켈리 공식

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1. 개요
2. 켈리 기준 공식
- 2.1. 이진 수익률 (Binary Return Rates)
- 2.2. 일반적인 투자 공식
3. 켈리 기준의 활용
- 3.1. 주식 시장
- 3.2. 도박
4. 켈리 기준의 한계와 비판
5. 분수 켈리 (Fractional Kelly)
6. 결론
참조

1. 개요

켈리 공식은 투자 또는 도박에서 자금의 장기적인 성장을 극대화하기 위한 베팅 또는 투자 비율을 결정하는 데 사용되는 수학적 공식이다. 이진 수익률, 일반적인 투자 상황, 주식 시장, 도박 등 다양한 상황에 적용될 수 있으며, 승리 확률, 배당률, 손실률 등의 변수를 활용하여 최적의 투자 비율을 계산한다. 켈리 공식은 이론적으로 높은 성과를 낼 수 있지만, 확률 및 수익률 추정의 어려움, 변동성 간과, 심리적 요인 등의 한계가 존재하며, 이러한 단점을 보완하기 위해 분수 켈리 전략이 사용되기도 한다.

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켈리 공식
기본 정보
이름	켈리 공식
원어 이름	Kelly criterion
분야	확률론
고안자	존 래리 켈리 주니어
공식
공식 (단일 사건, 단순화)	f* = (bp - q) / b
변수 설명	f* = 현재 자본의 최적 베팅 비율 b = 베팅 성공시 순 배당률 (예: "배당률이 2 대 1"이라면 b = 2) p = 성공 확률 q = 실패 확률 (q = 1 - p)
공식 (단일 사건, 일반화)
공식	f* = E / b
변수 설명	f* = 현재 자본의 최적 베팅 비율 E = 예상 순 배당률 b = 베팅 성공시 순 배당률
공식 (여러 사건)
공식	f* = Σ [(pᵢ * bᵢ) - qᵢ] / B
변수 설명	f* = 현재 자본의 최적 베팅 비율 pᵢ = 사건 i의 성공 확률 bᵢ = 사건 i의 순 배당률 qᵢ = 사건 i의 실패 확률 B = 모든 사건에서 가능한 최대 순 배당률
활용
활용 분야	투자 갬블링 기타 의사 결정
주의사항
과도한 베팅의 위험	과도한 베팅은 파산의 위험을 높임.
보수적인 접근	켈리 공식의 일부 비율만 사용하는 것이 일반적인 접근 방식임.
관련 인물
관련 인물	에드워드 오슬롭 소프 문이시 파브라이

2. 켈리 기준 공식

## 켈리 기준 공식

### 이진 수익률 (Binary Return Rates)

투자 결과가 이익 또는 손실 두 가지로만 결정되는 경우, 켈리 공식은 다음과 같이 주어진다.

: $f^*=\frac{bp-q}{b}=\frac{p(b+1)-1}{b},$

여기서,

$f^*$ : 보유 자금 대비 베팅 금액의 비율 (베팅 규모)
$b$ : 순배당률 (1원을 베팅하고 승리할 경우 베팅한 돈 1원에 더해 b원을 추가로 획득)
$p$ : 승리 확률
$q$ : 패배 확률 ( $1-p$ )

예를 들어, 승리 확률이 60%인 도박에서(

p=0.6

,

q=0.4

), 도박사가 승리시 1대1 보상을 받는 경우(

b=1

), 보유자금의 장기 성장률을 극대화하기 위해 각 베팅 기회에서 도박사는 총 보유자금의 20%씩을 걸어야 한다.

만약 도박사가 우위를 갖지 못한다면, 다시 말해

b=q/p

인 경우, 켈리 공식은 한 푼도 걸지 말 것을 추천한다.

도박사의 우위가 음(-)인 경우 (

b), 켈리 공식은 음(-)의 결과를 나타내며, 이는 도박사가 반대편에 베팅해야 한다는 것을 의미한다.

1원을 걸 경우 나올 수 있는 두 가지 결과가 1)

p

의 확률로

b

원을 획득 또는 2) 베팅한 1원을 날리는 것, 즉

q

의 확률로 -1원을 획득하는 것이므로, 첫 공식의 분자는 1원을 걸 때 기대 순수익이다. 따라서,

:

f^*=

(기대 순수익)/(승리시 순수익)이다.

b=1

인 도박에서, 첫 번째 공식은

f^*=p-q

로 정리될 수 있고,

q=1-p

이므로, 다시 정리하면

f^*=2p-1

가 된다.

