레비치비타 기호

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 활용
5. 상대성 이론에서의 활용
참조

1. 개요

레비치비타 기호는 차원에 따라 다르게 정의되며, 2차원, 3차원 및 n차원에서 정의되는 기호이다. 2차원 기호는 응집 물질 물리학, 초대칭성 및 트위스터 이론과 같은 고에너지 물리학 분야에서 사용된다. 3차원 레비치비타 기호는 3 × 3 × 3 배열로 나타낼 수 있으며, 벡터곱, 스칼라 삼중곱, 행렬식 계산 등에 활용된다. 일반화된 n차원 레비치비타 기호는 순열 텐서 또는 텐서 밀도로 해석될 수 있으며, 상대성 이론의 맥스웰 방정식과 민코프스키 공간의 시공간 기하학을 기술하는 데 사용된다.

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레비치비타 기호
개요
종류	반대칭 텐서
기호	ε 또는 ϵ (일반적으로 사용됨), 드물게 e
차원	n
정의
정의	n개의 첨자 i₁, i₂, ..., iₙ을 가짐
첨자 범위	1, 2, ..., n
전체 개수	nⁿ개
값
εi₁i₂...in	치환이 짝수번이면 +1, 홀수번이면 -1, 첨자 중복 시 0
ε₁₂...n	+1
특징
주된 용도	행렬식 계산, 벡터곱 표현
관련 개념	크로네커 델타
관련 정보
다른 이름	레비-치비타 부호, 에딩턴 기호, 순열 기호

2. 정의

레비치비타 기호는 완전 반대칭이며, 차원에 따라 다르게 정의된다. 일반적으로 3차원 및 4차원에서 가장 자주 사용되며, 2차원에서도 어느 정도 사용된다.^[10]^[11]

i^영어, j^영어, k^영어가 각각 1, 2, 3 중 하나일 때, 레비치비타 기호는 다음과 같이 정의된다.

(i, j, k)가 (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)와 같이 순열되는 경우, 그 값은 +1이다.
(i, j, k)가 (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 1, 3)과 같이 순열되는 경우, 그 값은 -1이다.
i, j, k 중 어느 하나라도 중복되는 경우, 그 값은 0이다.

부호 함수 sgn을 사용하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\varepsilon_{ijk} = \operatorname{sgn}(j-i) \operatorname{sgn}(k-i) \operatorname{sgn}(k-j).

2. 1. 2차원

2차원에서 레비치비타 기호는 다음과 같이 정의된다.^[1]

(i, j) = (1, 2)이면 ε_ij = +1
(i, j) = (2, 1)이면 ε_ij = -1
i = j이면 ε_ij = 0

이 값들은 다음과 같은 2×2 반대칭 행렬로 나타낼 수 있다.

:

\begin{pmatrix}\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} \\\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\

1 & 0

\end{pmatrix}

2차원 기호는 응집 물질 물리학에서 흔히 사용되며, 2-스피너의 맥락에서 나타나는 초대칭성^[1] 및 트위스터 이론^[2]과 같은 특정 전문 고에너지 물리학 주제에서도 사용된다.

2. 2. 3차원

3차원에서 레비치비타 기호는 다음과 같이 정의된다.^[3]

:

\varepsilon_{ijk} = \begin{cases}+1 & \text{if } (i,j,k) \text{ is } (1,2,3), (2,3,1), \text{ or } (3,1,2), \\

1 & \text{if } (i,j,k) \text{ is } (3,2,1), (1,3,2), \text{ or } (2,1,3), \\

\;\;\,0 & \text{if } i = j, \text{ or } j = k, \text{ or } k = i\end{cases}

즉,

\varepsilon_{ijk}

는

(i, j, k)

가

(1, 2, 3)

의 짝순열이면 1이고, 홀순열이면 -1이며, 임의의 지수가 반복되면 0이다. 3차원에서만

(1, 2, 3)

의 순환 순열은 모두 짝순열이고, 유사하게 역순환 순열은 모두 홀순열이다.

몇 가지 예시는 다음과 같다.

