에르고딕성

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 동치 조건
3. 성질
4. 예시
5. 역사
6. 응용
참조

1. 개요

에르고딕성은 확률 공간 상의 측도 보존 변환에 대한 개념으로, 변환의 에르고딕성은 여러 동치 조건을 통해 정의된다. 에르고딕 변환은 불변 집합이 측도 0 또는 1을 갖는 특징을 보이며, 시간 평균과 공간 평균의 일치를 보여주는 버코프 에르고딕 정리가 성립한다. 폰 노이만 에르고딕 정리는 유니터리 작용소에 대한 에르고딕 정리를 일반화한다. 섞임은 에르고딕성보다 강한 조건이며, 섞임 변환은 에르고딕하다. 에르고딕성은 무리수 회전, 베르누이 시프트, 아놀드 고양이 맵, 마르코프 연쇄 등 다양한 예시에서 나타난다. 통계역학의 에르고딕 가설은 물리적 시스템의 에르고딕성을 가정하여 시간 평균을 공간 평균으로 대체하여 계산하는 데 활용된다. 물리학, 기하학, 확률 과정, 군 작용 등 다양한 분야에서 에르고딕성의 개념이 적용되며, 시스템의 혼돈적 거동과 열평형을 이해하는 데 중요한 역할을 한다.

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에르고딕성

2. 정의

확률 공간 $(X,\Sigma,\mu)$ 위의 '''측도 보존 변환''' $T\colon X\to X$ 은 다음 조건을 만족시키는 가측 함수이다.

: $\mu \circ T^{-1}=\mu\colon\Sigma\to[0,1]$

여기서 $T^{-1}\colon\Sigma\to\Sigma$ 는 가측 집합의 원상 함수이다.

측도 보존 변환 $T\colon X\to X$ 가 주어졌을 때, $T$ 가 $\mu$ 에 대한 '''에르고딕 변환'''이 되는 조건은 하위 섹션 "동치 조건"에 상세히 설명되어 있다.

에르고딕성은 물리학과 수학의 광범위한 설정에서 발생하며,^[1] 이러한 설정들은 측도 보존 역학계라는 공통적인 수학적 설명으로 통합된다. 에르고딕성은 확률 과정의 관점에서도 이해될 수 있으며, 이들은 동일한 개념을 다르게 표현한 것이다.

에르고딕성의 수학적 정의는 무작위성에 대한 일상적인 개념을 포착하며, 확산과 브라운 운동처럼 모든 공간을 채우는 시스템과 페인트, 음료 등을 섞는 혼합 개념을 포함한다.

에르고딕 시스템은 측도 보존 동역학계 $(X, \mathcal{A}, \mu, T)$ 로 설명된다. 여기서 $X$ 는 전체 공간, $\mu$ 는 공간의 부피를 정의하는 측도, $\mathcal{A}$ 는 부피를 갖는 부분 집합(가측 부분 집합)들의 집합, $T$ 는 시간 진화를 나타내는 사상이다.

시스템의 시간 진화에서 집합 $A\in\mathcal{A}$ 가 오랜 시간 동안 $X$ 의 모든 부분을 채우면 시스템은 에르고딕이라고 한다. 에르고딕 분해 정리에 따르면, 모든 에르고딕 시스템은 보존 부분과 소산 부분으로 나눌 수 있다.

혼합은 에르고딕성보다 더 강력한 개념으로, 임의의 두 집합 $A, B$ 에 대해 $T^n(A) \cap B \ne \varnothing$ 를 만족하는 정수 $N$ 이 존재해야 한다.

에르고딕성의 개념은 확률 이론과도 연결되는데, 콜모고로프 공리가 측도론의 공리와 동일하기 때문이다.^[2] 예를 들어, 동전 던지기 집합에서 베르누이 과정은 에르고딕 시스템으로 변환될 수 있다.

오른스타인 동형 정리에 따르면, 모든 정상 확률 과정은 베르누이 계획과 동일하며, 모든 비소산 에르고딕 시스템은 마르코프 계수기와 동일하다.

$(X, \mathcal B)$ 가 가측 공간이고, $T$ 가 가측 함수이며, $\mu$ 가 확률 측도일 때, 측도 보존 역학계는 $A \in \mathcal B$ 에 대해 $\mu\mathord\left(T^{-1}(A)\right) = \mu(A)$ 를 만족하는 역학계로 정의된다. 이러한 $T$ 는 $\mu$ 를 보존한다고 하며, $\mu$ 는 $T$ -불변 측도라고 한다.

측정 가능 함수 $T$ 는 임의의 $A \in \mathcal B$ 에 대해 $T^{-1}(A) = A$ 이면, $\mu(A) = 0$ 또는 $\mu(A) = 1$ 인 경우 ''' $\mu$ -에르고딕''' 또는 ''' $\mu$ 는 $T$ 에 대한 에르고딕 측도이다'''라고 한다.