일반적인 경우, 켈리 공식은

f^*=p/a-q/b

로 정리될 수 있다. 이 공식은 특정 조건 (

b=a=1

) 하에서

f^*=p-q

로 단순화될 수 있다.

최소한 매우 작은 금액이라도 투자하는 것이 유리하기 위해서는(

f^*>0

),

pb>qa

여야만 한다. 이는 단순히, 투자가 합리적이기 위해서는 기대이익이 기대손실을 초과해야 한다는 사실에 지나지 않는다.

차입투자(leverageing; 투자를 위한 차입조달)를 할 경우,

a>1

이 되어 최적 투자금액 비율을 감소시킨다. 성공확률

p

가 아무리 크더라도,

a

가 충분히 크면 최적 투자금액 비율은 0이다. 따라서, 지나친 신용거래는 투자 전략상 좋지 않다.

### 일반적인 투자 공식

일반적인 투자 상황에서 켈리 공식은 다음과 같이 주어진다.^[8]

:

f^* = \frac{p}{l} - \frac{q}{g}

여기서,

$f^*$ 는 자산 중 해당 증권에 적용할 비율이다.
$p$ 는 투자의 가치가 증가할 확률이다.
$q$ 는 투자의 가치가 감소할 확률이다 ( $q = 1 - p$ ).
$g$ 는 긍정적인 결과에서 얻는 비율이다.^[8] (예: 증권 가격이 10% 상승하면, $g = \frac{1.1 - 1}{1} = 0.1$ )
$l$ 은 부정적인 결과에서 잃는 비율이다.^[8] (예: 증권 가격이 10% 하락하면, $l = \frac{1 - .9}{1} = 0.1$ )

이 공식은

pb > qa

일 때, 즉 기대 이익이 기대 손실보다 클 때 투자하는 것이 유리함을 보여준다.

켈리 기준은 투자에서는 거의 적용되지 않는, 완전히 알려진 결과 확률에 대해서만 완벽하게 유효하며, 위험 회피적 전략은 전체 켈리 비율보다 적게 투자한다.

일반적인 형태는 다음과 같이 다시 작성할 수 있다.

:

f^{*} = \frac{p}{l} \left( 1 -\frac{1-p}{p} \frac{l}{g} \right) = \frac{p}{l} \left( 1 -\frac{1}{WLP} \frac{1}{WLR} \right)

여기서:

$WLP=\frac{p}{1-p}$ 는 승리-손실 확률(WLP) 비율이며, 이는 이기는 내기와 지는 내기의 비율이다.
$WLR=\frac{g}{l}$ 는 베팅 결과의 승리-손실 비율(WLR)이며, 이는 "승리 왜곡"이다.

WLP

또는

WLR

의 요인 중 하나는 우위를 가지려면 1보다 커야 함이 분명하다(따라서

f^{*}> 0

). 심지어 승리-손실 확률 비율이 불리할 수도 있지만(

WLP < 1

),

WLP * WLR > 1

인 한 우위를 가진다.

켈리 공식은 손실 크기

l \ll 1

과 같이 1보다 높은 비율을 쉽게 초래할 수 있다(위의

WLR

및

WLP

요인에 대한 표현 참조). 이는 다소 직관에 반하게 발생하는데, 켈리 비율 공식이 작은 손실 크기를 더 큰 베팅으로 보상하기 때문이다. 그러나 대부분의 실제 상황에서 켈리 공식에 들어가는 모든 매개변수에 대한 불확실성이 크다. 켈리 비율이 1보다 높은 경우, 추가 증권을 레버리지를 사용하여 마진으로 구매하는 것이 이론적으로 유리하다.

성공 확률이

p

이고, 성공하면 투자 금액이

1

에서

1+b

로 증가하며, 실패하면 (실패 확률

q=1-p

) 투자 금액이

1

에서

1-a

로 감소하는 경우, 켈리 공식은

f^*=p/a-q/b

로 정리될 수 있다. 이는

pb>qa

(기대이익이 기대손실을 초과)여야 투자가 합리적임을 의미한다.