:

\begin{align}\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}  \color{Violet}{3}  \color{Orange}{2}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}  \color{Orange}{2} \color{Violet}{3}} &= - 1 \\\varepsilon_{  \color{Violet}{3} \color{BrickRed}{1}  \color{Orange}{2}} = -\varepsilon_{  \color{Orange}{2} \color{BrickRed}{1} \color{Violet}{3}} &= -(-\varepsilon_{\color{BrickRed}{1} \color{Orange}{2} \color{Violet}{3}}) = 1 \\\varepsilon_{  \color{Orange}{2}  \color{Violet}{3} \color{BrickRed}{1}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1} \color{Violet}{3} \color{Orange}{2}} &= -(-\varepsilon_{\color{BrickRed}{1} \color{Orange}{2} \color{Violet}{3}}) = 1 \\\varepsilon_{  \color{Orange}{2}  \color{Violet}{3}  \color{Orange}{2}} = -\varepsilon_{  \color{Orange}{2}  \color{Violet}{3} \color{Orange}{2}} &= 0\end{align}

2. 3. 일반화 (n차원)

n차원에서 레비치비타 기호는 다음과 같이 정의된다.^[4]

:

\varepsilon_{a_1 a_2 a_3 \ldots a_n} = \begin{cases}+1 & \text{if }(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n) \text{ is an even permutation of } (1, 2, 3, \dots, n) \\

1 & \text{if }(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n) \text{ is an odd permutation of } (1, 2, 3, \dots, n) \\

\;\;\,0 & \text{otherwise}\end{cases}

이는 순열의 경우 순열의 부호와 같고, 그렇지 않은 경우에는 0이다.

숫자의 일반적인 곱셈에 대한 대문자 파이 표기법을 사용하여, 기호에 대한 명시적인 표현은 다음과 같다.

:

\begin{align}\varepsilon_{a_1 a_2 a_3 \ldots a_n}& = \prod_{1 \leq i < j \leq n} \sgn (a_j - a_i) \\& = \sgn(a_2 - a_1) \sgn(a_3 - a_1) \dotsm \sgn(a_n - a_1) \sgn(a_3 - a_2) \sgn(a_4 - a_2) \dotsm \sgn(a_n - a_2) \dotsm \sgn(a_n - a_{n-1})\end{align}

여기서 시그넘 함수는 인수의 부호를 반환하며, 0이 아니면 절댓값을 버린다. 이 공식은 모든 인덱스 값과 모든 n에 대해 유효하다 (n = 0 또는 n = 1인 경우, 이는 빈 곱이다).

에딩턴 엡실론은 ''n''차원으로 확장할 수 있다. ('''일반화된 에딩턴 엡실론''')^[12]

:

\varepsilon_{i_1 i_2 \dots i_n} = \varepsilon^{i_1 i_2 \dots i_n} =\begin{cases}+1 & ~\text{(짝수)}\\

1 & ~\text{(홀수)}\\

~0 & ~\text{(그 외)}\end{cases}

단, ''i₁'',''i₂'',…,''i_n'' 이 1, 2, …, ''n'' 의 짝수 치환의 경우에는 (짝수)에, 홀수 치환의 경우에는 (홀수)에, 그 외의 경우에는 (그 외)에 대응한다.

3. 성질

레비치비타 기호는 크로네커 델타와 다음과 같은 관계를 가진다.

3차원에서는 다음과 같은 관계가 성립한다.^[4]

: $\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn} = \begin{vmatrix}\delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in} \\\delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn} \\\delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn} \\\end{vmatrix} = \delta_{il}\left( \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}\right) - \delta_{im}\left( \delta_{jl}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{kl} \right) + \delta_{in} \left( \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl} \right).$

하나의 인덱스가 반복되고 합산될 때 발생하는 특수한 경우는 다음과 같다.

: $\sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}$

아인슈타인 표기법에서, 인덱스 i의 중복은 i에 대한 합을 의미한다. 따라서 앞선 식은 $\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}$ 로 표기된다.

두 개의 인덱스가 반복되고 합산되면 다음과 같이 더 간단해진다.

: $\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}$

n차원에서 모든 $i_1, \dots, i_n, j_1, \dots, j_n$ 가 $1, 2, \dots, n$ 값을 가질 때 다음이 성립한다.

