재귀

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1. 개요

재귀는 자기 자신을 사용하여 정의되는 수학적, 컴퓨터 과학적 개념이다. 수학에서는 함수가 재귀적으로 정의될 수 있으며, 피보나치 수열이 대표적인 예시이다. 컴퓨터 과학에서는 문제를 동일한 유형의 하위 문제로 나누는 분할 정복 알고리즘에 재귀가 활용되며, 팩토리얼 함수가 그 예시이다. 재귀 호출은 함수가 자기 자신을 호출하는 방식으로, 알고리즘을 간결하게 만들 수 있지만, 스택 오버플로우와 같은 단점도 존재한다. 재귀는 언어학, 예술, 대중문화 등 다양한 분야에서도 나타나며, 특히 문학, 시각 예술에서는 마트료시카 인형, 드로스테 효과, 에셔의 판화 등과 같은 형태로 나타난다. 또한, 한국 사회에서는 IT, 사회 과학, 경영 과학 등 여러 분야에서 재귀적 사고방식이 중요하게 다루어진다.

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재귀
개요
학문 분야	수학, 논리학, 컴퓨터 과학, 언어학, 철학
정의	자기 자신을 사용하여 정의하는 방법
활용	문제 해결 및 알고리즘 설계
수학적 정의
집합론	재귀적 정의: 집합의 원소를 자기 자신을 참조하여 정의 예시: 자연수의 정의 (0은 자연수이고, n이 자연수이면 n+1도 자연수이다)
함수	재귀 함수: 자기 자신을 호출하는 함수 예시: 팩토리얼 함수, 피보나치 수열 함수
수열	점화식: 수열의 항을 이전 항들의 관계식으로 표현 예시: 피보나치 수열의 점화식 (F(n) = F(n-1) + F(n-2))
컴퓨터 과학
자료 구조	재귀적 자료 구조: 자기 자신을 포함하는 자료 구조 예시: 연결 리스트, 트리
알고리즘	재귀 알고리즘: 자기 자신을 호출하는 알고리즘 예시: 퀵 정렬, 병합 정렬, 깊이 우선 탐색 (DFS)
프로그래밍	재귀 함수: 프로그래밍 언어에서 자기 자신을 호출하는 함수 장점: 간결하고 이해하기 쉬운 코드 작성 가능 단점: 스택 오버플로우 발생 가능성, 성능 저하 가능성
논리학
귀납적 정의	기본적인 경우와 재귀적인 경우로 나누어 대상을 정의
언어학
문법	문법 규칙을 자기 자신을 참조하여 정의
철학
자기 참조	개념이나 주장이 자기 자신을 가리키는 현상

2. 수학에서의 재귀

수학과 컴퓨터 과학에서, 객체나 방법의 클래스는 특정한 두 가지 속성을 가질 때 재귀적(recursive) 동작을 나타낸다.

간단한 ''기저 사례''(base case): 답을 생성하기 위해 재귀를 사용하지 않는 종료 시나리오이다.
''재귀 단계''(recursive step): 모든 후속 사례를 기저 사례로 축소하는 규칙 집합이다.

예를 들어, 사람의 ''조상''은 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수 있다.

자신의 부모 (기저 사례)
자신의 부모의 조상 (재귀 단계)

피보나치 수열은 재귀의 또 다른 예시이다.

:

:

:모든 정수 에 대해

많은 수학적 공리는 재귀적 규칙을 기반으로 한다. 페아노 공리에 의한 자연수의 공식적인 정의는 "0은 자연수이고, 각 자연수는 후속자를 가지며, 이는 또한 자연수이다."^[2] 와 같이 설명할 수 있다. 이 기저 사례와 재귀 규칙에 의해 모든 자연수의 집합을 생성할 수 있다.

이 외에도 계승, 함수(예: 점화 관계), 집합(예: 칸토어 삼진 집합), 프랙탈 등 다양한 수학적 객체들이 재귀적으로 정의된다.