2. 1. 동치 조건

확률 공간

(X,\Sigma,\mu)

위에 측도 보존 변환

T\colon X\to X

가 주어졌을 때, 다음 네 조건은 서로 동치이며, 이 조건이 성립하면

T

가

\mu

에 대한 '''에르고딕 변환'''이라고 한다.

모든 가측 집합 $E\in\Sigma$ 에 대하여, $T^{-1}(E)=E$ 라면 $\mu(E)\in\{0,1\}$ 이다.
모든 가측 집합 $E\in\Sigma$ 에 대하여, $\mu(T^{-1}(E)\setminus E\cup E\setminus T^{-1}(E))=0$ 이라면 $\mu(E)\in\{0,1\}$ 이다.
모든 가측 집합 $E\in\Sigma$ 에 대하여, $\mu(E)>0$ 이라면 $\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty T^{-n}(E)\right)=1$ 이다.
모든 가측 집합 $E,F\in\Sigma$ 에 대하여, $\mu(E),\mu(F)>0$ 이라면 다음 부등식을 만족시키는 양의 정수 $n\in\mathbb Z^+$ 이 존재한다. $\mu\left(T^{-n}(E)\cap F\right)>0$

이는 다음과 같이 즉각적으로 재구성할 수 있다.

모든 $A \in \mathcal B$ 에 대해, $\mu\mathord\left(T^{-1}(A) \bigtriangleup A\right) = 0$ 이면, $\mu(A) = 0$ 또는 $\mu(A) = 1\,$ 이다. (여기서 $\bigtriangleup$ 는 대칭차집합을 나타낸다).
양의 측도를 갖는 모든 $A \in \mathcal B$ 에 대해, $\mu\mathord\left(\bigcup_{n=1}^\infty T^{-n}(A)\right) = 1$ 이다.
양의 측도를 갖는 모든 두 집합 $A, B \in \mathcal B$ 에 대해, $n > 0$ 이 존재하여 $\mu\mathord\left(\left(T^{-n}(A)\right) \cap B\right) > 0$ 이다.
$f \circ T = f$ 인 모든 가측 함수 $f: X\to\mathbb{R}$ 는 전체 측도의 부분집합에서 상수이다.

응용 분야에서는, 마지막 조건이 제곱 적분 가능 함수로만 제한될 수 있다.

만약 $f \in L^2(X, \mu)$ 이고 $f \circ T = f$ 이면, $f$ 는 거의 모든 곳에서 상수이다.

3. 성질

에르고딕성의 정의에 따른 직접적인 결과는, 위상 공간 $X$ 에서 $\mathcal B$ 가 보렐 집합의 σ-대수일 때, $T$ 가 $\mu$ -에르고딕이면, $T$ 의 $\mu$ -거의 모든 궤도는 $\mu$ 의 지지 집합에서 조밀하다는 것이다.

하지만 이는 동치가 아니다. 유일하게 에르고딕하지 않은 변환의 경우, 지지 집합이 전체인 에르고딕 측도 $\mu_0$ 가 존재하지만, 다른 에르고딕 측도 $\mu_1$ 에 대해 측도 $\frac{1}{2}(\mu_0 + \mu_1)$ 는 $T$ 에 대해 에르고딕하지 않지만, 그 궤도는 지지 집합에서 조밀하기 때문이다. 명시적인 예는 시프트 불변 측도를 사용하여 구성할 수 있다.^[19]

변환 $T$ 가 전체 측도의 궤도를 갖지 않을 때, '정칙 에르고딕'이라고 한다. 이산적인 경우, 이는 측도 $\mu$ 가 $T$ 의 유한 궤도에서 지원되지 않음을 의미한다.

에르고딕성의 정의는 군 작용에 대해서도 의미를 가진다. 고전적인 이론(가역 변환의 경우)은 $Z$ 또는 $R$ 의 작용에 해당한다.

비가환군에서는 콤팩트한 거리 공간 상에서도 불변 측도가 존재하지 않을 수 있다. 그러나 에르고딕성의 정의는 불변 측도를 준불변 측도로 대체해도 변하지 않는다.

예를 들어, 반단순 리 군(혹은 그 안의 격자)의 "Furstenberg boundary"에 대한 작용이 있다.

모든 포화 부분 집합이 널 또는 코널인 경우, 측정 가능한 동치 관계는 에르고딕하다고 한다.

3. 1. 버코프 에르고딕 정리

확률 공간

(X,\Sigma,\mu)

위의 측도 보존 변환

T\colon X\to X

가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

T

에 대하여 불변인

\Sigma

-가측 집합들의 시그마 대수

:

\mathcal C=\{S\in\Sigma\colon T^{-1}(S)=S\}

를 정의하자.

