통계 모델

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1. 개요
2. 통계 모델의 정의
- 2.1. 통계적 가정
- 2.2. 형식적 정의
3. 통계 모델의 예시
- 3.1. 주사위 모델
- 3.2. 어린이 키 예측 모델
4. 통계 모델의 종류
5. 중첩 모델 (Nested Models)
6. 통계 모델의 비교
- 6.1. 모델 비교 기준
- 6.2. 모델 비교 방법
7. 조건부 확률 모델
- 7.1. 조건부 확률 모델의 정의
- 7.2. 조건부 확률 모델의 예시
참조

1. 개요

통계 모델은 사건의 확률을 계산하기 위한 통계적 가정의 집합으로 정의된다. 수학적으로는 표본 공간과 확률 분포의 집합으로 표현되며, 모수적, 비모수적, 준모수적 모델로 분류된다. 모델 비교는 통계적 추론의 핵심이며, 결정 계수, 베이즈 인자, 아카이케 정보량 기준 등을 통해 수행된다. 조건부 확률 모델은 조건부 확률을 표현하는 확률 모델로, 이미지 분류 및 생성과 같은 다양한 분야에 적용된다.

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통계 모델
개요
유형	통계 모델
하위 유형	회귀 분석 분류 클러스터 분석 차원 축소 밀도 추정
관련 분야	기계 학습 데이터 마이닝 인공지능
세부 사항
목표	데이터에서 패턴 학습 및 예측
입력	데이터 세트
출력	모델, 예측, 통찰력
데이터 요구 사항	충분한 양 높은 품질 관련성
가정	데이터 분포, 변수 관계
복잡성	모델 구조 매개변수 수 계산 비용
평가	정확도 정밀도 재현율 F1 점수 AUC
조정	하이퍼파라미터 튜닝 교차 검증 정규화
해석 가능성	모델이 어떻게 작동하는지 이해하는 능력
일반화	새로운 데이터에 대한 예측 능력
추가 정보
사용 분야	금융 마케팅 의료 공학

2. 통계 모델의 정의

통계 모델은 수학적 모델의 한 종류로, 관측된 데이터를 생성하는 확률적 과정을 설명한다. 통계 모델은 비결정론적 모델이다. 즉, 모델 내 일부 변수는 특정 값이 아닌 확률 분포를 따른다.

통계 모델은 데이터 생성 과정이 결정론적인 경우에도 사용된다. 예를 들어, 동전 던지기는 이론적으로 결정론적이지만, 실제로는 확률적인 베르누이 과정으로 모델링된다.

주어진 데이터 생성 과정을 나타내기 위해 적절한 통계 모델을 선택하는 것은 어려울 수 있으며, 해당 과정과 관련 통계 분석에 대한 지식이 모두 필요하다. 통계학자 데이비드 콕스는 "주제 문제에서 통계 모델로의 변환이 어떻게 이루어지는가가 분석의 가장 중요한 부분인 경우가 많다"라고 언급했다.^[4]

Konishi & Kitagawa에 따르면 통계 모델에는 세 가지 목적이 있다:^[5]

예측
정보 추출
확률적 구조의 설명

이러한 목적은 Friendly & Meyer가 제시한 예측, 추정, 설명과 본질적으로 동일하며,^[6] 각각 논리적 추론의 세 가지 유형인 연역적 추론, 귀납적 추론, 가설적 추론에 해당한다.

2. 1. 통계적 가정

통계 모델은 특정 속성을 가진 통계적 가정(또는 통계적 가정의 집합)으로 생각할 수 있다. 이 속성은 가정에 따라 어떤 사건의 확률을 계산할 수 있다는 것이다. 예를 들어, 일반적인 6면체 주사위 한 쌍을 생각해 보자. 주사위에 대한 두 가지 다른 통계적 가정을 연구할 것이다.

첫 번째 통계적 가정은 다음과 같다. 각 주사위에 대해 각 면(1, 2, 3, 4, 5, 6)이 나올 확률은 sfrac|1|6^영어이다. 이러한 가정에서, 두 주사위 모두 5가 나올 확률을 계산할 수 있다: sfrac|1|6^영어 × sfrac|1|6^영어 = sfrac|1|36^영어. 더 일반적으로 (1과 2) 또는 (3과 3) 또는 (5와 6)과 같은 모든 사건의 확률을 계산할 수 있다. 다른 통계적 가정은 다음과 같다. 각 주사위에 대해 5가 나올 확률은 sfrac|1|8^영어이다 (주사위가 편향되었기 때문). 이러한 가정에서, 두 주사위 모두 5가 나올 확률을 계산할 수 있다: sfrac|1|8^영어 × sfrac|1|8^영어 = sfrac|1|64^영어. 그러나 다른 면의 확률을 알 수 없으므로, 다른 비자명 사건의 확률은 계산할 수 없다.

