약 조건을 검사한다. 처음에 모든 변수는 할당되지 않은 상태이다. 각 단계에서 변수를 선택하고 가능한 모든 값을 차례로 할당한다. 각 값에 대해 부분 할당과 제약 조건의 일관성을 확인하고, 일관성이 있으면 재귀 호출을 수행한다. 모든 값을 시도한 후에는 백트래킹한다. 기본적인 백트래킹 알고리즘에서 일관성은 모든 변수가 할당된 제약 조건이 충족되는 것으로 정의된다.[14]백트래킹의 효율성을 높이기 위한 여러 변형이 존재한다. 백마킹은 일관성 검사의 효율성을 향상시킨다. 백점핑은 경우에 따라 하나 이상의 변수를 백트래킹하여 탐색의 일부를 절약한다. 제약 학습은 나중에 탐색을 피할 수 있는 새로운 제약 조건을 추론하고 저장한다. 미리 보기는 변수나 값 선택의 효과를 예측하여 탐색을 효율화하며, 때로는 하위 문제의 만족 가능성 여부를 미리 결정하는 데 사용된다.[14]
3. 2. 제약 전파
제약 전파는 제약 충족 문제를 수정하는 기술이다. 변수 및/또는 제약 조건 그룹의 일관성과 관련된 조건인 지역 일관성의 한 형태를 적용하는 방법이다. 제약 전파는 문제를 동등하면서도 일반적으로 해결하기 더 쉬운 문제로 바꾸거나, 문제의 만족 가능성 또는 만족 불가능성을 증명하는 데 사용된다. 일반적으로 보장되지는 않지만, 특정 형태의 제약 전파나 특정 종류의 문제에 대해서는 항상 발생한다.[14]가장 잘 알려지고 사용되는 지역 일관성 형태는 아크 일관성, 하이퍼 아크 일관성, 경로 일관성이다. 가장 널리쓰이는 제약 전파 방법은 아크 일관성을 적용하는 AC-3 알고리즘이다.[14]
3. 3. 지역 탐색
지역 탐색은 불완전한 만족 가능성 알고리즘으로, 문제가 만족스럽더라도 해를 찾지 못할 수 있다. 이 방법은 변수에 대한 완전한 할당을 반복적으로 개선하며 작동한다. 각 단계에서 소수의 변수 값을 변경하여 할당에 의해 충족되는 제약 조건의 수를 늘리는 것을 목표로 한다. 최소 충돌 알고리즘은 제약 충족 문제(CSP)에 특화된 지역 탐색 알고리즘으로, 이러한 원칙에 기반한다.[14] 무작위 선택의 영향을 받는 변경을 통해 지역 탐색이 효과적으로 작동하는 것으로 나타났다. 지역 탐색과 일반 탐색을 결합한 하이브리드 알고리즘도 개발되었다.[14]4. 이론적 측면
계산 복잡도 이론, 유한 모형 이론, 보편 대수학 등 다양한 분야에서 제약 충족 문제(CSP)가 연구된다.[15] CSP의 복잡성에 대한 질문은 기본 대수에 대한 중요한 보편 대수적 질문으로 변환될 수 있다는 것이 밝혀졌으며, 이러한 접근 방식은 "대수적 접근 방식"으로 알려져 있다.[15]
모든 계산 결정 문제는 무한 템플릿을 가진 CSP와 다항 시간 등가이므로,[16] 일반 CSP는 임의의 복잡성을 가질 수 있다. 특히, P ≠ NP라는 가정 하에 래드너에 의해 NP-중간 문제의 클래스 내에도 CSP가 있음이 입증되었다.
하지만 자연스러운 응용 분야에서 발생하는 CSP의 광범위한 클래스는 복잡도 이분법을 충족한다. 즉, 해당 클래스 내의 모든 CSP는 P 또는 NP-완전 중 하나이다. 따라서 이러한 CSP는 NP의 가장 큰 알려진 하위 집합 중 하나를 제공하며, NP-중간 문제를 피한다.
유한하게 경계된 균질 구조의 환원에 대한 모든 CSP에 대해 "무한 도메인 이분법 추측"[29]이 공식화되었으며, 이러한 구조의 CSP는 해당 다형성 클론이 방정식적으로 비자명하면 P에 있고, 그렇지 않으면 NP-하드하다고 명시한다.
