도박사의 오류

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 핵심 개념
3. 예시
- 3.1. 일상생활
- 3.2. 도박
4. 역사
- 4.1. 몬테카를로 카지노 사건 (1913)
5. 심리학적 원인
6. 신경학적 요인
7. 역 도박사의 오류
- 7.1. 이언 해킹의 설명
8. 소급 도박사의 오류
9. 도박사의 오류가 적용되지 않는 경우
10. 도박사의 오류 극복 방법
11. 다양한 분야에서의 도박사의 오류
참조

1. 개요

도박사의 오류는 무작위적인 사건의 결과가 과거의 결과에 영향을 받는다고 잘못 믿는 인지 편향이다. 예를 들어, 동전 던지기에서 앞면이 여러 번 연속으로 나오면 다음에는 뒷면이 나올 확률이 높아진다고 생각하는 것이 대표적이다. 이러한 오류는 공정 세계 가설, 대표성 휴리스틱, 그리고 뇌의 특정 영역의 활성화와 관련이 있으며, 다양한 분야에서 나타난다. 도박사의 오류는 역 도박사의 오류, 소급 도박사의 오류와 같은 변형된 형태로 나타날 수 있으며, 독립적인 사건에서는 적용되지 않는다. 인지 편향 인식, 독립 사건 이해, 확률 교육, 그룹화 전략 등을 통해 도박사의 오류를 극복하려는 노력이 이루어지고 있다.

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도박사의 오류
개요
이름	도박사의 오류
다른 이름	몬테카를로 오류 양의 오류 음의 오류
유형	인지 편향
관련 개념	뜨거운 손 평균 회귀 마팅게일 (도박) 도박
설명
내용	독립적인 사건들의 연속에서, 특정 사건이 최근에 더 자주 발생했다면, 미래에는 그 사건이 덜 발생할 것이라는 잘못된 믿음.
예시	동전 던지기에서 앞면이 여러 번 나왔다면, 다음에는 뒷면이 나올 확률이 더 높다고 믿는 것.
통계적 설명
본질	각 동전 던지기는 독립적인 사건이며, 이전 결과는 미래 결과에 영향을 미치지 않는다.
확률	공정한 동전의 경우, 매번 앞면 또는 뒷면이 나올 확률은 50%이다.
장기적 관점	충분히 많은 횟수의 시행에서는 앞면과 뒷면의 비율이 1:1에 가까워지지만, 이는 개별 시행의 확률을 바꾸지 않는다.
심리학적 요인
원인	인간은 무작위성을 직관적으로 이해하기 어려워한다. 과거 패턴을 통해 미래를 예측하려는 경향이 있다.
강화	도박에서 짧은 기간 동안의 성공적인 예측은 이러한 오류를 강화할 수 있다.
예시
몬테카를로 카지노	1913년 몬테카를로 카지노에서 검은색이 연속적으로 여러 번 나온 후, 많은 사람들이 빨간색에 돈을 걸었지만, 결과는 여전히 검은색이었다.
실제 사례	복권, 주식 투자, 스포츠 베팅 등 다양한 분야에서 나타날 수 있다.
대처 방안
중요성	독립적인 사건임을 인식하고, 과거 결과에 근거하여 미래를 예측하려는 시도를 피해야 한다.
교육	확률과 통계에 대한 이해를 높이는 것이 중요하다.

2. 정의

도박사의 오류는 공정한 동전을 반복적으로 던지는 상황을 예로 들어 설명할 수 있다. 각 던지기의 결과는 통계적으로 독립이며, 한 번 던져서 앞면이 나올 확률은 1/2이다. 연속으로 네 번 앞면이 나왔더라도, 다음 던지기에서 앞면이 나올 확률은 여전히 1/2이다.

과거의 결과가 미래의 확률에 영향을 주지 않는데도, 앞선 던지기에서 앞면이 나왔기 때문에 다음에는 뒷면이 나올 가능성이 더 높다고 착각하는 것이 도박사의 오류이다.

공정한 동전을 21번 던졌을 때 모두 앞면이 나올 확률은 2,097,152분의 1이다. 하지만 이미 20번 연속 앞면이 나온 후에는 다시 앞면이 나올 확률은 1/2이다. 20번 앞면 후 1번 뒷면이 나올 확률과 20번 앞면 후 또 다른 앞면이 나올 확률은 같다. 21번 모두 앞면이 나올 확률 역시 마찬가지이다. 이들은 동전을 21번 던져서 얻을 수 있는 다른 어떤 조합과도 동일한 확률을 가진다. 베이즈 정리에 따르면, 각 던지기의 예상 결과는 공정한 동전의 확률인 1/2이다.

2. 1. 핵심 개념

도박사의 오류는 공정한 동전을 반복적으로 던지는 상황을 예로 들어 설명할 수 있다. 각 던지기의 결과는 통계적으로 독립이며, 한 번 던져서 앞면이 나올 확률은 1/2이다. 두 번 던져서 모두 앞면이 나올 확률은 1/4이고, 세 번 던져서 모두 앞면이 나올 확률은 1/8이다. 일반적으로 ''A_i''가 공정한 동전의 ''i''번째 던지기에서 앞면이 나오는 사건이라면, 다음과 같은 식이 성립한다.

:

\Pr\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right)=\prod_{i=1}^n \Pr(A_i)={1\over2^n}

.

만약 연속으로 네 번 앞면이 나왔다면, 다음 동전 던지기에서도 앞면이 나와서 연속 다섯 번 앞면이 나올 확률은 1/32이다. 이 때문에, 다음에는 앞면보다 뒷면이 나올 가능성이 더 높다고 생각할 수 있다. 하지만 이는 잘못된 생각이며, 도박사의 오류의 예시이다. "연속 5번 앞면" 사건과 "처음 4번 앞면, 그 다음 뒷면" 사건은 확률이 1/32로 같다. 처음 네 번의 던지기에서 앞면이 나왔더라도, 다음 던지기에서 앞면이 나올 확률은 다음과 같다.

:

\Pr\left(A_5|A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4 \right)=\Pr\left(A_5\right)=\frac{1}{2}

.

다섯 번 연속 앞면이 나올 확률 1/32 = 0.03125 (약 3%)는 "처음 동전을 던지기 전"에만 해당된다. 이미 네 번의 던지기가 이루어진 후에는 그 결과가 더 이상 미지수가 아니므로, 그 시점에서의 확률은 1 (100%)이다. 즉, 과거의 결과가 미래의 확률에 영향을 주지 않는데도, 앞선 네 번의 던지기에서 앞면이 나왔기 때문에 다섯 번째 던지기에서는 뒷면이 나올 가능성이 더 높다고 착각하는 것이 도박사의 오류이다.

공정한 동전을 21번 던졌을 때 모두 앞면이 나올 확률은 2,097,152분의 1이다. 하지만 이미 20번 연속 앞면이 나온 후에 다시 앞면이 나올 확률은 1/2이다. 공정한 동전이라는 가정 하에:

20번 앞면, 그 다음 1번 뒷면이 나올 확률은 0.5²⁰ × 0.5 = 0.5²¹
20번 앞면, 그 다음 1번 앞면이 나올 확률은 0.5²⁰ × 0.5 = 0.5²¹

20번 앞면 후 1번 뒷면이 나올 확률과 20번 앞면 후 또 다른 앞면이 나올 확률은 모두 2,097,152분의 1로 같다. 21번 모두 앞면이 나올 확률 역시 마찬가지이다. 이들은 동전을 21번 던져서 얻을 수 있는 다른 어떤 조합과도 동일한 확률(0.5²¹ 또는 2,097,152분의 1)을 가진다. 이전 던지기의 결과에 따라 확률이 변한다고 가정하는 것은, 21번 던지는 모든 결과가 다른 결과와 동일한 확률을 갖기 때문에 잘못된 것이다. 베이즈 정리에 따르면, 각 던지기의 예상 결과는 공정한 동전의 확률인 1/2이다.

3. 예시

도박사의 오류는 특정 결과가 반복되면 다음에는 다른 결과가 나올 가능성이 높아진다고 착각하는 것을 말한다. 이는 확률적으로 독립적인 사건에 대해 잘못된 판단을 하는 것이다.

시간이 지남에 따라 빨간색/파란색 동전 던지기의 비율은 50:50에 접근하지만, 뺄셈의 차이는 비체계적으로 0으로 감소한다.

동전 던지기 시뮬레이션: 1 프레임마다 동전 던지기가 수행됩니다. 빨간색은 앞면, 파란색은 뒷면이 나온 것을 나타냅니다. 원 그래프에서 알 수 있듯이 앞면과 뒷면의 비율은 50% 대 50%에 가까워집니다(큰 수의 법칙). 그러나 앞면과 뒷면의 차이가 0에 가까워지는 것은 아닙니다.

공정한 동전 던지기공정한 동전을 던질 때 각 결과는 통계적으로 독립적이다. 즉, 이전의 결과가 다음 결과에 영향을 주지 않는다. 한 번 던져서 앞면이 나올 확률은 1/2이며, 두 번 던져서 모두 앞면이 나올 확률은 1/4, 세 번 모두 앞면이 나올 확률은 1/8이다. 일반적으로 ''i''번째 던지기에서 앞면이 나오는 사건을 ''A_i''라고 하면, ''n''번 연속 앞면이 나올 확률은 다음과 같다.

:

\Pr\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right)=\prod_{i=1}^n \Pr(A_i)={1\over2^n}

만약 4번 연속 앞면이 나왔다면, 5번째 던지기에서 앞면이 나올 확률은 여전히 1/2이다. 5번 연속 앞면이 나올 확률(1/32)을 이전 결과와 혼동하여 다음에는 뒷면이 나올 확률이 높다고 생각하는 것이 도박사의 오류이다. 중요한 점은 이 확률이 "처음 동전을 던지기 전"에만 해당한다는 것이다. 이미 4번의 앞면이 나온 후에는 그 결과는 더 이상 불확실하지 않으므로 확률은 1(100%)이다.
주사위 던지기공정한 16면 주사위에서 각 면이 나올 확률은 1/16이다. 1이 나오면 이기는 게임에서 16번 던질 때 이길 확률은 다음과 같다.

:

1-\left[\frac{15}{16}\right]^{16} \,=\, 64.39\%

한 번 져서 15번의 기회가 남았을 때 이길 확률은 다음과 같이 감소한다.