: $\varepsilon_{i_1 \dots i_n} \varepsilon^{j_1 \dots j_n} = \delta^{j_1 \dots j_n}_{i_1 \dots i_n}$

: $\varepsilon_{i_1 \dots i_k i_{k+1} \dots i_n} \varepsilon^{i_1 \dots i_k j_{k+1} \dots j_n} = k! \delta^{j_{k+1} \dots j_n}_{i_{k+1} \dots i_n}$

: $\varepsilon_{i_1 \dots i_n}\varepsilon^{i_1 \dots i_n} = n!$

여기서 $!$ 는 계승을 나타내며, $\delta^{j_1 \dots j_n}_{i_1 \dots i_n}$ 는 일반화된 크로네커 델타이다. 모든 n에 대해 다음 속성이 성립한다.

: $\sum_{i, j, k, \dots = 1}^n \varepsilon_{ijk\dots}\varepsilon_{ijk\dots} = n!$

이는 다음 사실로부터 도출된다.

모든 순열은 짝순열 또는 홀순열이다.
$(+1)^2 = (-1)^2 = 1$
모든 n개 원소 집합의 순열 수는 정확히 $n!$ 이다.

두 레비치비타 기호의 곱은 다음과 같이 행렬식으로 표현할 수 있다.

:

\varepsilon_{i_1 i_2 \dots i_n} \varepsilon_{j_1 j_2 \dots j_n} = \begin{vmatrix}\delta_{i_1 j_1} & \delta_{i_1 j_2} & \dots  & \delta_{i_1 j_n} \\\delta_{i_2 j_1} & \delta_{i_2 j_2} & \dots  & \delta_{i_2 j_n} \\\vdots           & \vdots           & \ddots & \vdots \\\delta_{i_n j_1} & \delta_{i_n j_2} & \dots  & \delta_{i_n j_n} \\\end{vmatrix}.

4. 활용

레비치비타 기호는 수학과 물리학의 여러 분야에서 활용된다.

선형대수학에서 두 3차원 벡터의 벡터곱과 3 × 3 정사각 행렬의 행렬식을 간략하게 표현할 수 있다.^[6] 아인슈타인 표기법을 사용하면 합산 기호를 생략하여 더욱 간결하게 표현할 수 있다.

벡터 삼중곱 공식은 다음과 같이 증명할 수 있다.

: $\begin{align}\left\{ \boldsymbol a \times (\boldsymbol b \times \boldsymbol c) \right\}_i&= \sum_{j,k} \varepsilon_{ijk} a_j (\boldsymbol b \times \boldsymbol c)_k \\&= \sum_{j,k} \varepsilon_{ijk} a_j \sum_{\ell,m} \varepsilon_{k\ell m} b_\ell c_m \\&= \sum_{j,\ell,m} \left(\sum_{k} \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{k\ell m}\right) a_j b_\ell c_m \\&= \sum_{j,\ell,m} (\delta_{i\ell}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{j\ell}) a_j b_\ell c_m \\&= \sum_{m} (a_m b_i c_m - a_m b_m c_i)\\&= \left\{\boldsymbol b\,(\boldsymbol a \cdot \boldsymbol c)-\boldsymbol c\,(\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b)\right\}_i\end{align}$

데카르트 좌표계에서 정의된 벡터장 의 회전의 i번째 성분은 다음과 같이 표현된다.^[4]

: $(\nabla \times \mathbf{F})^i(\mathbf{x}) = \varepsilon_{ijk}\frac{\partial}{\partial x^j} F^k(\mathbf{x}),$

이는 외적 표현에서 기울기 벡터 선형 연산자 (델)의 성분을 대입하여 얻을 수 있다.

4. 1. 벡터곱

선형대수학에서 3차원 벡터의 벡터곱(외적)은 레비치비타 기호를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.^[5]

:

(\mathbf{a \times b})^i = \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a^j b^k.

아인슈타인 표기법을 사용하면, 합산 기호를 생략하여 외적의 i번째 성분을 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.^[4]

:

(\mathbf{a\times b})^i = \varepsilon_{ijk} a^j b^k.

