일 (물리학)

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 힘과 거리의 곱
- 2.2. 힘에 의해 변화된 에너지의 총합
3. 단위
4. 일의 원리
5. 역사
- 5.1. 어원
6. 다양한 상황에서의 일
7. 일-에너지 정리
- 7.1. 유도
8. 구속력
참조

1. 개요

일(Work)은 물리학에서 힘과 변위의 곱으로 정의되는 물리량이다. 일은 힘이 가해진 방향으로 물체가 이동한 거리를 의미하며, 에너지의 변화와 밀접한 관련이 있다. 일의 단위는 줄(J)이며, 일-에너지 정리에 따라 일은 물체의 운동 에너지 변화량과 같다. 일의 개념은 다양한 상황, 예를 들어 중력, 탄성력, 기체가 하는 일 등에서 적용되며, 구속력은 계에 일을 하지 않는 경우가 많다.

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일 (물리학)
개요
이름	일 (물리학)
영어 이름	work
로마자 표기	il
물리량
기호	W
차원	L² M T⁻²
종류	스칼라
단위
SI 단위	줄 (J)
CGS 단위	에르그 (erg)
FPS 단위	피트-파운달 (ft pdl)
MKSG 단위	무게 킬로그램 미터 (kgf m)
FPSG 단위	피트 무게 파운드 (ft lbf)
기본 정보
야구 투수가 공을 잡고 있는 동안 공에 힘을 가하여 이동시키는 것으로 양의 일을 한다.
정의	힘을 가해 물체를 변위시키는 과정에서 에너지 전달
기본량	1 kg⋅m²⋅s⁻²
다른 단위	피트-파운드, 에르그
차원	}

2. 정의

일반적으로 일은 힘이 가해진 방향으로 움직인 물체의 거리로 정의된다.^[31] 이때 힘은 방향성을 갖는 벡터 양이기 때문에, 일은 힘과 변위(위치의 변화) 벡터의 스칼라 곱의 선적분으로 정의된다.

: $W = \int_{C} \vec F \cdot d\vec{s} \,\!$

: ''C'': 물체가 움직인 경로, $\vec F$ : 힘 벡터, $\vec s$ : 변위 벡터

등속 원운동에서 구심력이 하는 일은 언제나 0이다. 등속원운동에서는 구심력의 방향과 물체가 움직이는 방향이 항상 직각이기 때문이다. 즉, 가해진 힘에 대해 물체의 이동 거리가 0이다.

일-에너지 정리에 따르면, 일은 작용을 통해 힘에 의해 변환된 에너지의 총합으로 정의될 수 있다.

물체에 힘 $\boldsymbol{F}$ 가 작용하고 그 위치가 $\Delta\boldsymbol{x}$ 만큼 변화했을 때, 힘 $\boldsymbol{F}$ 이 이 물체에 한 일 $W$ 는

: $W =\boldsymbol{F}\cdot \Delta\boldsymbol{x}$

으로 정의된다. 힘 $\boldsymbol{F}$ 와 변위 $\Delta\boldsymbol{x}$ 는 벡터량이며, 일은 그 내적으로 주어지는 스칼라량이다.

보다 일반적으로, 힘이 변할 때는 시간 $t$ 에서의 힘 $\boldsymbol{F}(t)$ 와 힘이 일정하다고 볼 수 있을 정도로 짧은 시간 $\Delta t$ 를 생각한다. 이 시간 동안 물체의 위치 변화는 미분에 의해 $1=\Delta\boldsymbol{x}=(d\boldsymbol{x}/dt)\Delta t$ 로 나타낼 수 있으므로, 이 짧은 시간 동안 이 힘이 물체에 하는 일은

: $W_{\Delta t} =\boldsymbol{F}(t)\cdot \frac{d\boldsymbol{x}}{dt}\, \Delta t$

이 된다. 시간 $t_0$ 부터 $t_1$ 사이에 이 힘이 물체에 하는 일은 짧은 시간 동안 하는 일의 합으로 정의된다. $\Delta t$ 가 무한소의 극한에서는 적분으로 대체되어

: $W_{t_0\to t_1} =\int_{t_0}^{t_1} \left( \boldsymbol{F}(t)\cdot \frac{d\boldsymbol{x}}{dt} \right) dt$

이 된다. 이는 물체의 운동 경로를 따라 한 선적분이 된다.