집합론에서는 재귀 정리를 통해 재귀적으로 정의된 함수가 존재함을 보일 수 있다.^[15]

2. 1. 재귀적 정의

어떤 대상을 정의할 때, 자기 자신을 다시 사용하여 정의하는 방식을 재귀적 정의라고 한다. 자연수, 계승, 피보나치 수열, 칸토어 집합, 프랙탈 등이 재귀적 정의의 대표적인 예시이다.

수학과 컴퓨터 과학에서 재귀적 동작은 다음과 같은 두 가지 속성을 갖는다.^[3]

기저 사례 (base case): 재귀를 사용하지 않고 답을 낼 수 있는 종료 시나리오이다.
재귀 단계 (recursive step): 모든 후속 사례를 기저 사례로 축소하는 규칙 집합이다.

예를 들어, 사람의 조상은 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수 있다.

자신의 부모 (기저 사례)
자신의 부모의 조상 (재귀 단계)

맞은 거울(合わせ鏡) 사이에 물체를 놓으면 거울상이 무한히 비춰지는 것처럼, 어떤 것이 부분적으로 그 자체로 구성되거나 정의될 때 재귀적이라고 한다.^[27]^[28]

2. 1. 1. 자연수의 재귀적 정의

페아노 공리에 따르면, 자연수는 다음과 같이 정의할 수 있다. "0은 자연수이고, 각 자연수는 후속자를 가지며, 이는 또한 자연수이다."^[2] 이러한 정의는 수학적 귀납법과 원리적인 공통성이 있기에, 수학적 귀납법의 근거가 된다.

일본에서는 "Recursion" 및 "Recursive"를 "귀납"으로 번역하여 사용하기도 한다. (귀납적 가산 집합, 귀납 언어, 귀납적 함수 등)

자연수의 재귀적 정의의 예는 다음과 같다.

:0은

\mathbb{N}

에 속한다.

:만약 ''n''이

\mathbb{N}

에 속한다면, ''n'' + 1도

\mathbb{N}

에 속한다.

:자연수의 집합은 앞의 두 속성을 만족하는 가장 작은 집합이다.

2. 1. 2. 점화식

함수는 자신을 재귀적으로 정의하는 경우가 있다. 특히 점화식은 수열의 각 항을 이전 항들과의 관계로 나타내는 수식이며, 그 예로 피보나치 수열의 F(n)|F(n)^영어 = F(n − 1)|F(n-1)^영어 + F(n − 2)|F(n-2)^영어가 있다. 이러한 점화식에 의한 정의가 성립하려면, 재귀를 사용하지 않고 정의된 기저값 (피보나치 수열의 경우 F(0)|F(0)^영어 = 0과 F(1)|F(1)^영어 = 1)으로 귀착될 수 있어야 한다. 또한, 점화식의 재귀 관계를 풀면 비재귀적인 정의(일반항)를 얻을 수 있다.^[38]

유명한 재귀 함수에는 아커만 함수가 있는데, 이는 원시 재귀 함수보다 빠르게 증가하여 거대한 수를 생성하므로 재귀를 사용하지 않고 일반항을 간단한 식으로 나타낼 수 없다는 점에서^[39] 피보나치 수열과 다르다.

2. 2. 재귀적 최적화

동적 계획법은 다단계 최적화 문제를 재귀적 형태로 재구성하는 최적화 접근 방식이다. 동적 계획법의 핵심 결과는 벨만 방정식으로, 이전 시점에서의 최적화 문제 값을 이후 시점에서의 값으로 표현한다.^[1]

2. 3. 재귀 정리

집합론에서 재귀 정리는 재귀적으로 정의된 함수가 존재함을 보장하는 정리이다. 집합 X와, X의 원소 a, 그리고 함수 f: X → X가 주어졌을 때, 다음을 만족하는 유일한 함수

F: \N \to X

가 존재한다 (여기서

\N

은 0을 포함하는 자연수의 집합을 나타낸다).^[15]

:

F(0) = a

:

F(n + 1) = f(F(n))

여기서 n은 임의의 자연수이다.
증명두 함수

F: \N \to X

와

G: \N \to X

를 다음과 같이 정의한다.

