군론

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1. 개요

군론은 대칭성을 추상적으로 나타내는 수학적 도구로, 정수론, 대수 방정식, 기하학 등 다양한 분야에서 발전해왔다. 군의 종류는 순열군, 행렬군, 변환군, 추상군 등으로 다양하며, 유한군 이론, 군의 표현론, 리 군론, 조합론적 및 기하학적 군론 등 여러 분과 학문으로 나뉜다. 군론은 갈루아 이론, 대수적 위상수학, 대수기하학, 대수적 수론, 조화 해석, 조합론, 음악, 물리학, 화학, 재료 과학, 암호학 등 다양한 분야에 응용된다. 특히 물리학에서는 물리 법칙의 대칭성을 설명하는 데, 화학에서는 분자 및 결정 구조의 대칭성을 분류하는 데, 암호학에서는 타원 곡선 암호와 같은 암호 시스템을 구축하는 데 활용된다.

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군론
개요
순환군
학문 분야	수학
분야	대수학
세부 분야	군론 표현론
군 (group)
하위 개념	부분군 정규 부분군 군 작용
관련 개념	몫군 (반-)직접곱 직접합 자유곱 wreath 곱
군 준동형사상	핵 상
종류	단순군 유한군 무한군 연속군 곱셈군 덧셈군 순환군 아벨군 이면군 멱영군 가해군
주요 군
예시	순환군 Zₙ 대칭군 Sₙ 교대군 Aₙ 이면군 Dₙ 사원수군 Q
주요 정리	코시의 정리 라그랑주 정리 Sylow 정리 Hall의 정리 p-군 기본 아벨군 Frobenius 군 Schur 승법자
군론 관련 주제
주제	이산군 격자 모듈러 군 무한 차원 리 군 유한 단순군의 분류
유한 단순군의 분류
종류	순환군 교대군 리 타입 군 산재군

2. 역사적 배경

군론은 정수론, 대수 방정식 이론, 기하학의 세 가지 주요한 역사적 원천에서 비롯되었다.^[1] 레온하르트 오일러는 정수론적 흐름을 시작했고, 카를 프리드리히 가우스는 모듈러 산술에 관한 연구와 이차수체와 관련된 가법군 및 승법군을 연구하며 이를 발전시켰다.^[1] 조제프루이 라그랑주, 파올로 루피니, 닐스 헨리크 아벨은 고차 다항식 방정식의 일반적인 해를 구하는 과정에서 치환군에 대한 초기 결과를 얻었다.^[1] 에바리스트 갈루아는 "군"이라는 용어를 만들었고, 갈루아 이론으로 알려진 군의 초창기 이론과 체론 사이의 연결을 확립했다.^[1]

1880년경부터 군의 개념이 통합되기 시작했다. 그 후 군론의 영향력은 꾸준히 증가하여 20세기 초 추상 대수학, 표현론 등 여러 분야가 탄생하는 데 영향을 주었다. 유한 단순군 분류는 20세기 중반부터 시작된 방대한 연구로, 모든 유한 단순군을 분류한다.

2. 1. 방정식의 해법 연구

18세기까지 4차 방정식까지는 대수적인 풀이, 즉 근의 공식이 존재한다는 것이 알려져 있었지만(카르다노, 페라리), 5차 이상의 방정식의 근의 공식이 있는지는 밝혀지지 않고 있었다.^[1] 아벨은 5차 방정식의 근의 공식이 존재하지 않는다는 것을 증명했으나, 어떤 경우에 방정식이 대수적으로 풀어지고 어떤 경우에 방정식이 대수적으로 풀어지지 않는지를 일반적으로 연구하는 것은 극히 어려운 문제였다.^[1] 군론은 이 물음에 대한 답을 하려는 과정에서 갈루아에 의해 도입된 접근방식이었다.^[1] 갈루아는 군론을 이용해서, 다항 방정식의 대수적 해법에 대한 일반적인 관계를 증명하였다.^[1] 갈루아 이론으로 불리는 이 이론은 수학의 여러 분야 가운데에서도 극히 아름다운 이론으로 손꼽힌다.^[1]

