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주대각선

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목차

1. 개요

주대각선은 정사각 행렬에서 왼쪽 위 모서리에서 오른쪽 아래 모서리로 이어지는 대각선을 의미한다. 행렬 A에서 행 인덱스가 i이고 열 인덱스가 j일 때, 주대각선은 i = j인 항목 Aij가 된다. 주대각선은 행렬의 대각합을 계산하는 데 사용되며, 밴드 행렬, 삼중 대각 행렬, 대각 행렬 등을 정의하는 데 유용하다. 주대각선을 기준으로 행렬을 반사시키면 전치 행렬을 얻을 수 있으며, 사다리꼴 행렬 변환, LU 분해, QR 분해 등에서 활용된다. 반대각선은 오른쪽 위에서 왼쪽 아래로 이어지는 대각선이다.

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주대각선
정의
설명행렬에서 행 번호와 열 번호가 같은 위치에 놓이는 성분들을 주대각선(main diagonal)이라고 한다. 즉, n×n 정방행렬 A에서 (1,1), (2,2), ..., (n,n) 위치의 성분 a11, a22, ..., ann을 잇는 대각선이다.
예시
예시 1행렬 [[파일:Diagonal-1.svg|alt=예시 행렬|caption=예시 행렬]] 에서 주대각선은 빨간색으로 표시된 1, 5, 9이다.
예시 2행렬이 [[파일:Diagonal-2.svg|alt=또 다른 예시 행렬|caption=또 다른 예시 행렬]] 와 같으면 주대각선은 1이다.

2. 주대각선

정사각 행렬에서 왼쪽 위 모서리에서 오른쪽 아래 모서리로 이어지는 대각선을 '''주대각선'''이라고 한다.[1][2][3] 행렬 A 의 행 번호가 i이고 열 번호가 j일 때, 주대각선 상의 원소는 i = j인 A_{ij}이다. 항등 행렬은 주대각선 상의 원소가 모두 1이고, 나머지 원소는 모두 0인 정사각 행렬이다.

:\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 1

\end{pmatrix}

행렬의 대각합은 주대각선 원소의 합이다. 오른쪽 위에서 왼쪽 아래로 이어지는 대각선은 ''부대각선'' 또는 ''역대각선''으로 불린다.

2. 1. 주대각선을 기준으로 하는 행렬

대각 행렬은 주대각선 상의 원소를 제외한 모든 원소가 0인 행렬이다.[4][5] 주대각선 바로 위와 오른쪽에 있는 대각선은 상대각선(j = i + 1)이라 하고,[6][7] 주대각선 바로 아래와 왼쪽에 있는 대각선은 하대각선(j = i - 1)이라고 한다.[8]

띠 행렬은 0이 아닌 원소가 주대각선을 포함한 몇 개의 대각선에만 존재하는 행렬이다. 특히, 삼중 대각 행렬은 주대각선, 상대각선, 하대각선 상의 원소만 0이 아닌 값을 갖는 행렬이다.

3. 반대각선

'''반대각선''' ('''역대각선''', '''부대각선''', '''후행 대각선''', '''소대각선''', '''비대각선''', '''불량 대각선'''이라고도 함)은 N차 정사각 행렬에서 오른쪽 위 모서리에서 왼쪽 아래 모서리로 이어지는 대각선을 말한다. 반대각선 상의 원소는 모든 1 \leq i, j \leq N에 대해 i + j = N+1을 만족하는 항목 b_{i,j}이다.

:\begin{bmatrix}

0 & 0 & \color{red}{1}\\

0 & \color{red}{1} & 0\\

\color{red}{1} & 0 & 0\end{bmatrix}

4. 대각선의 전치

주대각선을 기준으로 행렬을 반사시키면 전치 행렬을 얻을 수 있다.

5. 성질

주대각선은 밴드 행렬을 정의하는 데 유용하다. 주대각선은 반대각선에 대해 대칭된다.[1][2][3] 주대각선의 회전은 전치행렬의 성질을 이해하는 데 도움이 된다. 주대각선은 사다리꼴행렬 변환, LU 분해, QR 분해 등에서 중요하게 사용된다. 정사각 행렬에서 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 이어지는 대각선이 주대각선이며, 항등 행렬은 주대각선에 1을, 다른 위치에는 0을 갖는 것으로 정의할 수 있다. 행렬의 대각합은 주대각선 원소들의 합이다. 주대각선에 없는 원소는 비대각선 원소라고 하며, 대각 행렬은 이러한 비대각선 원소가 모두 0인 행렬이다.[4][5] 주대각선의 바로 위와 오른쪽에 있는 원소는 상대각선 원소라고 하고,[6][7] 주대각선의 바로 아래와 왼쪽에 있는 원소는 하대각선 원소라고 한다.[8]

참조

[1] 서적
[2] 서적
[3] 서적
[4] 서적
[5] 서적
[6] 서적
[7] 서적
[8] 서적


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