카르노 기관

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1. 개요
2. 카르노 기관의 기본 원리
- 2.1. 작동 과정
3. 카르노 순환
- 3.1. 카르노 순환의 단계별 분석
4. 카르노 기관의 열효율
- 4.1. 최대 효율
- 4.2. 열효율과 관련된 법칙
5. 카르노 정리
- 5.1. 카르노 정리의 의의
6. 실제 열기관과의 비교
- 6.1. 실제 열기관의 비가역성
- 6.2. 디젤 엔진과 카르노 기관
7. 카르노 기관의 한계와 현대적 의미
- 7.1. 거시적 규모에서의 한계
- 7.2. 열역학적 연구에서의 중요성
참조

1. 개요

카르노 기관은 이상적인 열기관으로, 열에너지를 일로 변환하는 원리를 설명하는 데 사용된다. 니콜라 레오나르 사디 카르노가 열역학 법칙이 확립되기 전에 제시했으며, 작동 물질의 순환 과정을 통해 고온 열원에서 열을 흡수하고 저온 열원으로 열을 방출하며 일을 한다. 카르노 기관은 등온 팽창, 단열 팽창, 등온 압축, 단열 압축의 네 단계를 거치는 카르노 순환을 따른다. 카르노 정리는 동일한 열 저장조 사이에서 작동하는 모든 기관은 카르노 기관보다 효율적일 수 없음을 의미하며, 실제 열기관의 효율은 카르노 기관의 효율보다 낮다. 카르노 기관은 이론적인 모델이지만, 디젤 엔진 개발 등 실제 기술 발전에 영감을 주었으며, 열역학적 연구에서 열기관의 이론적 한계를 제시하는 데 중요한 역할을 한다.

2. 카르노 기관의 기본 원리

열기관은 주위에서 열에너지를 끄집어내어 일을 하는 장치이며, 모든 열기관의 핵심은 작동물질이다. 증기기관에서는 증기나 액체 형태의 물이, 자동차 엔진에서는 휘발유와 공기의 혼합물이 작동물질이다. 열기관이 지속적으로 일을 하려면 작동물질은 순환 작동되어야 하며, 이를 위해 작동물질은 각 상태가 반복되는 순환과정, 즉 열역학적 순환과정을 거친다.

이상기관은 열로써 일을 할 때 원리적으로 최상의 기관이다. 카르노는 열역학 제1법칙이나 엔트로피 개념이 발견되기 이전에 이 기관의 성능을 분석하였다.

위 그림은 카르노의 1824년 저서인 ''열의 동력에 대한 고찰''(Reflections on the Motive Power of Fire)에서 가져온 것이다.^[4] "각각 일정한 온도를 유지하는 두 개의 물체 ''A''와 ''B''가 있는데, ''A''의 온도가 ''B''보다 높습니다. 온도 변화 없이 열을 가하거나 제거할 수 있는 이 두 물체는 열소의 무제한 저장고 역할을 합니다. 우리는 첫 번째 물체를 용광로, 두 번째 물체를 냉장고라고 부를 것입니다."^[5] 카르노는 이어서 특정 양의 열을 물체 ''A''에서 물체 ''B''로 전달하여 동력, 즉 "일"을 얻는 방법을 설명한다. 이는 또한 냉각기 역할을 하며 따라서 냉장고 역할도 할 수 있다.

2. 1. 작동 과정

열기관은 주위에서 열에너지를 끄집어내어 일을 수행하는 장치이다. 이때 모든 열기관의 핵심은 작동물질이다. 증기기관에서는 증기나 액체 형태의 물이 작동물질이고, 자동차 엔진에서는 휘발유와 공기의 혼합물이 작동물질이다. 만일 열기관이 지속적으로 일을 하려면 작동물질은 순환 작동되어야 한다. 즉, 작동물질은 각 상태가 반복되는 순환과정이라고 불리는 열역학적 순환과정을 거쳐야 한다.^[4]

이상기관은 열로써 일을 할 때 원리적으로는 최상의 기관이다. 카르노는 놀랍게도 열역학 제1법칙이나 엔트로피의 개념이 발견되기 이전에 이 기관의 성능을 분석하였다.^[5]

카르노 기관 도해(현대) - 고온 ''T''_H의 열원으로부터 열량 ''Q''_H가 "작동 유체"(작동 물질)의 유체를 통해 흐르고, 나머지 열 ''Q''_C는 저온 열조 ''T''_C로 흘러 들어가 작동 물질이 수축과 팽창의 순환을 통해 주변에 기계적 일 ''W''를 하도록 한다.

카르노 기관은 한 번의 순환과정 동안 작동물질은 높은 온도 T₂인 열저장체에서 열 Q₂를 흡수하며 낮은 온도 T₁인 열저장체로 열 Q₁을 방출한다.

위 그림은 카르노가 그의 이상적인 기관에 대해 논의할 때 사용했던 원래의 피스톤-실린더 도해를 보여준다. 오른쪽 그림은 카르노 기관과 같은 일반적인 열기관의 블록 다이어그램을 보여준다. 이 도해에서, 1850년 클라우지우스가 도입한 용어인 "작동 유체"(시스템)는 열 ''Q''가 도입되거나 전달되어 일을 생성할 수 있는 모든 유체 또는 증기 덩어리가 될 수 있다. 카르노는 유체 덩어리가 물의 증기, 알코올 증기, 수은 증기, 영구 기체, 공기 등과 같이 팽창할 수 있는 모든 물질일 수 있다고 가정했다. 비록 당시에는 기관이 다양한 형태로 존재했지만, 일반적으로 ''Q''_H는 용광로 위에서 물을 끓이는 보일러에 의해 공급되었고; ''Q''_C는 일반적으로 기관의 별도 부분에 위치한 응축기 형태의 차가운 물의 흐름에 의해 제거되었다. 출력된 일, ''W''는 크랭크 암을 회전시키는 데 사용되는 피스톤의 움직임에 의해 전달되었으며, 이는 다시 일반적으로 침수된 소금 광산에서 물을 끌어올리기 위해 도르래를 구동하는 데 사용되었다. 카르노는 일을 "높이로 들어 올려진 무게"로 정의했다.