2. 2. 정수론 연구

레온하르트 오일러는 정수론 연구에서 군의 개념을 암묵적으로 사용했다.^[1] 카를 프리드리히 가우스는 모듈러 산술을 연구하면서 군론의 초기 결과를 얻었다.^[1]

2. 3. 기하학 연구

펠릭스 클라인은 에를랑겐 프로그램에서 군론을 기하학의 조직 원리로 선언했다. 유클리드 기하학, 쌍곡 기하학, 사영 기하학과 같은 기하학을 군론을 사용하여 이해하려는 시도에서 펠릭스 클라인은 에를랑겐 프로그램을 시작했다. 1884년, 소푸스 리는 해석학적인 문제에 리 군을 사용하기 시작했다.

3. 군의 종류

군은 그 구조와 성질에 따라 다양하게 분류된다. 군의 범위는 유한 치환군이나 행렬군과 같은 특수한 예시부터, 생성원 및 이항 관계에 의한 표현을 통해 지정될 수 있는 추상군까지, 여러 종류로 나눌 수 있다.

3. 1. 순열군

가장 먼저 체계적으로 연구된 군은 순열군이다. 임의의 집합 ''X''와, ''X''에서 ''X''로 가는 전단사 함수(순열)들의 모임 ''G''가 주어졌을 때, ''G''는 ''X''에 작용하는 군이 된다. 만약 ''X''가 ''n''개의 원소로 이루어져 있고 ''G''가 ''X''에서 ''X''로 가는 모든 전단사 함수, 즉 ''n''에 대한 모든 순열을 포함할 때, ''G''는 대칭군 S_''n''이 된다. 일반적으로 임의의 순열군 ''G''는 ''X''에 대한 대칭군의 부분군이다. 케일리의 정리에 의해 모든 군은 대칭군의 부분군과 동형인데, 초창기에는 임의의 군을 자기 자신에 작용하는(즉, ''X''=''G''인) 왼쪽 정칙 표현으로 나타냈다.

많은 경우, 순열군의 구조는 해당 집합에 대한 작용의 속성을 사용하여 연구할 수 있다. 예를 들어, 이러한 방식으로 ''n'' ≥ 5에 대해 교대군 A_''n''이 단순군임을 증명할 수 있다. 즉, 고유한 정규 부분군을 허용하지 않는다. 이 사실은 ''n'' ≥ 5차 이상의 일반적인 대수 방정식을 근으로 풀 수 없다는 것에 핵심적인 역할을 한다.

3. 2. 행렬군 (일반선형군)

일반선형군은 체 ''K'' 위에서 행렬곱과 역원에 대해 닫혀 있는 ''n''×''n'' 가역행렬들의 집합이다. 일반선형군은 ''n''차원 벡터 공간 ''K''^''n''에 대해 선형 변환으로 작용한다. 이 작용 때문에 행렬군은 개념적으로 치환군과 유사하며, 작용의 기하학은 군의 성질을 확립하는 데 유용하게 활용될 수 있다.^[1]

3. 3. 변환군

변환군은 어떤 공간의 구조를 보존하는 변환들의 집합이다. 순열군과 행렬군은 변환군의 특수한 예인데, 순열군의 경우 ''X''는 집합이고, 행렬군의 경우 ''X''는 벡터 공간이다. 변환군 개념은 대칭군 개념과 밀접하게 관련되어 있으며, 변환군은 종종 특정 구조를 보존하는 ''모든'' 변환으로 구성된다. 변환군 이론은 군론과 미분기하학을 연결하는 다리 역할을 한다. 리와 클라인에서 시작된 오랜 연구는 위상동형 또는 미분동형에 의한 다양체에 대한 군의 작용을 고려한다. 군 자체는 이산군 또는 연속군일 수 있다.^[1]^[2]

3. 4. 추상군

군론이 발전하기 시작할 무렵, 대부분의 군은 수, 순열, 행렬 등을 통해 명시적으로 표현되는 개념이었다. 19세기 말 이후부터는 추상군이라는 개념이 자리 잡았는데, 여기서 '추상'이라는 말은 동형인 두 군은 같은 군으로 여기는 것에서 나타나듯이 군의 원소의 특성은 무시한다는 의미이다. 일반적으로 추상군은 생성원과 관계식을 이용해 표현된다.