차입투자(leverageing; 투자를 위한 차입조달)를 할 경우,

a>1

이 되어 최적 투자금액 비율을 감소시킨다. 성공확률

p

가 아무리 크더라도,

a

가 충분히 크면 최적 투자금액 비율은 0이 된다. 따라서, 지나친 신용거래는 투자 전략상 좋지 않다.

2. 1. 이진 수익률 (Binary Return Rates)

투자 결과가 이익 또는 손실 두 가지로만 결정되는 경우, 켈리 공식은 다음과 같이 주어진다.

:

f^*=\frac{bp-q}{b}=\frac{p(b+1)-1}{b},

여기서,

$f^*$ : 보유 자금 대비 베팅 금액의 비율 (베팅 규모)
$b$ : 순배당률 (1원을 베팅하고 승리할 경우 베팅한 돈 1원에 더해 b원을 추가로 획득)
$p$ : 승리 확률
$q$ : 패배 확률 ( $1-p$ )

예를 들어, 승리 확률이 60%인 도박에서(

p=0.6

,

q=0.4

), 도박사가 승리시 1대1 보상을 받는 경우(

b=1

), 보유자금의 장기 성장률을 극대화하기 위해 각 베팅 기회에서 도박사는 총 보유자금의 20%씩을 걸어야 한다.

만약 도박사가 우위를 갖지 못한다면, 다시 말해

b=q/p

인 경우, 켈리 공식은 한 푼도 걸지 말 것을 추천한다.

도박사의 우위가 음(-)인 경우 (

b), 켈리 공식은 음(-)의 결과를 나타내며, 이는 도박사가 반대편에 베팅해야 한다는 것을 의미한다.

1원을 걸 경우 나올 수 있는 두 가지 결과가 1)

p

의 확률로

b

원을 획득 또는 2) 베팅한 1원을 날리는 것, 즉

q

의 확률로 -1원을 획득하는 것이므로, 첫 공식의 분자는 1원을 걸 때 기대 순수익이다. 따라서,

:

f^*=

(기대 순수익)/(승리시 순수익)이다.

b=1

인 도박에서, 첫 번째 공식은

f^*=p-q

로 정리될 수 있고,

q=1-p

이므로, 다시 정리하면

f^*=2p-1

가 된다.

일반적인 경우, 켈리 공식은

f^*=p/a-q/b

로 정리될 수 있다. 이 공식은 특정 조건 (

b=a=1

) 하에서

f^*=p-q

로 단순화될 수 있다.

최소한 매우 작은 금액이라도 투자하는 것이 유리하기 위해서는(

f^*>0

),

pb>qa

여야만 한다. 이는 단순히, 투자가 합리적이기 위해서는 기대이익이 기대손실을 초과해야 한다는 사실에 지나지 않는다.

차입투자(leverageing; 투자를 위한 차입조달)를 할 경우,

a>1

이 되어 최적 투자금액 비율을 감소시킨다. 성공확률

p

가 아무리 크더라도,

a

가 충분히 크면 최적 투자금액 비율은 0이다. 따라서, 지나친 신용거래는 투자 전략상 좋지 않다.

2. 2. 일반적인 투자 공식

일반적인 투자 상황에서 켈리 공식은 다음과 같이 주어진다.^[8]

:

f^* = \frac{p}{l} - \frac{q}{g}

여기서,

$f^*$ 는 자산 중 해당 증권에 적용할 비율이다.
$p$ 는 투자의 가치가 증가할 확률이다.
$q$ 는 투자의 가치가 감소할 확률이다 ( $q = 1 - p$ ).
$g$ 는 긍정적인 결과에서 얻는 비율이다.^[8] (예: 증권 가격이 10% 상승하면, $g = \frac{1.1 - 1}{1} = 0.1$ )
$l$ 은 부정적인 결과에서 잃는 비율이다.^[8] (예: 증권 가격이 10% 하락하면, $l = \frac{1 - .9}{1} = 0.1$ )

이 공식은

pb > qa

일 때, 즉 기대 이익이 기대 손실보다 클 때 투자하는 것이 유리함을 보여준다.

켈리 기준은 투자에서는 거의 적용되지 않는, 완전히 알려진 결과 확률에 대해서만 완벽하게 유효하며, 위험 회피적 전략은 전체 켈리 비율보다 적게 투자한다.

일반적인 형태는 다음과 같이 다시 작성할 수 있다.