물체 A가 다른 물체 B로부터 힘을 받으면서 물체 A가 이동한 경우에는 "물체 A가 물체 B로부터 일을 받았다" 또는 "물체 B가 물체 A에 일을 했다"라고 표현한다. 단, 일에는 이동 방향의 힘의 성분만 영향을 미치므로, 힘이 물체의 이동 방향과 직교하고 있는 경우에는 일은 0이며, "물체 B는 물체 A에 일을 하지 않는다"라고 표현한다.

2. 1. 힘과 거리의 곱

일은 일반적으로 '''힘이 가해진 방향으로 움직인 물체의 거리'''로 정의된다. 힘이 일정할 때, 일(W^영어)은 힘(F^영어)과 변위(d^영어)의 스칼라 곱으로 표현된다.

: W^영어 = '''F''' · '''d''' = Fd^영어 cosθ (θ는 힘과 변위 사이의 각도)

힘이 변하는 경우, 일은 힘과 변위 벡터의 스칼라 곱의 선적분으로 정의된다.

: W^영어 = ∫_C '''F''' · d'''s'''

2. 2. 힘에 의해 변화된 에너지의 총합

일-에너지 정리에 따르면, 일은 작용을 통해 힘에 의해 변환된 에너지의 총합으로 정의된다. 일은 운동 에너지의 변화량과 같다.

:

W = \Delta E_k = E_{k2} - E_{k1} = \tfrac12 m \Delta (v^2) \,\!

:'''W''': 일, '''

\Delta E_k

''': 에너지 변화량, '''

E_{k2}

''': 작용 후 에너지량, '''

E_{k1}

''': 작용 전 에너지량, m: 질량, v: 속도

강체의 운동 에너지 증가는 그 강체에 작용하는 합력에 의해 행해지는 양의 일과 같은 양으로 인해 발생한다. 반대로 운동 에너지의 감소는 합력에 의해 행해지는 같은 양의 음의 일에 의해 발생한다.^[16] 알짜일이 양수이면 입자의 운동 에너지는 일의 양만큼 증가하고, 알짜일이 음수이면 입자의 운동 에너지는 일의 양만큼 감소한다.

뉴턴의 제2법칙으로부터 자유(장 없음), 강체(내부 자유도 없음)에 대한 일은 그 물체의 선속도와 각속도에 해당하는 운동 에너지의 변화와 같다는 것을 보일 수 있다.

:

W = \Delta E_\text{k}.

3. 단위

일의 SI 유도 단위는 줄(J)이며, 1 뉴턴의 힘으로 1 미터를 이동시키는 일로 정의된다. 1 J = 1 N⋅m (뉴턴미터)이다.^[13]

SI 단위가 아닌 일의 단위로는 에르그, 피트·파운드, 피트·파운달, 킬로와트시, 리터·기압, 마력시 등이 있다.

4. 일의 원리

어떠한 도구를 사용하더라도 결국 물체에 한 일의 크기는 같다.

도르래 등을 사용해 힘을 적게 쓰도록 할 수는 있지만, 힘이 가해진 거리가 늘어나야 하기 때문에 한 일의 양, 즉 소모한 에너지를 보았을 때에는 이득은 없다.

무게 의 물체를 지지하려면 수직 아래 방향의 중력에 대해 수직 위 방향의 힘이 필요하다. 이 물체를 수직으로 높이 까지 천천히(가속도의 영향을 무시할 수 있도록) 들어올릴 때 행해지는 일은 로 표현된다. 같은 높이까지 들어올리는 데 필요한 일은 도르래나 지렛대와 같은 단순 기계를 사용해도 변하지 않는다. 이것을 일의 원리라고 한다.

고정 도르래를 사용하면 로프를 당기는 힘의 크기는 변하지 않지만 방향이 변한다. 동시에 로프의 끝을 당기는 방향도 변하지만, 들어올리기 위해 로프의 끝을 당기는 거리는 들어올리는 높이와 같다. 힘과 이동의 방향은 변하지만 그 힘의 크기와 이동하는 거리는 그대로 들어올린 경우와 변하지 않고, 일은 변하지 않는다.

동력 도르래를 사용하여 로프를 수직으로 당긴 경우에는 물체 무게의 절반의 힘으로 들어올릴 수 있다. 그러나 같은 높이까지 들어올리려면 로프의 끝을 들어올리는 높이의 2배 거리만큼 당겨야 한다. 힘은 절반이 되지만 이동 거리가 2배가 되므로 일은 변하지 않는다.