:

F(0) = a

:

G(0) = a

:

F(n + 1) = f(F(n))

:

G(n + 1) = f(G(n))

여기서 a는 X의 원소이다.

수학적 귀납법을 사용하여 모든 자연수 n에 대해 F(n) = G(n)임을 보일 수 있다.

'''기저 사례''': F(0) = a = G(0)이므로, n = 0일 때 등식이 성립한다.

'''귀납적 단계''': 어떤 k에 대해 F(k) = G(k)라고 가정한다. 그러면 F(k + 1) = f(F(k)) = f(G(k)) = G(k + 1)이다. 따라서 F(k) = G(k)이면 F(k + 1) = G(k + 1)이 성립한다.

귀납법에 의해, 모든

n \in \N

에 대해 F(n) = G(n)이다.

3. 컴퓨터 과학에서의 재귀

컴퓨터 과학에서 재귀는 함수가 자기 자신을 호출하는 프로그래밍 기법을 의미한다.

분할 정복 알고리즘은 문제를 같은 유형의 하위 문제로 나누는 방법 중 하나이며, 많은 알고리즘 설계의 핵심이다. 분할 정복은 문제를 더 작은 인스턴스로 해결하는 하향식 접근 방식이며, 동적 계획법은 상향식 접근 방식을 사용한다.

컴퓨터 프로그래밍에서 재귀는 함수가 더 간단한 버전의 자신을 사용하여 정의될 때 사용된다. 점화식은 하나 이상의 수열을 재귀적으로 정의하는 방정식이다.

3. 1. 재귀 호출

재귀는 어떤 절차의 단계 중 하나가 그 절차 자체를 호출하는 과정을 포함한다.^[3] 이러한 절차를 '재귀적'이라고 한다. 재귀를 이해하려면 절차와 절차 실행의 차이를 알아야 한다. 절차는 규칙 집합에 따른 단계의 집합이고, 절차 실행은 실제로 규칙을 따르고 단계를 수행하는 것이다. 재귀는 무한 루프의 가능성을 내포하고 있으므로, 특정 경우에 단계를 건너뛰어 절차를 완료할 수 있도록 정의해야 한다.

일반적으로 문제를 같은 유형의 더 작은 하위 문제로 나누어 단순화하는 방법을 사용한다. 컴퓨터 프로그래밍에서 이를 분할 정복 알고리즘이라고 하며, 많은 중요한 알고리즘 설계의 핵심이다. 분할 정복은 문제를 더 작은 인스턴스로 해결하는 하향식 접근 방식이다. 반대로 동적 계획법은 상향식 접근 방식을 사용한다.

팩토리얼 함수는 재귀의 전형적인 예시이다. 다음은 파이썬 코드 예시이다.

def factorial(n):

if n > 0:

return n * factorial(n - 1)

else:

return 1

이 함수는 더 작은 입력값 n-1에 대해 재귀적으로 자신을 호출하고, 그 결과를 n으로 곱한다. 이는 기저 사례에 도달할 때까지 계속되며, 팩토리얼의 수학적 정의와 유사하다.

컴퓨터 프로그래밍에서 재귀는 함수가 더 간단한 버전의 자신을 사용하여 정의될 때 나타난다. 재귀의 큰 장점은 무한한 집합의 문장, 디자인 등을 유한한 컴퓨터 프로그램으로 정의하거나 생성할 수 있다는 것이다.

점화식은 하나 이상의 수열을 재귀적으로 정의하는 방정식이다.