:

1-\left[\frac{15}{16}\right]^{15} \,=\, 62.02\%

여러 번 실패했다고 해서 다음 시도에서 이길 확률이 높아지는 것이 아니라, 남은 시도 횟수가 줄어들기 때문에 이길 확률이 감소하는 것이다.
몬테카를로 카지노 사례1913년 몬테카를로 카지노에서 룰렛 공이 26번 연속 검은색에 떨어지는 극히 드문 사건이 발생했다. 이때, 많은 도박꾼들이 검은색에 반대하여 돈을 걸었다. 그들은 휠의 무작위성에 불균형이 생겼고 곧 빨간색이 나올 것이라고 믿었지만, 이는 도박사의 오류에 의한 잘못된 판단이었다.^[7]

3. 1. 일상생활

동전을 던져서 앞면이 5회 연속으로 나오면 그 다음은 뒷면이 나올 확률이 높아질 것으로 착각하게 된다.^[6]
윷을 던져서 도·개·걸만 계속 나오면 그 다음은 윷이나 모가 나올 확률이 높아질 것으로 착각하게 된다.^[6]
복권을 사서 매번 당첨되지 못한 경우 그 다음에 사면 꼭 당첨될 것이라는 잘못된 기대를 하게 되는 경우가 있다.^[6]
딸만 계속해서 갖게 된 부부가 다음에 아이를 갖게 된다면 꼭 아들일 것으로 착각하는 경우.^[6]
미국의 유명 소설가 에드거 앨런 포는 주사위를 던져 2가 5번 연속으로 나오면 그 뒤에 던질 때는 다시 2가 나올 확률이 낮아진다고 주장했다.^[6]
성공할 확률이 10% 정도밖에 되지 않는 수술을 해야 하는 상황에서 의사가 ‘그동안 9명에게 이 수술을 했지만 실패했으니 이번엔 꼭 성공할 것이다’라며 환자를 안심시키는 경우.^[6]
주머니에 빨간색, 파란색, 노란색 사탕이 있을 때 4회 연속 빨간색 사탕이 나오면 다음번은 파란색이나 노란색 사탕이 나온다고 착각하는 것.^[6]
1796년, 피에르시몽 라플라스는 그의 저서 『확률에 관한 철학적 에세이』에서 남자가 아들을 가질 확률을 계산하는 방식을 설명했다. 그는 아들을 간절히 원하는 남자가, 아버지가 될 것으로 예상되는 달에 아들 출생 소식을 접하고 불안해하는 것을 보았다고 했다. 그들은 매달 아들 출생 비율이 같아야 한다고 생각하여, 이미 태어난 아들들이 다음에는 딸을 낳을 확률을 더 높인다고 판단했다. 아이를 기다리는 아버지들은 주변에서 아들이 더 많이 태어나면 자신들도 딸을 낳을 가능성이 더 커질까 봐 두려워했다. 라플라스의 이 에세이는 이 오류에 대한 가장 초창기 설명 중 하나로 여겨진다.^[6] 마찬가지로, 동일한 성별의 아이를 여러 명 낳은 부모 중 일부는 반대 성별의 아이를 가질 때가 되었다고 잘못 믿을 수 있다.^[34]

3. 2. 도박

동전을 던져서 앞면이 5회 연속으로 나오면 그 다음은 뒷면이 나올 확률이 높아질 것으로 착각하게 된다.^[7]

윷을 던져서 도·개·걸만 계속 나오면 그 다음은 윷이나 모가 나올 확률이 높아질 것으로 착각하게 된다.
복권을 사서 매번 당첨되지 못한 경우 그 다음에 사면 꼭 당첨될 것이라는 잘못된 기대를 하게 되는 경우가 있다.
딸만 계속해서 갖게 된 부부가 다음에 아이를 갖게 된다면 꼭 아들일 것으로 착각하는 경우.
미국의 유명 소설가 에드거 앨런 포는 주사위를 던져 2가 5번 연속으로 나오면 그 뒤에 던질때는 다시 2가 나올 확률이 낮아진다고 주장했다.
성공할 확률이 10% 정도밖에 되지 않는 수술을 해야 하는 상황에서 의사가 ‘그동안 9명에게 이 수술을 했지만 실패했으니 이번엔 꼭 성공할 것이다’라며 환자를 안심시키는 경우.
주머니에 빨간색, 파란색, 노란색 사탕이 있을 때 4회 연속 빨간색 사탕이 나오면 다음번은 파란색이나 노란색 사탕이 나온다고 착각하는 것.

도박사의 오류의 예시는 다음과 같다.

1913년 8월 18일 몬테카를로 카지노에서 벌어진 룰렛 게임에서 공이 26번 연속으로 검은색에 떨어진 사건이다. 이는 극히 드문 경우였다. 기계가 편향되지 않았다는 가정하에, 빨간색 또는 검은색이 26번 연속으로 나올 확률은 약 6,660만 분의 1이다. 도박꾼들은 이 연승이 휠의 무작위성에 불균형을 일으키고 있으며, 곧 빨간색의 긴 연승이 이어질 것이라고 잘못 추론하면서 검은색에 반대하여 수백만 프랑을 잃었다.^[7]
공정한 동전으로 동전 던지기를 반복하는 경우, 각 시행의 결과는 독립적이며, 1번의 던지기에서 앞면이 나올 확률은 1/2이다. 2번의 던지기에서 2번 모두 앞면이 나올 확률은 1/4이며, 3번의 던지기에서 3번 모두 앞면이 나올 확률은 1/8이다. 일반적으로, ''i''번째 동전 던지기에서 앞면이 나오는 사건을 ''A_i''라고 하면, ''n''번의 동전 던지기에서 모두 앞면이 나올 확률은 다음과 같다.

:

\Pr\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right)=\prod_{i=1}^n \Pr(A_i)={1\over2^n}

5번 연속으로 앞면이 나올 확률은 1/32이므로, 4번 연속으로 앞면이 나온 후 다음 동전 던지기에서는 뒷면이 나올 확률이 높아진다고 생각할 수 있다. 그러나 이는 오해이며, 도박사의 오류의 한 예시이다. "5번 연속으로 앞면이 나온다"는 사건과 "4번 연속으로 앞면이 나온 후, 뒷면이 나온다"는 사건은, 둘 다 확률이 1/32로 동일하다. 4번 연속으로 앞면이 나온 후 다음 시도에서 앞면이 나올 확률은 다음과 같다.

:

\Pr\left(A_5|A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4 \right)=\Pr\left(A_5\right)=\frac{1}{2}

5번 연속으로 앞면이 나올 확률은 0.03125 (3%를 조금 넘음)이지만, 이것이 "1번째 동전 던지기 전의 확률"이라는 것을 사람들이 깨닫지 못하는 것이 이 오류의 원인이다. 처음 4번의 던지기 후에는, 그 결과는 이미 불확실하지 않으므로, 해당 확률은 1 (100%)과 같다. 그 전 4번의 동전 던지기 결과가 앞면이었을 때, "과거 시도의 결과가 미래 확률에 영향을 미쳐, 5번째 결과가 뒷면이 될 확률이 높아질 것이다"라는 추론이 오류의 근원을 형성한다.

공정한 16면 주사위에서 각 면이 나올 확률은 1/16 (6.25%)이다. 1의 눈이 한 번이라도 나오면 플레이어가 이기는 규칙의 경우, 주사위를 16번 던졌을 때 플레이어가 이길 (최소한 한 번은 1의 눈이 나올) 확률은 다음과 같다.

:

1-\left[\frac{15}{16}\right]^{16} \,=\, 64.39\%

1번째에 질 확률은 15/16 (93.75%)이다. 오류에 따르면, 플레이어는 1번 진 후에는 이길 가능성이 높아진다. 그러나 실제로는, 나머지 15번의 시도에서 플레이어가 이길 (최소한 한 번은 1의 눈이 나올) 확률은 다음과 같다.

:

1-\left[\frac{15}{16}\right]^{15} \,=\, 62.02\%

1번 질 때마다, 플레이어가 이길 확률은 약 2% 감소한다. 5번 진 후의 나머지 11번에서 이길 확률은 약 0.5 (50%)까지 감소하고 있다. 연속해서 진 후의 1번의 시도에서 질 확률은 늘어나지도 줄어들지도 않지만, 남은 시도 횟수가 줄어들기 때문에, 남은 시도에서 이길 확률은 낮아진다. 최종적으로 남은 시도가 1번이 되었을 때에는, 이길 확률은 1번의 시도에서 이길 확률과 같은 1/16 (6.25%)가 된다.

피에르-시몽 라플라스는 1796년 저서 『확률의 철학적 시론』에서, 어떤 남자가 아들을 얻을 확률에 관해 다음과 같이 기술했다. "나는 아들을 갖기를 간절히 원하며 출산 예정 달에는 아들이 태어날지 걱정으로 가득 찬 남자를 보았다. 그들은 아들과 딸의 출생 비율은 매달 말에는 같아질 것이라고 상상하고, 아들이 태어난 후에는 딸이 태어나기 쉬울 것이라고 판단했다." 그 남자는, 그의 주변에서 더 많은 아들이 태어나는 것으로 인해 그의 아내가 딸을 낳을 가능성이 높아지는 것을 두려워했다. 라플라스의 이 기술은 도박사의 오류에 대한 가장 초기 기술 중 하나로 여겨진다.^[34]
같은 성별의 아이가 여러 명 태어났을 때, 그것이 다른 성별의 아이가 이미 있기 때문이라고 믿는 부모도 일부 있다. 트리버스-윌라드 가설에서는, 태어날 아이의 성별은 생활 조건에 의존한다고 예상하며, 양호한 생활 환경에서는 아들이, 열악한 생활 환경에서는 딸이 태어나기 쉬워 그 비율은 0.5 (50%)에 가깝다고 생각한다.^[35]

4. 역사

도박사의 오류와 관련된 역사적 사건으로 1913년 8월 18일 몬테카를로 카지노에서 벌어진 룰렛 게임이 대표적이다.

4. 1. 몬테카를로 카지노 사건 (1913)

1913년 8월 18일 몬테카를로 카지노에서 벌어진 룰렛 게임에서 공이 26번 연속으로 검은색에 떨어진 사건은 도박사의 오류의 대표적인 예시이다. 이는 극히 드문 경우로, 기계가 편향되지 않았다는 가정하에 빨간색 또는 검은색이 26번 연속으로 나올 확률은 약 6,660만 분의 1이다.^[7] 도박꾼들은 이 연승이 휠의 무작위성에 불균형을 일으키고 있으며, 곧 빨간색의 긴 연승이 이어질 것이라고 잘못 추론하면서 검은색에 반대하여 수백만 프랑을 잃었다.^[7]^[36]

5. 심리학적 원인

도박사의 오류는 여러 심리학적 요인에 의해 발생한다.