3. 카르노 순환

카르노 기관은 고온의 열원에서 저온의 열원으로 열을 전달하여 일을 생산하는 이상적인 열기관이다. 이 과정은 카르노 순환이라고 불리는 네 단계를 거친다.

카르노 순환은 1824년 니콜라 레오나르 사디 카르노가 제안했으며, 작동 유체(시스템)는 팽창할 수 있는 모든 유체 또는 증기 덩어리가 될 수 있다. 예를 들어 물의 증기, 알코올 증기, 수은 증기, 영구 기체, 공기 등이 사용될 수 있다.

카르노는 일을 "높이로 들어 올려진 무게"로 정의했으며, 초기에는 기관이 다양한 형태로 존재했지만, 일반적으로 ''Q''_H는 용광로 위에서 물을 끓이는 보일러에 의해 공급되었고, ''Q''_C는 일반적으로 기관의 별도 부분에 위치한 응축기 형태의 차가운 물의 흐름에 의해 제거되었다. 출력된 일, ''W''는 크랭크 암을 회전시키는 데 사용되는 피스톤의 움직임에 의해 전달되었으며, 이는 다시 일반적으로 침수된 소금 광산에서 물을 끌어올리기 위해 도르래를 구동하는 데 사용되었다.

한 순환과정을 마치고 원래 상태로 되돌아 왔으므로 이 과정동안 기관의 내부에너지 변화 ( $\Delta U=0$ )는 0이 된다. 따라서 열역학 제1법칙에 의하면 한 순환과정동안 기관이 한일 ( $W$ )는 $Q_H-Q_C$ 와 같다. $N$ 개 이상의 단원자 이상기체를 작업물질로 할 때 $Q_H$ 와 $Q_C$ 는 다음과 같다.

: $Q_H=NkT_1\ln{V_2 \over V_1} \qquad (1)$

: $Q_C=NkT_2\ln{V_3 \over V_4} \qquad (2)$

여기서 $k$ 는 볼츠만 상수이다.

그러면 카르노 기관의 열 효율 ( $e_c$ )는 다음과 같다.

: $e_c=1-{T_2\ln{V_3 \over V_4} \over T_1\ln{V_2 \over V_1}} \qquad (3)$

단열과정에서 온도와 부피사이의 관계식을 이용하면 다음과 같다.

: $T_1V^{2 \over 3}_2=T_2V^{2 \over 3}_3 \qquad (4)$

: $T_HV^{2 \over 3}_1=T_CV^{2 \over 3}_4 \qquad (5)$

두 식의 비를 이용하면 다음과 같다.

: ${V_2 \over V_1}={V_3 \over V_4} \qquad (6)$

식 $(6)$ 을 식 $(1)$ 과 식 $(2)$ 에 대입하면 다음과 같다.

: $\frac{Q_C}{Q_H}=\frac{T_2}{T_1} \qquad (7)$

따라서 카르노 기관의 열효율 ( $e_c$ )는 다음과 같다.

: $e_c=1-\frac{T_2}{T_1}$

카르노 기관의 열효율은 저온부와 고온부의 온도에만 관계하며 저온부의 온도가 낮거나 고온부의 온도가 높을수록 열효율을 높일 수 있다. 카르노 기관은 이상적인 기관이므로 카르노 기관보다 열효율이 높은 기관은 존재할 수 없다. 또한 열효율이 1이 되려면 고온부의 온도가 무한대가 되거나 저온부의 온도가 0 K가 되어야 하는데 이는 있을 수 없으므로 카르노 기관의 열효율도 1이 되는 경우는 없다.

카르노 기관은 이상적인 가역 열기관으로 카르노 기관보다 열효율이 높은 기관은 있을 수 없으며 카르노 기관의 경우에도 열효율은 1보다 작은 것을 알 수 있다. 이것은 열역학 제1법칙으로 설명되지 않는 현상으로 켈빈은 다음과 같은 열역학 제2법칙을 제시하였다.

'''열역학 제2법칙:''' '''한 열원으로부터 얻은 열을 모두 일로 바꿀 수는 없다.'''

3. 1. 카르노 순환의 단계별 분석

그림 2: 온도-엔트로피 선도에 나타낸, 열기관으로 작동하는 카르노 사이클. 이 사이클은 $T_H$ 의 온도에서 뜨거운 열원과 $T_C$ 의 온도에서 차가운 열원 사이에서 발생한다. 세로축은 온도이고, 가로축은 엔트로피이다.

열기관으로 작동하는 '''카르노 순환'''은 다음과 같은 단계로 구성된다.