예를 들어, 첫 번째 성분은 다음과 같이 계산된다.

:

(\mathbf{a\times b})^1 = a^2 b^3-a^3 b^2\,,

다른 성분들은 1, 2, 3을 순환 치환하여 위 식에서 직접 유도할 수 있다.

:

\begin{align}(\mathbf{a\times b})^2 &= a^3 b^1-a^1 b^3\,, \\(\mathbf{a\times b})^3 &= a^1 b^2-a^2 b^1\,.\end{align}

벡터

\boldsymbol{a} =(a_x, a_y, a_z)

,

\boldsymbol{b} =(b_x, b_y, b_z)

의 외적은 다음과 같이 표현 가능하다.

:

(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_i = \sum_{j,k} \varepsilon_{ijk} a_j b_k

4. 2. 스칼라 삼중곱

3차원에서 세 벡터

\mathbf{a}

,

\mathbf{b}

,

\mathbf{c}

의 스칼라 삼중곱은 다음과 같이 레비치비타 기호를 사용하여 표현할 수 있다.^[3]

:

\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b\times c}) = \varepsilon_{ijk} a^i b^j c^k.

이 표현에서 스칼라 삼중곱은 임의의 인수를 교환할 때 반대칭성을 가진다. 예를 들어,

:

\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b\times c})= -\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a\times c})

.

벡터

\boldsymbol{a}

,

\boldsymbol{b}

의 외적은

:

(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_i = \sum_{j,k} \varepsilon_{ijk} a_j b_k

로 나타낼 수 있고,

스칼라 삼중곱은

:

(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c} = \sum_{i,j,k} \varepsilon_{ijk} a_i b_j c_k

가 된다.

4. 3. 행렬식

3 × 3 정사각 행렬의 행렬식은 레비치비타 기호를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.^[6]

:

\det(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_{1i} a_{2j} a_{3k}

3×3 행렬식은 아래와 같이 나타낼 수 있다.

:

\begin{align}\det \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}&=\det \begin{bmatrix}\sum_{i} \delta_{1i} a_{i1} & \sum_{j} \delta_{1j} a_{j2} & \sum_{k} \delta_{1k} a_{k3}\\\sum_{i} \delta_{2i} a_{i1} & \sum_{j} \delta_{2j} a_{j2} & \sum_{k} \delta_{2k} a_{k3}\\\sum_{i} \delta_{3i} a_{i1} & \sum_{j} \delta_{3j} a_{j2} & \sum_{k} \delta_{3k} a_{k3}\end{bmatrix}\\&=\sum_{i,j,k}\det \begin{bmatrix}\delta_{1i} & \delta_{1j} & \delta_{1k}\\\delta_{2i} & \delta_{2j} & \delta_{2k}\\\delta_{3i} & \delta_{3j} & \delta_{3k}\end{bmatrix} a_{i1} a_{j2} a_{k3}\\&= \sum_{i,j,k} \varepsilon_{ijk} a_{i1} a_{j2} a_{k3}\end{align}

4. 4. 텐서 밀도 및 텐서

레비치비타 기호는 텐서 밀도 또는 텐서로 해석될 수 있다.

일반적인 좌표 변환 하에서 순열 텐서의 성분은 변환 행렬의 야코비안에 곱해진다. 이는 텐서가 정의된 좌표계와 다른 좌표계에서는 성분이 전체 계수로 레비치비타 기호와 다를 수 있음을 의미한다. 좌표계가 정규 직교인 경우, 이 계수는 좌표계의 방향이 동일한지 여부에 따라 ±1이 된다.^[5]

임의의 곡선 좌표계에서, 심지어 다양체에 계량이 없는 경우에도, 레비치비타 기호는 텐서 밀도장으로 간주될 수 있는데, 가중치 +1의 반변 텐서 밀도 또는 가중치 −1의 공변 텐서 밀도로 간주될 수 있다. ''n'' 차원에서 일반화된 크로네커 델타를 사용하면 다음과 같다.^[7]^[8]

:

\begin{align}\varepsilon^{\mu_1 \dots \mu_n} &= \delta^{\mu_1 \dots \mu_n}_{\,1 \,\dots \,n} \, \\\varepsilon_{\nu_1 \dots \nu_n} &= \delta^{\,1 \,\dots \,n}_{\nu_1 \dots \nu_n} \,.\end{align}

이들은 수치적으로 동일하며, 부호도 같다.