:

f^{*} = \frac{p}{l} \left( 1 -\frac{1-p}{p} \frac{l}{g} \right) = \frac{p}{l} \left( 1 -\frac{1}{WLP} \frac{1}{WLR} \right)

여기서:

$WLP=\frac{p}{1-p}$ 는 승리-손실 확률(WLP) 비율이며, 이는 이기는 내기와 지는 내기의 비율이다.
$WLR=\frac{g}{l}$ 는 베팅 결과의 승리-손실 비율(WLR)이며, 이는 "승리 왜곡"이다.

WLP

또는

WLR

의 요인 중 하나는 우위를 가지려면 1보다 커야 함이 분명하다(따라서

f^{*}> 0

). 심지어 승리-손실 확률 비율이 불리할 수도 있지만(

WLP < 1

),

WLP * WLR > 1

인 한 우위를 가진다.

켈리 공식은 손실 크기

l \ll 1

과 같이 1보다 높은 비율을 쉽게 초래할 수 있다(위의

WLR

및

WLP

요인에 대한 표현 참조). 이는 다소 직관에 반하게 발생하는데, 켈리 비율 공식이 작은 손실 크기를 더 큰 베팅으로 보상하기 때문이다. 그러나 대부분의 실제 상황에서 켈리 공식에 들어가는 모든 매개변수에 대한 불확실성이 크다. 켈리 비율이 1보다 높은 경우, 추가 증권을 레버리지를 사용하여 마진으로 구매하는 것이 이론적으로 유리하다.

성공 확률이

p

이고, 성공하면 투자 금액이

1

에서

1+b

로 증가하며, 실패하면 (실패 확률

q=1-p

) 투자 금액이

1

에서

1-a

로 감소하는 경우, 켈리 공식은

f^*=p/a-q/b

로 정리될 수 있다. 이는

pb>qa

(기대이익이 기대손실을 초과)여야 투자가 합리적임을 의미한다.

차입투자(leverageing; 투자를 위한 차입조달)를 할 경우,

a>1

이 되어 최적 투자금액 비율을 감소시킨다. 성공확률

p

가 아무리 크더라도,

a

가 충분히 크면 최적 투자금액 비율은 0이 된다. 따라서, 지나친 신용거래는 투자 전략상 좋지 않다.

3. 켈리 기준의 활용

3. 1. 주식 시장

켈리 공식은 주식 시장에서 투자 비율을 결정하는 데 사용될 수 있다. 이 공식은 변동성을 고려하여 장기적으로 안정적인 투자를 추구하도록 돕는다.^[8]^[12]^[13]

일반적인 켈리 공식은 다음과 같이 표현된다.^[8]

:

f^{*} = \frac{p}{l}-\frac{q}{g}

$f^{*}$ : 자산 중 해당 증권에 적용할 비율
$p$ : 투자의 가치가 증가할 확률
$q$ : 투자의 가치가 감소할 확률 ( $q = 1 - p$ )
$g$ : 긍정적인 결과에서 얻는 비율
$l$ : 부정적인 결과에서 잃는 비율

이는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:

f^{*} = \frac{p}{l} \left( 1 -\frac{1-p}{p} \frac{l}{g} \right) = \frac{p}{l} \left( 1 -\frac{1}{WLP} \frac{1}{WLR} \right)

여기서:

$WLP=\frac{p}{1-p}$ 는 승리-손실 확률(WLP) 비율이며, 이는 이기는 내기와 지는 내기의 비율입니다.
$WLR=\frac{g}{l}$ 는 베팅 결과의 승리-손실 비율(WLR)이며, 이는 "승리 왜곡"입니다.

켈리 공식은

WLP

또는

WLR

중 하나가 1보다 커야 투자할 가치가 있다는 것을 보여준다. 켈리 비율이 1보다 크면, 레버리지를 사용하여 마진으로 증권을 구매하는 것이 이론적으로 유리하다.

수리 금융에서 증권 가중치가 예상 기하 성장률을 최대화하면(이는 로그 부를 최대화하는 것과 동일) 포트폴리오는 "성장 최적"이 된다. 주어진 변동성 있는 증권에 대해 켈리 공식은 다음과 같이 표현될 수 있다.

:

f^* = \frac {\mu - r} {\sigma^2}

여기서

f^*

는 예상 기하 성장률을 최대화하는 데 투자된 자본의 비율,

\mu

는 예상 성장률 계수,

\sigma^2

는 성장률 계수의 분산,

r

은 무위험 수익률이다.