1. '''고온

T_1

에서 기체의 가역적 등온 팽창 (등온 열 추가 또는 흡수)''' 이 단계에서 기체는 팽창하며 주변에 일을 한다. 기체의 온도는 변하지 않으므로 팽창은 등온 과정이다. 기체 팽창은 고온 열원으로부터의 열에너지

Q_2

와 엔트로피

S_2=Q_2/T_1

의 흡수에 의해 일어난다.^[1]

2. '''등엔트로피 (가역 단열) 가스 팽창 (등엔트로피 일 출력)''' 이 단계에서 피스톤과 실린더는 열적으로 단열된 것으로 가정되므로 열을 얻거나 잃지 않는다. 가스는 계속 팽창하여 주변에 일을 하고, 내부 에너지를 잃는다. 가스 팽창은 가스를

T_2

까지 냉각시킨다. 엔트로피는 변하지 않는다.^[2]

3. '''저온

T_2

에서 가스의 가역적 등온 압축 (등온 열 방출)''' 이 단계에서 기체는 저온 열원에 노출되고, 주변은 가스를 압축하여 가스에 일을 가한다. 동시에 열에너지

Q_1

와 엔트로피

S_1=Q_1/T_2

가 가스에서 저온 열원으로 빠져나간다.^[3]

4. '''가스의 등엔트로피 압축 (등엔트로피 일 입력)''' 다시 한번 피스톤과 실린더는 열적으로 단열된 것으로 가정하고 저온 열원은 제거된다. 이 단계 동안 주변은 가스를 더 압축하기 위해 계속 일을 하며, 온도와 압력이 모두 상승한다. 이 추가적인 일은 가스의 내부 에너지를 증가시켜 가스를 압축시키고 온도를

T_1

로 상승시킨다. 엔트로피는 변하지 않는다. 이 시점에서 가스는 첫 단계의 시작과 동일한 상태에 있다.^[4]

1단계와 3단계에서는 고온에서 열을 흡수하고 저온에서 열을 버림으로써 열의 낙하가 일어난다. 기체는 1단계에서 팽창하면서 한 일이 3단계에서 압축되면서 받는 일보다 많으며, 2단계에서 한 일과 4단계에서 받은 일의 양은 거의 상쇄된다. 따라서 한 번 순환할 때마다 열이 고온에서 저온으로 떨어지며, 전체적으로 일을 한 것이 된다.^[5]

4. 카르노 기관의 열효율

카르노 기관은 이상기체를 사용하는 가상의 이상적인 기관으로, 외부로 손실되는 열이 없어 실제 열기관보다 열효율이 높다. 카르노 기관의 열효율은 다음과 같이 주어진다.

: $e= 1- (T_1/T_2)$

여기서 T₁은 저온부의 온도, T₂는 고온부의 온도이다.

한 순환과정을 마치고 원래 상태로 되돌아오면 기관의 내부에너지 변화는 0( $\Delta U=0$ )이 된다. 열역학 제1법칙에 따라 한 순환과정동안 기관이 한 일( $W$ )은 고온에서 흡수한 열( $Q_H$ )과 저온에서 방출한 열( $Q_C$ )의 차이와 같다. N개의 단원자 이상기체를 작업물질로 할 때, $Q_H$ 와 $Q_C$ 는 다음과 같다.

: $Q_H=NkT_1\ln{V_2 \over V_1} \qquad (1)$

: $Q_C=NkT_2\ln{V_3 \over V_4} \qquad (2)$

여기서 $k$ 는 볼츠만 상수, V는 부피이다.

카르노 기관의 열 효율 $e_c$ 는 다음과 같이 표현된다.

: $e_c=1-{T_2\ln{V_3 \over V_4} \over T_1\ln{V_2 \over V_1}} \qquad (3)$

단열 과정에서 온도와 부피 사이의 관계식을 이용하면,

: $T_1V^{2 \over 3}_2=T_2V^{2 \over 3}_3 \qquad (4)$

: $T_HV^{2 \over 3}_1=T_CV^{2 \over 3}_4 \qquad (5)$

가 성립한다. 두 식의 비를 이용하면,

: ${V_2 \over V_1}={V_3 \over V_4} \qquad (6)$

이 된다. 식 (6)을 식 (1)과 식 (2)에 대입하면,

: $\frac{Q_C}{Q_H}=\frac{T_2}{T_1} \qquad (7)$

이 성립하고, 따라서 카르노 기관의 열효율 $e_c$ 는

: $e_c=1-\frac{T_2}{T_1}$

이 된다.

실제 이상 엔진(왼쪽)과 카르노 사이클(오른쪽) 비교. 실제 물질의 엔트로피는 온도에 따라 변한다. 이 변화는 T-S 다이어그램의 곡선으로 표시된다. 이 그림에서 곡선은 증기-액체 평형을 나타낸다(''랭킨 사이클' 참조). 비가역적인 시스템과 열 손실(예: 마찰로 인한)은 모든 단계에서 이상적인 상태가 발생하는 것을 방지한다.

실제 열기관의 경우, 전체 열역학적 과정은 일반적으로 비가역적이다. 작동 유체는 한 사이클 후에 초기 상태로 되돌아가므로 유체 시스템의 엔트로피 변화는 0이지만, 이 한 사이클 과정에서 고온 및 저온 저장소의 엔트로피 변화의 합은 0보다 크다.