도박사의 오류는 작은 표본이 더 큰 모집단을 대표해야 한다는 잘못된 믿음, 즉 성급한 일반화에 대한 믿음에서 비롯된다. 이 오류에 따르면, 연속적인 결과는 대표성을 갖기 위해 결국 균형을 이루어야 한다.^[10]

일부 연구자들은 도박사의 오류를 두 가지 유형으로 정의한다. 1형은 특정 결과가 오랫동안 이어진 후에 다른 결과가 나올 것이라고 믿는 고전적인 도박사의 오류이다. 기드온 케렌(Gideon Keren)과 찰스 루이스(Charles Lewis)가 정의한 2형 도박사의 오류는 도박사가 유리한 결과를 감지하기 위해 필요한 관측 횟수를 과소평가할 때 발생한다. 예를 들어, 룰렛 휠을 일정 시간 관찰한 후 가장 자주 나타나는 숫자에 베팅하는 경우가 이에 해당한다. 고도의 무작위성을 가진 사건의 경우, 유리한 결과를 가져올 편향을 감지하는 데는 비실용적으로 많은 시간이 소요되며, 사실상 불가능할 정도로 어렵다.^[15] 두 유형은 1형이 도박 조건이 공정하고 완벽하다고 잘못 가정하는 반면, 2형은 조건에 편향이 있으며, 이러한 편향은 일정 시간이 지난 후에 감지될 수 있다고 가정한다는 점에서 다르다.

또 다른 변형인 회고적 도박사의 오류는 개인이 겉보기에는 드문 사건이 더 흔한 사건보다 더 긴 시퀀스에서 비롯되었음에 틀림없다고 판단할 때 발생한다. 예를 들어 주사위 굴림의 가상 시퀀스에서 6이 3번 연속으로 나타난 경우와 6이 2번만 나타난 경우를 비교했을 때, 6이 3번 나타난 경우 시퀀스가 3배 이상 길다고 믿는 것이다.

도박사의 오류는 농구의 핫 핸드 오류와 반대 개념으로 볼 수 있다. 핫 핸드 오류는 사람들이 이전 사건과 동일한 결과를 예측하는 경향(양의 최근성)을 보이는 반면, 도박사의 오류는 이전 사건의 반대 결과를 예측하는 경향(음의 최근성)을 보인다. Ayton과 Fischer는 사람들이 핫 핸드 오류에 대해 양의 최근성을 보이는 이유는 이 오류가 인간의 수행 능력과 관련이 있으며, 사람들은 무생물이 "뜨거워질" 수 있다고 믿지 않기 때문이라고 이론화했다.^[17] 어떤 사람이 도박사의 오류를 보일 때, 그들은 또한 핫 핸드 오류를 보일 가능성이 더 높다.^[19]

경제적 의사 결정에서도 핫 핸드와 도박사의 오류가 나타난다. 2010년 Huber, Kirchler, Stockl의 연구에 따르면, 참가자들은 과거의 성공 경험에 근거하여 전문가의 의견에 의존하는 경향(핫 핸드)을 보였지만, 전문가의 예측이 틀렸을 경우에는 이러한 경향이 감소했다. 또한 참가자들은 앞면 또는 뒷면이 연달아 나타나는 것을 관찰한 후, 그들의 선택이 감소하는 도박사의 오류를 보였다.^[20]

기능적 자기 공명 영상 연구에 따르면, 도박이나 내기에서 졌을 때 뇌의 전두정엽 네트워크가 활성화되어 더 많은 위험 감수 행동을 보이는 것으로 나타났다. 반면, 위험 손실 후에는 편도체, 꼬리핵, 복측 선조체의 활동이 감소한다. 편도체의 활성은 도박사의 오류와 음의 상관 관계를 가지므로, 편도체의 활동이 더 활발할수록 개인이 도박사의 오류에 빠질 가능성은 낮아진다. 이러한 결과는 도박사의 오류가 집행 기능과 목표 지향적인 프로세스를 담당하는 전전두피질에 더 의존하며, 정동적 의사 결정을 제어하는 뇌 영역에는 덜 의존한다는 것을 시사한다. 도박이나 내기를 계속하려는 욕구는 선조체에 의해 제어되며, 도박사의 오류를 보이는 개인의 경우, 이 선택-결과 조건 방식이 손상되어 일련의 손실 이후에도 계속해서 위험을 감수한다.^[21]

톰 스토파드의 희곡 『로젠크란츠와 길덴스턴은 죽었다』의 오프닝 장면에서는 한 남자가 동전 던지기에서 연속으로 앞면을 내는 상황이 묘사되는데, 이는 도박사의 오류와 관련된 상황을 보여준다.

5. 1. 대표성 휴리스틱

도박사의 오류는 작은 표본이 더 큰 모집단을 대표해야 한다는 잘못된 믿음에서 비롯되는 성급한 일반화이다. 이 오류에 따르면, 연속적인 결과는 대표성을 갖기 위해 결국 균형을 이루어야 한다.^[10]

아모스 트버스키와 대니얼 카너먼은 도박사의 오류가 인지 편향의 일종으로, 대표성 휴리스틱에 의해 생성된다고 처음 제안했다. 대표성 휴리스틱은 사람들이 이전에 경험한 사건과 얼마나 유사한지, 그리고 그 두 과정과 관련된 사건들이 얼마나 유사한지를 평가하여 특정 사건의 확률을 평가하는 심리적 휴리스틱이다.^[11]^[10] 이 관점에 따르면, "예를 들어 룰렛 휠에서 긴 빨간색 연속을 관찰한 후, 대부분의 사람들은 검은색이 추가적인 빨간색 발생보다 더 대표적인 시퀀스를 생성할 것이라고 잘못 믿는다."^[11]

따라서 사람들은 짧은 무작위 결과 시퀀스가 평균으로부터의 편차가 균형을 이루어야 한다는 점을 포함하여 더 긴 시퀀스의 특성을 공유해야 한다고 기대한다. 사람들이 무작위적으로 보이는 일련의 동전 던지기를 만들도록 요청받을 때, 그들은 머리와 꼬리의 비율이 우연에 의해 예측되는 것보다 짧은 구간에서 0.5에 더 가깝게 유지되는 시퀀스를 만드는 경향이 있는데, 이는 표본 크기에 대한 무감각으로 알려진 현상이다.^[12] 카너먼과 트버스키는 이를 사람들이 짧은 무작위 사건의 시퀀스가 더 긴 시퀀스를 대표해야 한다고 믿는다는 의미로 해석한다.^[10]

대표성 휴리스틱은 또한 사람들이 실제로 예상하는 것보다 작은 표본에서 그러한 연속이 발생할 가능성이 훨씬 더 높을 때 무작위 사건의 연속을 무작위가 아닌 것으로 간주하는 집단 착각과 관련된 현상의 배후로 인용된다.^[13]

5. 2. 통제 소재

도박사의 오류는 공정 세계 가설처럼 도박이 스스로 균형을 맞추는 공정한 과정이라는 믿음에서 비롯될 수 있다.^[43] 다른 연구자들은 이 오류가 통제 소재가 내부에 있다는 잘못된 믿음에서 기인한다고 본다. 자신의 기술로 도박 결과를 통제할 수 있다고 믿는 사람은 우연이 기술을 압도할 수 있다는 생각을 부정하기 때문에 도박사의 오류에 빠지기 쉽다.^[48]

5. 3. 공정 세계 가설

도박사의 오류는 도박, 또는 우연 자체가 연속적인 결과가 발생할 경우 스스로 수정할 수 있는 공정한 과정이라는 잘못된 믿음, 즉 공정 세계 가설에 기인할 수 있다.^[14] 다른 연구자들은 이 오류에 대한 믿음이 내적 통제 소재에 대한 잘못된 믿음의 결과일 수 있다고 생각한다. 어떤 사람이 도박 결과가 자신의 기술의 결과라고 믿는 경우, 우연이 기술이나 재능을 극복할 수 있다는 생각을 거부하기 때문에 도박사의 오류에 더 취약할 수 있다.^[19]

5. 4. 집단 착각

아모스 트버스키와 대니얼 카너먼은 도박사의 오류가 인지 편향의 일종이며, 대표성 휴리스틱이라는 심리적 휴리스틱에 의해 생성된다고 처음 제안했다.^[10]^[11] 대표성 휴리스틱은 사람들이 특정 사건의 확률을 평가할 때, 이전에 경험한 사건과 얼마나 유사한지, 그리고 그 두 과정과 관련된 사건들이 얼마나 유사한지를 보는 것이다.^[10]^[11]

이러한 관점에 따르면, "예를 들어 룰렛 휠에서 빨간색이 길게 연속으로 나오는 것을 본 후, 대부분의 사람들은 검은색이 추가적인 빨간색 발생보다 더 대표적인 시퀀스를 만들 것이라고 잘못 믿는다."^[11] 따라서 사람들은 짧은 무작위 결과 시퀀스가 평균에서 벗어난 것이 균형을 이루어야 한다는 점을 포함하여, 더 긴 시퀀스의 특성을 공유해야 한다고 기대한다.

사람들에게 무작위로 보이는 동전 던지기 결과 배열을 만들도록 요청하면, 머리와 꼬리의 비율이 우연히 예측되는 것보다 짧은 구간에서 0.5에 더 가깝게 유지되는 배열을 만드는 경향이 있다. 이는 표본 크기에 대한 무감각으로 알려진 현상이다.^[12] 카너먼과 트버스키는 이를 사람들이 짧은 무작위 사건의 시퀀스가 더 긴 시퀀스를 대표해야 한다고 믿는다는 의미로 해석한다.^[10]

대표성 휴리스틱은 또한 사람들이 실제로 예상하는 것보다 작은 표본에서 그러한 연속이 발생할 가능성이 훨씬 더 높을 때, 무작위 사건의 연속을 무작위가 아닌 것으로 간주하는 집단 착각 현상의 배후로도 인용된다.^[13]

6. 신경학적 요인

일부 연구자들은 도박사의 오류를 1형과 2형, 두 가지 유형으로 정의한다. 1형은 특정 결과가 오랫동안 나오지 않은 후에 나올 것이라고 믿는 고전적인 도박사의 오류이다. 2형은 도박사가 유리한 결과를 감지하기 위해 필요한 관측 횟수를 과소평가할 때 발생한다. 예를 들어, 룰렛 휠을 관찰한 후 가장 자주 나타나는 숫자에 베팅하는 경우가 해당된다.^[15] 1형은 도박 조건이 공정하다고 가정하는 반면, 2형은 조건에 편향이 있으며, 이를 일정 시간 후에 감지할 수 있다고 가정한다는 점에서 차이가 있다.