확률 공간

(X,\Sigma,\mu)

위의 실수값의 확률 변수

f\colon X\to\mathbb R

의 절댓값이 기댓값을 갖는다고 하자.

:

\operatorname E(|f|)=\int_X|f|<\infty

이 경우,

f

의

n

단위만큼 시간 변환을 가한 '''시간 평균'''(time average^영어)

:

\frac1n \sum_{k=0}^{n-1} f(T^kx)

과 '''공간 평균'''(space average^영어)

:

\operatorname E(f)=\int_Xf\,d\mu

을 생각할 수 있다. 이 둘은 일반적으로 다르지만, '''버코프 에르고딕 정리'''(Birkhoff’s ergodic theorem^영어)에 따르면 만약

T

가 에르고딕 변환이라면, 공간 평균은 무한한 시간 평균의 극한과 일치한다.

구체적으로,

T

가 에르고딕 변환이라고 가정하지 않았을 때, 임의의

x\in X

에 대하여 거의 확실하게 다음이 성립한다.

:

\lim_{n\rightarrow\infty}\; \frac1n \sum_{k=0}^{n-1} f(T^kx)=\operatorname E(f|\mathcal C)(x)

여기서

\operatorname E(f|\mathcal C)\colon X\to\mathbb R

는

\mathcal C

에 대한

f

의 조건부 기댓값이다.

만약

T

가 에르고딕 변환이라고 추가로 가정하면,

\mathcal C

는 측도 0 또는 1의 집합으로만 구성된다.

:

\mathcal C\subseteq\left\{S\in\Sigma\colon\mu(S)\in\{0,1\}\right\}

따라서, 임의의

x\in X

에 대하여 거의 확실하게

\operatorname E(f|\mathcal C)(x)=\operatorname E(f)

이며, 임의의

x\in X

에 대하여 거의 확실하게 다음이 성립한다.

:

\lim_{n\to\infty}\frac1n \sum_{k=0}^{n-1} f(T^kx)=\operatorname E(f)

만약

\mu

가 변환

T

에 대해 에르고딕한 공간

X

의 확률 측도라면, G. 비르코프의 점별 에르고딕 정리는 모든 가측 함수

f: X \to \mathbb R

에 대해, 그리고

\mu

-거의 모든 점

x \in X

에 대해

x

의 궤도에서의 시간 평균이

f

의 공간 평균으로 수렴한다고 말한다. 형식적으로 이것은 다음을 의미한다.

:

\lim_{k \to +\infty} \left( \frac 1{k+1} \sum_{i=0}^k f\left(T^i(x)\right) \right) = \int_X fd\mu.

3. 2. 폰 노이만 에르고딕 정리

확률 공간 $(X,\Sigma,\mu)$ 위의 확률 보존 변환 $T\colon X\to X$는 그 L² 공간 위에 유니터리 작용소

:$U\colon L^2(X;\mathbb R)\to L^2(X;\mathbb R)$

:$U\colon f\mapsto f\circ T$

를 정의한다. 이를 사용하여, 에르고딕 정리를 일반적인 힐베르트 공간 위의 유니터리 작용소에 대한 정리로 일반화할 수 있으며, 이를 '''폰 노이만 에르고딕 정리'''(von Neumann ergodic theorem^영어)라고 한다.

구체적으로, 힐베르트 공간 $\mathcal H$ 위에 유니터리 작용소 $U\colon\mathcal H\to\mathcal H$가 주어졌다고 하고, $\operatorname{Proj}_{\ker(1-U)}$가 $\ker(1-U)$로의 사영 작용소라고 하자. 그렇다면, $n^{-1}(1+U+\cdots+U^{n-1})$은 강한 작용소 위상에 대하여 다음과 같이 수렴한다.

:$\lim_{n\to\infty}n^{-1}\sum_{k=0}^{n-1}U^k=\operatorname{Proj}_{\ker(1-U)}$

즉, 모든 $|f\rangle\in\mathcal H$에 대하여, 다음이 성립한다.

:$\lim_{n\to\infty}\left\|n^{-1}\sum_{k=0}^{n-1}U^k|f\rangle-\operatorname{Proj}_{\ker(1-U)}|f\rangle\right\|=0$

3. 3. 섞임 (Mixing)

측도 보존 동역학계는 섞임에 대한 엄밀한 정의를 제공한다. 이 시스템은 전체 공간

X

, 부분 공간의 부피를 정의하는 측도

\mu

, 그리고 시간 진화를 나타내는 사상

T:X \to X

로 구성된다. 여기서 사상

T

는 부분 집합을 변형시키지만, 그 부피는 보존된다. 즉,

\mu(A) = \mu\mathord\left(T^{-1}(A)\right)

이다.

