중심대칭행렬

3. 예시

모든 2×2 중심대칭행렬은 다음과 같은 형태를 갖는다.

:



모든 3×3 중심대칭행렬은 다음과 같은 형태를 갖는다.

:

$\backslash begin\{pmatrix\}$

a & b & c \\

d & e & d \\

c & b & a

\end{pmatrix}

:$\backslash begin\{pmatrix\}$

{\color{red} {1}} & {\color{red} {2}} & {\color{red} {3}} & {\color{red} {4}} & {\color{red} {5}} \\

{\color{red} {6}} & {\color{red} {7}} & {\color{red} {8}} & {\color{red} {9}} & {\color{red} {10}} \\

{\color{red} {11}} & {\color{red} {12}} & {\color{green} {13}} &12 & 11 \\

10 & 9 & 8 & 7 & 6 \\

5 & 4 & 3 & 2 & 1

\end{pmatrix}

대칭 퇴플리츠행렬(Symmetric Toeplitz matrix)들은 방사형 대칭행렬(중심대칭행렬,centrosymmetric)이다.

4. 성질

체 *F*에 대한 *n* × *n* 중심대칭행렬 *A*와 *B*에 대해, *A* + *B*와 *cA* (*c*는 *F*의 임의의 원소)도 중심대칭행렬이다.^[4] 중심대칭행렬의 행렬 곱셈 *AB*도 중심대칭행렬이다. (*JAB* = *AJB* = *ABJ*)^[4] 항등 행렬은 중심대칭행렬이다.^[4] 따라서 *n* × *n* 중심대칭행렬의 집합은 모든 *n* × *n* 행렬의 결합 대수의 부분 대수를 형성한다.

• A*가 *m* 차원의 고유 기저를 갖는 중심대칭행렬이라면, 그의 *m*개의 고유 벡터 각각은 x = *J*x 또는 x = -*J*x를 만족하도록 선택될 수 있다. (*J*는 교환 행렬)^[4] *A*가 서로 다른 고유값을 갖는 중심대칭행렬이라면, *A*와 교환하는 행렬은 중심대칭행렬이어야 한다.^[4] *m* × *m* 중심대칭행렬에서 고유 원소의 최대 개수는 (m² + m mod 2) / 2이다.

5. 관련 개념

''n'' × ''n'' 행렬 A의 성분이 모든 i, j ∈ {1, ..., n}에 대해 A_{i, j} = -A_{n-i+1, n-j+1}을 만족하면 A는 왜곡 중심대칭행렬이다. 또는, 교환 행렬 J에 대해 AJ = -JA이면 A는 왜곡 중심대칭행렬이다.

중심 대칭 관계 AJ = JA는 자연스러운 일반화로 이어지며, 여기서 J는 대합 행렬 K (즉, K² = I) 또는 더 일반적으로 정수 m > 1에 대해 K^m = I를 만족하는 행렬 K로 대체된다. 고정 행렬 A와 교환하는 모든 대합 K를 식별하는 교환 관계 AK = KA에 대한 역 문제도 연구되었다.

대칭 행렬 중심 대칭 행렬은 때때로 이중 대칭 행렬이라고 한다. 기저체가 실수인 경우, 이중 대칭 행렬은 교환 행렬로 사전 또는 사후 곱셈을 수행한 후 가능한 부호 변경을 제외하고 고유값이 동일하게 유지되는 정확한 대칭 행렬인 것으로 나타났다. 에르미트 행렬 중심 대칭 및 왜곡 중심 대칭 행렬에 대해서도 유사한 결과가 적용된다.^[5]

5. 1. 왜곡 중심대칭행렬

5. 2. 일반화

5. 3. 이중 대칭 행렬

6. 추가 정보

중심대칭행렬은 일반적으로 행렬의 대각선인 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려오는 사선($\backslash left(\; \backslash ;\; \backslash Bigg\backslash backslash\; \backslash ;\; \backslash right)$)뿐만 아니라,^[7] 반대각선인 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 올라가는 사선($\backslash left(\; \backslash ;\; \backslash Bigg/\; \backslash ;\; \backslash right)$)에 대해서도 대칭성을 가진다.^[8] 이러한 행렬의 구조적 성질은 이들이 교차하는 중심점과 이들이 대칭되는 중심축을 예상할 수 있는 정보를 제공한다.^[9]

참조

_[1] 논문 Eigenvectors of certain matrices
_[2] 논문 A spectral characterization of generalized real symmetric centrosymmetric and generalized real symmetric skew-centrosymmetric matrices https://zenodo.org/r[...]
_[3] 논문 Characterization and properties of matrices with generalized symmetry or skew symmetry
_[4] 논문 Some properties of commuting and anti-commuting m-involutions
_[5] 논문 A Spectral Characterization of Hermitian Centrosymmetric and Hermitian Skew-Centrosymmetric K-Matrices
_[6] 서적 A Treatise on the Theory of Determinants Dover
_[7] 웹사이트 매스월드 http://mathworld.wol[...]
_[8] 웹사이트 매스월드 http://mathworld.wol[...]
_[9] 간행물 CENTROSYMMETRIC MATRICES: PROPERTIES AND AN ALTERNATIVE APPROACH , IYAD T. ABU-JEIB http://www.math.ualb[...] CANADIAN APPLIED MATHEMATICS QUARTERLY 2017-03-29