지렛대를 사용하면 작용점에 걸리는 힘은 지점으로부터의 팔 길이의 반비례로 변한다. 한편, 이동 거리는 닮음 관계에 의해 팔 길이의 정비례로 변한다. 따라서 일은 변하지 않는다.

5. 역사

고대 그리스에서는 단순 기계의 정역학(힘의 균형)만을 연구했고, 동역학이나 일의 개념은 없었다. 르네상스 시대에 단순 기계의 동역학이 연구되면서 기계적 일의 개념이 등장하였다. 갈릴레오 갈릴레이는 1600년에 ''Le Meccaniche''(기계에 관하여)에서 단순 기계가 힘 증폭기로서 근본적으로 수학적으로 유사함을 보였고,^[2]^[3] 단순 기계가 에너지를 생성하는 것이 아니라 변환시킨다는 것을 최초로 설명했다.^[2]

'일'이라는 용어가 1826년에 공식적으로 사용되기 전에도, "활동량(moment of activity)", "작용량(quantity of action)", "잠재적 생생력(latent live force)", "동적 효과(dynamic effect)", "효율(efficiency)", "힘(force)" 등과 같은 유사한 개념들이 있었다.^[4] 1637년, 르네 데카르트는 100파운드의 무게를 1피트 높이로 두 번 드는 것은 200파운드의 무게를 1피트 높이로 드는 것 또는 100파운드의 무게를 2피트 높이로 드는 것과 같다고 하였다.^[5] 1686년, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 1파운드의 물체를 4야드 높이로 들어 올리는 데 필요한 힘(현대 용어로 "일")은 4파운드의 물체를 1야드 높이로 들어 올리는 데 필요한 힘과 같다고 하였다.^[6] 1759년, 존 스미턴은 "운동을 생성하기 위한 힘, 중력, 충격 또는 압력의 발휘"를 의미하는 "힘(power)"이라는 양을 설명하면서, 이 양은 "들어 올린 무게에 주어진 시간에 들어 올릴 수 있는 높이를 곱하면" 계산할 수 있다고 하였다.^[7]

5. 1. 어원

'일'이라는 용어는 1826년 프랑스 수학자 가스파르 귀스타브 코리올리가 처음 사용하였다.^[8] 일-에너지 정리는 1820년대 후반 코리올리와 장 빅토르 퐁슬레에 의해 독립적으로 도입되었다.^[8]^[9] 르네 뒤가스에 따르면, 역학에서 현재 사용되는 '일'이라는 용어는 살로몽 드 코에게서 유래했다.^[10] 가상일의 개념과 변분법은 "역학적 일" 도입 이전에 있었지만, 원래는 "가상 모멘트"라고 불렸다.^[11]^[12]

6. 다양한 상황에서의 일

물리학에서 일은 다양한 상황에서 다르게 계산된다.

'''일정한 힘이 작용하는 경우''': 힘과 운동 방향이 같으면 일(W)은 힘(F)과 거리(s)의 곱으로 나타낸다. (W = Fs) 힘과 운동 방향이 θ 각도를 이루면 일은 W = Fs cosθ로 표현된다.^[21]
'''변하는 힘이 작용하는 경우''': 힘이 변하면 일은 힘의 스칼라 접선 성분의 선적분으로 계산된다.^[22] 예를 들어 용수철을 압축하는 경우처럼 힘이 변하는 상황에서는 미적분을 사용하여 일을 구한다. 변화하는 힘에 대한 일은 변위에 대한 힘의 정적분으로 표현할 수 있다.^[22]
'''회전 운동에서의 일''': 힘 쌍은 강체의 두 다른 점에 작용하는 크기가 같고 방향이 반대인 힘으로, 토크 '''T'''를 발생시킨다. 토크의 일은 시간에 대한 토크와 각속도의 곱을 적분하여 계산한다.^[23] 각속도 벡터가 일정한 방향을 유지하면, 일은 토크와 각도 변화량의 곱으로 간단히 표현된다.
'''중력이 하는 일''': 중력은 모든 자유 낙하하는 물체에 일정한 아래 방향의 가속도를 발생시킨다. 지구 표면 근처에서 질량 m인 물체에 작용하는 중력은 F = mg이다. 물체가 수직으로 이동할 때 중력이 한 일은 W = mgΔy로, 수직 이동 거리에만 의존한다.
'''탄성력이 하는 일''': 훅의 법칙에 따라 용수철의 복원력은 변형된 길이에 비례한다. 용수철을 변형시키는 데 필요한 일은 용수철의 탄성 에너지로 저장된다.
'''기체가 하는 일''': 기체의 부피 변화로 인해 외부에 하는 일(절대일)은 압력과 부피 변화의 곱을 적분하여 계산한다.