4. 1. 최대 효율

카르노 기관은 이상기체를 사용하는 가상의 이상적인 기관이다. 따라서 외부로 손실되는 열이 없기 때문에 실제로 존재하는 열기관들에 비해서 열효율이 높다. 카르노 기관의 열 효율이 1(100%)이 되기 위해서는 고온부의 온도인 T₂가 무한대로 상승하거나 저온부의 온도인 T₁이 0에 가까워져야 한다. 그러나 고온부와 저온부의 온도가 그렇게 될 수 없으므로 카르노 기관의 열 효율은 1이 될 수 없다. 이를 바탕으로 실존하는 열 기관은 모두 카르노 기관보다 열 효율이 좋지 않고, 카르노 기관은 열효율이 1보다 낮다는 것을 알 수 있으며, 이는 '열효율이 1인 기관은 존재하지 않는다.'라는 것을 증명하는 방법이 될 수 있다.^[6]

카르노 기관의 열효율

e_c

는 다음과 같다.

:

e_c=1-\frac{T_2}{T_1}

따라서 카르노 기관의 열효율은 저온부와 고온부의 온도에만 관계하며 저온부의 온도가 낮거나 고온부의 온도가 높을수록 열효율을 높일 수 있다. 카르노 기관은 이상적인 기관이므로 카르노 기관보다 열효율이 높은 기관은 존재할 수 없다. 또한 열효율이 1이 되려면 고온부의 온도가 무한대가 되거나 저온부의 온도가 0 K가 되어야 하는데 이는 있을 수 없으므로 카르노 기관의 열효율도 1이 되는 경우는 없다. 카르노 기관은 이상적인 가역 열기관으로 카르노 기관보다 열효율이 높은 기관은 있을 수 없으며 카르노 기관의 경우에도 열효율은 1보다 작은 것을 알 수 있다. 이것은 열역학 제1법칙으로 설명되지 않는 현상으로 켈빈은 다음과 같은 열역학 제2법칙을 제시하였다.^[7]

'''열역학 제2법칙:''' '''한 열원으로부터 얻은 열을 모두 일로 바꿀 수는 없다.'''

'''카르노 정리'''는 다음과 같은 사실을 공식적으로 진술한 것이다. ''두 개의 열 저장조 사이에서 작동하는 어떤 엔진도 동일한 저장조 사이에서 작동하는 카르노 엔진보다 더 효율적일 수 없다.''

:

\eta_{I}=\frac{W}{Q_{\mathrm{H}}}=1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}

이 최대 효율은 다음과 같이 정의된다.

W는 시스템이 수행한 일(작업으로 시스템에서 나가는 에너지)이다.
Q_H는 시스템에 투입된 열(시스템에 들어오는 열 에너지)이다.
T_C는 저온 열원의 절대 온도이다.
T_H는 고온 열원의 절대 온도이다.

카르노 정리의 따름 정리는 다음과 같다. 동일한 열 저장조 사이에서 작동하는 모든 가역 기관은 동일한 효율을 갖는다.

4. 2. 열효율과 관련된 법칙

카르노 기관은 이상기체를 사용하는 가상의 이상적인 기관이다. 따라서 외부로 손실되는 열이 없기 때문에 실제로 존재하는 열기관들에 비해서 열효율이 높다. 카르노 기관의 열 효율이 1(100%)이 되기 위해서는 고온부의 온도(

T_2

)가 무한대로 상승하거나 저온부의 온도(

T_1

)가 0에 가까워져야 한다. 그러나 고온부와 저온부의 온도가 그렇게 될 수 없으므로 카르노 기관의 열 효율은 1이 될 수 없다. 이를 바탕으로 실존하는 열 기관은 모두 카르노 기관보다 열 효율이 좋지 않고, 카르노 기관은 열효율이 1보다 낮다는 것을 알 수 있으며, 이는 '열효율이 1인 기관은 존재하지 않는다.'라는 것을 증명하는 방법이 될 수 있다.

:

e= 1- (T_1/T_2)

카르노 기관의 열 효율

e_c

는 다음과 같다.

:

e_c=1-{T_2\ln{V_3 \over V_4} \over T_1\ln{V_2 \over V_1}} \qquad (3)

단열과정에서 온도와 부피사이의 관계식을 이용하면

:

T_1V^{2 \over 3}_2=T_2V^{2 \over 3}_3 \qquad (4)

:

T_HV^{2 \over 3}_1=T_CV^{2 \over 3}_4 \qquad (5)

이 성립한다. 두 식의 비를 이용하면

:

{V_2 \over V_1}={V_3 \over V_4} \qquad (6)

이 된다. 식 (6)을 식 (1)과 식 (2)에 대입하면

:

\frac{Q_C}{Q_H}=\frac{T_2}{T_1} \qquad (7)

이 성립하고 따라서 카르노 기관의 열효율

e_c

는

:

e_c=1-\frac{T_2}{T_1}

이 된다.

따라서 카르노 기관의 열효율은 저온부와 고온부의 온도에만 관계하며 저온부의 온도가 낮거나 고온부의 온도가 높을수록 열효율을 높일 수 있다. 카르노 기관은 이상적인 기관이므로 카르노 기관보다 열효율이 높은 기관은 존재할 수 없다. 또한 열효율이 1이 되려면 고온부의 온도가 무한대가 되거나 저온부의 온도가 0 K가 되어야 하는데 이는 있을 수 없으므로 카르노 기관의 열효율도 1이 되는 경우는 없다. 카르노 기관은 이상적인 가역 열기관으로 카르노 기관보다 열효율이 높은 기관은 있을 수 없으며 카르노 기관의 경우에도 열효율은 1보다 작은 것을 알 수 있다. 이것은 열역학 제1법칙으로 설명되지 않는 현상으로 켈빈은 다음과 같은 열역학 제2법칙을 제시하였다.