혼합은 에르고딕성보다 더 강력한 개념이다. 혼합은 임의의 두 집합

A, B \in \mathcal{A}

에 대해, 충분히 큰

n

에 대해

T^n(A)

와

B

가 겹치는 것을 요구한다. 즉,

T^n(A) \cap B \ne \varnothing

를 만족하는 정수

N

이 존재해야 한다(위상적 혼합).

수학적으로, 확률 공간

(X, \mu)

의 변환

T

가 임의의 가측 집합

A, B \subset X

에 대해 다음을 만족하면 측도

\mu

에 대해 섞임이라고 한다.

:

\lim_{n \to +\infty} \mu\left(T^{-n}A \cap B\right) = \mu(A)\mu(B)

섞임 변환은 에르고딕성을 내포하지만, 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 원 위의 무리수 각도에 대한 회전은 에르고딕이지만 섞이지 않는다. 베르누이 시프트와 아르놀드 고양이 맵은 섞임의 예시이다.

강한 섞임 외에도 약한 섞임의 개념도 존재하는데, 이는 다음을 의미한다.

:

4. 예시

에르고딕성의 몇 가지 예시는 다음과 같다.

$X$ 가 유한 집합이고 $\mu$ 가 계수 척도일 때, $X$ 의 자기 사상이 $\mu$ 를 보존하는 것은 전단사 함수일 때이다. 에르고딕성은 $T$ 가 단 하나의 궤도를 가질 때, 즉 모든 $x, y \in X$ 에 대해 $y = T^k(x)$ 가 되는 $k \in \mathbb N$ 이 존재할 때 성립한다. 예를 들어 $X = \{1, 2, \ldots, n\}$ 이면, 순환 치환 $(1\, 2\, \cdots \, n)$ 는 에르고딕이지만, 치환 $(1\, 2)(3\, 4\, \cdots\, n)$ 은 두 개의 불변 부분 집합 $\{1, 2\}$ 과 $\{3, 4, \ldots, n\}$ 를 가지므로 에르고딕하지 않다.
이산적인 경우와 마찬가지로, 추이적 작용도 에르고딕성의 간단한 예시이다. 예를 들어 $T_t(z) = e^{2i\pi t}z$ 로 주어지는 원 위의 작용은 르베그 측도에 대해 에르고딕하다.
무한히 많은 궤도를 갖는 예시는 원환면에서 무리수 기울기를 따라 흐르는 흐름이다. $X = \mathbb S^1 \times \mathbb S^1$ 이고 $\alpha \in \mathbb R$ 일 때, $T_t(z_1, z_2) = \left(e^{2i\pi t}z_1, e^{2\alpha i\pi t}z_2\right)$ 라고 하면, $\alpha \not\in \mathbb Q$ 이면 르베그 측도에 대해 에르고딕하다.
$X = \{1, \ldots, n\}$ 이고 $T = (1\, 2)(3\, 4\, \cdots\, n)$ 인 경우, 세는 측도는 에르고딕하지 않다. $T$ 에 대한 에르고딕 측도는 부분 집합 $\{1, 2\}$ 와 $\{3, \ldots, n\}$ 에 지원되는 균등 측도 $\mu_1, \mu_2$ 이며, 모든 $T$ 불변 확률 측도는 $t\mu_1 + (1 - t)\mu_2$ ( $t \in [0, 1]$ ) 형태로 표현 가능하다. 특히 $\frac{2}{n}\mu_1 + \frac{n - 2}{n}\mu_2$ 는 세는 측도의 에르고딕 분해이다.

에르고딕성의 정의는 군 작용에도 적용된다. 고전적인 이론(가역 변환의 경우)은

Z

또는

R

의 작용에 해당한다. 비가환군에서는 콤팩트한 거리 공간 상에서도 불변 측도가 존재하지 않을 수 있다. 그러나 에르고딕성의 정의는 불변 측도를 준불변 측도로 대체해도 변하지 않는다. 반단순 리 군(혹은 그 안의 격자)의 "Furstenberg boundary"에 대한 작용이 그 예시이다. 모든 포화 부분 집합이 널 또는 코널인 경우, 측정 가능한 동치 관계는 에르고딕하다고 한다.

4. 1. 베르누이 시프트와 부분 시프트

S^영어를 유한 집합, X^영어 = S^영어^ℤ^영어를 각 인자 S^영어에 대한 곱 측정으로 설정하고, μ^영어는 계산 측도를 갖는다고 하자. 그러면 T((s_k)_k∈ℤ) = (s_k+1)_k∈ℤ^영어로 정의되는 시프트 연산자 T^영어는 μ^영어-에르고딕이다.^[1]

시프트 맵 T^영어에 대한 에르고딕 측량은 X^영어에 더 많이 존재한다. 주기적 수열은 유한하게 지지되는 측도를 제공한다. 더 흥미로운 것은, 유한 타입의 서브시프트인 무한히 지지되는 것들이 있다는 것이다.