첫 번째 통계적 가정은 통계 모델을 구성한다. 이 가정만으로 모든 사건의 확률을 계산할 수 있기 때문이다. 다른 통계적 가정은 통계 모델을 구성하지 않는다. 이 가정만으로는 모든 사건의 확률을 계산할 수 없기 때문이다. 위의 예에서, 첫 번째 가정을 사용하면 사건의 확률을 계산하는 것이 쉽다. 그러나 다른 예에서는 계산이 어렵거나 심지어 실용적이지 않을 수도 있다 (예: 수백만 년의 계산이 필요할 수 있음). 가정이 통계 모델을 구성하려면, 이러한 어려움은 허용된다. 계산을 수행하는 것이 실용적일 필요는 없으며, 이론적으로 가능하기만 하면 된다.

2. 2. 형식적 정의

통계 모델은 수학적으로 $(S, \mathcal{P})$ 쌍으로 표현된다. 여기서 $S$는 가능한 관찰 집합, 즉 표본 공간이고, $\mathcal{P}$는 $S$에 대한 확률 분포 집합이다.^[3] $\mathcal{P}$는 일반적으로 매개변수화되며, $\mathcal{P} = \{F_{\theta} : \theta \in \Theta \}$로 표현된다. $\Theta$는 모델의 매개변수를 정의한다. 매개변수화가 식별 가능해야 한다. 즉, 서로 다른 매개변수 값에서 서로 다른 분포가 발생해야 한다. 다시 말해, $F_{\theta_1} = F_{\theta_2} \Rightarrow \theta_1 = \theta_2$가 성립해야(매핑이 단사 함수여야) 한다.^[3]

3. 통계 모델의 예시

어린이 집단에서 나이가 이산 균등 분포를 따른다고 가정할 때, 아이의 키는 나이와 확률적으로 관련된다. 예를 들어 아이가 7세라는 것을 알면, 아이의 키가 1.5미터일 확률에 영향을 준다.

이러한 관계는 다음과 같은 선형 회귀 모델로 나타낼 수 있다.

: 키_''i'' = ''b''₀ + ''b''₁나이_''i'' + ε_''i''

여기서 ''b''₀은 절편, ''b''₁은 키 예측을 위해 나이에 곱해지는 매개변수, ε_''i''는 오차 항, ''i''는 아이를 식별한다. 즉, 키는 약간의 오차를 가지고 나이에 의해 예측된다.

허용 가능한 모델은 모든 데이터 포인트와 일치해야 한다. 따라서 직선 (키_''i'' = ''b''₀ + ''b''₁나이_''i'')은 모든 데이터 포인트를 정확히 지나는 경우, 즉 모든 데이터 포인트가 완벽하게 선 위에 있지 않는 한 데이터 모델이 될 수 없다. 오차 항 ε_''i''는 모델이 모든 데이터 포인트와 일치하도록 방정식에 포함되어야 한다.

통계적 추론을 수행하려면 먼저 ε_''i''의 확률 분포를 가정해야 한다. 예를 들어, ε_''i'' 분포가 평균이 0인 i.i.d. 가우시안 분포라고 가정할 수 있다. 이 경우 모델은 ''b''₀, ''b''₁, 가우시안 분포의 분산, 이렇게 세 개의 매개변수를 갖는다.

이 모델은 (1) 표본 공간 ''S''를 모든 가능한 (나이, 키) 쌍의 집합으로 지정하고, (2) ''P''와 관련된 가정을 통해 결정된다. 키는 나이의 선형 함수로 근사할 수 있고, 근사 오차는 i.i.d. 가우시안 분포를 따른다는 두 가지 가정이 $\mathcal{P}$ 를 지정하기에 충분하다.

3. 1. 주사위 모델

통계 모델은 특정 속성을 가진 통계적 가정(또는 통계적 가정의 집합)으로 생각할 수 있으며, 이 속성은 가정에 따라 어떤 사건의 확률을 계산할 수 있다는 것이다. 예를 들어, 일반적인 6면체 주사위 한 쌍을 생각해 보자. 주사위에 대한 두 가지 다른 통계적 가정을 살펴본다.