유사 리만 다양체에서, 좌표 표현이 좌표계가 계량 텐서에 대해 접 공간의 기저가 정규 직교이고 선택된 방향과 일치하는 경우 레비치비타 기호와 일치하는 좌표 불변 공변 텐서장을 정의할 수 있다.

선택된 방향과 일치하는 모든 좌표계에서 공변 레비치비타 텐서(리만 부피 형식)는 다음과 같다.

:

E_{a_1\dots a_n} = \sqrt{\left|\det [g_{ab}]\right|}\, \varepsilon_{a_1\dots a_n} \,,

여기서 는 해당 좌표계에서 계량 텐서의 표현이다. 지수를 계량 텐서로 올림으로써 반변 레비치비타 텐서를 고려할 수 있다.

:

E^{a_1\dots a_n} = E_{b_1\dots b_n} \prod_{i=1}^n g^{a_i b_i} = \sqrt{\left|\det [g_{ab}]\right|}\, \varepsilon^{a_1\dots a_n} \,,

하지만, 만약 계량 부호에 음의 고유값의 홀수 개수 가 포함되어 있다면, 이 텐서의 성분의 부호는 표준 레비치비타 기호와 다르다.^[9]

:

E^{a_1\dots a_n} = \frac{ \sgn \left( \det [g_{ab}] \right) }{ \sqrt{ \left| \det [g_{ab}] \right| }} \, \varepsilon_{a_1\dots a_n} ,

여기서 ,

\varepsilon_{a_1\dots a_n}

는 일반적인 레비치비타 기호이다.

이를 통해 다음 항등식을 추론할 수 있다.

:

E^{\mu_1\dots\mu_p\alpha_1\dots\alpha_{n-p}}E_{\mu_1\dots\mu_p\beta_1\dots\beta_{n-p}} = (-1)^q p!\delta^{\alpha_1\dots\alpha_{n-p}}_{\beta_1\dots\beta_{n-p}} \,,

여기서

:

\delta^{\alpha_1 \dots \alpha_{n-p}}_{\beta_1 \dots \beta_{n-p}} = (n-p)! \delta^{\lbrack \alpha_1}_{\beta_1} \dots \delta^{\alpha_{n-p} \rbrack}_{\beta_{n-p}}

는 일반화된 크로네커 델타이다.

5. 상대성 이론에서의 활용

4차원에서 레비치비타 기호는 다음과 같이 정의된다.

: $\varepsilon_{ijkl} = \begin{cases}+1 & \text{if }(i,j,k,l) \text{ is an even permutation of } (1,2,3,4) \\$

1 & \text{if }(i,j,k,l) \text{ is an odd permutation of } (1,2,3,4) \\

\;\;\,0 & \text{otherwise}\end{cases}

4차원 이상에서는 이 값들을 표현하는 배열을 시각적으로 나타내기 어렵다.

몇 가지 예시는 다음과 같다.

:

\begin{align}\varepsilon_{\color{BrickRed}{1} \color{RedViolet}{4}\color{Violet}{3} \color{Orange}{\color{Orange}{2}}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1} \color{Orange}{\color{Orange}{2}} \color{Violet}{3} \color{RedViolet}{4}} &= - 1\\\varepsilon_{\color{Orange}{\color{Orange}{2}} \color{BrickRed}{1} \color{Violet}{3} \color{RedViolet}{4}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1} \color{Orange}{\color{Orange}{2}} \color{Violet}{3} \color{RedViolet}{4}} &= -1\\\varepsilon_{\color{RedViolet}{4} \color{Violet}{3} \color{Orange}{\color{Orange}{2}} \color{BrickRed}{1}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1} \color{Violet}{3} \color{Orange}{\color{Orange}{2}} \color{RedViolet}{4}} &= -(-\varepsilon_{\color{BrickRed}{1} \color{Orange}{\color{Orange}{2}} \color{Violet}{3} \color{RedViolet}{4}}) = 1\\\varepsilon_{\color{Violet}{3} \color{Orange}{\color{Orange}{2}} \color{RedViolet}{4} \color{Violet}{3}} = -\varepsilon_{\color{Violet}{3} \color{Orange}{\color{Orange}{2}} \color{RedViolet}{4}\color{Violet}{3}} &= 0\end{align}

특수 상대성 이론의 4차원 시공간인 민코프스키 공간에서 공변 레비치비타 텐서는 다음과 같이 표현된다.