4. 2. 무리수 회전

X

를 르베그 측도

\mu

를 갖는 단위 원

\{z \in \mathbb C,\, |z| = 1\}

이라고 하자. 임의의

\theta \in \mathbb R

에 대해 각도

\theta

의

X

의 회전은

T_\theta(z) = e^{2i\pi\theta}z

로 주어진다. 만약

\theta \in \mathbb Q

이면,

T_\theta

는 무한히 많은 유한 궤도를 가지므로 르베그 측도에 대해 에르고딕하지 않다. 반면에,

\theta

가 무리수이면

T_\theta

는 에르고딕하다.^[1]

4. 3. 아놀드 고양이 맵

아르놀드 고양이 사상

X = \mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2

를 2차원 토러스라고 하자. 그러면 모든 원소

g \in \mathrm{SL}_2(\mathbb Z)

는

X

의 자기 사상을 정의하는데, 그 이유는

g\left(\mathbb{Z}^2\right) = \mathbb{Z}^2

이기 때문이다.

g = \left(\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)

일 때, 토러스 위의 르베그 측도에 대해 에르고딕인, 소위 아르놀드 고양이 사상을 얻는다.

4. 4. 마르코프 연쇄

마르코프 연쇄는 유한 집합

S

와 전이 확률 행렬

P \in [0, 1]^{S \times S}

로 정의된다. 여기서

P(s_1, s_2)

는 상태

s_1

에서

s_2

로 이동할 확률을 나타내며, 모든 상태

s \in S

에 대해

\sum_{s' \in S} P(s, s') = 1

을 만족한다.
정상 측도: 마르코프 연쇄에서 정상 측도

\nu

는

\nu P = \nu

를 만족하는 확률 측도이다. 즉, 모든

s \in S

에 대해

\sum_{s' \in S} \nu(s') P(s', s) = \nu(s)

가 성립한다.
확률 측도 정의: 정상 측도

\nu

를 사용하여 곱 시그마-대수

X = S^\mathbb{Z}

집합에 대한 확률 측도

\mu_\nu

를 정의할 수 있다. 이는 원통의 측도를 다음과 같이 정의함으로써 가능하다.

:

\mu_\nu(\cdots \times S \times \{(s_n, \ldots, s_m)\} \times S \times \cdots) = \nu(s_n) P(s_n, s_{n+1}) \cdots P(s_{m-1}, s_m).

\nu

의 정지성은 측도

\mu_\nu

가 시프트 맵

T\left(\left(s_k\right)_{k \in \mathbb Z})\right) = \left(s_{k+1}\right)_{k \in \mathbb Z}

에 대해 불변임을 의미한다.
에르고딕성: 측도

\mu_\nu

는 관련 마르코프 연쇄가 기약적(유한 단계 내에서 임의의 상태에서 다른 모든 상태에 도달 가능)일 때 항상 시프트 맵에 대해 에르고딕이다.^[20]
고유 정상 측도 조건: 마르코프 연쇄가 고유한 정상 측도를 갖기 위한 충분 조건은 1이 행렬

P

의 단순 고유값이고,

\mathbb C

에서

P

의 다른 모든 고유값의 절댓값이 1보다 작다는 것이다.
마르코프 연쇄의 에르고딕성: 확률론에서 마르코프 연쇄는 각 상태가 비주기적(반환 확률이 양수인 시간이 단일 정수 >1의 배수가 아님)일 경우 에르고딕이라고 한다. 이는 불변 측도가 에르고딕이기 위해 필요한 것은 아니므로, 마르코프 연쇄와 관련된 시프트 불변 측도에 대한 "에르고딕성"의 개념은 다르다(연쇄에 대한 것은 엄격하게 더 강하다).^[20]
기약성과 에르고딕성: 재순환하는 통신 계급을 가지지만 기약적이지 않은 마르코프 연쇄는 에르고딕하지 않다.
주기성과 에르고딕성: 행렬

\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)

으로 주어지는

S = \{1, 2\}

상의 마르코프 연쇄는 기약적이지만 주기적이므로, 연관된 측도

\mu

가 이동 맵에 대해 에르고딕임에도 불구하고 마르코프 연쇄의 의미에서 에르고딕하지 않다.