회고적 도박사의 오류는 드문 사건이 더 흔한 사건보다 더 긴 시퀀스에서 비롯되었다고 판단할 때 발생한다. 예를 들어, 주사위를 굴려 6이 3번 연속으로 나타난 경우가 6이 2번만 나타난 경우보다 시퀀스가 더 길다고 믿는 것이다. 이는 이전 성관계 횟수와 무관하게 각 성관계로 인해 임신할 확률이 동일하기 때문에, 피임 없는 성관계 후 임신한 십 대가 그렇지 않은 경우보다 더 오랫동안 피임 없는 성관계를 해 왔다고 결론 내리는 경우와 유사하다.^[16]

도박사의 오류는 핫 핸드 오류와 반대되는 개념이다. 핫 핸드 오류는 사람들이 이전 사건과 동일한 결과를 예측하는 경향(양의 최근성)을 보이는 반면, 도박사의 오류는 이전 사건의 반대 결과를 예측하는 경향(음의 최근성)을 보인다. 예를 들어, 룰렛 휠이 검은색에 여러 번 멈춘 후 다음에는 빨간색에 멈출 것이라고 믿는 것이다. Ayton과 Fischer는 핫 핸드 오류가 인간의 수행 능력과 관련이 있고, 사람들은 무생물이 "뜨거워질" 수 있다고 믿지 않기 때문에 발생한다고 이론화했다.^[17] 인간의 수행 능력은 무작위로 인식되지 않으며, 결과를 생성하는 과정이 비무작위적이라고 믿을 때 연승을 계속할 가능성이 더 높다고 믿는다.^[18] 도박사의 오류를 보이는 사람은 핫 핸드 오류를 보일 가능성도 높다.^[19]

경제적 의사 결정에서도 두 오류의 차이가 나타난다. 2010년 연구에서 참가자들은 동전 던지기 결과에 베팅하거나, 전문가 의견을 활용하거나, 위험 부담이 없는 대안을 선택할 수 있었다. 참가자들은 과거 성공 경험에 따라 전문가 의견에 의존하는 핫 핸드의 예시를 보였다. 전문가 예측이 맞으면 참가자들은 다시 전문가 의견을 선택했지만, 틀렸을 경우에는 선택 비율이 감소했다. 참가자들은 또한 앞면 또는 뒷면이 연달아 나타나는 것을 관찰한 후 선택을 줄이는 도박사의 오류를 보였다. 이는 사람들이 무작위적인 과정보다 인간의 수행 능력에 더 많은 믿음을 둔다는 이론을 뒷받침한다.^[20]

6. 1. 전두정엽 네트워크

도박사의 오류에 대한 또 다른 심리학적 관점은 농구의 핫 핸드 오류의 반대 개념으로 볼 수 있다. 핫 핸드 오류는 사람들이 이전 사건과 동일한 결과를 예측하는 경향(양의 최근성)이 있어, 득점력이 높은 선수가 계속 득점할 것이라고 믿게 된다. 반면 도박사의 오류에서 사람들은 이전 사건의 반대 결과를 예측하며(음의 최근성), 룰렛 휠이 이전 여섯 번의 경우에 검은색에 멈췄으므로 다음에는 빨간색에 멈출 것이라고 믿는다. Ayton과 Fischer는 핫 핸드 오류에 대해 사람들이 양의 최근성을 보이는 이유는 이 오류가 인간의 수행 능력과 관련이 있으며, 사람들은 무생물이 "뜨거워질" 수 있다고 믿지 않기 때문이라고 이론화했다.^[17] 인간의 수행 능력은 무작위로 인식되지 않으며, 사람들은 결과를 생성하는 과정이 비무작위적이라고 믿을 때 연승을 계속할 가능성이 더 높다.^[18] 어떤 사람이 도박사의 오류를 보일 때, 그들은 또한 핫 핸드 오류를 보일 가능성이 더 높으며, 이는 하나의 구성 요소가 두 가지 오류에 모두 책임이 있음을 시사한다.^[19]

두 오류 사이의 차이점은 경제적 의사 결정에서도 발견된다. 2010년 Huber, Kirchler, Stockl의 연구는 금융 시장에서 핫 핸드와 도박사의 오류가 어떻게 나타나는지 조사했다. 연구자들은 참가자들에게 일련의 동전 던지기 결과에 베팅하거나, 전문가의 의견을 활용하여 결정을 바꾸거나, 더 적은 금전적 보상을 위해 위험 부담이 없는 대안을 선택할 수 있는 선택지를 제시했다. 참가자들은 과거의 성공 경험에 근거하여 24%의 경우 전문가의 의견에 의존하여 결정을 내렸는데, 이는 핫 핸드의 전형적인 예시였다. 전문가의 예측이 맞았을 경우, 참가자의 78%가 다시 전문가의 의견을 선택했지만, 전문가의 예측이 틀렸을 경우에는 57%만이 전문가의 의견을 선택했다. 참가자들은 또한 도박사의 오류를 보였는데, 앞면 또는 뒷면이 연달아 나타나는 것을 관찰한 후, 그들의 선택이 감소했다. 이 실험은 사람들이 겉보기에 무작위적인 과정보다 인간의 수행 능력에 더 많은 믿음을 둔다는 Ayton과 Fischer의 이론을 뒷받침하는 데 도움이 되었다.^[20]

6. 2. 편도체, 꼬리핵, 복측 선조체

연구에 따르면 신경학적 요소도 도박사의 오류에 영향을 줄 수 있다. 기능적 자기 공명 영상을 통해 도박이나 내기에서 졌을 때(위험 손실) 뇌의 전두정엽 네트워크가 활성화되어 더 많은 위험 감수 행동을 보이는 것으로 나타났다. 반면, 위험 손실 후에는 편도체, 꼬리핵, 복측 선조체의 활동이 감소한다. 편도체의 활성은 도박사의 오류와 음의 상관 관계를 가지므로, 편도체의 활동이 더 활발할수록 개인이 도박사의 오류에 빠질 가능성은 낮아진다. 이러한 결과는 도박사의 오류가 집행 기능적이고 목표 지향적인 프로세스를 담당하는 전전두피질에 더 의존하며, 정동적 의사 결정을 제어하는 뇌 영역에는 덜 의존한다는 것을 시사한다.^[21]

6. 3. 선조체

대표성 휴리스틱과 다른 인지 편향이 도박사의 오류의 가장 흔한 원인으로 꼽히지만, 신경학적 요소도 있을 수 있다는 연구 결과가 있다. 기능적 자기 공명 영상을 통해 도박이나 내기에서 졌을 때(위험 손실이라고 함) 뇌의 전두정엽 네트워크가 활성화되어 더 많은 위험 감수 행동을 보이는 것으로 나타났다. 반면, 위험 손실 후에는 편도체, 꼬리핵, 복측 선조체의 활동이 감소한다. 편도체의 활성은 도박사의 오류와 음의 상관 관계를 가지므로, 편도체의 활동이 더 활발할수록 개인이 도박사의 오류에 빠질 가능성은 낮아진다. 이러한 결과는 도박사의 오류가 집행적이고 목표 지향적인 프로세스를 담당하는 전전두피질에 더 의존하며, 정동적 의사 결정을 제어하는 뇌 영역에는 덜 의존한다는 것을 시사한다.

도박이나 내기를 계속하려는 욕구는 선택-결과 조건 학습 방식을 지원하는 선조체에 의해 제어된다. 선조체는 예측의 오류를 처리하고 행동은 그에 따라 변화한다. 이겼을 때는 긍정적인 행동이 강화되고, 졌을 때는 그 행동을 피하도록 조작적 조건화된다. 도박사의 오류를 보이는 개인의 경우, 이 선택-결과 조건 방식이 손상되어 일련의 손실 이후에도 계속해서 위험을 감수한다.^[21]

7. 역 도박사의 오류

동전 던지기에서 꼬리가 계속해서 나올 경우, 도박사는 꼬리가 더 자주 나올 것이라고 판단할 수 있다. 이는 동전이 공정하지 않을 가능성을 염두에 둔 합리적이고 베이즈적인 결론이며, 오류가 아니다. 꼬리가 나올 확률이 더 높다고 믿는 도박사는 앞면으로 바꿀 이유가 없다고 생각한다. 그러나 일련의 시행이 과거 결과에 대한 기억을 가지고 있어 미래의 결과에 유리하거나 불리하게 작용한다는 것은 오류이다.^[1]

연구자들은 알려진 사건을 통해 알려지지 않은 과거 사건을 추론할 때 유사한 편향이 존재하는지 검증했으며, 이를 "소급 도박사의 오류"(retrospective gambler's fallacy)라고 부른다^[30]。 예를 들어, 동전 던지기에서 연속해서 앞면이 나오는 것을 보았을 때, 그 이전에 보지 못한 동전 던지기에서 뒷면이 나왔을 것이라고 추정하는 것이다^[30]。 현재의 흔적으로부터 우주의 기원을 추정하는 것이 소급 도박사의 오류의 현실 세계에서의 예라고 주장된다.

철학자 John A. Leslie|존 A. 레슬리^영어는 저서 ''Universes''에서 "성질이 크게 다른 매우 많은 우주의 존재가, 적어도 하나의 우주가 생명을 허용하는 성질을 가지고 있는 이유에 대한 우리의 최선의 설명일 것이다"라고 주장했다^[31]。 다니엘 오펜하이머와 브누아 모닌은 "다시 말해, 저확률 사건에 대한 이 '최선의 설명'은 그것이 여러 시도 중 하나이며, 역 도박사의 오류의 핵심적인 직관이라는 것이다"라고 주장했다^[30]。 그러한 논쟁이 오류인지, 즉, 우리 우주의 발생으로부터 다른 우주의 존재나 우주 발생의 시도에 대해 아무것도 말할 수 없다는 주장에 대한 철학적 논쟁이 진행 중이다^[32]^[33]。

스탠퍼드 대학교 학생들에 의한 것을 포함한 3개의 연구에서 소급 도박사의 오류의 존재가 검증되었다. 3개의 연구 모두, 사람들은 도박사의 오류를 소급적으로, 그리고 미래의 사건에 대해 가지고 있다고 결론 내렸다^[30]。 3개의 연구 저자들은 모두 그들의 발견이 중요한 "방법론적 의미"를 가지고 있지만, 조사와 연구를 필요로 하는 "중요한 이론적 의미"도 가지고 있다고 결론지었다. 한 연구의 저자는 "이러한 추론 프로세스를 완전히 이해하기 위해서는, 그것들이 미래의 예측에 어떻게 영향을 미치는지 조사할 뿐만 아니라, 과거의 인식에 대해서도 조사해야 한다"라고 말했다^[30]。

7. 1. 이언 해킹의 설명

이언 해킹이 설명한 역 도박사의 오류는 도박사가 방에 들어가서 어떤 사람이 주사위 두 개를 던져 쌍육이 나오는 것을 보고, 그 사람이 처음 시도에서 쌍육이 나올 가능성은 낮으므로 꽤 오랫동안 주사위를 던지고 있었을 것이라고 잘못 결론 내릴 수 있는 상황이다.^[1]