하지만 성장 최적 포트폴리오 계산은 입력값에 따라 결과가 크게 달라지는 '쓰레기 입력, 쓰레기 출력' 문제를 겪을 수 있다. 따라서 매개변수 불확실성과 추정 오류를 고려하여 켈리 기준보다 적게 투자하는 것이 바람직할 수 있다.

에드워드 O. 소프는 미국 주식 시장 SP500 지수에 대한 켈리 비율을 117%로 추정했지만, 주식 시장의 하방 위험을 고려하여 실제 투자 비율은 이보다 낮춰야 한다고 주장했다.^[12]^[13]

2차 테일러 다항식은 켈리 기준의 근사값으로 사용될 수 있으며, 이는 기대값과 분산과 같이 과거 데이터에서 쉽게 추정할 수 있는 특성을 기반으로 투자 비율을 결정하는 데 유용하다.^[16]

단일 자산과 무위험 금리에 대해, 기하 브라운 운동을 통해 투자할 최적의 비율을 얻을 수 있다. 로그 정규 분포 자산 S의 확률 미분 방정식은 다음과 같다.

:

dS_t/S_t=\mu dt+\sigma dW_t

여기서

W_t

는 비너 과정,

\mu

는 백분율 드리프트,

\sigma

는 백분율 변동성이다. 이 방정식의 해를 통해 예상 로그 수익률을 계산하고, 이를 최대화하는 투자 비율

f^*

를 구하면 켈리 비율과 같아진다.^[8]

여러 자산의 경우, 2차 계획법을 통해 최적화 문제를 해결하고, 레버리지와 공매도 제약이 없는 경우 분수 켈리 전략에 대한 숫자 알고리즘을 통해 최적 해를 구할 수 있다.^[18]

3. 2. 도박

켈리 기준은 도박에서도 최적의 베팅 규모를 결정하는 데 사용될 수 있다. 전체 판돈을 잃는 내기를 하는 경우, 켈리 베팅은 다음과 같다.

:

f^* = p-\frac{q}{b} = p - \frac{1 - p}{b}

여기서:

$f^{*}$ 는 현재 자금의 베팅 비율이다.
$p$ 는 승리 확률이다.
$q=1-p$ 는 손실 확률이다.
$b$ 는 승리 시 베팅으로 얻는 비율이다. 예를 들어, 2대 1 배당률 베팅에 10달러를 베팅하는 경우(승리 시 30달러를 돌려받아 20달러를 획득), $b = \$20/\$10 = 2.0$ 이다.

예를 들어, 도박의 승리 확률이 60%(

p = 0.6

,

q = 0.4

)이고, 도박사가 승리 베팅에 대해 1대 1 배당률(

b=1

)을 받는 경우, 자금의 장기 성장률을 최대화하려면, 도박사는 매번 자금의 20%를 베팅해야 한다(

f^{*} = 0.6-\frac{0.4}{1} = 0.2

).

승리 확률 및 승리 시 얻는 금액에 따른 최적 켈리 베팅 크기(세로축)를 나타내는 3D 그림이다.

만약 도박사가 0의 우위를 가진다면(즉,

b = q / p

인 경우), 기준은 도박사가 아무것도 베팅하지 않도록 권장한다.

만약 우위가 음수(

b < q / p

)라면, 공식은 음수 결과를 내는데, 이는 도박사가 베팅의 반대편을 취해야 함을 나타낸다.

4. 켈리 기준의 한계와 비판

켈리 전략이 장기적으로 다른 어떤 전략보다 더 나은 성과를 낼 수 있다는 약속은 매력적이지만, 일부 경제학자들은 개인의 구체적인 투자 제약이 최적의 성장률에 대한 욕구를 무력화시킬 수 있다는 주된 이유로 켈리 전략에 강력하게 반대해왔다.^[20] 일반적인 대안은 기대 효용 이론으로, 베팅 규모는 결과의 기대값 최대화된 기대 효용에 맞춰야 한다고 말한다(개인적으로 로그 효용을 가진 경우, 켈리 베팅은 기대 효용을 최대화하므로 충돌이 없다. 또한, 켈리의 원래 논문은 유한 번 플레이되는 도박 게임의 경우 효용 함수의 필요성을 명확히 밝히고 있다^[1]). 심지어 켈리 지지자들조차도 변동성을 줄이거나, 이점(edge) 계산에서 비결정적 오류를 방지하는 등 다양한 실용적인 이유로 분수 켈리(켈리가 권장하는 금액의 고정된 비율을 베팅하는 것)를 주장하는 경우가 많다.^[21] 일반적인 용어로, 켈리 기준은 정확한 확률 값을 요구하는데, 이는 실제 세계의 사건 결과에 항상 가능한 것은 아니다. 도박꾼이 이길 확률을 과대평가하면, 계산된 기준 값은 최적 값에서 벗어나 파산의 위험을 증가시킨다.