5. 역사

1885년에 루트비히 볼츠만은 통계역학에서 Ergode|에르고데^de라는 단어를 최초로 사용하였다.^[21] 이 단어는 ἔργον|에르곤^grc(일) + ὁδός|호도스^grc (경로)에서 유래하는데, 이는 볼츠만이 원래 "에르고데"를 하나의 운동 상수(즉, 에너지)만을 갖는 정적 통계역학적 계로 정의하였기 때문이다. 이후 앙리 푸앵카레가 삼체 문제를 연구하기 위하여 1890년에 푸앵카레 재귀정리를 발표하였다.^[22]

에렌페스트 부부(파울 에렌페스트, 타티아나 에렌페스트(Tatiana Ehrenfest^de)는 1912년에 "에르고딕 가설"(Ergodenhypothese|에르고덴휘포테제^de)이라는 용어를 현대적인 의미로 최초로 사용하였다.^[23]

버코프 에르고딕 정리와 폰 노이만 에르고딕 정리는 1930년대 초에 증명되었다. 존 폰 노이만은 자신의 에르고딕 정리를 증명한 뒤 이를 1931년 10월 조지 데이비드 버코프에게 거론하였고, 버코프는 곧 버코프 에르고딕 정리를 증명하였다.^[24] 버코프는 자신의 에르고딕 정리를 1931년 12월에 먼저 출판하였고,^[25] 이후 폰 노이만은 자신의 에르고딕 정리를 이듬해 1932년에 출판하였다.^[26]^[27]

"에르고딕"이라는 용어는 일반적으로 그리스어의 ἔργον^el("ergon": "일")과 ὁδός^el("hodos": "길", "방식")에서 유래한 것으로 여겨지는데, 이는 루트비히 볼츠만이 통계 역학 문제를 연구하면서 선택한 것이다.^[3]

6. 응용

통계역학에서 매우 큰 계의 성질을 연구할 때, 미시적 동역학은 매우 복잡하여 분석하기 어렵다. 하지만 에르고딕 가설에 따르면, 계의 동역학이 에르고딕 변환, 즉 임의의 상태 영역에 가능한 미시상태에 대해 같은 확률로 도달 가능하다면, 버코프 에르고딕 정리에 따라 계의 성질들의 시간 평균은 공간 평균과 같아진다. 따라서 에르고딕성을 가정하면, 계의 모든 가능한 상태들에 대한 공간 평균을 계산하여 계의 시간 통계를 유추할 수 있다.

에르고딕성은 확률 과정의 관점에서도 이해할 수 있다. 확률 과정에서 에르고딕성은 무작위성이 모든 공간을 채우는 시스템에 대한 개념을 포착한다. 베르누이 과정은 앞면과 뒷면이 나오는 동전 던지기의 무한 반복으로 생각할 수 있으며, 모든 시퀀스의 절반은 앞면, 절반은 뒷면으로 시작한다. 이때 시간 진화 연산자 T는 첫 번째 동전 던지기를 버리는 시프트 연산자가 된다. 이 측도는 시프트 불변성을 가지며, 베르누이 과정은 측도 보존 동적 시스템으로 변환될 수 있다. 이는 모든 확률 과정에 적용 가능하다. 에르고딕성의 비공식적 정의는 시퀀스가 공간 X의 모든 부분을 방문하는 경우이며, 그러한 시퀀스는 해당 과정에 대해 "전형적"이라고 할 수 있다.

군 작용에도 에르고딕성의 정의가 적용된다. 가역 변환에 대한 고전 이론은 $\mathbb Z$ 또는 $\mathbb R$ 의 작용에 해당한다. 비가환군에 대해서는 콤팩트 거리 공간에서도 불변 측도가 존재하지 않을 수 있지만, 에르고딕성의 정의는 불변 측도를 준불변 측도로 대체하면 변경 없이 적용된다.

6. 1. 통계역학

통계역학은 매우 큰 계의 성질에 대한 통계를 연구한다. 이러한 큰 계의 미시적 동역학은 매우 복잡하여 연구하기 어렵다. 하지만, 계의 동역학이 에르고딕 변환이라고 가정하면, 즉 임의의 상태 영역에 가능한 미시상태에 대해 같은 확률로 도달 가능하다고 가정하면, 버코프 에르고딕 정리에 따라 계의 성질들의 시간 평균은 공간 평균과 같게 된다. 따라서 에르고딕성을 가정하면, 계의 모든 가능한 상태들에 대한 (공간) 평균을 계산하여 계의 시간 통계를 유추할 수 있다. 이를 통계역학의 '''에르고딕 가설'''(ergodic hypothesis^영어)이라고 한다.

물리학에서 에르고딕성을 검토할 때, 부피의 정의는 물리학에서 에르고딕성의 정의를 내리는 데 적절한 설정으로 필요하다. 액체, 기체, 플라스마 또는 다른 원자나 입자의 집합을 담는 용기를 생각해 보자. 모든 입자

x_i

는 3차원 위치와 3차원 속도를 가지므로 6개의 숫자로 설명된다. 즉, 6차원 공간

\mathbb{R}^6

의 한 점이다. 만약 시스템에

N

개의 입자가 있다면, 완전한 설명에는

6N

개의 숫자가 필요하다. 임의의 하나의 시스템은

\mathbb{R}^{6N}

공간의 단일 점일 뿐이다. 물론 물리적 시스템은

\mathbb{R}^{6N}

전체가 아니며, 너비, 높이, 길이가

W\times H\times L

인 상자라면 한 점은

\left(W \times H \times L \times \mathbb{R}^3\right)^N

안에 있다. 또한 속도가 무한할 수도 없다. 예를 들어 기체의 경우 볼츠만-깁스 척도와 같은 어떤 확률 척도로 크기가 조절된다. 그럼에도 불구하고

N

이 아보가드로 수에 가깝다면, 이것은 매우 큰 공간이다. 이 공간을 정준 앙상블이라고 한다.