:

G = \langle S|R\rangle.

많은 종류의 추상군은 몫군으로부터 구성된다. 군 ''H''가 군 ''G''의 정규 부분군일 때, ''H''의 잉여류들이 이루는 군을 몫군이라 하며 ''G/H''로 쓴다. 대수적 수체가 몫군의 대표적인 예시이며, 정수론에서 주요하게 쓰인다.

3. 5. 기타 군의 종류

아벨 군: 모든 원소에 대해 교환 법칙이 성립하는 군이다.
리 군: 미분 다양체의 구조를 가지며, 군 연산이 매끄러운 함수인 군이다.
로런츠 군
공간군: 결정 구조의 대칭성을 나타내는 군이다.
갈루아 군: 체 확장의 자기동형사상으로 이루어진 군이다.

4. 군론의 분과 학문

군론은 다양한 세부 분야로 나뉜다.

'''유한군 이론:''' 유한군의 구조를 연구한다. 특히, 모든 유한 단순군을 분류하는 유한 단순군 분류는 20세기에 걸쳐 이루어진 중요한 성과이다. 클로드 슈발레와 로버트 스타인버그는 고전군의 유한 유사체 및 유한체에 대한 일반 선형군 등을 연구하여 유한군 이론에 기여했다. 유한군은 대칭을 나타내는 데 유용하며, 이론 물리학 및 화학 등에서 활용된다.

'''군의 표현론:''' 군을 벡터 공간에서의 선형 변환으로 나타내는 방법을 연구한다. 이는 군의 추상적인 연산을 행렬 곱셈으로 표현하여 군의 구조를 분석하고, 복잡한 객체에 작용하는 군을 통해 객체에 대한 연구를 단순화하는 데 기여한다. 유한군 표현론과 리 군의 표현론이 주요 연구 분야이며, 군의 문자론이 표현의 전체성을 결정한다.

'''리 군론:''' 미분 다양체이면서 군의 구조를 가지는 리 군을 연구한다. 연속적 대칭을 다루는 데 유용하며, 미분 방정식의 대칭 분석(미분 갈루아 이론) 등에 활용된다.

'''조합론적 및 기하학적 군론:''' 조합군론은 군을 생성원과 관계식으로 표현하여 연구하는 분야이다.^[6] 단어 문제나 군 동형 문제 등은 해결 불가능한 문제로 알려져 있다. 기하군론은 군을 기하학적 객체로 간주하거나 군이 작용하는 기하학적 객체를 찾아 군의 성질을 연구한다.^[7] 케일리 그래프는 군의 구조를 시각적으로 나타내는 데 사용되며, 밀너와 스바르크의 정리는 군과 거리 공간 사이의 관계를 보여준다.

4. 1. 유한군 이론

20세기 동안 수학자들은 유한군 이론의 몇몇 측면, 특히 유한군의 국소 이론과 가해군 및 멱영군 이론을 매우 깊이 연구했다. 그 결과, 모든 유한군을 구성할 수 있는 모든 단순군을 의미하는 유한 단순군 분류가 이루어졌다.

20세기 후반 동안 슈발레와 스타인버그와 같은 수학자들은 고전군의 유한 유사체와 기타 관련 군에 대한 이해를 높였다. 이러한 군의 한 예는 유한체에 대한 일반 선형군의 군족이다.