'''열역학 제2법칙:''' '''한 열원으로부터 얻은 열을 모두 일로 바꿀 수는 없다.'''

'''카르노 정리'''는 다음과 같은 사실을 공식적으로 진술한 것이다. ''두 개의 열 저장조 사이에서 작동하는 어떤 엔진도 동일한 저장조 사이에서 작동하는 카르노 엔진보다 더 효율적일 수 없다.''

:

\eta_{I}=\frac{W}{Q_{\mathrm{H}}}=1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}

이 최대 효율은 다음과 같이 정의된다.

$W$ 는 시스템이 수행한 일(작업으로 시스템에서 나가는 에너지)이다.
$Q_H$ 는 시스템에 투입된 열(시스템에 들어오는 열 에너지)이다.
$T_C$ 는 저온 열원의 절대 온도이다.
$T_H$ 는 고온 열원의 절대 온도이다.

카르노 정리의 따름 정리는 다음과 같다. 동일한 열 저장조 사이에서 작동하는 모든 가역 기관은 동일한 효율을 갖는다.

5. 카르노 정리

'''카르노 정리'''는 두 열원 사이에서 작동하는 어떤 엔진도 동일한 열원 사이에서 작동하는 카르노 기관보다 더 효율적일 수 없다는 것을 공식적으로 진술한 것이다.

실제 열기관의 경우, 전체 열역학적 과정은 일반적으로 비가역적이다. 작동 유체는 한 사이클 후에 초기 상태로 되돌아가므로 유체 시스템의 엔트로피 변화는 0이지만, 이 한 사이클 과정에서 고온 및 저온 저장소의 엔트로피 변화의 합은 0보다 크다.

유체의 내부 에너지 또한 상태 변수이므로, 한 사이클에서의 총 변화는 0이다. 따라서 시스템이 수행하는 총 일 W는 시스템에 투입되는 순 열, 즉 흡수된 Q_H와 방출된 폐열 Q_C의 합과 같다.^[6]

실제 기관의 경우, 열이 고온 저장소(T_H)에서 "작동 유체"로 흡수되고, 작동 유체에서 저온 저장소로 방출되는 카르노 사이클의 1단계와 3단계는 더 이상 이상적으로 가역적이지 않으며, 열 교환이 일어나는 동안 저장소의 온도와 유체의 온도 사이에 온도 차이가 있다.

고온 저장소에서 유체로 열이 전달되는 동안, 유체는 T_H보다 약간 낮은 온도를 가지며, 유체에 대한 과정은 등온 과정을 유지하지 않을 수 있다. ΔS_H를 열 흡수 과정에서 유체의 총 엔트로피 변화라고 하자.

여기서 유체의 온도 T는 이 과정에서 항상 T_H보다 약간 작다.

따라서 다음을 얻을 수 있다.

마찬가지로, 유체에서 저온 저장소로 열을 주입할 때, 열 방출 과정에서 유체의 총 엔트로피 변화 ΔS_C < 0의 크기에 대해 다음을 얻을 수 있다.

여기서 저온 저장소로의 열 전달 과정 동안, 유체의 온도 T는 항상 T_C보다 약간 크다.

우리는 여기서 엔트로피 변화의 크기만을 고려했다. 사이클 과정에서 유체 시스템의 총 엔트로피 변화가 0이므로, 다음을 만족해야 한다.

이전 세 방정식을 결합하면,

그리고,

방정식들을 결합하면 다음을 얻는다.

따라서,

여기서 η는 실제 기관의 효율이고, η_I는 온도 T_H와 T_C에서 동일한 두 저장소 사이에서 작동하는 카르노 기관의 효율이다. 카르노 기관의 경우, 전체 과정은 '가역적'이며, 위의 부등식은 등식이 된다. 따라서 실제 기관의 효율은 항상 이상적인 카르노 기관보다 작다.

위의 부등식은 실제 기관의 경우 시스템과 주변(유체 및 두 저장소)의 총 엔트로피가 증가함을 의미한다. 이는 (주변 기반 분석에서) 고정된 온도 T_C에서 Q_C가 저온 저장소로 흘러 들어갈 때 저온 저장소의 엔트로피 증가가 고정된 온도 T_H에서 Q_H가 고온 저장소를 떠날 때 고온 저장소의 엔트로피 손실보다 크기 때문이다. 해당 부등식은 본질적으로 클라우지우스 정리의 진술이다.

두 번째 정리에 따르면, "카르노 기관의 효율은 작동 물질의 본질과 무관하다".

5. 1. 카르노 정리의 의의

카르노 정리는 "두 열원 사이에서 작동하는 어떤 엔진도 같은 열원 사이에서 작동하는 카르노 기관보다 효율적일 수 없다"는 내용을 담고 있다.

최대 효율()는 다음과 같이 정의된다.

:

\eta_{I}=\frac{W}{Q_{\mathrm{H}}}=1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}

: 시스템이 수행한 일 (에너지가 작업으로 시스템에서 나감)
: 시스템에 투입된 열 (열 에너지가 시스템으로 들어옴)
: 저온 열원의 절대 온도
: 고온 열원의 절대 온도

카르노 정리로부터 "같은 열원 사이에서 작동하는 모든 가역 기관은 동일한 효율을 갖는다"는 결론을 얻을 수 있다.

전체 순환 과정이 가역 과정일 때 효율 가 최대가 된다. 이는 "작동 유체"가 한 사이클을 완료하고 원래 상태로 돌아올 때, 시스템과 주변(고온 용광로, 열 기관의 "작동 유체", 저온 싱크)의 총 엔트로피가 일정하게 유지됨을 의미한다. ("작동 유체" 시스템의 엔트로피 변화는 0이며, 과정이 가역적이고 기관의 효율이 최대가 되려면 용광로와 싱크의 총 엔트로피 변화가 0이어야 한다.)