물리적 시스템의 대표적인 점이 시스템의 전체 부피를 결국에는 방문하게 된다면, 이 시스템은 에르고딕하다고 말한다. 위의 예시의 경우, 이는 임의의 주어진 원자가 상자

W \times H \times L

의 모든 부분을 균일한 확률로 방문할 뿐만 아니라, 해당 속도에 대한 볼츠만 분포에 의해 주어진 확률로 (따라서, 그 척도에 관하여 균일하게) 모든 가능한 속도로 그렇게 한다는 것을 의미한다. 에르고딕 가설은 물리적 시스템이 실제로 에르고딕하다고 주장한다. 여러 시간 규모가 작용한다. 기체와 액체는 짧은 시간 규모에서 에르고딕하게 보인다. 고체의 에르고딕성은 진동 모드 또는 포논의 관점에서 볼 수 있는데, 고체의 원자는 분명히 위치를 교환하지 않기 때문이다. 유리는 에르고딕 가설에 도전하며, 시간 규모가 수백만 년으로 추정되지만 결과는 논쟁의 여지가 있다. 스핀 유리는 특히 어려움을 제시한다.

통계 물리학에서 에르고딕성에 대한 형식적인 수학적 증명은 찾기 어렵다. 대부분의 고차원 다체계는 수학적 증명 없이 에르고딕하다고 가정한다. 예외는 역학적 당구로, 이는 이상 기체 또는 플라스마에서 원자의 당구 공 유형의 충돌을 모델링한다. 최초의 경질 구 에르고딕성 정리는 시나이 당구에 대한 것으로, 두 개의 공을 고려하며 그중 하나는 원점에 정지해 있는 것으로 간주한다. 두 번째 공이 충돌하면서 멀어지고, 주기적인 경계 조건을 적용하면 다시 돌아와 충돌한다. 균일성에 호소하여 "두 번째" 공의 이러한 반환은 대신 범위 내에 들어와 원점의 원자(단지 "다른 어떤 원자")와 충돌하려는 "다른 어떤 원자"로 간주할 수 있다. 이것은 존재하는 몇 안 되는 형식적 증명 중 하나이다. 비록 그러한 시스템이 에르고딕하다(및 혼합)고 믿는 것이 상식적일지라도, 반 데르 발스 힘을 통해 상호 작용하는 액체 속의 원자에 대한 동등한 진술은 없다. 그러나 더 정확한 물리적 주장을 할 수 있다.

6. 2. 물리학 및 기하학

물리적 시스템은 고전 역학, 양자 역학, 통계 역학(응집 물질 물리학 포함)의 세 가지 범주로 나눌 수 있다.

에르고딕성에 대한 공식적인 연구는 비교적 간단한 동적 시스템을 검토하여 접근할 수 있다. 주요 시스템은 다음과 같다.

원의 무리수 회전은 에르고딕하다. 한 점의 궤도는 결국 원의 모든 다른 점을 방문한다. 이러한 회전은 구간 교환 맵의 특수한 경우이다.
숫자의 베타 전개는 에르고딕하다.
2차원에서, 무리수 각도를 가진 산술 당구는 에르고딕하다.

심플렉틱 다양체와 리만 다양체 연구에서 에르고딕성은 널리 나타나는 현상이다. 심플렉틱 다양체는 고전 역학의 일반화된 설정을 제공하며, 여기서 기계적 시스템의 운동은 측지선으로 설명된다. 리만 다양체는 특수한 경우인데, 리만 다양체의 공변접속 다발은 항상 심플렉틱 다양체이기 때문이다. 특히, 리만 다양체의 측지선은 해밀턴-야코비 방정식의 해로 주어진다.

평행이동 곡면의 평면 토러스에서 임의의 무리수 방향을 따르는 측지 흐름은 에르고딕하다. 더 일반적으로 모든 평면 곡면에서 측지 흐름에 대해 많은 에르고딕 방향이 있다.

평면이 아닌 곡면의 경우, 임의의 음의 곡률을 갖는 콤팩트 리만 곡면의 측지 흐름은 에르고딕하다. 가장 초기의 연구 사례 중 하나는 볼차 곡면의 측지선을 설명하는 Hadamard's billiards이며, 이는 두 개의 구멍이 있는 도넛과 위상적으로 동등하다.