유한군은 수학적 또는 물리적 대상의 대칭을 고려할 때 종종 발생하며, 이러한 대상은 유한 개의 구조 보존 변환만을 허용한다. "연속 대칭"을 다루는 것으로 볼 수 있는 리 군 이론은 관련 바일 군의 영향을 크게 받는다. 이것들은 유한 차원 유클리드 공간에서 작용하는 반사에 의해 생성된 유한군이다. 따라서 유한군의 성질은 이론 물리학 및 화학과 같은 분야에서 역할을 할 수 있다.

4. 2. 군의 표현론

군 ''G''의 벡터 공간 ''V''에서의 표현은 군 준동형 사상

:

\rho:G \to \operatorname{GL}(V),

이다. 여기서 GL(''V'')는 ''V''의 가역적인 선형 변환으로 구성된다. 즉, 모든 군 원소 ''g''에는 임의의 ''G'' 내의 ''h''에 대해 가 성립하는 자기 동형 사상 ''ρ''(''g'')가 할당된다.^[3]

이 정의는 두 가지 방향으로 이해될 수 있다. 한편으로는 군 ''G''에 대한 새로운 정보를 얻을 수 있는데, 종종 ''G''에서의 군 연산은 추상적으로 주어지지만 ''ρ''를 통해 매우 명시적인 행렬 곱셈에 해당하기 때문이다.^[4] 다른 한편으로는, 복잡한 객체에 작용하는 잘 이해된 군이 주어지면 이는 해당 객체에 대한 연구를 단순화한다. 예를 들어 ''G''가 유한하면 위의 ''V''가 기약 부분으로 분해된다는 것이 알려져 있다(마슈케 정리 참조). 이러한 부분들은 전체 ''V''보다 훨씬 더 쉽게 관리할 수 있다(슈어 보조정리 참조).

주어진 군 ''G''에 대해, 표현론은 ''G''의 어떤 표현이 존재하는지 묻는다. 여러 설정이 있으며, 사용된 방법과 얻어진 결과는 각각의 경우에 상당히 다르다. 유한군 표현론과 리 군의 표현은 이론의 두 가지 주요 하위 영역이다. 표현의 전체성은 군의 문자론에 의해 관리된다. 예를 들어, 푸리에 급수는 주기 함수의 ''L''²-공간에 작용하는 U(1)(절대값 ''1''인 복소수의 군)의 문자로 해석될 수 있다.

4. 3. 리 군론

리의 이름을 따서 명명된 리 군은 군이면서 미분 다양체인 수학적 대상이다. 군 연산은 매끄러운 구조와 호환된다. "groupes de Lie"라는 용어는 1893년 리의 제자 아서 트레스의 논문 3페이지에서 처음 프랑스어로 등장했다.^[5]

리 군은 수학적 대상 및 수학적 구조의 연속적 대칭에 대한 가장 잘 발달된 이론을 나타내며, 현대 수학의 여러 분야와 현대 이론 물리학에서 중요한 도구로 사용된다. 리 군은 갈루아 이론에서 대수 방정식의 이산 대칭을 분석하기 위해 순열군을 사용하는 것처럼, 미분 방정식의 연속 대칭을 분석 (미분 갈루아 이론)하는 자연스러운 틀을 제공한다. 연속 대칭군의 경우에 대한 갈루아 이론의 확장은 리의 주요 연구 동기 중 하나였다.

4. 4. 조합론적 및 기하학적 군론

조합군론은 군을 생성원과 관계식의 관점에서 연구하는 학문이다.^[6] 유한 생성 군이나 유한 표현 군(관계식도 유한한 경우)과 같이 유한성 가정이 충족되는 경우 특히 유용하다. 이 영역은 그래프의 기본군을 통해 연결되는데, 예를 들어 자유군의 모든 부분군은 자유군이라는 것을 보일 수 있다.

