초자연수

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1. 개요
2. 정의
3. 연산
4. 응용
참조

1. 개요

초자연수는 모든 소수를 아우르는 형식적인 곱으로, 각 소수의 지수가 0, 자연수 또는 무한대 중 하나인 수이다. 초자연수는 일반적인 자연수의 개념을 확장하여, 무한 개의 소인수를 가지거나 임의의 소수로 무한 번 나눌 수 있는 상황을 허용한다. 곱셈, 나눗셈 가능성, 최소공배수, 최대공약수 등의 연산이 정의되며, p진법 함수 또한 초자연수로 확장될 수 있다. 초자연수는 준유한군의 차수와 지수를 정의하고, 유한군론의 정리를 적용하는 데 사용되며, 유한체의 대수적 확대 파악, 무제곱수의 밀도, 홀수 완전수의 상계 등 정수론적 증명에도 활용된다.

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초자연수
수학적 정보
정의	모든 소수에 대해 0 또는 양의 무한대 지수를 갖는 형식적인 곱
다른 이름	일반화된 자연수, 슈타이니츠 숫자
로마자 표기	Steinitjeu Ssujja
예시
예시	12 = 2² × 3¹ × 5⁰ × 7⁰ × ...
설명	각 소수의 지수는 0이 아닌 유한한 값이다.
예시	∞ = 2^∞ × 3^∞ × 5^∞ × 7^∞ × ...
설명	모든 소수의 지수가 무한대이다.
예시	6∞ = 2^∞ × 3^∞ × 5⁰ × 7⁰ × ...
설명	2와 3의 지수가 무한대이고, 다른 소수의 지수는 0이다.
성질
나눗셈 관계	초자연수 간의 나눗셈 관계는 각 소인수의 지수를 비교하여 정의한다.
최소공배수	초자연수의 최소공배수는 각 소인수에 대해 가장 큰 지수를 취하여 계산한다.
최대공약수	초자연수의 최대공약수는 각 소인수에 대해 가장 작은 지수를 취하여 계산한다.
곱셈	초자연수의 곱셈은 각 소인수의 지수를 더하여 계산한다.
소인수분해	모든 자연수는 유일한 소인수분해를 갖는다.
응용	초자연수는 갈루아 이론에서 무한 갈루아 확장의 차수를 나타내는 데 사용된다.
추가 정보
참고 문헌	에른스트 슈타이니츠, "Algebraische Theorie der Körper", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 137, 1910, 167–309쪽

2. 정의

초자연수 ω는 모든 소수를 아우르는 형식적인 곱 $\omega = \prod_p p^{n_p}$ 이며, 각 ''n''_''p''가 0, 자연수, ∞ 중 하나인 것을 말한다. ''n''_''p''는 종종 ''v''_''p''(''ω'')로도 표기된다.

''n''_''p'' = ∞가 되는 ''p''가 없고, 유한 개의 예외를 제외한 모든 ''n''_''p''가 0이 되는 경우, 이 초자연수는 양의 정수라는 의미에서의 일반적인 자연수를 나타내는 것으로 이해할 수 있다.
약간 직관에 어긋나지만, 모든 ''p''에 대해 ''n''_''p'' = ∞가 될 때, 그 초자연수는 0을 나타내는 것으로 한다.

이 초자연수의 개념은 "무한 개의 소인수를 가질 수 있다" "(대응하는 지수가 ∞라고 하면) 임의의 소수로 "무한 번" 나눌 수 있다"는 상황을 허용한다는 점에서 일반적인 자연수보다 확장된 취급이 가능하다.

3. 연산

초자연수 사이의 자연스러운 덧셈은 존재하지 않지만, 곱셈은 다음과 같이 정의할 수 있다.

$(\prod_p p^{n_p})\cdot(\prod_p p^{m_p}) := \prod_p p^{n_p+m_p}$

마찬가지로 나눗셈 가능성은 다음과 같이 정의하여 정수에서 초자연수로 확장할 수 있다.

$\omega_1\mid\omega_2 :\!\iff v_p(\omega_1)\leq v_p(\omega_2)\quad (\forall p)$

최소공배수와 최대공약수도 아래와 같이 일반화할 수 있다.

$\operatorname{lcm}(\{\omega_i\}) :=\prod_p p^{\sup(v_p(\omega_i))},\quad \operatorname{gcd}(\{\omega_i\}) :=\prod_p p^{\inf(v_p(\omega_i))}$

이러한 정의에 따라, 무한 개의 자연수(또는 초자연수)에 대한 최대공약수와 최소공배수는 초자연수의 범위 내에서 반드시 구할 수 있다.

자연수에 대한 일반적인 ''p''진법 (지수) 함수도, 각 ''p''에 대한 $v_p(\omega) = n_p$ 로 초자연수까지 확장할 수 있다.

4. 응용

초자연수는 군론, 체론, 정수론 등 다양한 수학 분야에서 응용된다.^[4]

4. 1. 군론

초자연수는 준유한군 및 그 부분군의 차수와 지수를 정의하는 데 사용된다. 이를 통해 유한군론에서 성립하는 많은 정리를 준유한군에 대한 정리로 확장할 수 있다. 이는 유한체의 대수적 확대를 파악하는 데 활용될 수 있다.^[4] 또한, 무제곱수의 밀도나 홀수 완전수의 상계 등 정수론의 여러 증명 과정에서 암묵적으로 사용되기도 한다.

4. 2. 체론

초자연수는 준유한군 및 그 부분군의 차수 및 지수를 정의하는 데 사용되며, 이를 통해 유한군론에서의 많은 정리를 그대로 해당 군에 대한 정리로 가져올 수 있다. 이는 유한체의 대수적 확대를 파악하는 데 활용될 수 있다.^[4] 또한, 무제곱수의 밀도나 홀수 완전수의 상계 등 정수론적 증명의 상당수에서 암묵적으로 사용되고 있다.

4. 3. 정수론

초자연수는 준유한군 및 그 부분군의 차수 및 지수를 정의하는 데 사용되며, 이를 통해 유한군론에서의 많은 정리를 그대로 해당 군에 대한 정리로 가져올 수 있다. 이는 유한체의 대수적 확대를 파악하는 데 활용될 수 있다.^[4] 또한, 무제곱수의 밀도나 홀수 완전수의 상계 등 정수론적 증명의 상당수에서 암묵적으로 사용되고 있다.

참조

_[1] 논문 Algebraische Theorie der Körper http://resolver.sub.[...] 1910
_[2] 서적 1989
_[3] 논문 Algebraische Theorie der Körper http://resolver.sub.[...] 1910
_[4] 서적 1989
_[5] 논문 Algebraische Theorie der Körper http://resolver.sub.[...] 1910

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