3. 1. 1. 재귀 호출의 장단점

알고리즘에서 재귀를 사용하는 것에는 장점과 단점이 모두 있다. 주된 장점은 일반적으로 명령어의 단순함에 있다는 것이다. 예를 들어, C 언어로 작성된 계승 함수의 정의는 다음과 같다.^[3]

```c

/* 계승 n! 의 계산 */

int fact(int n) {

if (n == 0) return 1; /* 기저 단계.(n = 0) 의 경우: 1*/

else return fact(n - 1) * n; /* 재귀적인 구조.(n > 0) 의 경우: n * (n - 1)!。재귀 호출 */

}

```

이 함수는 입력값(n-1)을 이용해 자기 자신을 재귀적으로 호출하고, 재귀 호출의 결과에 n을 곱하는 과정을 반복한다. 이는 기저 사례에 도달할 때까지 계속되며, 팩토리얼의 수학적 정의와 유사하다.

주요 단점은 재귀 알고리즘의 메모리 사용량이 매우 빠르게 증가할 수 있다는 점이다. 이는 더 큰 인스턴스를 처리할 때 비실용적일 수 있다.^[3] 재귀 호출 방식에서는 재귀 종료 조건을 만족하지 못하는 상황을 피하기 위해 값의 변화에 주의해야 한다. 그렇지 않으면 무한 재귀에 빠져 스택 오버플로우로 프로그램이 비정상 종료되거나 시스템이 정지될 수 있다.

3. 2. 재귀적 자료 구조

연결 리스트나 트리 구조는 요소(노드)의 타입 안에 해당 요소 타입 자신에 대한 참조(자기 참조)가 존재하는 데이터 타입을 사용하여 구현된다. 이것이 재귀적 자료 구조(재귀 자료형)이다. 재귀적 자료 구조의 탐색에는 재귀 호출을 사용하는 경우가 많다.

