차원 조절

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 차원 조절의 특징
3. 예제
- 3.1. 로그 발산 적분
- 3.2. 무한히 긴 전하선의 전위
4. 역사
참조

1. 개요

차원 조절은 상대론적 라그랑지언을 임의의 차원에서 쓸 수 있다는 점을 이용하여, 파인만 도표를 복소 차원으로 해석적 연속하는 방법이다. 이는 발산하는 파인만 도표를 조절하여 유한한 값을 얻게 해주는 기술로, 재규격화 과정에서 사용된다. 1972년 헤라르뒤스 엇호프트와 마르티뉘스 펠트만이 양-밀스 이론의 재규격화를 위해 도입했으며, 한국에서도 1970년대 후반부터 입자물리학 및 양자장론 연구에 활용되었다.

2. 정의

대부분의 상대론적 라그랑지언은 임의의 양의 정수 차원에서 쓸 수 있다. (단, 레비치비타 기호는 특정한 차원에서만 쓸 수 있어 예외다.) 따라서 파인만 도표를 차원에 대한 함수로 계산할 수 있고, 이렇게 얻어진 함수는 정칙함수이므로 임의의 복소수 차원 $d$ 로 해석적 연속할 수 있다. 파인만 도표를 $d=4$ 근처에서 테일러 급수로 쓰면, $1/\epsilon=1/(4-d)$ 의 급수로 도표가 발산하는 정도를 나타낼 수 있다. 이를 차원 조절이라고 부른다.

2. 1. 차원 조절의 특징

차원 조절로 얻는 식은 모두 로그로 발산한다. 즉, 재규격화 에너지

\Lambda

를 포함하면,

1/\epsilon

으로 나타내어지는 발산은 재규격화 에너지의 로그에 비례한다. 이는 차원 조절이 선형, 이차, 삼차 등의 발산을 숨기기 때문이다. 차원 조절 후에는 일반적으로 최소뺄셈방식(MS 방식) 또는 수정 최소뺄셈방식(

\overline{\mathrm{MS}}

방식)으로 재규격화한다.

3. 예제

4차원에서 로그적으로 발산하는 고리 적분을 생각해 보자.^[7]

: $\int\frac{d^dp}{(2\pi)^d}\frac{1}{\left(p^2+m^2\right)^2}$

차원을 ''4-ε''으로 적고, ε을 0으로 보내면, 다음과 같이 적분이 수렴하고 모든 값이 유한하게 된다.

: $\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+}\int \frac{dp}{(2\pi)^{4-\varepsilon}} \frac{2\pi^{(4-\varepsilon)/2}}{\Gamma\left(\frac{4-\varepsilon}{2}\right)} \frac{p^{3-\varepsilon}}{\left(p^2+m^2\right)^2}.$

3. 1. 로그 발산 적분

4차원에서 로그적으로 발산하는 고리 적분을 고려한다.^[7] 차원을 ''4-ε''으로 적고, ε을 0으로 보내면 적분이 수렴하고 모든 값이 유한하게 된다.

3. 2. 무한히 긴 전하선의 전위

전하 밀도가 s|에스^영어인 무한히 긴 전하선을 고려하여, 선에서 거리 x|엑스^영어만큼 떨어진 점의 전위를 계산해 본다. 적분은 다음과 같이 발산한다.^[6]

:

V(x) = A \int_{-\infty}^\infty \frac{dy}{\sqrt{x^2 + y^2}}

여기서

A = s/(4\pi\epsilon_0)

이다.

전하선은 1차원 "구면 대칭"(1차원에서는 단순히 거울 대칭)을 가지므로, 구면 대칭성을 활용하여 적분을 다시 쓸 수 있다.^[6]

:

\int_{-\infty}^\infty \frac{dy}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \int_{-\infty}^\infty \frac{dt}{\sqrt{(x/x_0)^2 + t^2}} = \int_{0}^\infty \frac{\mathrm{vol}(S^1) dr}{\sqrt{(x/x_0)^2 + r^2}}

여기서 먼저 단위 길이

x_0

로 나누어 길이 의존성을 제거한 다음,

\R^1

에 대한 적분을 1-구

S^1

에 대한 적분으로 변환하고, 이어서 1-구의 모든 반지름에 대한 적분을 수행했다.

이제 이것을 차원

d

로 일반화한다. d-구의 부피는

\frac{2\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)}

이며, 여기서

\Gamma

는 감마 함수이다. 이제 적분은 다음과 같다.^[6]

:

\frac{2\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)}\int_{0}^\infty \frac{r^{d-1}dr}{\sqrt{(x/x_0)^2 + r^2}}

d = 1-\epsilon

일 때, 적분은 꼬리 부분에 의해 지배된다. 즉, 다음과 같다.^[6]

:

\int_{0}^\infty \frac{r^{d-1}dr}{\sqrt{(x/x_0)^2 + r^2}} \sim \int_c^\infty r^{d-2}dr = \frac{1}{d-1}c^{d-1} = \epsilon^{-1} c^{-\epsilon},

여기서

c = \Theta(x/x_0)

(빅 세타 표기법)이다. 따라서

V(x)\sim (x_0/x)^\epsilon/\epsilon

이고, 따라서 전기장은

V'(x) \sim x^{-1}

이 된다.

4. 역사

헤라르뒤스 엇호프트와 마르티뉘스 펠트만^[8]^[9], 카를로스 볼리니(Carlos Bollini), 후안 호세 잠비아기(Juan Jose Giambiagi)^[10], J. F. 애시모어(J. F. Ashmore)^[11]가 1972년에 도입하였다. 엇호프트와 펠트만은 양-밀스 이론을 재규격화하기 위해 차원 조절을 도입하였다.

참조

_[1] 문서 Bollini 1972, p. 20.
_[2] 논문 Revolutionary physics in reactionary Argentina 2014-02-01
_[3] 간행물 Regularization and renormalization of gauge fields https://doi.org/10.1[...]
_[4] 논문 Accurate critical exponents for Ising-like systems in non-integer dimensions https://hal.archives[...]
_[5] 서적 Analytic Aspects of Quantum Field World Scientific Publishing
_[6] 논문 Regularization, renormalization, and dimensional analysis: Dimensional regularization meets freshman E&M https://pubs.aip.org[...] 2011-03
_[7] 서적 An introduction to quantum field theory https://www.worldcat[...] 2019
_[8] 인용 Regularization and renormalization of gauge fields http://www.staff.sci[...] 1972
_[9] 저널 인용 This week’s citation classic http://garfield.libr[...] 1984-04-16
_[10] 저널 인용 Dimensional renormalization: The number of dimensions as a regularizing parameter 1972-11-11
_[11] 저널 인용 A method of gauge-invariant regularization 1972-06-24

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