군을 표현으로 제시하면 몇 가지 자연스러운 질문이 생긴다. ''단어 문제''는 두 단어가 실제로 같은 군 원소를 나타내는지 묻는 문제이다. 이 문제는 튜링 기계와 관련시켜 보면 일반적으로 해결하는 알고리즘이 없다는 것을 알 수 있다. 이보다 더 어려운, 알고리즘적으로 해결 불가능한 문제는 군 동형 문제인데, 이는 서로 다른 표현으로 주어진 두 군이 실제로 동형인지 묻는 문제이다.

기하군론은 군을 기하학적 객체로 보거나 군이 작용하는 적절한 기하학적 객체를 찾음으로써 이러한 문제를 기하학적 관점에서 해결한다.^[7] 케일리 그래프는 군의 원소를 꼭짓점으로, 군의 오른쪽 곱셈에 해당하는 모서리를 가지는 그래프로, 군의 구조를 시각적으로 나타낸다. 두 원소가 주어지면, 원소 사이의 최소 경로의 길이에 의해 주어진 단어 거리를 구성할 수 있다. 밀너와 스바르크의 정리에 따르면, 콤팩트 다양체와 같은 거리 공간 ''X''에 합리적인 방식으로 작용하는 군 ''G''가 주어지면, ''G''는 공간 ''X''와 준등거리(멀리서 보면 유사)이다.

5. 군과 대칭성

군은 대칭성을 추상적으로 나타내는 수학적 도구이다. 기하학적 대상뿐만 아니라 대수적 대상의 대칭성도 군으로 기술할 수 있다.

어떤 구조화된 객체 ''X''가 주어졌을 때, 대칭은 구조를 보존하면서 객체를 자신에게 매핑하는 것이다. 예를 들어,

''X''가 추가 구조가 없는 집합이라면, 대칭은 집합에서 자기 자신으로의 전단사 매핑이며, 이는 대칭군을 생성한다.
''X''가 평면의 점들의 집합이고 거리 구조를 가지고 있다면, 대칭은 각 점 쌍 사이의 거리를 보존하는 집합에서 자기 자신으로의 전단사이다 (등거리 변환). 해당 군을 ''X''의 등거리 변환군이라고 한다.
각도가 보존되면, 등각 사상에 대해 이야기한다. 예를 들어 등각 사상은 클라인 군을 생성한다.
방정식 $x^2-3=0$ 에는 두 개의 해 $\sqrt{3}$ 과 $-\sqrt{3}$ 이 있는데, 두 근을 교환하는 군은 방정식에 속하는 갈루아 군이다.

군의 공리는 대칭의 본질적인 측면을 형식화한다. 대칭은 군을 형성하는데, 즉 객체의 대칭을 취한 다음 다른 대칭을 적용하면 결과가 여전히 대칭이 되므로 닫혀 있다. 객체를 고정시키는 항등원은 항상 객체의 대칭이다. 역원의 존재는 대칭을 실행 취소함으로써 보장되며, 결합성은 대칭이 공간에 대한 함수이고 함수의 합성이 결합적이라는 사실에서 비롯된다.

푸르흐트 정리는 모든 군이 어떤 그래프의 대칭군이라고 말한다. 따라서 모든 추상적인 군은 실제로 어떤 명시적인 객체의 대칭이다.

객체의 "구조 보존"이라는 말은 범주에서 작업함으로써 정밀하게 만들 수 있다. 구조를 보존하는 매핑은 사상이며, 대칭군은 해당 객체의 자기 동형 사상군이다.

6. 군론의 응용

군론은 수학, 물리학, 화학 등 다양한 분야에 널리 응용된다. 추상대수학에서 다루는 대부분의 구조는 군의 특수한 경우로 볼 수 있다. 예를 들어 환은 덧셈에 대한 아벨 군에 곱셈 연산을 추가한 것이다.