8. 소급 도박사의 오류

연구자들은 알려진 후속 사건을 바탕으로 알 수 없는 과거 사건에 대해 추론할 때도 유사한 편향이 존재하는지 연구했으며, 이를 "소급 도박사의 오류"라고 명명했다.^[2]

예를 들어, 동전 던지기에서 여러 번 연속으로 "앞면"이 나오는 것을 보고, 이전에 알 수 없었던 던지기가 "뒷면"이었을 것이라고 결론 내리는 것이다.^[2] 우주의 기원과 같은 실제 사례에서도 소급 도박사의 오류가 존재한다고 주장되어 왔다. 존 레슬리는 그의 저서 ''우주''에서 "매우 다양한 우주가 존재하며, 각 우주는 그 특성이 매우 다르다는 사실은 적어도 하나의 우주가 생명체를 허용하는 특성을 갖는다는 것에 대한 최선의 설명일 수 있다"고 주장한다.^[3] 다니엘 M. 오펜하이머와 브누아 모닌은 "다시 말해, 낮은 확률의 사건에 대한 '최선의 설명'은 그것이 여러 번의 시도 중 하나일 뿐이라는 것이며, 이는 소급 도박사의 오류의 핵심 직관이다"라고 주장한다.^[2] 그러나 이러한 주장이 오류인지 아닌지에 대한 철학적 논쟁이 진행 중이며, 우리 우주의 발생은 다른 우주나 우주의 시도의 존재에 대해 아무것도 말해주지 않는다고 주장한다.^[4]^[5]

스탠퍼드 대학교 학생들을 대상으로 한 세 연구에서 소급 도박사의 오류의 존재를 테스트했다. 세 연구 모두 사람들은 미래 사건뿐만 아니라 과거 사건에 대해서도 도박사의 오류를 가지고 있다는 결론을 내렸다.^[2] 세 연구의 저자들은 그들의 연구 결과가 중요한 "방법론적 함의"를 갖지만, 조사와 연구가 필요한 "중요한 이론적 함의"도 가질 수 있으며, "이러한 추론 과정을 철저히 이해하려면 미래에 대한 예측에 어떤 영향을 미치는지 뿐만 아니라 과거에 대한 인식도 조사해야 한다"고 말했다.^[2]

9. 도박사의 오류가 적용되지 않는 경우

도박사의 오류는 서로 다른 사건의 확률이 독립적이지 않을 때, 즉 과거 사건의 결과에 따라 미래 사건의 확률이 변경될 수 있을 때는 적용되지 않는다. 예를 들어, 카드를 되돌려놓지 않고 덱에서 카드를 뽑는 경우가 이에 해당한다. 덱에서 에이스를 뽑아 다시 넣지 않으면, 다음에 뽑는 카드가 에이스일 확률은 낮아지고 다른 족보의 카드일 확률은 높아진다.

대부분의 도박사의 오류 예시는 시행이 공정하다고 가정하지만, 실제로는 그렇지 않을 수 있다. 예를 들어, 동전을 21번 던져 모두 앞면이 나오는 것은 극히 드문 확률이므로, 동전이 앞면으로 편향되었거나 조작되었을 가능성이 있다.^[8] 이 경우 베이즈 추론에 따라 "앞면"에 베팅하는 것이 현명하다. 베이즈 추론은 이전 관찰이 편향의 가능한 방향을 보여주는 경우, 관찰된 데이터에서 가장 많이 발생한 결과가 다시 발생할 가능성이 가장 높다는 것을 보여준다.^[9]

톰 스토파드의 희곡 ''로젠크란츠와 길덴스턴은 죽었다''의 첫 장면은 이러한 상황을 잘 보여준다. 등장인물들은 동전 던지기에서 계속 앞면이 나오는 상황에 대해 다양한 설명을 시도한다.

외부 요인이 사건의 확률을 변화시킬 수 있는 경우에도 도박사의 오류는 성립하지 않는다. 예를 들어, 게임 규칙의 변화나 선수의 경험 부족은 승리 확률에 영향을 줄 수 있다.

9. 1. 비독립 사건

도박사의 오류는 서로 다른 사건의 확률이 독립적이지 않을 때 적용되지 않는다. 이러한 경우, 과거 사건의 결과에 따라 미래 사건의 확률이 변경될 수 있으며, 이는 사건의 통계적 순열과 같다.

예를 들어 카드를 되돌려놓지 않고 덱에서 뽑는 경우를 들 수 있다. 만약 덱에서 에이스를 뽑아 다시 넣지 않으면 다음에 뽑는 카드가 에이스일 확률은 낮아지고 다른 족보의 카드일 확률은 높아진다. 처음 뽑은 카드가 에이스이고 조커가 없다고 가정할 때, 다른 에이스를 뽑을 확률은 (7.69%)에서 (5.88%)로 감소하며, 다른 족보의 카드를 뽑을 확률은 각각 (7.69%)에서 (7.84%)로 증가한다. 이러한 효과를 통해 블랙잭과 같은 게임에서 카드 계산법 시스템이 작동할 수 있다.

공정한 동전으로 동전 던지기를 반복하는 예시를 보자. 각 시행의 결과는 독립적이며, 1번의 던지기에서 앞면이 나올 확률은 1/2이다. 2번의 던지기에서 2번 모두 앞면이 나올 확률은 1/4이며, 3번의 던지기에서 3번 모두 앞면이 나올 확률은 1/8이다. 일반적으로, ''i''번째 동전 던지기에서 앞면이 나오는 사건을 ''A_i''라고 하면, ''n''번의 동전 던지기에서 모두 앞면이 나올 확률은 다음과 같다.

:

\Pr\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right)=\prod_{i=1}^n \Pr(A_i)={1\over2^n}

5번 연속으로 앞면이 나올 확률은 1/32이므로, 4번 연속으로 앞면이 나온 후 다음 동전 던지기에서는 뒷면이 나올 확률이 높아진다고 생각할 수 있다. 그러나 이는 오해이며, 도박사의 오류의 한 예시이다. "5번 연속으로 앞면이 나온다"는 사건과 "4번 연속으로 앞면이 나온 후, 뒷면이 나온다"는 사건은, 둘 다 확률이 1/32로 동일하다. 4번 연속으로 앞면이 나온 후 다음 시도에서 앞면이 나올 확률은 다음과 같다.

:

\Pr\left(A_5|A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4 \right)=\Pr\left(A_5\right)=\frac{1}{2}

5번 연속으로 앞면이 나올 확률은 1/32 = 0.03125 (3%를 조금 넘음)이지만, 이것이 "1번째 동전 던지기 전의 확률"이라는 것을 사람들이 깨닫지 못하는 것이 이 오류의 원인이다. 처음 4번의 던지기 후에는, 그 결과는 이미 불확실하지 않으므로, 해당 확률은 1 (100%)과 같다. 그 전 4번의 동전 던지기 결과가 앞면이었을 때, "과거 시도의 결과가 미래 확률에 영향을 미쳐, 5번째 결과가 뒷면이 될 확률이 높아질 것이다"라는 추론이 오류의 근원을 형성한다.

이 오류는 이전 시도의 실패로 인해 후속 시도에서 성공할 확률이 높아진다는 잘못된 믿음으로 이어진다. 공정한 16면 주사위에서 각 면이 나올 확률은 1/16 (6.25%)이다. 1의 눈이 한 번이라도 나오면 플레이어가 이기는 규칙의 경우, 주사위를 16번 던졌을 때 플레이어가 이길 (최소한 한 번은 1의 눈이 나올) 확률은 다음과 같다.

:

1-\left[\frac{15}{16}\right]^{16} \,=\, 64.39\%

1번째에 질 확률은 15/16 (93.75%)이다. 오류에 따르면, 플레이어는 1번 진 후에는 이길 가능성이 높아진다. 그러나 실제로는, 나머지 15번의 시도에서 플레이어가 이길 (최소한 한 번은 1의 눈이 나올) 확률은 다음과 같다.

:

1-\left[\frac{15}{16}\right]^{15} \,=\, 62.02\%

1번 질 때마다, 플레이어가 이길 확률은 약 2% 감소한다. 5번 진 후의 나머지 11번에서 이길 확률은 약 0.5 (50%)까지 감소하고 있다. 연속해서 진 후의 1번의 시도에서 질 확률은 늘어나지도 줄어들지도 않지만, 남은 시도 횟수가 줄어들기 때문에, 남은 시도에서 이길 확률은 낮아진다. 최종적으로 남은 시도가 1번이 되었을 때에는, 이길 확률은 1번의 시도에서 이길 확률과 같은 1/16 (6.25%)가 된다.

9. 2. 편향된 확률

도박사의 오류는 공정한 동전을 반복적으로 던지는 것을 예시로 설명할 수 있다. 각 던지기의 결과는 독립적이며, 한 번 던져서 앞면이 나올 확률은 1/2이다. 두 번 던져서 앞면이 두 번 나올 확률은 1/4이고, 세 번 던져서 앞면이 세 번 나올 확률은 1/8이다. 일반적으로 ''i''번째 동전 던지기에서 앞면이 나오는 사건을 ''A_i''라고 하면, ''n''번의 동전 던지기에서 모두 앞면이 나올 확률은 다음과 같다.

:

\Pr\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right)=\prod_{i=1}^n \Pr(A_i)={1\over2^n}

5번 연속으로 앞면이 나올 확률은 1/32이므로, 4번 연속으로 앞면이 나온 후 다음 동전 던지기에서는 뒷면이 나올 확률이 높아진다고 생각할 수 있다. 그러나 이는 오해이며, 도박사의 오류의 한 예시이다. "5번 연속으로 앞면이 나온다"는 사건과 "4번 연속으로 앞면이 나온 후, 뒷면이 나온다"는 사건은, 둘 다 확률이 1/32로 동일하다. 4번 연속으로 앞면이 나온 후 다음 시도에서 앞면이 나올 확률은 다음과 같다.

:

\Pr\left(A_5|A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4 \right)=\Pr\left(A_5\right)=\frac{1}{2}

5번 연속으로 앞면이 나올 확률은 1/32 = 0.03125 (3%를 조금 넘음)이지만, 이것이 "1번째 동전 던지기 전의 확률"이라는 것을 사람들이 깨닫지 못하는 것이 이 오류의 원인이다. 처음 4번의 던지기 후에는, 그 결과는 이미 불확실하지 않으므로, 해당 확률은 1 (100%)과 같다. 그 전 4번의 동전 던지기 결과가 앞면이었을 때, "과거 시도의 결과가 미래 확률에 영향을 미쳐, 5번째 결과가 뒷면이 될 확률이 높아질 것이다"라는 추론이 오류의 근원을 형성한다.