이러한 결과는 더 높은 차원으로 확장된다. 음의 곡률을 갖는 콤팩트 리만 다양체의 측지 흐름은 에르고딕하다. 이에 대한 고전적인 예는 아노소프 흐름이며, 이는 쌍곡 다양체의 호로사이클 흐름이다.

에르고딕성 결과는 평행이동 곡면, 쌍곡군 및 세포 기하학에서 제공되었다. 기술에는 에르고딕 흐름 연구, 호프 분해 및 Ambrose–Kakutani–Krengel–Kubo 정리가 포함된다. 중요한 시스템 클래스는 공리 A 시스템이다.

Ornstein 동형 정리는 이러한 시스템의 대부분이 일부 베르누이 계획과 동형이라고 말한다.

에르고딕 흐름의 추가적인 예시는 다음과 같다.

당구 (convex 유클리드 영역에서)
유한 부피의 음의 곡률을 가진 리만 다양체의 측지 흐름은 에르고딕하다(정규화된 부피 측도에 대해).
유한 부피의 쌍곡 다양체의 호로사이클 흐름은 에르고딕하다(정규화된 부피 측도에 대해).

6. 3. 확률 과정

에르고딕성은 확률 과정의 관점에서 이해될 수 있다. 확률 과정에서 에르고딕성은 무작위성이 모든 공간을 채우는 시스템에 대한 개념을 포착한다.

Bernoulli^영어 과정의 경우를 예로 들어보자. 이 과정은 앞면과 뒷면이 나오는 동전 던지기의 무한한 반복으로 생각할 수 있다. 이 공간에 부피 1을 할당하면, 모든 시퀀스의 절반은 앞면으로 시작하고 절반은 뒷면으로 시작한다. 여기서 "n-1번째 동전 던지기는 상관없지만, n번째는 앞면이고 그 다음은 상관없다"와 같이 부분 공간을 정의할 수 있다.

이때 시간 진화 연산자 T는 "첫 번째 동전 던지기를 버리고 나머지를 유지"하는 시프트 연산자이다. 즉, 동전 던지기 시퀀스 (x₁, x₂, ...)가 주어지면, T(x₁, x₂, ...) = (x₂, x₃, ...)가 된다. 이 측도는 시프트 불변성을 가지는데, 첫 번째 동전 던지기가 "상관없음" 값인 집합 A에 대해, 부피 μ(A)는 변하지 않는다. 즉, μ(A) = μ(T(A))이다.

베르누이 과정은 이와 같이 측도 보존 동적 시스템으로 변환될 수 있다. 이 변환은 모든 확률 과정에 적용 가능하다. 따라서 에르고딕성의 비공식적 정의는, 시퀀스가 공간 X의 모든 부분을 방문하는 경우 에르고딕이며, 그러한 시퀀스는 해당 과정에 대해 "전형적"이라고 할 수 있다. 예를 들어, 베르누이 과정에서 절반은 앞면이고 절반은 뒷면인 동전 던지기 시퀀스는 "전형적인" 시퀀스이다.

베르누이 과정은 모든 무한 이진 숫자 문자열의 집합으로 볼 수 있으며, 이는 실수의 밑-2 전개에 해당한다. 이 집합은 칸토어 집합(칸토어 공간)으로도 불린다.

오른스타인 동형 정리에 따르면, 모든 정상 확률 과정은 베르누이 계획과 동일하다. 또한, 모든 비소산 에르고딕 시스템은 마르코프 계수기와 동일하다.

만약 (Xₙ)ₙ≥₁이 공간 Ω에서 이산 시간 확률 과정이라면, 변수의 결합 분포가 이동 맵 (xₙ)ₙ≥₁ ↦ (xₙ₊₁)ₙ≥₁에 대해 불변일 때 에르고딕하다고 한다. 가장 간단한 경우는 독립 동일 분포 과정이며, 마르코프 연쇄도 중요한 경우이다. 연속 시간 확률 과정에도 유사한 해석이 적용되지만, 작용의 가측 구조 구성은 더 복잡하다.

6. 4. 군 작용

에르고딕성의 정의는 군 작용에도 적용된다. 가역 변환에 대한 고전 이론은

\mathbb Z

또는

\mathbb R

의 작용에 해당한다.

비가환군에 대해서는 콤팩트 거리 공간에서도 불변 측도가 존재하지 않을 수 있다. 그러나 에르고딕성의 정의는 불변 측도를 준불변 측도로 대체하면 변경 없이 적용된다.

중요한 예시는 반단순 리 군 (또는 그 안의 격자)이 그 푸르스텐베르그 경계에 작용하는 것이다.

가측 동치 관계는 모든 포화 부분 집합이 널 집합이거나 코널 집합일 경우 에르고딕하다고 한다.

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