열 기관의 성능 계수 (COP)는 효율의 역수이다.

6. 실제 열기관과의 비교

오른쪽 그림은 일반적인 열기관의 블록 다이어그램을 보여주는데, 카르노 기관도 이와 같은 형태로 나타낼 수 있다. 이 그림에서 "작동 유체"(시스템)는 1850년 클라우지우스가 도입한 용어로, 열(''Q'')을 받아 일을 할 수 있는 모든 유체나 증기를 말한다. 카르노는 작동 유체가 물의 증기, 알코올 증기, 수은 증기, 영구 기체, 공기 등 팽창할 수 있는 모든 물질일 수 있다고 가정했다.

당시에는 다양한 형태의 열기관이 있었지만, 일반적으로 ''Q''_H (고온의 열)는 용광로 위에서 물을 끓이는 보일러에서 공급되었고, ''Q''_C (저온의 열)는 기관의 별도 부분에 있는 응축기 형태의 차가운 물의 흐름으로 제거되었다. 출력된 일(''W'')은 피스톤의 움직임을 통해 크랭크 암을 회전시키는 방식으로 전달되었는데, 이는 침수된 소금 광산에서 물을 끌어올리는 도르래를 구동하는 데 사용되기도 했다. 카르노는 일을 "높이로 들어 올려진 무게"로 정의했다.

카르노 기관은 이상적인 열기관이며, 실제 기관은 이보다 효율이 낮다. 이와 관련된 내용은 '== 실제 열기관의 비가역성 ==', '== 디젤 엔진과 카르노 기관 ==' 항목에서 자세히 설명하고 있다.

6. 1. 실제 열기관의 비가역성

실제 열기관은 일반적으로 전체 열역학적 과정이 비가역적이다. 작동 유체가 한 사이클을 거쳐 초기 상태로 돌아오기 때문에 유체 시스템 자체의 엔트로피 변화는 0이지만, 이 과정에서 고온 및 저온 저장소의 엔트로피 변화를 모두 합하면 0보다 크다.^[6]

유체의 내부 에너지는 상태 변수이므로 한 사이클 동안의 총 변화량은 0이다. 따라서 시스템이 수행하는 총 일(W)은 시스템에 투입되는 순 열과 같다. 즉, 흡수된 열(

Q_\text{H}

> 0)과 방출된 폐열(

Q_\text{C}

< 0)의 합과 같다.^[6]

:

W=Q=Q_\text{H}+Q_\text{C}

실제 기관에서는 카르노 사이클의 1단계와 3단계(열이 고온 저장소에서 작동 유체로 흡수되고, 작동 유체에서 저온 저장소로 방출되는 단계)가 이상적이지 않다. 즉, 가역적이지 않으며, 열 교환이 일어나는 동안 저장소와 유체의 온도 사이에 차이가 존재한다.

고온 저장소(

T_\text{H}

)에서 유체로 열이 전달될 때, 유체의 온도는

T_\text{H}

보다 약간 낮고, 이 과정은 등온 과정을 유지하지 않을 수 있다. 이 과정에서 유체의 총 엔트로피 변화를

\Delta S_\text{H}

라고 하면,

:

\Delta S_\text{H}=\int_{Q_\text{in}} \frac{\text{d}Q_\text{H}}{T}

여기서 유체의 온도 T는 항상

T_\text{H}

보다 약간 작다. 따라서,

:

\frac{Q_\text{H}}{T_\text{H}}=\frac{\int \text{d}Q_\text{H}}{T_\text{H}} \leq \Delta S_\text{H}

마찬가지로, 유체에서 저온 저장소로 열을 주입할 때, 열 방출 과정에서 유체의 총 엔트로피 변화

\Delta S_\text{C}

< 0 에 대해 다음을 얻을 수 있다.

:

\Delta S_\text{C}\geqslant\frac{Q_\text{C}}{T_\text{C}}< 0

여기서 저온 저장소로의 열 전달 과정 동안, 유체의 온도 T는 항상

T_\text{C}

보다 약간 크다.

사이클 과정에서 유체 시스템의 총 엔트로피 변화는 0이므로,

:

\Delta S_\text{H}+\Delta S_\text{C} = \Delta S_\text{cycle} = 0

위의 내용을 종합하면^[7]

:

-\frac{Q_\text{C}}{T_\text{C}}\geqslant\frac{Q_\text{H}}{T_\text{H}}

결과적으로,

:

\frac{W}{Q_\text{H}} \leq 1- \frac{T_\text{C}}{T_\text{H}}

따라서 실제 기관의 효율(

\eta = \frac{W}{Q_\text{H}}

)은 동일한 온도(

T_\text{H}

와

T_\text{C}

)에서 작동하는 카르노 기관의 효율(

\eta_\text{I}

)보다 항상 작다.

:

\eta \leq \eta_\text{I}

이는 실제 기관에서 시스템과 주변(유체 및 두 저장소)의 총 엔트로피가 증가함을 의미한다. 즉, 고정된 온도

T_\text{C}

에서

Q_\text{C}

가 저온 저장소로 흘러 들어갈 때 저온 저장소의 엔트로피 증가량이, 고정된 온도

T_\text{H}

에서

Q_\text{H}

가 고온 저장소를 떠날 때 고온 저장소의 엔트로피 손실량보다 크기 때문이다.