이 오류는 이전 시도의 실패로 인해 후속 시도에서 성공할 확률이 높아진다는 잘못된 믿음으로 이어진다. 공정한 16면 주사위에서 각 면이 나올 확률은 1/16 (6.25%)이다. 1의 눈이 한 번이라도 나오면 플레이어가 이기는 규칙의 경우, 주사위를 16번 던졌을 때 플레이어가 이길 (최소한 한 번은 1의 눈이 나올) 확률은 다음과 같다.

:

1-\left[\frac{15}{16}\right]^{16} \,=\, 64.39\%

1번째에 질 확률은 15/16 (93.75%)이다. 오류에 따르면, 플레이어는 1번 진 후에는 이길 가능성이 높아진다. 그러나 실제로는, 나머지 15번의 시도에서 플레이어가 이길 (최소한 한 번은 1의 눈이 나올) 확률은 다음과 같다.

:

1-\left[\frac{15}{16}\right]^{15} \,=\, 62.02\%

1번 질 때마다, 플레이어가 이길 확률은 약 2% 감소한다. 5번 진 후의 나머지 11번에서 이길 확률은 약 0.5 (50%)까지 감소하고 있다. 연속해서 진 후의 1번의 시도에서 질 확률은 늘어나지도 줄어들지도 않지만, 남은 시도 횟수가 줄어들기 때문에, 남은 시도에서 이길 확률은 낮아진다. 최종적으로 남은 시도가 1번이 되었을 때에는, 이길 확률은 1번의 시도에서 이길 확률과 같은 1/16 (6.25%)가 된다.

도박사의 오류 및 역 도박사의 오류에 대한 대부분의 설명에서는 시행(동전 던지기 등)이 공정하다고 가정한다. 실제로 이 가정이 맞지 않는 경우가 있다. 예를 들어 동전을 21번 던졌을 때 공정한 동전이라면 21번 모두 앞면이 나올 확률은 2,097,152분의 1이다. 이는 매우 낮은 확률이므로 만약 이런 일이 실제로 일어났다면 앞면이 더 잘 나오도록 조작된 부정한 동전이 사용되었거나, 숨겨진 자석 등으로 동전이 조작되었을 가능성이 있다.^[8] 이 경우 "21번 연속으로 앞면이 나왔다"는 empirical evidence|경험적 증거^영어로부터의 베이즈 추론에 의해 동전의 앞면이 나올 확률이 편향되었을 가능성이 높다는 것을 시사하므로 "앞면"에 거는 것이 좋다. 서로 다른 결과의 장기적인 비율은 불분명하지만 exchangeable random variables|교환 가능^영어 (결과가 생성되는 확률 과정이 편향되어 있을 가능성은 있지만, 모든 방향으로 동일하게 편향되어 있을 수 있음을 나타냄)이며, 지금까지의 관찰 결과가 편향의 가능성이 있는 방향을 보여줄 때, 베이즈 추론을 사용하여 관찰된 데이터에서 가장 많이 발생한 결과가 다시 발생할 확률이 가장 높다는 것을 나타낼 수 있다.^[9]

예를 들어 편향된 동전의 ''사전 확률''이 1%라고 가정하고, 이러한 편향된 동전이 60%의 확률로 앞면이 나온다고 가정하면, 21번의 앞면이 나온 후 편향된 동전일 확률은 약 32%로 증가한다.

톰 스토파드의 희곡 『로젠크란츠와 길덴스턴은 죽었다』의 오프닝 장면에서는 한 남자가 동전 던지기에서 연속으로 앞면을 내고, 다른 사람들이 그 일에 대해 다양한 검토를 하고 있다.

9. 3. 확률 변화

외부 요인이 사건의 확률을 변화시킬 수 있다면, 도박사의 오류는 성립하지 않을 수 있다. 예를 들어, 게임 규칙의 변화는 한 선수를 다른 선수보다 유리하게 만들어 승리 확률을 높일 수 있다. 유사하게, 경험이 부족한 선수의 성공은 상대 팀이 약점을 파악하고 이를 공략하면서 감소할 수 있다. 이는 또 다른 편향의 예시이다.

공정한 동전으로 동전 던지기를 반복하는 예시로 설명한다. 각 시행의 결과는 독립적이며, 1번의 던지기에서 앞면이 나올 확률은 1/2이다. 2번의 던지기에서 2번 모두 앞면이 나올 확률은 1/4이며, 3번의 던지기에서 3번 모두 앞면이 나올 확률은 1/8이다. 일반적으로, ''i''번째 동전 던지기에서 앞면이 나오는 사건을 ''A_i''라고 하면, ''n''번의 동전 던지기에서 모두 앞면이 나올 확률은 다음과 같다.

:

\Pr\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right)=\prod_{i=1}^n \Pr(A_i)={1\over2^n}

5번 연속으로 앞면이 나올 확률은 1/32이므로, 4번 연속으로 앞면이 나온 후 다음 동전 던지기에서는 뒷면이 나올 확률이 높아진다고 생각할 수 있다. 그러나 이는 오해이며, 도박사의 오류의 한 예시이다. "5번 연속으로 앞면이 나온다"는 사건과 "4번 연속으로 앞면이 나온 후, 뒷면이 나온다"는 사건은, 둘 다 확률이 1/32로 동일하다. 4번 연속으로 앞면이 나온 후 다음 시도에서 앞면이 나올 확률은 다음과 같다.

:

\Pr\left(A_5|A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4 \right)=\Pr\left(A_5\right)=\frac{1}{2}

5번 연속으로 앞면이 나올 확률은 1/32 = 0.03125 (3%를 조금 넘음)이지만, 이것이 "1번째 동전 던지기 전의 확률"이라는 것을 사람들이 깨닫지 못하는 것이 이 오류의 원인이다. 처음 4번의 던지기 후에는, 그 결과는 이미 불확실하지 않으므로, 해당 확률은 1 (100%)과 같다. 그 전 4번의 동전 던지기 결과가 앞면이었을 때, "과거 시도의 결과가 미래 확률에 영향을 미쳐, 5번째 결과가 뒷면이 될 확률이 높아질 것이다"라는 추론이 오류의 근원을 형성한다.

이 오류는 이전 시도의 실패로 인해 후속 시도에서 성공할 확률이 높아진다는 잘못된 믿음으로 이어진다. 공정한 16면 주사위에서 각 면이 나올 확률은 1/16 (6.25%)이다. 1의 눈이 한 번이라도 나오면 플레이어가 이기는 규칙의 경우, 주사위를 16번 던졌을 때 플레이어가 이길 (최소한 한 번은 1의 눈이 나올) 확률은 다음과 같다.

:

1-\left[\frac{15}{16}\right]^{16} \,=\, 64.39\%

1번째에 질 확률은 15/16 (93.75%)이다. 오류에 따르면, 플레이어는 1번 진 후에는 이길 가능성이 높아진다. 그러나 실제로는, 나머지 15번의 시도에서 플레이어가 이길 (최소한 한 번은 1의 눈이 나올) 확률은 다음과 같다.

:

1-\left[\frac{15}{16}\right]^{15} \,=\, 62.02\%

1번 질 때마다, 플레이어가 이길 확률은 약 2% 감소한다. 5번 진 후의 나머지 11번에서 이길 확률은 약 0.5 (50%)까지 감소하고 있다. 연속해서 진 후의 1번의 시도에서 질 확률은 늘어나지도 줄어들지도 않지만, 남은 시도 횟수가 줄어들기 때문에, 남은 시도에서 이길 확률은 낮아진다. 최종적으로 남은 시도가 1번이 되었을 때에는, 이길 확률은 1번의 시도에서 이길 확률과 같은 1/16 (6.25%)가 된다.

도박사의 오류 및 역 도박사의 오류에 대한 대부분의 설명에서는 시행(동전 던지기 등)이 공정하다고 가정한다. 실제로 이 가정이 맞지 않는 경우가 있다. 예를 들어 동전을 21번 던졌을 때 공정한 동전이라면 21번 모두 앞면이 나올 확률은 2,097,152분의 1이다. 이는 매우 낮은 확률이므로 만약 이런 일이 실제로 일어났다면 앞면이 더 잘 나오도록 조작된 부정한 동전이 사용되었거나, 숨겨진 자석 등으로 동전이 조작되었을 가능성이 있다.^[37] 이 경우 "21번 연속으로 앞면이 나왔다"는 empirical evidence|경험적 증거^영어로부터의 베이즈 추론에 의해 동전의 앞면이 나올 확률이 편향되었을 가능성이 높다는 것을 시사하므로 "앞면"에 거는 것이 좋다. 서로 다른 결과의 장기적인 비율은 불분명하지만 exchangeable random variables|교환 가능^영어 (결과가 생성되는 확률 과정이 편향되어 있을 가능성은 있지만, 모든 방향으로 동일하게 편향되어 있을 수 있음을 나타냄)이며, 지금까지의 관찰 결과가 편향의 가능성이 있는 방향을 보여줄 때, 베이즈 추론을 사용하여 관찰된 데이터에서 가장 많이 발생한 결과가 다시 발생할 확률이 가장 높다는 것을 나타낼 수 있다.^[38]

톰 스토파드의 희곡 『로젠크란츠와 길덴스턴은 죽었다』의 오프닝 장면에서는 한 남자가 동전 던지기에서 연속으로 앞면을 내고, 다른 사람들이 그 일에 대해 다양한 검토를 하고 있다.

10. 도박사의 오류 극복 방법

도박사의 오류는 뿌리 깊은 인지 편향으로, 극복하기가 매우 어렵다. 무작위성의 본질에 대해 교육해도 오류를 줄이는 데 항상 효과적인 것은 아니다. 1967년 비치와 스웬슨의 연구에서는 실험 참가자들에게 도박사의 오류를 알려주고 이전 결과에 의존하지 않도록 지시했지만, 여전히 이전 결과에 따라 추측하는 경향을 보였다.^[22]

1997년 피쉬바인과 슈나르크의 연구에 따르면, 나이가 들수록 도박사의 오류에 덜 취약해진다. 나이가 많을수록 "뒷면이 나올 확률이 더 작다"고 답하는 경향이 적었다.^[23] 이는 대표성 휴리스틱 등 인지 편향이 나이가 들면서 극복될 수 있음을 시사한다.

게슈탈트 심리학자 로니와 트릭은 도박사의 오류가 그룹핑으로 제거될 수 있다고 제안했다. 미래 사건을 이전 사건들과 묶어 생각하면 오류가 발생하지만, 각 사건을 독립적으로 보면 오류를 줄일 수 있다.^[24] 실험을 통해 연속된 결과(예: 앞면 3번) 후 다음 결과를 예측할 때 오류가 가장 강하게 나타나며, 결과를 이전과 분리하면 오류가 발생하지 않음을 확인했다.