6. 1. 일정한 힘이 작용하는 경우

힘과 운동 방향이 같을 때 일(''W'')은 힘(''F'')과 거리(''s'')의 곱으로 표현된다.

: ''W'' = ''Fs''

힘과 운동 방향이 θ 각도를 이룰 때 일(''W'')은 다음과 같이 표현된다.^[21]

: ''W'' = ''Fs'' cosθ

6. 2. 변하는 힘이 작용하는 경우

힘이 변하는 경우, 일은 힘의 스칼라 접선 성분의 선적분으로 계산된다.^[22]

힘이 변하는 경우(예: 용수철 압축)에는 미적분을 사용하여 일을 구해야 한다. 의 함수로서 힘이 로 주어지면, 에서 까지 x축을 따라 힘이 하는 일은 다음과 같다.

:

W = \lim_{\Delta\mathbf{x} \to 0}\sum_{x_1}^{x_2}\mathbf{F(x)}\Delta\mathbf{x} = \int_{x_1}^{x_2}\mathbf{F(x)}d\mathbf{x}.

따라서, 변화하는 힘에 대한 일은 변위에 대한 힘의 정적분으로 표현할 수 있다.^[22]

시간의 함수로서 변위가 로 주어지면, 에서 까지 변화하는 힘이 하는 일은 다음과 같다.

:

W = \int_{t_1}^{t_2}\mathbf{F}(t)\cdot \mathbf{v}(t)dt = \int_{t_1}^{t_2}P(t)dt.

따라서, 변화하는 힘에 대한 일은 시간에 대한 일률의 정적분으로 표현할 수 있다.

힘 이 곡선 을 따라 이동하는 물체에 작용할 때, 일은 다음과 같은 선적분으로 주어진다.

:

W = \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{x} = \int_{t_1}^{t_2}\mathbf{F}\cdot \mathbf{v}dt,

여기서 는 궤적 을 정의하고 는 이 궤적을 따라 이동하는 속도이다. 일반적으로 이 적분은 속도가 정의된 경로를 필요로 하므로, 일의 계산은 경로 의존적이라고 한다.

일을 위한 적분의 시간 미분은 순간적인 일률을 나타낸다.

:

\frac{dW}{dt} = P(t) = \mathbf{F}\cdot \mathbf{v} .

힘이 변할 때, 일반적인 일의 정의는 다음과 같이 공식화될 수 있다.

짧은 시간 동안 물체의 위치 변화는 미분에 의해 로 나타낼 수 있으므로, 이 짧은 시간 동안 이 힘이 물체에 하는 일은

:

W_{\Delta t} =\boldsymbol{F}(t)\cdot \frac{d\boldsymbol{x}}{dt}\, \Delta t

이 된다. 시간 부터 사이에 이 힘이 물체에 하는 일은 짧은 시간 동안 하는 일의 합으로 정의된다. 가 무한소의 극한에서는 적분으로 대체되어

:

W_{t_0\to t_1} =\int_{t_0}^{t_1} \left( \boldsymbol{F}(t)\cdot \frac{d\boldsymbol{x}}{dt} \right) dt

이 된다.

적분 변수는 시간일 필요가 없으며, 명시하지 않고

:

W =\int \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{x}

으로 쓰이기도 한다. 이는 물체의 운동 경로를 따라 한 선적분이 된다.

6. 3. 회전 운동에서의 일

힘 쌍은 강체의 두 다른 점에 작용하는 크기가 같고 방향이 반대인 힘으로부터 발생한다. 이러한 힘들의 합(합력)은 상쇄될 수 있지만, 강체에 미치는 영향은 쌍 또는 토크 '''T'''이다. 토크의 일은 다음과 같이 계산된다.^[23]

:

\delta W = \mathbf{T} \cdot \boldsymbol{\omega} \, dt,

여기서

\mathbf{T} \cdot \boldsymbol{\omega}

는 순간

dt

에 대한 일률이다. 강체의 궤적에 걸쳐 이러한 작은 일의 양을 합하면 일이 된다.

:

W = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{T} \cdot \boldsymbol{\omega} \, dt.