갈루아 이론: 다항식의 근의 대칭성을 군을 이용하여 연구한다. 갈루아의 기본 정리는 체의 확대와 방정식의 군 사이에 관계가 있음을 보여준다.
대수적 위상수학: 위상 공간의 불변량을 군을 이용하여 연구한다. 기본군은 위상 공간의 연결성을 나타내는 중요한 불변량이다.
대수기하학: 대수다양체의 성질을 군을 이용하여 연구한다. 아벨 다양체는 군 구조를 갖는 대수다양체의 중요한 예시이다.
대수적 정수론: 정수론의 문제를 군을 이용하여 연구한다. 아이디얼 유군은 대수적 수체의 구조를 나타내는 중요한 군이다.
조화해석: 리 군 등 군 위에서의 해석을 연구한다. 하르 측도는 패턴 인식 등에 사용된다.
조합론: 순열군이나 군 작용을 이용하여 집합의 원소 개수를 세는 데 활용된다. 번사이드 보조정리가 대표적인 예시이다.
음악: 5도권에는 12주기군(순환군)이 나타난다.

물리학: 물리 법칙의 대칭성을 군을 이용하여 기술한다. 표준 모형, 게이지 이론, 로렌츠 군, 푸앵카레 군 등이 그 예시이다.
화학 및 재료 과학: 점군은 분자의 대칭성을 분류하는 데 사용되며, 공간군은 결정 구조를 분류하는 데 사용된다.

암호학: 타원 곡선 암호와 같은 공개 키 암호 시스템은 타원 곡선 위에서 정의된 군의 구조를 활용한다. 카이사르 암호는 순환군을 이용한 간단한 암호 시스템의 예시이다.

6. 1. 갈루아 이론

갈루아 이론은 방정식의 해의 대칭성을 군을 이용하여 연구하는 분야이다. 에바리스트 갈루아는 1830년대에 최초로 군을 사용하여 다항 방정식의 해법 가능성을 결정했다.^[14] 갈루아 이론은 방정식의 해법 가능성을 판별하는 데 중요한 역할을 한다.

갈루아는 군론을 이용해서, 다항 방정식의 대수적 해법에 대한 일반적인 관계를 증명하였다. 갈루아 이론은 류체론과 같은 분야에서 새로운 결과를 얻는 데 여전히 유용하게 적용된다.

갈루아 이론에서는 군을 다항식 근의 치환에 의한 대칭성(엄밀히 말하면, 근을 첨가하여 얻은 다원환의 자기 동형)을 기술하는 데 사용한다. 갈루아의 기본 정리는 체의 대수적 확대의 중간 체와 방정식의 군의 부분군 간의 관계를 제공한다. 이를 통해, 예를 들어 대수 방정식의 거듭제곱근 확장에 의한 가해성의 조건은, 대응하는 갈루아 군이 가해군인 것에 귀착한다. 예를 들어, 5차 대칭군 ''S''₅가 가해군이 아니라는 것으로부터, 5차 일반 방정식은 (4차 이하의 방정식에서는 가능했지만) 거듭제곱근을 사용하여 풀 수 없다는 것을 유도할 수 있다.^[14]

6. 2. 대수적 위상수학

대수적 위상수학은 군을 이용하여 위상 공간의 불변량을 연구하는 분야이다. 여기서 군은 위상 공간의 특정 불변량을 설명하는 데 사용된다. 이는 공간이 변형을 겪더라도 변하지 않도록 정의되기 때문에 "불변량"이라고 불린다. 예를 들어, 기본군은 공간 내에서 본질적으로 다른 경로가 몇 개인지 "세는" 역할을 한다.

기본군은 위상 공간의 연결성을 나타내는 중요한 불변량이다. 푸앵카레 추측은 2002/2003년에 그리고리 페렐만에 의해 증명되었으며, 이 아이디어의 두드러진 응용 분야이다. 하지만 그 영향이 일방적인 것은 아니다. 예를 들어, 대수적 위상수학은 규정된 호모토피 군을 가진 공간인 에일렌버그-매클레인 공간을 사용한다. 마찬가지로 대수적 K-이론은 어떤 방식으로든 그룹의 분류 공간에 의존한다. 마지막으로, 무한군의 비틀림 부분군의 이름은 군론에서 위상수학의 유산을 보여준다.^[14]