로니와 트릭은 각 사건을 이전 사건의 연속이 아닌 시작으로 취급하도록 훈련하면 오류를 피할 수 있다고 주장했다. 이는 이전 사건에 따라 승리 확률이 증가한다고 잘못 믿고 도박하는 것을 막을 수 있다고 보았다.

10. 1. 인지 편향 인식

도박사의 오류는 극복하기 매우 어려운, 깊이 자리 잡은 인지 편향이다. 무작위성의 본질에 대해 사람들을 교육하는 것이 항상 이 오류를 줄이거나 없애는 데 효과적인 것은 아니다. 1967년 비치와 스웬슨의 연구에서 실험 참가자들에게 모양이 그려진 카드 묶음을 보여주고 다음에 어떤 모양이 나올지 추측하게 했다. 실험군 참가자들은 도박사의 오류에 대해 알고 있었고, 추측할 때 이전 결과에 의존하지 않도록 지시받았다. 대조군은 이러한 정보를 받지 못했다. 두 집단의 반응은 유사했으며, 이는 실험군도 여전히 이전 결과에 따라 선택했다는 것을 의미한다. 이는 무작위성에 대한 교육만으로는 도박사의 오류를 줄이기에 충분하지 않다는 결론으로 이어졌다.^[22]

사람들의 도박사의 오류에 대한 취약성은 나이가 들면서 감소할 수 있다. 1997년 피쉬바인과 슈나르크의 연구에서는 5개 그룹(5학년, 7학년, 9학년, 11학년 학생과 수학 교육 전공 대학생)에게 설문지를 실시했다. 모든 참가자는 확률에 대한 사전 교육을 받지 않았다. "로니가 동전을 세 번 던졌는데 모두 앞면이 나왔다. 로니가 다시 동전을 던질 때 네 번째에 앞면이 나올 확률은?"이라는 질문에, 학생의 나이가 많을수록 "뒷면이 나올 확률보다 작다"고 답할 가능성이 적었다. 5학년의 35%, 7학년의 35%, 9학년의 20%가 이러한 경향을 보였고, 11학년은 10%, 대학생은 아무도 없었다. 피쉬바인과 슈나르크는 대표성 휴리스틱 및 기타 인지 편향에 의존하는 경향은 나이가 들면서 극복될 수 있다고 보았다.^[23]

게슈탈트 심리학자인 로니와 트릭은 이 오류가 그룹핑의 결과로 제거될 수 있다고 제안한다. 동전 던지기와 같은 미래의 사건이 이전 사건들과 함께 묶여서 설명되면, 사람들은 자동적으로 이전 사건과의 연관성을 고려하게 되어 도박사의 오류가 발생한다. 그러나 모든 사건을 독립적인 것으로 간주하면 오류를 크게 줄일 수 있다.^[24]

로니와 트릭은 실험 참가자들에게 6번 또는 7번의 동전 던지기 두 묶음에 베팅한다고 말했다. 네 번째, 다섯 번째, 여섯 번째 던지기는 모두 같은 결과(앞면 3개 또는 뒷면 3개)였다. 일곱 번째 던지기는 한 묶음의 끝 또는 다음 묶음의 시작과 함께 그룹화되었다. 참가자들은 일곱 번째 시행이 세 개의 앞면 또는 뒷면 시퀀스 바로 뒤에 있는 첫 번째 묶음의 일부였을 때 가장 강한 도박사의 오류를 보였다. 연구자들은 도박사의 오류를 보이지 않은 참가자들이 베팅에 대한 확신이 덜했고, 더 적게 베팅했다고 언급했다. 일곱 번째 시행이 두 번째 묶음과 함께 그룹화되어 연승의 일부로 인식되지 않았을 때는 도박사의 오류가 발생하지 않았다.

로니와 트릭은 사람들에게 무작위성을 가르치는 대신, 각 사건을 이전 사건의 연속이 아닌 시작으로 취급하도록 훈련함으로써 오류를 피할 수 있다고 주장했다. 이는 사람들이 이전 사건과의 상호 작용에 따라 승리할 확률이 증가한다고 잘못 믿고 계속 도박하는 것을 막을 수 있다고 보았다.

10. 2. 독립 사건 이해

공정한 동전으로 동전 던지기를 반복하는 예시로 설명한다. 각 시행의 결과는 독립적이며, 한 번의 던지기에서 앞면이 나올 확률은 1/2이다. 두 번의 던지기에서 모두 앞면이 나올 확률은 1/4이며, 세 번의 던지기에서 모두 앞면이 나올 확률은 1/8이다. 일반적으로 ''i''번째 동전 던지기에서 앞면이 나오는 사건을 ''A_i''라고 하면, ''n''번의 동전 던지기에서 모두 앞면이 나올 확률은 다음과 같다.

:

\Pr\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right)=\prod_{i=1}^n \Pr(A_i)={1\over2^n}

5번 연속으로 앞면이 나올 확률은 1/32이므로, 4번 연속으로 앞면이 나온 후 다음 동전 던지기에서는 뒷면이 나올 확률이 높아진다고 생각할 수 있다. 그러나 이는 오해이며, 도박사의 오류의 한 예시이다. "5번 연속으로 앞면이 나온다"는 사건과 "4번 연속으로 앞면이 나온 후, 뒷면이 나온다"는 사건은, 둘 다 확률이 1/32로 동일하다. 4번 연속으로 앞면이 나온 후 다음 시도에서 앞면이 나올 확률은 다음과 같다.

:

\Pr\left(A_5|A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4 \right)=\Pr\left(A_5\right)=\frac{1}{2}

5번 연속으로 앞면이 나올 확률은 1/32 = 0.03125 (3%를 조금 넘음)이지만, 이것이 "첫 번째 동전 던지기 전의 확률"이라는 것을 사람들이 깨닫지 못하는 것이 이 오류의 원인이다. 처음 4번의 던지기 후에는 그 결과는 이미 정해졌으므로, 해당 확률은 1 (100%)과 같다. 이전 4번의 동전 던지기 결과가 앞면이었을 때, "과거 시도의 결과가 미래 확률에 영향을 미쳐, 5번째 결과가 뒷면이 될 확률이 높아질 것이다"라는 추론이 오류의 근원을 형성한다.

이 오류는 이전 시도의 실패로 인해 후속 시도에서 성공할 확률이 높아진다는 잘못된 믿음으로 이어진다. 공정한 16면 주사위에서 각 면이 나올 확률은 1/16 (6.25%)이다. 1의 눈이 한 번이라도 나오면 플레이어가 이기는 규칙의 경우, 주사위를 16번 던졌을 때 플레이어가 이길 (최소한 한 번은 1의 눈이 나올) 확률은 다음과 같다.

:

1-\left[\frac{15}{16}\right]^{16} \,=\, 64.39\%

첫 번째에 질 확률은 15/16 (93.75%)이다. 오류에 따르면, 플레이어는 한 번 진 후에는 이길 가능성이 높아진다. 그러나 실제로는 나머지 15번의 시도에서 플레이어가 이길 (최소한 한 번은 1의 눈이 나올) 확률은 다음과 같다.

:

1-\left[\frac{15}{16}\right]^{15} \,=\, 62.02\%

한 번 질 때마다 플레이어가 이길 확률은 약 2% 감소한다. 5번 진 후의 나머지 11번에서 이길 확률은 약 0.5 (50%)까지 감소하고 있다. 연속해서 진 후의 한 번의 시도에서 질 확률은 늘어나지도 줄어들지도 않지만, 남은 시도 횟수가 줄어들기 때문에 남은 시도에서 이길 확률은 낮아진다. 최종적으로 남은 시도가 한 번이 되었을 때에는, 이길 확률은 한 번의 시도에서 이길 확률과 같은 1/16 (6.25%)가 된다.

10. 3. 확률 교육

무작위성의 본질에 대해 교육하는 것만으로는 도박사의 오류를 줄이거나 없애는 데 충분하지 않을 수 있다. 1967년 비치와 스웬슨의 연구에서, 실험 참가자들은 도박사의 오류에 대해 배우고 런(연속된 결과)에 의존하지 않도록 지시받았음에도 불구하고, 여전히 런 길이에 따라 추측했다.^[22]

나이가 들면서 도박사의 오류에 대한 민감성이 감소할 수 있다. 1997년 피쉬바인과 슈나르크의 연구에 따르면, 나이가 많은 학생일수록 동전 던지기에서 "뒷면이 나올 확률이 더 작다"고 답하는 경향이 적었다. 5학년, 7학년, 9학년, 11학년 학생과 수학 교육 전공 대학생을 대상으로 한 설문에서, 5학년과 7학년은 35%, 9학년은 20%, 11학년은 10%만이 이러한 경향을 보였고, 대학생은 아무도 그러한 답을 하지 않았다.^[23] 이는 대표성 휴리스틱과 같은 인지 편향이 나이가 들면서 극복될 수 있음을 시사한다.

게슈탈트 심리학자인 로니와 트릭은 도박사의 오류가 그룹핑의 결과로 제거될 수 있다고 제안한다. 미래의 사건을 시퀀스의 일부가 아닌 독립적인 사건으로 간주하면 오류를 줄일 수 있다.^[24] 이들은 실험 참가자들에게 동전 던지기 결과를 예측하게 했을 때, 연속된 결과(예: 앞면 3번) 이후 다음 결과를 예측하는 상황에서 도박사의 오류가 가장 강하게 나타났으며, 이 결과를 이전 결과와 분리하여 인식했을 때는 오류가 발생하지 않았음을 발견했다.