이 적분은 시간에 따라 변하는 각속도

\boldsymbol{\omega}

를 가진 강체의 궤적을 따라 계산되므로, '경로 의존적'이라고 한다.

각속도 벡터가 일정한 방향을 유지하는 경우, 다음과 같은 형태를 취한다.

:

\boldsymbol{\omega} = \dot{\phi}\mathbf{S},

여기서

\phi

는 일정한 단위 벡터

\mathbf{S}

를 중심으로 한 회전각이다. 이 경우 토크의 일은 다음과 같이 된다.

:

W = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{T} \cdot \boldsymbol{\omega} \, dt = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{T} \cdot \mathbf{S} \frac{d\phi}{dt} dt = \int_C\mathbf{T}\cdot \mathbf{S} \, d\phi,

여기서

C

는

\phi (t_{1})

에서

\phi (t_{2})

까지의 궤적이다. 이 적분은 회전 궤적

\phi (t)

에 따라 달라지므로 경로 의존적이다.

토크

\tau

가 각속도 벡터와 정렬되어 다음과 같다고 하면,

:

\mathbf{T} = \tau \mathbf{S},

토크와 각속도가 모두 일정한 경우, 일은 다음과 같은 형태를 취한다.^[23]

:

W = \int_{t_1}^{t_2} \tau \dot{\phi} \, dt = \tau(\phi_2 - \phi_1).

이 결과는 그림과 같이 일정한 크기의 힘

F

가 레버 암에 수직으로 거리

r

만큼 작용하여 발생하는 토크로 생각하면 더 간단하게 이해할 수 있다. 이 힘은 원호

l=s=r\phi

를 따라 거리를 작용하므로, 수행된 일은 다음과 같다.

:

W = F s = F r \phi .

토크

\tau = Fr

를 도입하여 다음을 얻는다.

:

W = F r \phi = \tau \phi ,

위에서 제시된 것과 같다.

각속도 벡터 방향의 토크 성분만 일에 기여한다는 점에 유의해야 한다.

6. 4. 중력이 하는 일

다른 힘이 없다면, 중력은 모든 자유 낙하하는 물체에 일정한 아래 방향의 가속도를 발생시킨다. 지구 표면 근처에서 중력에 의한 가속도는 이고, 질량 ''m''인 물체에 작용하는 중력은 이다. 이 중력은 물체의 질량중심에 집중되어 있다고 생각하는 것이 편리하다.

만약 무게가 인 물체가 수직 거리 만큼 위나 아래로 이동한다면, 물체에 대해 행해진 일 은 다음과 같다.

W = F_g (y_2 - y_1) = F_g\Delta y = mg\Delta y

여기서 는 무게(영국 단위계에서는 파운드, SI 단위계에서는 뉴턴)이고, 는 높이 ''y''의 변화량이다. 중력이 한 일은 물체의 수직 이동에만 의존한다는 점에 유의해야 한다. 마찰의 존재는 물체의 무게에 의해 행해지는 일에 영향을 미치지 않는다.

질량 이 다른 질량 에 작용하는 중력의 크기는 다음과 같다.

\mathbf{F} = -\frac{GMm}{r^2} \hat\mathbf{r} = -\frac{GMm}{r^3}\mathbf{r},

여기서 은 에서 으로 향하는 위치 벡터이고, 은 방향의 단위 벡터이다.

질량 이 속도 로 움직인다고 가정하면, 이 질량이 위치 에서 로 이동할 때 중력이 하는 일은 다음과 같다.

W = -\int^{\mathbf{r}(t_2)}_{\mathbf{r}(t_1)} \frac{GMm}{r^3} \mathbf{r} \cdot d\mathbf{r} = -\int^{t_2}_{t_1} \frac{GMm}{r^3}\mathbf{r} \cdot \mathbf{v} \, dt.

질량 의 위치와 속도는 다음과 같이 주어지는데,

\mathbf{r} = r\mathbf{e}_r, \qquad\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \dot{r}\mathbf{e}_r + r\dot{\theta}\mathbf{e}_t,

여기서 과 은 에서 으로 향하는 벡터에 대해 방향이 정해진 방사형 및 접선형 단위 벡터이고,

d \mathbf{e}_r / dt = \dot{\theta}\mathbf{e}_t

임을 사용한다. 이를 이용하여 중력이 하는 일에 대한 공식을 다음과 같이 간소화할 수 있다.