6. 3. 대수기하학

대수기하학은 대수다양체의 성질을 군을 이용하여 연구하는 분야이다. 아벨 다양체는 군 구조를 갖는 대수다양체의 중요한 예시이다. 군 연산의 존재는 이러한 다양체를 특히 접근하기 쉽게 만드는 추가 정보를 제공한다. 또한 새로운 추측에 대한 테스트 역할을 하는 경우가 많다. (예를 들어, 호지 추측 (특정 경우에)).^[8] 다른 방향으로, 토릭 다양체는 토러스에 의해 작용되는 대수적 다양체이다. 토로이드 매립은 최근 대수기하학, 특히 특이점 해소에서 발전을 이끌었다.^[9]

암호 이론에서 처럼, 다양한 곳에 군론이 사용된다. 아벨 다양체는, 군 작용의 존재에 의해, 상세한 조사가 가능하게 된다. 1차원인 경우, 타원 곡선이 상세히 연구되고 있다. 이것들은 이론적으로나 응용적으로 흥미롭다^[14].타원 곡선 암호에서는, 매우 큰 소수 차수의 군이 구성되어, 공개 키 암호로 유용하게 사용되고 있다.

6. 4. 대수적 수론

대수적 수론은 군을 이용하여 정수론의 문제를 연구하는 분야이다. 예를 들어, 제타 함수의 오일러 곱 표현은 다음과 같다.

:

\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s} = \prod_{p:\text{prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}

이는 "임의의 양의 정수에 대해 그것을 중복을 허용한 소수의 곱의 형태로 나타내는 방법은 유일하다"라는 산술의 기본 정리로부터 유도할 수 있다. 하지만 이 사실은 보다 일반적인 환에서는 반드시 성립하지 않기 때문에, 쿠머가 페르마의 마지막 정리를 다룰 때 사용한 아이디얼류 군이나 정칙 소수라는 개념이 생겨났다.^[14] 아이디얼 유군(class group)은 대수적 수체의 구조를 나타내는 중요한 군이다.

6. 5. 조화 해석

리 군 등의 군 위에서의 해석을 조화 해석이라고 한다. 하르 측도는 리 군에서의 이동에 불변하는 적분으로, 패턴 인식 및 기타 이미지 처리 기술에 사용된다.^[10]

6. 6. 조합론

조합수학에서는 순열군이나 군 작용의 개념을 이용하여 집합의 원소 개수를 세는 경우가 많다. 특히 번사이드 보조정리는 이러한 경우에 유용하게 사용된다.^[15]

6. 7. 음악

음악 이론에서는 군론을 사용하여 음계, 화성 등의 구조를 분석할 수 있다. 5도권에는 12주기군(순환군)이 나타난다.^[14] 음악 집합론에서 기초군론을 적용할 수 있게 해주는 것이 바로 12음의 주기성이 5도권에 존재한다는 사실이다. 변환 이론은 음악적 변환을 수학적 군의 원소로 모델링한다.

6. 8. 물리학

물리학에서 군은 자연 법칙의 대칭성을 나타내는 데 중요한 역할을 한다. 뇌터 정리에 따르면, 물리계의 모든 연속적인 대칭성은 해당 계의 보존 법칙에 해당한다. 물리학자들은 특히 리 군의 군 표현에 관심이 많은데, 이는 종종 "가능한" 물리 이론으로 가는 길을 제시하기 때문이다. 물리학에서 군의 사용 예로는 표준 모형, 게이지 이론, 로렌츠 군, 푸앵카레 군 등이 있다.^[11]

6. 9. 화학 및 재료 과학

화학과 재료 과학에서 점군은 분자의 대칭성을 분류하는 데 사용되며, 공간군은 결정 구조를 분류하는 데 사용된다. 할당된 군은 화학적 극성 및 키랄성과 같은 물리적 특성, 라만 분광법, 적외선 분광법 등의 분광학적 특성을 결정하고, 분자 궤도를 구성하는 데 사용될 수 있다.^[15]