10. 4. 그룹화 전략

로니와 트릭은 실험 참가자들에게 6번의 동전 던지기 두 묶음 또는 7번의 동전 던지기 두 묶음 중 하나에 베팅한다고 말했다. 네 번째, 다섯 번째, 여섯 번째 던지기는 모두 같은 결과(앞면 3개 또는 뒷면 3개)를 보였다. 일곱 번째 던지기는 한 묶음의 끝 또는 다음 묶음의 시작과 함께 묶였다. 참가자들은 일곱 번째 시행이 세 개의 앞면 또는 뒷면 시퀀스 바로 뒤에 있는 첫 번째 묶음의 일부였을 때 가장 강력한 도박사의 오류를 보였다. 연구자들은 도박사의 오류를 보이지 않은 참가자가 도박사의 오류를 선택한 참가자보다 베팅에 대한 확신이 덜했고, 더 적게 베팅했다고 지적했다. 일곱 번째 시행이 두 번째 묶음과 함께 묶여 연승의 일부로 인식되지 않았을 때는 도박사의 오류가 발생하지 않았다.^[24]

로니와 트릭은 사람들에게 무작위성의 본질을 가르치는 대신, 각 사건을 이전 사건의 연속이 아닌 시작으로 취급하도록 훈련함으로써 오류를 피할 수 있다고 주장했다. 그들은 이것이 사람들이 이전 사건과의 상호 작용에 따라 승리할 확률이 증가한다고 잘못 믿고 잃고 있을 때 도박하는 것을 막을 것이라고 제안했다.^[24]

10. 5. 연령과 경험

도박사의 오류는 극복하기 매우 어려운, 깊이 뿌리박힌 인지 편향이다. 무작위성의 본질에 대해 사람들을 교육하는 것이 항상 오류 발생을 줄이거나 제거하는 데 효과적인 것은 아니었다. 1967년 비치와 스웬슨의 연구에서 실험 참가자들에게 모양이 그려진 인덱스 카드의 섞인 묶음을 보여주고, 다음에 어떤 모양이 나올지 추측하도록 했다. 실험군 참가자들은 도박사의 오류의 본질과 존재에 대해 알게 되었고, 추측할 때 런 의존성에 의존하지 않도록 명시적으로 지시받았다. 대조군은 이 정보를 받지 못했다. 두 집단의 반응 스타일은 유사했으며, 이는 실험군이 여전히 런 시퀀스의 길이에 따라 선택을 했다는 것을 나타낸다. 이로 인해 무작위성에 대해 개인을 교육하는 것만으로는 도박사의 오류를 줄이는 데 충분하지 않다는 결론이 나왔다.^[22]

개인의 도박사의 오류에 대한 취약성은 나이가 들면서 감소할 수 있다. 1997년 피쉬바인과 슈나르크는 5개 그룹(5학년, 7학년, 9학년, 11학년 학생과 수학 교육을 전공하는 대학생)에게 설문지를 실시했다. 참가자 중 누구도 확률에 대한 사전 교육을 받지 않았다. 질문은 다음과 같았다. "로니가 동전을 세 번 던졌는데, 모두 앞면이 나왔다. 로니는 다시 동전을 던지려고 한다. 네 번째에 앞면이 나올 확률은?" 그 결과 학생의 나이가 많을수록 "뒷면이 나올 확률보다 작다"고 답할 가능성이 적다는 것을 보여주었는데, 이는 부정적인 최근성 효과를 나타낸다. 5학년의 35%, 7학년의 35%, 9학년의 20%가 부정적인 최근성 효과를 보였다. 11학년의 10%만이 이와 같이 대답했고, 대학생은 아무도 없었다. 피쉬바인과 슈나르크는 개인이 대표성 휴리스틱 및 기타 인지 편향에 의존하는 경향은 나이가 들면서 극복될 수 있다고 이론화했다.^[23]

또 다른 가능한 해결책은 게슈탈트 심리학자인 로니와 트릭이 제시했는데, 이들은 오류가 그룹핑의 결과로 제거될 수 있다고 제안한다. 동전 던지기와 같은 미래의 사건이 임의적이더라도 시퀀스의 일부로 설명되면, 사람은 이전 사건과 관련하여 해당 사건을 자동으로 고려하게 되면서 도박사의 오류가 발생한다. 사람이 모든 사건을 독립적인 것으로 간주하면 오류를 크게 줄일 수 있다.^[24]

로니와 트릭은 실험 참가자들에게 6번의 동전 던지기 두 블록 또는 7번의 동전 던지기 두 블록 중 하나에 베팅한다고 말했다. 네 번째, 다섯 번째, 여섯 번째 던지기는 모두 동일한 결과(앞면 3개 또는 뒷면 3개)를 나타냈다. 일곱 번째 던지기는 한 블록의 끝 또는 다음 블록의 시작과 함께 그룹화되었다. 참가자들은 일곱 번째 시행이 세 개의 앞면 또는 뒷면 시퀀스 바로 뒤에 있는 첫 번째 블록의 일부였을 때 가장 강력한 도박사의 오류를 보였다. 연구자들은 도박사의 오류를 보이지 않은 참가자가 도박사의 오류를 선택한 참가자보다 베팅에 대한 확신이 덜했고, 더 적게 베팅했다고 지적했다. 일곱 번째 시행이 두 번째 블록과 함께 그룹화되어 연승의 일부로 인식되지 않았을 때는 도박사의 오류가 발생하지 않았다.

로니와 트릭은 사람들에게 무작위성의 본질을 가르치는 대신, 각 사건을 이전 사건의 연속이 아닌 시작으로 취급하도록 훈련함으로써 오류를 피할 수 있다고 주장했다. 그들은 이것이 사람들이 이전 사건과의 상호 작용에 따라 승리할 확률이 증가한다고 잘못 믿고 잃고 있을 때 도박하는 것을 막을 것이라고 제안했다.

11. 다양한 분야에서의 도박사의 오류

여러 연구에 따르면, 실제 고위험 상황에서 의사 결정자들은 이전 결정에 영향을 받는 음의 자기상관성을 보이는 경향이 있으며, 이는 도박사의 오류와 관련이 있다.

이러한 현상은 망명 재판, 야구 심판의 스트라이크 존 판정, 대출 담당자의 대출 승인, 복권 번호 선택, 비디오 게임의 전리품 상자 시스템 등 다양한 분야에서 나타난다.^[25]^[26]^[27]^[28]^[29]

11. 1. 망명 재판

미국 망명 재판관의 결정에 도박사의 오류와 관련된 음의 자기상관관계가 존재하는지 알아보기 위한 연구가 있었다. 이 연구에서 두 번의 연속적인 망명 허가 이후 재판관은 세 번째 허가를 승인할 가능성이 5.5% 감소한다는 결과가 나왔다.^[25] 연구에 따르면, 난민 심사관, 융자 담당자, 야구 심판은 의사 결정 과정에서 도박사의 오류를 일관되게 보이는 것으로 나타났다.^[52]^[53]

11. 2. 야구 심판

야구 경기에서는 매 순간 결정이 내려진다. 심판이 내리는 결정 중 특히 자주 논란이 되는 것은 '스트라이크 존' 결정이다. 타자가 스윙을 하지 않을 때마다 심판은 공이 타자에게 적절한 구역, 즉 스트라이크 존 안에 들어왔는지 판단해야 한다. 이 존을 벗어나면 해당 공은 타자를 아웃시키는 데 기여하지 않는다. 12,000 경기 이상을 연구한 결과, 심판은 이전 두 개의 공이 모두 스트라이크였을 경우, 스트라이크를 선언할 확률이 1.3% 낮아지는 것으로 나타났다.^[25] 연구에 따르면, 난민 심사관, 융자 담당자, 야구 심판은 의사 결정 과정에서 도박사의 오류를 일관되게 보이는 것으로 나타났다.^[52]^[53]

11. 3. 대출 심사

대출 담당자의 의사 결정에서 금전적 인센티브가 편향된 의사 결정의 핵심 요소이며 도박사의 오류 효과를 검토하기 어렵게 만든다고 주장할 수 있다. 그러나 연구에 따르면 금전적 이득으로 인센티브를 받지 않는 대출 담당자는 이전 고객에게 대출을 승인한 경우 대출 승인 가능성이 8% 낮다.^[26]

연구에 따르면, 난민 심사관, 융자 담당자, 야구 심판은 의사 결정 과정에서 도박사의 오류를 일관되게 보이는 것으로 나타났다.^[52]^[53]

11. 4. 복권 구매

복권을 사서 매번 당첨되지 못한 경우, 다음에 구매하면 꼭 당첨될 것이라는 잘못된 기대를 하는 경우가 있다. 복권 게임과 잭팟은 전 세계의 도박꾼들을 유혹하며, 당첨을 바라는 사람들이 내리는 가장 큰 결정은 어떤 번호를 선택할지이다. 대부분 자신만의 전략을 가지고 있겠지만, 증거에 따르면 현재 추첨에서 당첨 번호로 선택된 번호는 다음 복권에서 선택 횟수가 현저하게 감소하는 현상이 나타난다. 찰스 클로펠터와 필립 쿡은 1991년에 이 효과를 조사했는데, 도박꾼들이 번호가 선택된 직후 해당 번호를 선택하는 것을 중단하고, 결국 3개월 이내에 선택 인기가 회복된다는 결론을 내렸다.^[27] 1994년에는 Dek Terrell이 클로펠터와 쿡의 연구 결과를 검증하기 위한 연구를 수행했다. Terrell의 연구에서 가장 중요한 변화는 상호 베팅 복권을 조사했다는 점인데, 이는 총 베팅액이 적은 번호가 더 높은 배당금을 받는다는 점을 의미한다. 이 조사는 두 유형의 복권에서 플레이어들이 도박사의 오류 이론에 부합하는 행동을 보인다는 결론을 내렸지만, 상호 베팅에 참여한 사람들은 그 영향이 덜한 것으로 보였다.^[28]

표 1. 클로펠터, 쿡(1991)에 따른 복권 구매자의 번호 선택 변화율^[27]
1988년 4월 14일 추첨 번호		추첨일	추첨 후 일수
4월	당첨 번호	0	1	3	7	56
11	244	41	34	24	27	30
12	504	29	20	12	18	15
13	718	28	20	17	19	25
14	323	134	95	79	81	76
15	640	10	20	18	16	20
16	957	30	22	20	24	32
이전에 당첨된 번호를 선택한 플레이어의 평균 비율 (추첨일 대비)			78%	63%	68%	73%

도박사의 오류 효과는 번호가 당첨 번호로 선택된 직후에 선택 빈도가 훨씬 줄어들고, 두 달에 걸쳐 서서히 회복되는 것으로 관찰할 수 있다. 예를 들어, 1988년 4월 11일에는 41명의 플레이어가 244를 당첨 조합으로 선택했다. 사흘 후에는 24명만이 244를 선택했는데, 이는 41.5% 감소한 것이다. 이는 복권 구매자들이 이전 날에 당첨 조합이 나타났다는 사실이 오늘 다시 나타날 가능성을 감소시킨다고 믿는다는 점에서 도박사의 오류가 작용하는 것이다.

11. 5. 비디오 게임

몇몇 비디오 게임은 전리품 상자를 사용한다. 전리품 상자는 희귀도에 따라 무작위로 내용물이 결정되어 열었을 때 게임 내 아이템을 보상으로 제공하며, 이는 수익 창출 방식 중 하나이다. 2018년경부터 전리품 상자는 도박과 유사하다는 이유로, 특히 청소년을 대상으로 하는 게임에서, 정부와 옹호자들의 비판을 받아왔다. 일부 게임은 "연민 타이머" 메커니즘을 사용하는데, 이는 플레이어가 고등급 아이템을 얻지 못한 채로 전리품 상자를 연달아 열 경우, 이후의 전리품 상자에서 더 높은 등급의 아이템이 나올 확률을 높여준다. 이는 플레이어가 결국에는 고등급 아이템(승리)을 얻게 될 것이라는 생각을 강화하기 때문에, 도박사의 오류에 해당한다고 여겨진다.^[29]

참조

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