:

E_{\alpha \beta \gamma \delta} = \pm \sqrt{ \left| \det [g_{\mu \nu}] \right| } \, \varepsilon_{\alpha \beta \gamma \delta} \,,

여기서 부호는 기저(basis)의 방향에 따라 결정된다. 반변 레비치비타 텐서는 다음과 같다.

:

E^{\alpha \beta \gamma \delta} = g^{\alpha \zeta} g^{\beta \eta} g^{\gamma \theta} g^{\delta \iota} E_{\zeta \eta \theta \iota} \,.

민코프스키 공간에서 위의 일반적인 항등식은 다음과 같이 나타낼 수 있다(계량 텐서의 부호 규약에서 홀수 부호는 음수).

:

\begin{align}E_{\alpha \beta \gamma \delta} E_{\rho \sigma \mu \nu} & = -g_{\alpha \zeta} g_{\beta \eta} g_{\gamma \theta} g_{\delta \iota} \delta^{\zeta \eta \theta \iota}_{\rho \sigma \mu \nu} \\E^{\alpha \beta \gamma \delta} E^{\rho \sigma \mu \nu} & = -g^{\alpha \zeta} g^{\beta \eta} g^{\gamma \theta} g^{\delta \iota} \delta^{\rho \sigma \mu \nu}_{\zeta \eta \theta \iota} \\E^{\alpha \beta \gamma \delta} E_{\alpha \beta \gamma \delta} & = - 24 \\E^{\alpha \beta \gamma \delta} E_{\rho \beta \gamma \delta} & = - 6 \delta^{\alpha}_{\rho} \\E^{\alpha \beta \gamma \delta} E_{\rho \sigma \gamma \delta} & = - 2 \delta^{\alpha \beta}_{\rho \sigma} \\E^{\alpha \beta \gamma \delta} E_{\rho \sigma \theta \delta} & = - \delta^{\alpha \beta \gamma}_{\rho \sigma \theta} \,.\end{align}

일반화된 에딩턴 엡실론^[12]은 ''n''차원으로 확장 가능하다.

:

\varepsilon_{i_1 i_2 \dots i_n} = \varepsilon^{i_1 i_2 \dots i_n} =\begin{cases}+1 & ~\text{(짝수)}\\

1 & ~\text{(홀수)}\\

~0 & ~\text{(그 외)}\end{cases}

여기서 ''i₁'',''i₂'',…,''i_n''이 1, 2, …, ''n'' 의 짝수 치환이면 (짝수), 홀수 치환이면 (홀수), 그 외의 경우에는 (그 외)에 해당한다.

4계로 확장된 레비치비타 기호는 상대성 이론에서 맥스웰 방정식을 기술하는 데 사용된다.^[12]

참조

_[1] 서적 Supersymmetry McGraw-Hill
_[2] 웹사이트 Twistor Primer http://users.ox.ac.u[...] 2013-09-03
_[3] 서적 An introduction to Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientists Longman
_[4] 서적 Tensor Calculus McGraw Hill
_[5] 서적 Mathematical Methods for Physics and Engineering https://archive.org/[...] Cambridge University Press
_[6] 서적 Linear Algebra McGraw Hill
_[7] 간행물 The generalized Kronecker symbol and its application to the theory of determinants
_[8] 서적 Tensors, Differential Forms, and Variational Principles Courier Dover Publications
_[9] 서적 Geometry, Topology and Physics https://www.taylorfr[...] CRC Press 2017-01-31
_[10] 서적 Supersymmetry McGraw-Hill
_[11] 웹사이트 Twistor Primer http://users.ox.ac.u[...] 2013-09-03
_[12] 서적 Tensor Calculus Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA)

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