6. 2. 디젤 엔진과 카르노 기관

루돌프 디젤은 1892년에 카르노 기관에서 영감을 얻어 내연 기관에 대한 특허를 받았다.^[8] 디젤은 카르노 기관이 실제로 만들 수 없는 이상적인 기관이라는 것을 알았지만, 작동 가능한 근사치를 발명했다고 생각했다. 그의 원리는 타당하지 않았지만, 이를 구현하려는 과정에서 실용적인 디젤 엔진을 개발했다.^[8]

내연 기관에서 등온 팽창을 어떻게 달성하는지가 개념적인 문제였다. 연료를 사이클의 최고 온도에서 연소시키면 온도가 더 높아지기 때문이다. 디젤이 특허를 받은 해결책은 공기를 압축하여 최고 온도를 달성한 다음, 소량의 연료를 조절된 속도로 추가하여 연료 연소로 인한 가열이 피스톤이 움직이면서 공기 팽창으로 인한 냉각에 의해 상쇄되도록 하는 것이었다. 따라서 연료에서 발생하는 모든 열은 카르노 정리에 따라 등온 팽창 동안 일로 변환된다.

이 아이디어가 작동하려면 소량의 연료를 엄청난 양의 공기 속에서 태워야 했다. 디젤은 먼저 공기를 800°C에서 250기압으로 압축한 다음 20°C에서 1기압으로 순환하는 작동 엔진을 제안했다. 그러나 이는 60:1의 압축비를 의미했기 때문에 당시 기술력으로는 불가능했다. 이러한 엔진을 만들 수 있었다면 73%의 효율을 냈을 것이다. (이에 비해 당시 최고의 증기 엔진은 7%의 효율을 달성했다.)

이에 따라 디젤은 타협을 모색했다. 그는 최고 압력을 덜 야심찬 90기압으로 줄이면 열효율을 5%만 희생할 것이라고 계산했다. 그는 자금 지원을 모색하며 "증기 기관과 현재 알려진 모든 연소 기관을 대체할 합리적인 열 기관의 이론 및 구성"(1893)을 출판했다. 켈빈 경을 포함한 과학계의 지지를 받아 크루프와 Maschinenfabrik Augsburg-Nürnberg|아우크스부르크-뉘른베르크 기계 공장^de의 지원을 얻었다. 그는 카르노 사이클을 상징으로 여겼다. 그러나 수년간의 실질적인 노력에도 등온 연소 엔진을 개발하는 데는 실패했다. 엄청난 양의 공기가 필요하여 압축하는 데 충분한 동력을 발생시킬 수 없었기 때문이다. 또한 연료 분사를 제어하는 것도 쉬운 문제가 아니었다.

그럼에도 불구하고 디젤 엔진은 25년 동안 천천히 발전하여 실용적인 고압축 공기 엔진이 되었으며, 압축 행정 말에 연료를 분사하고 압축열에 의해 점화되어 1969년까지 40%의 효율을 낼 수 있었다.^[8]

7. 카르노 기관의 한계와 현대적 의미

카르노 열기관은 이상적인 열역학적 계를 기반으로 한 이론적 구성물이다. 카르노 사이클은 디젤 엔진 개발 등에 가치 있는 모델로 사용되지만, 실제 인간 규모나 거시적인 수준에서는 여러 제약으로 인해 실용적이지 않다.^[9] 카르노의 정리에 따르면, 카르노 기관은 실제로 제작 가능한 장치라기보다는 거시적 규모 열기관의 이론적 한계를 나타낸다.^[10]

카르노 사이클의 등온 팽창 부분에서는 팽창 단계마다 여러 무한소 조건이 동시에 충족되어야 한다.^[11] 이러한 조건들은 카르노 사이클이 무한한 시간이 걸리게 하여 일의 생성을 불가능하게 만든다.^[9]

이외에도 기체의 정밀한 제어와 주변 환경과의 완벽한 열적 접촉 등도 카르노 사이클을 실현하기 어렵게 만드는 요인이다.

7. 1. 거시적 규모에서의 한계

카르노 열기관은 ''이상적인'' 열역학적 계를 기반으로 한 이론적인 구성물이다. 카르노 사이클은 실제적인 인간 규모 수준에서 디젤 엔진 개발을 발전시키는 등 가치 있는 모델임이 입증되었다. 그러나 거시적인 수준에서는 모델의 가정에 의해 부과된 제약으로 인해 실용적이지 않고 궁극적으로 어떤 일도 할 수 없다는 것이 입증되었다.^[9] 이와 같이, 카르노의 정리에 따라 카르노 기관은 실제로 제작될 수 있는 어떤 장치라기보다는 거시적 규모 열기관의 이론적 한계로 생각할 수 있다.^[10]

예를 들어, 카르노 사이클의 등온 팽창 부분의 경우, 팽창의 모든 단계에서 다음의 ''무한소'' 조건이 동시에 충족되어야 한다:^[11]

