진약수의 합

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1. 개요
2. 정의 및 예시
3. 수의 분류
4. 진약수 합의 반복
5. 관련 연구 및 인물
참조

1. 개요

진약수의 합은 자연수 n의 모든 양의 약수(자기 자신 제외)의 합을 의미한다. 12의 경우, 진약수는 1, 2, 3, 4, 6이며, 진약수의 합은 16이다. 진약수의 합은 수의 종류를 분류하는 데 사용되며, 1은 진약수의 합이 0인 유일한 수이고, 소수는 진약수의 합이 1이다. 완전수는 진약수의 합이 자기 자신과 같고, 부족수는 작으며, 과잉수는 크다. 진약수의 합을 반복하면 진약수 열이 생성되며, 사교수는 진약수 열이 주기 수열인 수이다. 폴 에르되시는 진약수의 합을 주요 연구 주제로 삼았으며, 윌리엄 오브 오베리브는 중세 시대에 진약수의 합에 관심을 가졌다.

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진약수의 합
수학적 정보
기호	s(n)
정의	n의 모든 진약수의 합
예시
s(1)	0
s(2)	1
s(6)	1 + 2 + 3 = 6
s(p) (p는 소수)	1
s(8)	1 + 2 + 4 = 7
성질
완전수	s(n) = n인 경우, n은 완전수임
부족수	s(n) < n인 경우, n은 부족수임
과잉수	s(n) > n인 경우, n은 과잉수임
준완전수	n의 진약수 일부의 합이 n인 경우, n은 준완전수임
불가촉 수	어떤 수 n에 대해서도 s(m) = n을 만족하는 m이 존재하지 않는 경우, n은 불가촉 수임

2. 정의 및 예시

자연수 ''n''의 진약수 합 ''s''(''n'')은 ''n''을 제외한 ''n''의 모든 양의 약수를 더한 값이다. 예를 들어, 12의 진약수는 1, 2, 3, 4, 6이므로, 12의 진약수의 합은 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16이다.

''n'' = 1, 2, 3, ... 에 대한 ''s''(''n'')의 값은 다음과 같다.

: 0, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 7, 4, 8, 1, 16, 1, 10, 9, 15, 1, 21, 1, 22, 11, 14, 1, 36, 6, 16, 13, 28, 1, 42, 1, 31, 15, 20, 13, 55, 1, 22, 17, 50, 1, 54, 1, 40, 33, 26, 1, 76, 8, 43, ... (A001065 수열)

3. 수의 분류

1은 진약수의 합이 0인 유일한 수이다. 어떤 수가 소수일 필요충분조건은 그 진약수의 합이 1인 것이다.
완전수는 자기 자신의 진약수의 합과 같은 수이고, 부족수는 자기 자신의 진약수의 합보다 큰 수이며, 과잉수는 자기 자신의 진약수의 합보다 작은 수이다.
준완전수(이러한 수가 존재하는 경우)는 진약수의 합이 ''n'' + 1과 같은 수 ''n''이다. 거의 완전수(2의 거듭제곱을 포함하며, 지금까지 알려진 유일한 수)는 진약수의 합이 ''n'' - 1과 같은 수 ''n''이다.
불가촉 수는 다른 어떤 수의 진약수의 합도 아닌 수이다. 아부 만수르 알-바그다디(서기 1000년경)는 2와 5가 불가촉 수임을 관찰했다. 폴 에르되시는 불가촉 수가 무한하다는 것을 증명했다.

4. 진약수 합의 반복

음이 아닌 정수 ''n''에 대한 진약수의 합 함수를 반복하면, 진약수의 합 수열 ''n'', ''s''(''n''), ''s''(''s''(''n'')), ...이 생성된다(이 수열에서는 ''s''(0) = 0으로 정의한다).^[2] 이러한 수열이 항상 소수로 끝나는지, 완전수인지, 사교수의 주기적인 수열로 끝나는지는 알 수 없다.

반복 진약수 합 함수는 음이 아닌 정수의 진약수 열을 생성한다(이 수열에서, ''s''(0) = 0으로 정의한다).

사교수는 진약수 열이 주기 수열인 수이다. 우애수는 진약수 열의 주기가 2인 사교수이다.

이러한 수열이 항상 소수, 완전수, 또는 사교수의 주기 수열로 끝나는지는 아직 알려져 있지 않다.^[1]

5. 관련 연구 및 인물

폴 에르되시는 진약수 합을 "가장 좋아하는 연구 주제" 중 하나로 언급했다. 윌리엄 오브 오베리브(William of Auberive)는 중세 시대에 진약수의 합에 관심을 가진 수비학자이다.

참조

_[1] MathWorld Catalan's Aliquot Sequence Conjecture
_[2] 매스월드 Catalan's Aliquot Sequence Conjecture

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