켈리 공식은 '시간 다변화'로 생각할 수 있는데, 이는 자산 다변화를 위해 서로 다른 자산에 동일한 위험을 감수하는 것과는 달리, 서로 다른 연속적인 시간 동안 동일한 위험을 감수하는 것이다. 폴 새뮤얼슨은 ''시간 다변화''와 자산 다변화 사이에는 분명한 차이가 있다고 제기했다.^[22] 또한, 앙상블 평균(효용 계산)과 시간 평균(실생활에서 단일 시간 경로에 대한 켈리 다중 기간 베팅) 사이에도 차이가 있다. 이 논쟁은 에르고딕성 붕괴를 언급하면서 다시 불붙었다.^[23] 그러나 에르고딕성 붕괴와 나이트 불확실성 사이의 차이점을 인식해야 한다.^[24]

4. 1. 확률 및 수익률 추정의 어려움

켈리 공식은 성공 확률, 수익률, 손실률을 정확하게 알아야 한다는 전제를 가지고 있다.^[20] 하지만 실제 투자 환경에서는 이러한 값들을 정확하게 예측하기 어렵다.^[20]^[21] 일반적인 용어로, 켈리 기준은 정확한 확률 값을 요구하는데, 이는 실제 세계의 사건 결과에 항상 가능한 것은 아니다.^[21] 도박꾼이 이길 확률을 과대평가하면, 계산된 기준 값은 최적 값에서 벗어나 파산의 위험을 증가시킨다.^[21]

켈리 공식은 '시간 다변화'로 생각할 수 있는데, 이는 자산 다변화를 위해 서로 다른 자산에 동일한 위험을 감수하는 것과는 달리, 서로 다른 연속적인 시간 동안 동일한 위험을 감수하는 것이다. 폴 새뮤얼슨은 ''시간 다변화''와 자산 다변화 사이에는 분명한 차이가 있다고 제기했다.^[22] 또한, 앙상블 평균(효용 계산)과 시간 평균(실생활에서 단일 시간 경로에 대한 켈리 다중 기간 베팅) 사이에도 차이가 있다. 이 논쟁은 에르고딕성 붕괴를 언급하면서 다시 불붙었다.^[23] 그러나 에르고딕성 붕괴와 나이트 불확실성 사이의 차이점을 인식해야 한다.^[24]

4. 2. 변동성 간과

켈리 공식은 장기적으로는 다른 어떤 전략보다 더 나은 성과를 낼 수 있다는 점에서 매력적이지만, 일부 경제학자들은 개인의 구체적인 투자 제약이 최적의 성장률에 대한 욕구를 무력화시킬 수 있다는 이유로 켈리 공식에 강력하게 반대해왔다.^[20] 일반적인 대안은 기대 효용 이론으로, 베팅 규모는 결과의 기대값이 최대화된 기대 효용에 맞춰야 한다고 말한다. 켈리 지지자들조차도 변동성을 줄이거나, 이점(edge) 계산에서 비결정적 오류를 방지하는 등 다양한 실용적인 이유로 분수 켈리(켈리가 권장하는 금액의 고정된 비율을 베팅하는 것)를 주장하는 경우가 많다.^[21] 일반적인 용어로, 켈리 기준은 정확한 확률 값을 요구하는데, 이는 실제 세계의 사건 결과에 항상 가능한 것은 아니다. 도박꾼이 이길 확률을 과대평가하면, 계산된 기준 값은 최적 값에서 벗어나 파산의 위험을 증가시킨다.

