테일러 소용돌이

3. 안정성 기준

레일리 경^[5][6]은 비점성 가정을 사용하여, 즉 오일러 방정식을 섭동하여 문제의 안정성을 연구했다. 이 기준은 다음과 같다. ''점성이 없는 경우, 방위각 속도 $v\_\backslash theta(r)$의 분포가 안정하기 위한 필요 충분 조건은''^[7]

:$\backslash Phi\backslash equiv\; \backslash frac\{1\}\{r^3\}\backslash frac\{d\}\{dr\}(rv\_\backslash theta)^2\backslash geq\; 0$

''구간의 모든 곳에서 성립해야 하며, $(rv\_\backslash theta)^2$가 구간 내의 어느 곳에서든 감소하면 분포는 불안정하다.'' $|rv\_\backslash theta|$는 회전축에 대한 유체 요소의 단위 질량당 각운동량을 나타내므로, 이 기준을 다르게 표현하면 다음과 같다. ''축에 대한 각운동량의 층화는 밖으로 단조롭게 증가하는 경우에만 안정하다.''

이 기준을 테일러-쿠에트 흐름에 적용하면, 흐름은 $\backslash mu\; >\backslash eta^2$일 때 안정하다는 것을 알 수 있다. 즉, 안정성을 위해서는 외부 실린더가 내부 실린더의 각속도의 $\backslash eta^2$배보다 더 큰 각속도로 (같은 방향으로) 회전해야 한다. 레일리의 기준은 일 때 전체 유체에서 위반()된다. 반면에, 실린더가 반대 방향으로 회전할 때, 즉 일 때, 레일리의 기준은 내부 영역에서만 위반된다. 즉, for

G. I. 테일러는 중요한 연구를 통해 점성력이 존재할 때 불안정해지는 조건을 실험적으로, 그리고 이론적으로 발견했다. 일반적으로 점성력은 레일리의 기준에 의해 예측된 불안정의 시작을 늦추는 것으로 밝혀졌다. 안정성은 세 가지 매개변수, 즉 $\backslash eta$, $\backslash mu$, 그리고 테일러 수로 특징지어진다.

:$\backslash mathrm\{Ta\}\; =\; \backslash frac\{4\backslash Omega\_1^2\; R\_1^4\}\{\backslash nu^2\}\; \backslash frac\{(1-\backslash mu)(1-\backslash mu/\backslash eta^2)\}\{(1-\backslash eta^2)^2\}.$

첫 번째 결과는 레일리의 기준과 일치하게 $\backslash mu>\backslash eta^2$일 때 흐름이 안정적이라는 사실과 관련이 있다. 그러나 인 특정 매개변수 범위 내에서도 안정적인 경우가 있다.

테일러는 환형 간극 $R\_2-R\_1$이 평균 반지름 $(R\_1+R\_2)/2$에 비해 작거나, 다시 말해 $1-\backslash eta\; \backslash ll\; (1+\backslash eta)/2\backslash approx\; 1$인 좁은 간극에 대한 명시적인 기준을 얻었다. 얇은 간극 근사에서 테일러 수의 더 나은 정의는 다음과 같다.

:$\backslash mathrm\{Ta\}\; =\; -\; \backslash frac\{2A\backslash Omega\_1R\_2^4\}\{\backslash nu^2\}(1-\backslash eta)^4(1+\backslash mu).$

이 테일러 수의 관점에서 동일 방향 회전에 대한 임계 조건은 다음과 같다.

:$\backslash mathrm\{Ta\}\_c=1708,\; \backslash quad\; 0\backslash leq\backslash mu\backslash leq\; 1.$

$\backslash mu\backslash rightarrow\; 1$로 갈 때, 임계 테일러 수는 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash mathrm\{Ta\}\_c=1707.76\; \backslash left[1-0.00761\; \backslash left(\backslash frac\{1-\backslash mu\}\{1+\backslash mu\}\backslash right)^2\backslash right].$

3. 1. 레일리의 기준

3. 2. 테일러의 기준

4. 테일러 와류

4. 1. 테일러 와류 발생 조건

4. 2. 테일러 와류 이후의 흐름 변화

5. 골럽-스위니 실험

1975년, J. P. 골럽과 H. L. 스위니는 회전하는 유체의 난류 발생에 관한 논문을 발표했다.^[12] 테일러-쿠에트 흐름 시스템에서 회전 속도가 증가함에 따라 유체가 일련의 "유체 도넛"으로 층을 이루는 것을 관찰했다. 회전 속도가 더 증가하면 도넛이 진동하고 꼬이다가 마침내 난류가 된다. 그들의 연구는 난류에서 뤼엘-타켄스 시나리오를 확립하는 데 기여했으며,^[13] 이는 유체역학적 시스템이 안정적인 흐름 패턴에서 난류로 어떻게 전환되는지 이해하는 데 중요한 공헌이다. 이 전환의 주요 지배 요인은 레이놀즈 수이지만, 흐름이 열린 흐름(측면 상류 및 하류가 존재)인지 닫힌 흐름(흐름이 측면으로 제한됨, 예: 회전)인지, 그리고 경계가 있는 흐름(벽 효과의 영향을 받음)인지 경계가 없는 흐름(벽 효과의 영향을 받지 않음)인지에 따라 다른 중요한 영향 요인이 존재한다. 이러한 분류에 따르면 테일러-쿠에트 흐름은 닫힌 경계 흐름 시스템에서 형성되는 흐름 패턴의 예이다.

6. 한국의 연구 동향

참조

_[1] 논문 Stability of a viscous liquid contained between two rotating cylinders
_[2] 논문 Flow regimes in a circular Couette system with independently rotating cylinders
_[3] 서적 Hydrodynamic Stability Cambridge University Press
_[4] 논문 The growth of Taylor vortices in flow between rotating cylinders
_[5] 간행물 "On the stability or instability of certain fluid motions. Scientific Papers, 3." Rayleigh, Lord 1880
_[6] 간행물 "On the dynamics of revolving fluids." Rayleigh, Lord 1917
_[7] 서적 Hydrodynamic and hydromagnetic stability Courier Corporation 2013
_[8] 논문 Delaying Transition in Taylor–Couette Flow with Axial Motion of the Inner Cylinder
_[9] 논문 Quasi-Periodic State and Transition to Turbulence in a Rotating Couette System
_[10] 논문 Velocity field for Taylor–Couette flow with an axial flow
_[11] 논문 A Periodically Forced Flow Displaying Symmetry Breaking Via a Three-Tori Gluing Bifurcation and Two-Tori Resonances
_[12] 논문 Onset of turbulence in a rotating fluid http://scholarship.h[...]
_[13] 서적 Dynamical System and Chaos Springer Berlin