이러한 무한 도메인 CSP의 복잡성뿐만 아니라 기타 일반화(값 CSP, 정량화된 CSP, 약속 CSP)는 여전히 활발한 연구 분야이다.[30]
모든 CSP는 또한 연접 쿼리 포함 문제로 간주될 수 있다.[31]
4. 1. 계산 복잡도
일반적인 CSP는 NP-완전 문제이다. 특정 조건을 만족하는 CSP는 다항 시간 안에 해결 가능하다 (P 문제). 불 연산자를 사용하는 부울 CSP의 복잡도는 셰퍼의 이분법 정리(Schaefer's Dichotomy Theorem)에 의해 분류되었다.[15] 2017년, 유한 도메인 CSP에 대한 이분법 추측이 Andrei Bulatov[18]와 Dmitriy Zhuk[19]에 의해 독립적으로 증명되었다.[17]복잡도 이분법이 확인된 다른 클래스는 다음과 같다.
- 의 모든 1차 논리 환원[20]
- 가산 랜덤 그래프의 모든 1차 환원[21]
- 모든 C-관계 클래스의 모형 동반자의 모든 1차 환원[22]
- 보편적인 균질 포셋의 모든 1차 환원[23]
- 균질 무방향 그래프의 모든 1차 환원[24]
- 모든 단항 구조의 모든 1차 환원[25]
- 복잡도 클래스 MMSNP의 모든 CSP[26]
알려진 대부분의 다루기 쉬운 CSP 클래스는 제약 조건의 하이퍼그래프가 제한된 트리 폭을 가지거나,[27] 제약 조건이 임의의 형태를 갖지만 제약 관계 집합의 방정식적으로 비자명한 다형성이 존재하는 클래스이다.[28]
5. 변형된 문제
제약 충족 문제의 기본 모델은 정적이고 유연하지 않은 제약 조건을 정의한다. 이러한 경직된 모델은 문제를 쉽게 표현하기 어렵게 만든다는 단점이 있다.[33] 따라서 기본 CSP 정의를 수정하여 다양한 문제에 적용할 수 있도록 하는 여러 방법이 제안되었다.
5. 1. 동적 CSP
동적 CSP(DCSP)는 문제의 원래 공식이 어떤 식으로든 변경될 때 유용하며, 일반적으로 고려해야 할 제약 조건 집합이 환경으로 인해 진화하기 때문이다.[34][35] 동적 CSP는 일련의 정적 CSP로 간주되며, 각 CSP는 변수와 제약 조건을 추가(제한)하거나 제거(완화)할 수 있도록 이전 CSP를 변환한 것이다. 문제의 초기 공식에서 발견된 정보는 다음 공식을 개선하는 데 사용할 수 있다. 해결 방법은 정보가 전달되는 방식에 따라 분류할 수 있다.- 오라클: 시퀀스에서 이전 CSP에 대해 찾은 솔루션은 현재 CSP를 처음부터 해결하도록 안내하는 휴리스틱으로 사용된다.
- 로컬 복구: 각 CSP는 이전 CSP의 부분 솔루션에서 시작하여 일관성이 없는 제약 조건을 로컬 검색으로 복구하여 계산된다.
- 제약 조건 기록: 일관성이 없는 결정 그룹의 학습을 나타내기 위해 각 검색 단계에서 새로운 제약 조건이 정의된다. 이러한 제약 조건은 새로운 CSP 문제로 전달된다.
5. 2. 유연한 CSP
고전적인 제약 충족 문제(CSP)는 제약을 엄격하게 취급하는데, 이는 제약이 '필수적'(각 솔루션은 모든 제약을 충족해야 함)이고 '유연하지 않다'(완전히 충족되어야 하며, 그렇지 않으면 완전히 위반됨)는 의미이다. '''유연한 CSP'''는 이러한 가정을 완화하여 제약을 부분적으로 '완화'하고 솔루션이 모든 제약을 준수하지 않아도 되도록 허용한다. 이는 선호 기반 계획의 선호도와 유사하다. 유연한 CSP의 몇 가지 유형은 다음과 같다.- MAX-CSP는 여러 제약 위반이 허용되며, 솔루션의 품질은 충족된 제약의 수로 측정된다.
- 가중 CSP는 각 제약 위반에 미리 정의된 선호도에 따라 가중치가 부여되는 MAX-CSP이다. 따라서 더 높은 가중치의 제약을 충족하는 것이 선호된다.
- 퍼지 CSP는 제약의 충족이 변수 값의 연속 함수이며 완전히 충족된 상태에서 완전히 위반된 상태까지 이어지는 퍼지 관계로 제약을 모델링한다.
5. 3. 분산 CSP
분산 CSP (DCSP)[36]에서 각 제약 변수는 별도의 지리적 위치를 갖는 것으로 간주된다. 제약 만족 문제를 해결하기 위해 완전 분산된 알고리즘의 사용을 요구하면서, 변수 간의 정보 교환에 대한 강력한 제약이 가해진다.참조
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