아래는 Java에서의 예시이다. Tree 클래스 정의 내에서 Tree를 사용하고 있다.

```java

class Tree {

Tree[] children;

}

4. 언어학에서의 재귀

언어학에서 재귀는 문장이나 구(Phrase)가 자기 자신과 동일한 유형의 구조를 포함하는 현상을 의미한다.

노엄 촘스키를 비롯한 많은 언어학자들은 자연어에서 문법적으로 올바른 문장의 수와 길이에 상한이 없는 것이 재귀의 결과라고 주장한다.^[4]^[5] 이는 문장과 같은 구문 범주의 재귀적 정의를 통해 이해할 수 있다. 예를 들어, "도로시는 마녀들이 위험하다고 생각한다"와 같이 한 문장 안에 다른 문장이 포함될 수 있다.

이러한 재귀는 구문뿐만 아니라 자연어 의미론에서도 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 접속사 "그리고"는 새로운 문장을 만들거나 명사구, 동사구 등을 연결하는 함수로 해석될 수 있다.^[9]

4. 1. 언어의 창조성과 재귀

노엄 촘스키는 언어에서 문법적으로 올바른 문장의 수와 길이가 무한한 것은 자연어의 재귀적 특성 때문이라고 주장했다.^[4]^[5]

이는 문장과 같은 구문 범주를 재귀적으로 정의함으로써 설명할 수 있다. 예를 들어, "철수가 영희가 밥을 먹었다고 말했다."와 같이 한 문장 안에 다른 문장이 포함될 수 있다. 즉, 문장은 명사구, 동사, 그리고 선택적으로 다른 문장을 포함하는 구조로 재귀적으로 정의될 수 있다.

이러한 재귀적 구조는 언어의 창의성을 설명한다. "철수는 영희가 밥을 아주 맛있게 먹었다고 말했다."처럼 문장 안에 문장을 계속 추가하거나, "크고, 아름답고, 웅장한..."과 같이 동일한 유형의 구를 반복적으로 연결하여 무한히 많은 문장을 만들 수 있기 때문이다.^[6]

그러나 다니엘 에버렛은 피라앙어에 대한 연구를 바탕으로 재귀가 인간 언어의 필수적인 속성이라는 주장에 이의를 제기했다. 앤드루 네빈스, 데이비드 페세츠키, 실렌 로드리게스는 이에 반대하는 대표적인 학자들이다.^[7]

재귀는 구문뿐만 아니라 자연어 의미론에서도 중요한 역할을 한다. 예를 들어, "그리고"는 새로운 문장을 만들거나 명사구, 동사구 등을 연결하는 함수로 해석될 수 있다.^[9]

4. 2. 의미론에서의 재귀

"그리고"와 같은 접속사는 새로운 문장을 만들기 위해 문장의 의미에 적용될 수 있는 함수로 해석될 수 있으며, 명사구 의미, 동사구 의미 등에도 마찬가지로 적용될 수 있다.^[9] 또한 자동사, 타동사 또는 수여동사에도 적용될 수 있다. 적절하게 유연한 단일 지시 대상을 제공하기 위해 "그리고"는 일반적으로 이러한 다양한 유형의 의미를 인수로 사용할 수 있도록 정의된다. 이것은 문장을 결합하는 간단한 경우에 대해 "그리고"를 정의한 다음, 간단한 경우를 기준으로 다른 경우를 재귀적으로 정의하여 수행할 수 있다.^[9]

5. 예술 및 기타 분야에서의 재귀

재귀는 시각 예술, 문학, 대중문화 등 다양한 분야에서 나타난다.

분류:재귀

분류:자기참조

5. 1. 시각 예술에서의 재귀

즈볘즈도츠킨과 말류틴이 1892년에 제작한 최초의 마트료시카 인형 세트(열린 모습)

조토의 1320년작 ''스테파네스키 삼면 제단화'' 앞면에는 이 그림 자체가 재귀적으로 포함되어 있다(중앙 패널의 무릎 꿇은 인물이 들고 있음).

드로스테 효과라고 불리는 시각적 재귀 형식. 1904년 장 뮈제의 그림으로, 코코아 상자에 그려진 여성이 들고 있는 쟁반 위 코코아 상자에도 같은 그림이 반복된다.

마트료시카 인형은 재귀 개념을 물리적이고 예술적으로 보여주는 예시이다.^[22] 러시아에서 탄생한 마트료시카 인형은 이러한 재귀 개념을 조형적으로 나타내며, 일본에서는 '이레코 세공'이라고도 부른다.

1320년 조토의 ''스테파네스키 삼면 제단화''에서부터 회화에 재귀가 사용되었다. 중앙 패널에는 스테파네스키 추기경이 무릎을 꿇고 삼면 제단화 자체를 봉헌하는 모습이 담겨 있다.^[23]^[24] 이 기법은 드로스테 효과로 널리 알려져 있으며, 미장 아빔 기법의 한 예시이다.

M. C. 에셔의 ''판화 갤러리''(1956)는 왜곡된 도시를 묘사한 판화로, 그 안에 갤러리가 있고 갤러리 안에 다시 그림이 재귀적으로 포함되어 ''무한히'' 반복된다.^[25]

5. 2. 문학에서의 재귀

일본 문예 작품에서는 유메노 큐사쿠의 『도구라 마구라』가 재귀적이다. 본작의 초반에 기억 상실의 청년은 『도구라 마구라』라는 소설(기억 상실의 정신 환자가 쓴 것)을 발견하게 되는데, 이 작중작에 적혀있는 전개나 결말을 따라가듯이 본작도 전개되어 혼미한 결말에 이르는 문중문 구조가 나타난다.^[45]

아타마야마의, 자기 머리에 생긴 연못에 몸을 던져 버린다는 사게도, 재귀적인 것으로 언급되기도 한다.^[46]^[47]

5. 3. 대중문화에서의 재귀

영화 인셉션은 명사에 접미사 -셉션을 붙여 어떤 것의 재귀성을 유머러스하게 나타내는 표현을 유행시켰다.^[26]

6. 재귀 유머

재귀는 컴퓨터 과학, 프로그래밍, 철학, 수학 교과서 등에서 유머의 소재로 사용되기도 한다. "재귀를 이해하려면 먼저 재귀를 이해해야 한다"^[11]^[36]와 같은 순환 논리나 자기 참조를 이용한 농담이 대표적이다. 이러한 책의 용어집에는 다음과 같은 항목이 실리기도 한다.