W = -\int^{t_2}_{t_1}\frac{GmM}{r^3}(r\mathbf{e}_r) \cdot \left(\dot{r}\mathbf{e}_r + r\dot{\theta}\mathbf{e}_t\right) dt = -\int^{t_2}_{t_1}\frac{GmM}{r^3}r\dot{r}dt = \frac{GMm}{r(t_2)}-\frac{GMm}{r(t_1)}.

이 계산은 다음 사실을 이용한다.

\frac{d}{dt}r^{-1} = -r^{-2}\dot{r} = -\frac{\dot{r}}{r^2}.

함수

U = -\frac{GMm}{r},

는 중력퍼텐셜에너지로 알려져 있다. 음의 부호는 퍼텐셜 에너지의 감소로부터 일이 얻어진다는 관례를 따른다.

6. 5. 탄성력이 하는 일

훅의 법칙에 따라 용수철의 복원력은 용수철이 늘어나거나 줄어든 길이에 비례하므로, 용수철을 변형시키는 데 '''필요한 힘''' 또한 용수철이 늘어나거나 줄어든 길이에 비례한다. 이때 나타나는 비례상수 를 용수철 상수라고 한다.^[29]

:

\vec{F}(\vec{s})=k \vec{s}.

를 용수철이 늘어나거나 줄어든 길이라고 할 때, 이 용수철을 에서 까지 변형시킬 때 (가 양수이면 용수철은 늘어나고, 가 음수이면 용수철은 줄어든다) 필요한 일 는 다음과 같다.

:

\begin{align}W &= \int_0^x \vec{F}\!(\vec{s})\cdot\mathrm{d}\!\!\;\vec{s} = \int_0^x k \vec{s}\cdot\mathrm{d}\!\!\;\vec{s} \\&= \int_0^x k s  \mathrm{d}s={1\over 2} k x^2\end{align}

즉, 용수철을 변형시키는 데 발생한 일 은 용수철의 탄성 에너지 로 저장된다.

6. 6. 기체가 하는 일

기체가 하는 일(Work done by a gas^영어)은 다음과 같이 표현된다.

:

W=\int_{V_\mathrm{i}}^{V_\mathrm{f}} P\,\mathrm{d}V

여기서 P는 압력, V는 부피, V_i와 V_f는 각각 초기 부피와 최종 부피이다. 이 식은 기체의 부피가 변함으로써 그 기체가 외부에 하는 일(절대일)을 나타낸다.

일정량의 물질을 닫아두고 대상으로 다루는 닫힌계에서는, 계가 외부에 하는 일은 절대일이 된다.

반면, 실제 많은 기계에서는 한쪽에서 기체나 액체가 들어가고 다른 쪽에서 나오는 열린계를 사용한다. 열린계에서는 계에 물질을 출입시키는 일 -d(PV)가 더해져, 계가 외부에 하는 일은 다음 식이 된다.

:

W^* = \int_\mathrm{i}^\mathrm{f} \{ P \,\mathrm{d}V - \mathrm{d}(PV) \}= -\int_{P_\mathrm{i}}^{P_\mathrm{f}} V\,\mathrm{d}P

즉, 열린계에서는 기체 등의 압력이 저하됨으로써 일을 얻을 수 있으며, 이 경우의 일 W^*을 절대일과 구분하여 공업일이라고 한다.

7. 일-에너지 정리

일-에너지 정리는 입자에 작용하는 모든 힘(합력의 일)이 한 일은 입자의 운동 에너지 변화와 같다는 것을 나타낸다.^[25] 즉, 합력이 입자에 한 일 ''W''는 입자의 운동 에너지 $E_\text{k}$ 의 변화와 같다.^[23]

: $W = \Delta E_\text{k} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2$

여기서 $v_1$ 과 $v_2$ 는 일이 행해지기 전후 입자의 속도이고, m은 입자의 질량이다.

예를 들어, 야구 투수가 던지는 공을 생각해 보자. 투수는 힘을 가하면서 팔을 휘둘러 공에 속도를 준다. 즉, 공은 투수로부터 '''양의 일'''을 받아 공의 운동 에너지가 증가한다.

반면, 다음과 같이 일이 발생하지 않는 경우도 있다.

이삿짐센터 직원이 어떤 짐을 들고 정지해 있는 경우, 짐의 위치 에너지는 변하지 않으므로 짐은 이삿짐센터 직원으로부터 일을 받지 않는다.
전동기(전동 모터)가 전류를 흘려 회전하지만, 축이 고정되어 회전하지 않는 경우, 줄 열만 발생하고 일은 발생하지 않는다.
야구 포수가 받는 공이 미트에 닿아 정지하는 순간, 공이 미트에 한 일은 0이다.