고온 저장조 온도 ''T_H''는 계 기체 온도 ''T''보다 무한소만큼 높아서 고온 저장조에서 기체로의 열 흐름(에너지 전달)이 ''T''를 증가시키지 않고 이루어진다(다른 에너지 전달로서 기체가 주변에 무한소의 일을 함으로써). 만약 ''T_H''가 ''T''보다 상당히 높다면 ''T''가 기체 전체에 걸쳐 균일하지 않아 계가 열적 평형에서 벗어날 수 있을 뿐만 아니라 가역 과정(즉, 카르노 사이클이 아님)이 아닐 수 있으며, 또는 ''T''가 눈에 띄게 증가하여 등온 과정이 아닐 수 있다.
피스톤에 외부에서 가해지는 힘(기체에 의한 피스톤에 대한 내부 힘과 반대)은 외부에서 무한소만큼 감소해야 한다. 이 도움이 없이는 기체 PV(압력-부피) 곡선을 일정한 ''T''에서 아래로 따르는 것이 불가능할 것이다. 왜냐하면 이 곡선을 따른다는 것은 부피가 팽창함에 따라(피스톤이 바깥으로 이동함) 기체-피스톤 힘이 감소한다는 것(''P''가 감소)을 의미하기 때문이다. 만약 이 도움이 너무 강해서 부피 팽창이 상당히 크면 계가 열적 평형에서 벗어날 수 있으며, 과정이 가역적이지 않게 되어(따라서 카르노 사이클이 아님) 실패할 수 있다.

이러한 "무한소" 요구 사항(및 기타)으로 인해 카르노 사이클은 ''무한한 시간''이 걸리게 되어 일의 생성이 불가능해진다.^[9]

카르노 사이클을 실현하기 어렵게 만드는 다른 실제적인 요구 사항으로는 기체의 정밀한 제어와 주변 환경(고온 및 저온 저장조 포함)과의 완벽한 열적 접촉이 있다.

7. 2. 열역학적 연구에서의 중요성

카르노 열기관은 궁극적으로 '이상적인' 열역학적 계를 기반으로 한 이론적 구성물이다. 실제적인 인간 규모 수준에서 카르노 사이클은 디젤 엔진 개발을 발전시키는 등 가치 있는 모델임이 입증되었다. 그러나 거시적인 수준에서는 모델의 가정에 의해 부과된 제약으로 인해 실용적이지 않고 궁극적으로 어떤 일도 할 수 없다는 것이 입증되었다.^[9] 이와 같이, 카르노의 정리에 따라 카르노 기관은 실제로 제작될 수 있는 어떤 장치라기보다는 거시적 규모 열기관의 이론적 한계로 생각할 수 있다.^[10]

예를 들어, 카르노 사이클의 등온 팽창 부분의 경우, 팽창의 모든 단계에서 다음의 '무한소' 조건이 동시에 충족되어야 한다:^[11]

고온 저장조 온도 ''T_H''는 계 기체 온도 ''T''보다 무한소만큼 높아서 고온 저장조에서 기체로의 열 흐름(에너지 전달)이 ''T''를 증가시키지 않고 이루어진다(다른 에너지 전달로서 기체가 주변에 무한소의 일을 함으로써). 만약 ''T_H''가 ''T''보다 상당히 높다면 ''T''가 기체 전체에 걸쳐 균일하지 않아 계가 열적 평형에서 벗어날 수 있을 뿐만 아니라 가역 과정(즉, 카르노 사이클이 아님)이 아닐 수 있으며, 또는 ''T''가 눈에 띄게 증가하여 등온 과정이 아닐 수 있다.
피스톤에 외부에서 가해지는 힘(기체에 의한 피스톤에 대한 내부 힘과 반대)은 외부에서 무한소만큼 감소해야 한다. 이 도움이 없이는 기체 PV(압력-부피) 곡선을 일정한 ''T''에서 아래로 따르는 것이 불가능할 것이다. 왜냐하면 이 곡선을 따른다는 것은 부피가 팽창함에 따라(피스톤이 바깥으로 이동함) 기체-피스톤 힘이 감소한다는 것(''P''가 감소)을 의미하기 때문이다. 만약 이 도움이 너무 강해서 부피 팽창이 상당히 크면 계가 열적 평형에서 벗어날 수 있으며, 과정이 가역적이지 않게 되어(따라서 카르노 사이클이 아님) 실패할 수 있다.

이러한 "무한소" 요구 사항(및 기타)으로 인해 카르노 사이클은 '무한한 시간'이 걸리게 되어 일의 생성이 불가능해진다.^[9]

카르노 사이클을 실현하기 어렵게 만드는 다른 실제적인 요구 사항으로는 기체의 정밀한 제어와 주변 환경(고온 및 저온 저장조 포함)과의 완벽한 열적 접촉이 있다.

참조

_[1] 서적 Figure 1 in Carnot (1824, p. 17) and Carnot (1890, p. 63) Carnot
_[2] 서적 Carnot (1824, p. 5 and Carnot, 1890, p. 43) Carnot
_[3] 웹사이트 The Carnot Efficiency {{!}} EGEE 102: Energy Conservation and Environmental Protection https://www.e-educat[...] 2022-01-24
_[4] 웹사이트 Sometimes translated as ''Reflections on the Motive Power of Heat'' http://www.worldcat.[...]
_[5] 서적 English translation by Thurston Carnot
_[6] 서적 Treatise on Thermodynamics Dover Publications
_[7] 서적 Thermodynamics Dover Publications
_[8] 논문 Rudolf Diesel and His Rational Engine 1969-08-00
_[9] 논문 Effects of dark energy on the efficiency of charged AdS black holes as heat engines https://doi.org/10.1[...] 2017-08-18
_[10] 논문 Power, efficiency, and fluctuations in steady-state heat engines https://arxiv.org/pd[...] 2020
_[11] 웹사이트 In the isothermal expansion phase of a Carnot cycle, why does the gas expand? https://physics.stac[...] 2020-01-15

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