: 재귀, ''재귀 참조''.^[11]

이는 재귀 단계가 기본 사례로 수렴하지 않고 무한 후퇴를 일으키는 상황을 빗댄 유머이다. 브라이언 커니건과 데니스 리치의 책 ''The C Programming Language''의 색인에는 "재귀 86, 139, 141, 182, 202, 269"와 같이 재귀적으로 자신을 참조하는 항목이 있다. 이러한 농담은 함수형 프로그래밍 커뮤니티에서 널리 퍼져 있었다.^[12]^[13]

구글 검색 엔진에서 "recursion"을 검색하면 "다음 단어를 찾으셨나요: ''recursion''"이라는 제안이 뜨는 것도 재귀 유머의 일종이다.^[14] 앤드류 플롯킨은 "이미 재귀가 무엇인지 알고 있다면 답을 기억하십시오. 그렇지 않은 경우, 당신보다 더글러스 호프스태터에게 더 가까이 있는 사람을 찾아 재귀가 무엇인지 물어보십시오."라는 농담을 하기도 했다.

재귀 약어도 재귀 유머의 예시이다. 예를 들어 GNU는 "GNU's Not Unix"의 약자이다. PHP는 "PHP 하이퍼텍스트 전처리", WINE은 "WINE은 에뮬레이터가 아님"을 의미한다.

참조

_[1] 서적 Logic, sets, and recursion https://www.worldcat[...] Jones and Bartlett Publishers 2006
_[2] 웹사이트 Peano axioms {{!}} mathematics https://www.britanni[...] 2019-10-24
_[3] 웹사이트 Definition of RECURSIVE https://www.merriam-[...] 2019-10-24
_[4] 서적 The Language Instinct William Morrow
_[5] 간행물 The faculty of language: What's so special about it?
_[6] 웹사이트 What Is Recursion in English Grammar? https://www.thoughtc[...] 2019-10-24
_[7] 간행물 Evidence and argumentation: A reply to Everett (2009) http://web.mit.edu/l[...]
_[8] 서적 Perspectives on the History of Mathematical Logic https://books.google[...] Springer Science & Business Media 2008-01-04
_[9] 문서 Barbara Partee and Mats Rooth. 1983. In Rainer Bäuerle et al., ''Meaning, Use, and Interpretation of Language''. Reprinted in Paul Portner and Barbara Partee, eds. 2002. ''Formal Semantics: The Essential Readings''. Blackwell.
_[10] 간행물 Proceedings of the 40th Annual Meeting on Association for Computational Linguistics (ACL '02) Association for Computational Linguistics
_[11] 서적 Essentials of Discrete Mathematics https://books.google[...] Jones and Bartlett
_[12] 웹사이트 CS 173:Discrete Structures https://courses.engr[...] University of Illinois at Urbana-Champaign 2023-07-07
_[13] 웹사이트 Introduction to Computer Science and Programming in C; Session 8: September 25, 2008 http://www.cs.columb[...] Columbia University 2023-07-07
_[14] 웹사이트 recursion - Google Search https://www.google.c[...] 2019-10-24
_[15] 문서 A. Kanamori, "[https://math.bu.edu/people/aki/20.pdf In Praise of Replacement]", pp.50--52. Bulletin of Symbolic Logic, vol. 18, no. 1 (2012). Accessed 21 August 2023.
_[16] 웹사이트 Picture of the Day: Fractal Cauliflower https://twistedsifte[...] 2020-04-19
_[17] 간행물 Double Bind et Conversion Le Seuil
_[18] 서적 Social Theory and Modern Sociology Polity Press
_[19] 간행물 Reflexive discourse analysis: A methodology for the practice of reflexivity 2021
_[20] 간행물 The Canadian Small Business–Bank Interface: A Recursive Model https://journals.sag[...] SAGE Journals 1994