분자 대칭은 화합물의 많은 물리적 및 분광학적 특성에 영향을 미치며 화학 반응이 어떻게 일어나는지에 대한 관련 정보를 제공한다. 주어진 분자에 대한 점군을 할당하려면, 분자에 존재하는 대칭 연산 집합을 찾아야 한다. 대칭 연산은 축을 중심으로 한 회전 또는 거울면에 대한 반사와 같은 작용이다. 즉, 분자를 원래의 구성과 구별할 수 없도록 움직이는 연산이다. 군론에서 회전 축과 거울면은 "대칭 요소"라고 한다. 이러한 요소는 대칭 연산이 수행되는 점, 선 또는 평면일 수 있다. 분자의 대칭 연산은 이 분자에 대한 특정 점군을 결정한다.

화학에서 다섯 가지 중요한 대칭 연산이 있다.

항등 연산('''E'''): 분자를 그대로 두는 것으로, 모든 분자가 갖는 대칭 조작이다. 키랄 분자의 대칭군은 항등 연산만으로 구성된다.
회전 연산 (고유 회전)('''C_''n'''''): 특정 축을 중심으로 360°/''n'' (''n''은 정수) 각도로 분자를 회전시키는 것이다. 예를 들어 물 분자는 산소 원자를 통과하고 수소 원자 사이를 지나는 축을 중심으로 180° 회전하면 시작할 때와 동일한 구성이 된다. 이 경우 n=2 이며, 두 번 적용하면 항등 연산이 생성된다. 둘 이상의 회전 축이 있는 분자에서 n 값이 가장 큰 C_n 축이 주축이다. 붕소 삼불화물 (BF₃)의 주축은 '''C₃'''이다.
반사 연산('''σ'''): 분자 내 거울면을 통해 분자를 반전시키는 조작이다. 거울면이 주축에 수직이면 '''σ_''h''''' (수평), 주축을 포함하면 수직('''σ_''v''''') 또는 이면체('''σ_''d''''')로 표시한다.
반전('''i'''): 각 점을 분자 중심을 통해 반대쪽으로, 중심점에서 같은 거리만큼 이동시키는 연산이다. 메테인 등 많은 사면체 분자는 반전 대칭이 없다.
회전 반사 연산 (부적절한 회전)('''S_''n'''''): 360°/''n'' 회전 후 회전축에 수직인 평면을 통해 반사하는 연산이다.^[15]

6. 10. 암호학

현대 암호학에서 군론은 중요한 역할을 한다. 특히, 타원 곡선 암호와 같은 공개 키 암호 시스템은 타원 곡선 위에서 정의된 군의 구조를 활용한다. 이러한 암호 시스템은 군의 구조가 복잡하여 이산 로그 문제를 풀기 어렵다는 점에 기반한다.^[14] 카이사르 암호는 순환군을 이용한 간단한 암호 시스템의 예시이다. 디피-헬만 키 교환 역시 유한 순환군을 사용한다.

참조

_[1] 간행물 An enormous theorem: the classification of finite simple groups http://plus.maths.or[...] 2006-12
_[2] 문서
_[3] 문서
_[4] 문서
_[5] 논문 Sur les invariants différentiels des groupes continus de transformations https://zenodo.org/r[...]
_[6] 서적
_[7] 서적
_[8] 문서
_[9] 간행물 Torification and factorization of birational maps
_[10] 간행물 Group theoretical methods in image processing https://archive.org/[...] Springer-Verlag
_[11] 서적 Cybernetics: Or Control and Communication in the Animal and the Machine
_[12] 문서
_[13] 서적
_[14] 문서
_[15] 간행물 Group theoretical methods in image processing http://webstaff.itn.[...] Springer-Verlag
_[16] 웹인용 An enormous theorem: the classification of finite simple groups http://plus.maths.or[...] 2006-12

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