일-에너지 원리의 유도는 뉴턴의 운동 제2법칙과 입자에 대한 합력으로 시작된다는 내용은 "유도" 하위 섹션에서 자세히 다룬다.

7. 1. 유도

일-에너지 원리의 유도는 뉴턴의 운동 제2법칙과 입자에 대한 합력으로 시작된다.^[26] 힘과 입자의 속도의 스칼라 곱을 계산하면 시스템에 추가되는 순간적인 일률을 평가할 수 있다.^[26] 이 스칼라 방정식의 시간 적분은 순간적인 일률로부터 일을, 가속도와 속도의 스칼라 곱으로부터 운동 에너지를 산출한다.^[26]

알짜힘의 크기와 방향이 일정하고, 입자의 속도와 평행할 경우, 입자는 직선상에서 일정한 가속도 ''a''로 움직인다.^[28] 알짜힘과 가속도의 관계는 (뉴턴의 운동 제2법칙) 식으로 나타내며, 입자의 변위는 다음 식으로 표현할 수 있다.

:

s = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2a}

이는

v_2^2 = v_1^2 + 2as

에서 유도된다 (운동 방정식 참조).

알짜힘이 하는 일은 그 크기와 입자의 변위의 곱으로 계산된다. 위 식들을 대입하면 다음과 같다.

:

W = Fs = mas = ma\frac{v_2^2-v_1^2}{2a} = \frac{1}{2} mv_2^2- \frac{1}{2} mv_1^2 = \Delta E_\text{k}

다른 유도 방법은 다음과 같다.

:

W = Fs = mas = m\frac{v_2^2 - v_1^2}{2s}s = \frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2 = \Delta E_\text{k}

일반적인 직선 운동의 경우, 알짜힘의 크기가 일정하지 않지만 방향은 일정하고 입자의 속도와 평행할 때, 일은 입자의 경로를 따라 적분해야 한다.

:

W = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}\cdot \mathbf{v}dt = \int_{t_1}^{t_2} F \,v \, dt = \int_{t_1}^{t_2} ma \,v \, dt = m \int_{t_1}^{t_2} v \,\frac{dv}{dt}\,dt = m \int_{v_1}^{v_2} v\,dv = \tfrac12 m \left(v_2^2 - v_1^2\right) .

임의의 곡선 경로를 따라 움직이는 입자에 작용하는 알짜힘에 대해, 그 일이 입자의 운동 에너지 변화와 같다는 것을 위 식과 유사한 간단한 유도를 통해 보일 수 있다. 이는 '''일-에너지 정리'''로 알려져 있다.

:

W = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}\cdot \mathbf{v}dt = m \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{a} \cdot \mathbf{v}dt = \frac{m}{2} \int_{t_1}^{t_2} \frac{d v^2}{dt}\,dt = \frac{m}{2} \int_{v^2_1}^{v^2_2} d v^2 = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2} = \Delta E_\text{k}

항등식

\mathbf{a} \cdot \mathbf{v} = \frac{1}{2} \frac{d v^2}{dt}

는 약간의 대수적 계산을 필요로 한다.

항등식

v^2 = \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}

와 정의

\mathbf{a} = \frac{d \mathbf{v}}{dt}

에서 다음이 유도된다.

:

\frac{d v^2}{dt} = \frac{d (\mathbf{v} \cdot \mathbf{v})}{dt} = \frac{d \mathbf{v}}{dt} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{v} \cdot \frac{d \mathbf{v}}{dt} = 2 \frac{d \mathbf{v}}{dt} \cdot \mathbf{v} = 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{v} .

위 유도의 나머지 부분은 이전의 직선 운동 경우와 마찬가지로 단순한 미적분 계산이다.