_[21] 서적 Brain Of The Firm John Wiley & Sons 1972
_[22] 웹사이트 Recursion http://www.cpp.edu/~[...] 2015-09-24
_[23] 웹사이트 Giotto di Bondone and assistants: Stefaneschi triptych http://mv.vatican.va[...] The Vatican 2015-09-16
_[24] 서적 Physical (A)Causality: Determinism, Randomness and Uncaused Events https://books.google[...] Springer
_[25] 웹사이트 Art and Mathematics https://unwrappingar[...] 2007-09-05
_[26] 웹사이트 -ception – The Rice University Neologisms Database http://neologisms.ri[...] Rice University 2016-12-23
_[27] 문서 林創「[https://www.jstage.jst.go.jp/article/jcss/6/4/6_4_389/_pdf 再帰呼び出しを含む手続き処理の難しさ]」日本認知科学会『認知科学』6巻 (1999) 4号、389-405頁
_[28] 문서 Wirth,N.(1986)''Algorithms & Data Structures''（[[浦昭二]]・国府方久史　訳『アルゴリズムとデータ構造』東京近代科学社、1990年）
_[29] 웹사이트 Peano axioms {{!}} mathematics https://www.britanni[...] 2019-10-24
_[30] 서적 The Language Instinct William Morrow
_[31] 간행물 The faculty of language: What's so special about it?
_[32] 웹사이트 What Is Recursion in English Grammar? https://www.thoughtc[...] 2019-10-24
_[33] 간행물 Evidence and argumentation: A reply to Everett (2009) http://web.mit.edu/l[...]
_[34] 서적 Perspectives on the History of Mathematical Logic https://books.google[...] Springer Science & Business Media 2008-01-04
_[35] 문서 Barbara Partee and Mats Rooth. 1983. In Rainer Bäuerle et al., ''Meaning, Use, and Interpretation of Language''. Reprinted in Paul Portner and Barbara Partee, eds. 2002. ''Formal Semantics: The Essential Readings''. Blackwell.
_[36] 서적 Essentials of Discrete Mathematics https://books.google[...] Jones and Bartlett
_[37] 웹사이트 recursion - Google Search https://www.google.c[...] 2019-10-24
_[38] 서적 C言語による最新アルゴリズム事典技術評論社
_[39] 문서 アッカーマン関数の漸化式による説明、数列・カリー化 https://blog.goo.ne.[...] 百物語改め「九一三・六物語」 2015-01-27
_[40] 웹사이트 Picture of the Day: Fractal Cauliflower https://twistedsifte[...] 2012-12-28
_[41] 웹사이트 Recursion http://www.cpp.edu/~[...] 2015-09-24
_[42] 웹사이트 Giotto di Bondone and assistants: Stefaneschi triptych http://mv.vatican.va[...] The Vatican 2015-09-16
_[43] 서적 Physical (A)Causality: Determinism, Randomness and Uncaused Events https://books.google[...] Springer
_[44] 웹사이트 Art and Mathematics https://unwrappingar[...] 2007-09-05
_[45] 문서 5分でわかる『ドグラ・マグラ』読んだら気が狂う？【あらすじと解説】 https://honcierge.jp[...] ホンシェルジュ 2022-03-24
_[46] 문서 数学における落語『頭山』の世界自分自身を使って自分を定義する http://www.f.waseda.[...] 2023-09-08
_[47] 문서 地球にやさしいアルゴリズム第6回上手なアルゴリズムの見つけ方 https://xtech.nikkei[...] 2023-09-08
_[48] 문서 【再帰的プログラム】再帰・帰納の違いを解説【階乗0!が1の理由】 https://suwaru.tokyo[...] タクマ 2020-05-21

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