켈리 공식은 '시간 다변화'로 생각할 수 있는데, 이는 자산 다변화를 위해 서로 다른 자산에 동일한 위험을 감수하는 것과는 달리, 서로 다른 연속적인 시간 동안 동일한 위험을 감수하는 것이다. 폴 새뮤얼슨은 ''시간 다변화''와 자산 다변화 사이에는 분명한 차이가 있다고 제기했다.^[22] 또한, 앙상블 평균(효용 계산)과 시간 평균(실생활에서 단일 시간 경로에 대한 켈리 다중 기간 베팅) 사이에도 차이가 있다. 이 논쟁은 에르고딕성 붕괴를 언급하면서 다시 불붙었다.^[23] 그러나 에르고딕성 붕괴와 나이트 불확실성 사이의 차이점을 인식해야 한다.^[24]

4. 3. 심리적 요인

켈리 기준은 투자자의 심리적인 요인을 고려하지 않는다. 실제 투자자들은 손실 회피 성향, 과잉 확신 편향 등 다양한 인지적 편향에 영향을 받기 때문에, 켈리 기준이 제시하는 최적의 투자 비율을 따르기 어려울 수 있다.^[20]^[21]

어떤 연구에서 참가자들에게 25달러를 주고 동전 앞면이 나올 확률이 60%인 베팅을 하게 했을 때, 참가자의 28%가 파산했고 평균 지불액은 91달러에 불과했다. 최대 상금에 도달한 참가자는 21%뿐이었다.^[9]^[10] 켈리 공식을 사용하면 매번 자금의 20%를 베팅하는 것이 이론적으로 최적이지만, 실제로는 많은 참가자들이 비합리적인 선택을 했다. 심지어 참가자의 3분의 2는 실험 중 어느 시점에서 동전 뒷면에 베팅하기도 했다.^[9]^[10]

이는 켈리 공식이 '시간 다변화'와 관련되어 있으며, 시간 다변화와 자산 다변화 사이에는 차이가 있다는 폴 새뮤얼슨의 주장과도 연결된다.^[22]

5. 분수 켈리 (Fractional Kelly)

켈리 전략은 장기적으로 높은 성과를 기대할 수 있지만, 변동성이 크다는 단점이 있다.^[20] 이러한 변동성 문제를 완화하기 위해 실제 투자에서는 켈리 기준이 제시하는 비율보다 적은 비율로 투자하는 "분수 켈리" 전략이 자주 사용된다. 예를 들어, 절반 켈리(half Kelly)는 켈리 기준 값의 절반만 투자하는 방식이다.^[21]

분수 켈리 전략은 변동성을 줄이고, 이점(edge) 계산에서 발생할 수 있는 오류를 방지하는 등 다양한 실용적인 이유로 선호된다.^[21] 켈리 기준은 정확한 확률 값을 요구하지만, 현실 세계에서는 이를 정확히 알기 어렵다. 따라서 도박꾼이 이길 확률을 과대평가하면 계산된 기준 값은 최적 값에서 벗어나 파산 위험을 증가시킬 수 있다.

6. 결론

참조

_[1] 학술지 A New Interpretation of Information Rate https://www.princeto[...]
_[2] 간행물 Fortune's Formula: The Game of Blackjack 1961-01
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_[9] SSRN Rational Decision-Making under Uncertainty: Observed Betting Patterns on a Biased Coin 2016-10-19
_[10] 뉴스 Irrational tossers https://www.economis[...] The Economist 2016-11-01
_[11] 간행물 Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing Cambridge University Press
_[12] 학술지 The Kelly criterion and the Stock Market https://www.edwardot[...]
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_[14] 학술지 Optimal Gambling Systems for Favorable Games http://projecteuclid[...] International Statistical Institute (ISI)
_[15] 학술지 An explicit solution to the problem of optimizing the allocations of a bettor's wealth when wagering on horse races https://www.research[...]
_[16] 학회자료 Efficient Distribution of Investment Capital https://www.research[...] 2016
_[17] 학회자료 On Kelly betting: some limitations IEEE
_[18] SSRN Kelly Criterion for Multivariate Portfolios: A Model-Free Approach
_[19] 학술지 Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk https://psych.fuller[...] The Econometric Society
_[20] 간행물 Fortune's Formula: The Untold Story of the Scientific Betting System That Beat the Casinos and Wall Street https://archive.org/[...] Hill and Wang
_[21] 간행물 The Kelly Criterion: Part I 2008-05
_[22] 간행물 Risk and uncertainty: a fallacy of large numbers 1963
_[23] 학술지 Evaluating gambles using dynamics 2015
_[24] 간행물 Psychology is Fundamental: The Limitations of Growth-Optimal Approaches to Decision Making under Uncertainty 2022

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