8. 구속력

기계 시스템의 경우,^[17] 구속력은 구속을 특징짓는 방향으로의 움직임을 제거한다. 따라서 구속력에 의해 수행되는 가상일은 0이다. 이 결과는 마찰력이 제외될 때만 참이다.^[18]

고정되고 마찰이 없는 구속력은 계에 일을 하지 않는다.^[19] 움직임과 구속력 사이의 각도가 항상 90°이기 때문이다.^[19] 일을 하지 않는 구속의 예로는 입자 사이의 강체 연결, 마찰 없는 표면에서의 미끄럼 운동, 미끄러짐 없는 굴림 접촉 등이 있다.^[20]

예를 들어, 애트우드 기계와 같은 도르래 시스템에서, 로프와 지지 도르래의 내부력은 계에 일을 하지 않는다. 따라서, 물체에 작용하는 중력에 대해서만 일을 계산하면 된다. 또 다른 예로, 일정한 원운동을 하는 공에 줄이 안쪽으로 작용하는 구심력은 공의 움직임을 원운동으로 제한하여 원의 중심에서 멀어지는 것을 제한한다. 이 힘은 공의 속도에 수직이기 때문에 일을 하지 않는다.

하전 입자에 대한 자기력은 F|F^영어 = ''q''v|v^영어 × B|B^영어로 나타낼 수 있는데, 여기서 ''q''는 전하량, v|v^영어는 입자의 속도, B|B^영어는 자기장이다. 외적의 결과는 항상 원래 벡터 두 개 모두에 수직이므로 F|F^영어 ⊥ v|v^영어이다. 두 수직 벡터의 내적은 항상 0이므로, 일 W|W^영어 = F|F^영어 ⋅ v|v^영어 = 0이고, 자기력은 일을 하지 않는다. 자기력은 운동 방향을 바꿀 수 있지만 속도는 바꿀 수 없다.

참조

_[1] 웹사이트 Physics Book https://www.ncert.ni[...] 2020-11-24
_[2] 서적 Groundbreaking Experiments, Inventions, and Discoveries of the Middle Ages https://books.google[...] Greenwood Publishing Group 2008-05-21
_[3] 서적 Wheels, clocks, and rockets: a history of technology https://books.google[...] W.W. Norton & Company
_[4] 논문 Physical and colloquial meanings of the term "work" https://aapt.scitati[...] 2003-02-13
_[5] 서적 Selected correspondence of Descartes https://www.earlymod[...] 2013
_[6] 논문 Leibniz and the vis viva controversy https://nature.berke[...] 1971
_[7] 논문 Experimental Enquiry Concerning the Natural Powers of Water and Wind to Turn Mills and Other Machines Depending on a Circular Motion 1759
_[8] 서적 Calculation of the Effect of Machines, or Considerations on the Use of Engines and their Evaluation https://gallica.bnf.[...] Carilian-Goeury, Libraire (Paris) 1829
_[9] 서적 Introduction a la mécanique industrielle, physique ou expérimentale https://books.google[...] 1839
_[10] 서적 A History of Mechanics https://archive.org/[...] Éditions du Griffon
_[11] 서적 Cours de mécanique appliquée aux machines https://books.google[...] 1826
_[12] 서적 Calculation of the Effect of Machines, or Considerations on the Use of Engines and their Evaluation https://books.google[...] Carilian-Goeury, Libraire (Paris) 1829
_[13] 서적 The International System of Units (SI) http://www.bipm.org/[...] International Bureau of Weights and Measures 2006-10-27
_[14] 서적 Elements of Physics: For Students of Science and Engineering
_[15] 서적 World of physics Gale 2010-05-05
_[16] 서적 Fundamentals of physics Wiley 2011
_[17] 서적 Classical mechanics Addison Wesley
_[18] 서적 Advanced University Physics Chapman and Hall/CRC 2018
_[19] 웹사이트 The Feynman Lectures on Physics Vol. I Ch. 14: Work and Potential Energy (conclusion) https://feynmanlectu[...]
_[20] 서적 Classical dynamics Dover Publications 1997
_[21] 서적 Physics Wiley International Edition 1966
_[22] 웹사이트 MindTap - Cengage Learning https://ng.cengage.c[...] 2023-10-16
_[23] 서적 University Physics Addison-Wesley
_[24] 서적 Classical Mechanics https://books.google[...] University Science Books 2005
_[25] 서적 Engineering Mechanics: Dynamics – SI Version, Volume 2 Cengage Learning
_[26] 서적 Kinematics and Dynamics of Planar Machinery https://books.google[...] Prentice-Hall
_[27] 서적 A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies https://archive.org/[...] Cambridge University Press
_[28] 웹사이트 Work–energy principle http://faculty.wwu.e[...] 2012-08-06
_[29] 문서 후크의 법칙이 성립하는 이상적인 탄성체
_[30] 서적 줄이 들려주는 일과 에너지 이야기 자음과모음
_[31] 서적 힘과 운동 뛰어넘기 (속보이는 물리) 동아 사이언스

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