첫 번째 통계적 가정은 각 주사위의 각 면(1, 2, 3, 4, 5, 6)이 나올 확률이 모두 1/6이라는 것이다. 이 가정에서 두 주사위 모두 5가 나올 확률은 1/6 × 1/6 = 1/36이다. 일반적으로 (1과 2) 또는 (3과 3) 또는 (5와 6)과 같은 모든 사건의 확률을 계산할 수 있다.

두 번째 통계적 가정은 각 주사위에 대해 5가 나올 확률은 1/8이라는 것이다(주사위가 조작되었기 때문). 이 가정에서 두 주사위 모두 5가 나올 확률은 1/8 × 1/8 = 1/64이다. 그러나 다른 면의 확률을 알 수 없으므로, 다른 비자명 사건의 확률은 계산할 수 없다.

첫 번째 통계적 가정은 통계 모델을 구성한다. 이 가정만으로 모든 사건의 확률을 계산할 수 있기 때문이다. 반면 두 번째 통계적 가정은 통계 모델을 구성하지 않는데, 이 가정만으로는 모든 사건의 확률을 계산할 수 없기 때문이다.

첫 번째 가정을 사용하면 사건의 확률을 계산하는 것이 쉽지만, 다른 예에서는 계산이 어렵거나 실용적이지 않을 수도 있다(예: 수백만 년의 계산이 필요할 수 있음). 가정이 통계 모델을 구성하려면 이러한 어려움은 허용된다. 계산을 수행하는 것이 실용적일 필요는 없으며, 이론적으로 가능하기만 하면 된다.

3. 2. 어린이 키 예측 모델

어린이 집단이 있고, 어린이들의 나이는 집단 내에서 이산 균등 분포를 따른다고 가정한다. 아이의 키는 나이와 확률적으로 관련이 있다. 예를 들어, 아이의 나이가 7세라는 것을 알면, 아이의 키가 1.5미터일 확률에 영향을 미친다. 이러한 관계는 다음과 같은 선형 회귀 모델로 공식화할 수 있다.

키_''i'' = ''b''₀ + ''b''₁나이_''i'' + ε_''i''

여기서 ''b''₀은 절편, ''b''₁은 키 예측을 위해 나이에 곱해지는 매개변수, ε_''i''는 오차 항, ''i''는 아이를 식별한다. 이것은 키가 약간의 오차와 함께 나이에 의해 예측된다는 것을 의미한다.

허용 가능한 모델은 모든 데이터 포인트와 일치해야 한다. 따라서 직선 (키_''i'' = ''b''₀ + ''b''₁나이_''i'')은 모든 데이터 포인트를 정확히 맞는 경우, 즉 모든 데이터 포인트가 완벽하게 선상에 있지 않는 한 데이터 모델에 대해 허용될 수 없다. 오차 항, ε_''i'',는 모델이 모든 데이터 포인트와 일치하도록 방정식에 포함되어야 한다.

통계적 추론을 수행하기 위해, 먼저 ε_''i''에 대한 확률 분포를 가정해야 한다. 예를 들어, ε_''i'' 분포가 i.i.d. 가우시안이며 평균이 0이라고 가정할 수 있다. 이 경우, 모델은 3개의 매개변수, 즉 ''b''₀, ''b''₁, 그리고 가우시안 분포의 분산을 갖게 된다.

4. 통계 모델의 종류

통계 모델은 매개변수의 차원에 따라 분류할 수 있다.

$\Theta \subseteq \mathbb{R}^k$ 라고 표기하며, 여기서 $\mathbb{R}$ 은 실수를 나타내고, $k$ 는 모델의 '''차원'''을 나타내는 양의 정수이다.

$\Theta$ 가 유한 차원을 가지면 모수적 모델이라고 한다.
매개변수 집합 $\Theta$ 가 무한 차원인 경우 비모수적 모델이라고 한다.
유한 차원과 무한 차원 매개변수를 모두 갖는 경우 반모수적 모델이라고 한다.

형식적으로,

k

가

\Theta

의 차원이고

n

이 표본 수일 때, 반모수적 및 비모수적 모델 모두

n \rightarrow \infty

일 때

k \rightarrow \infty

를 갖는다.

n \rightarrow \infty

일 때

k/n \rightarrow 0

이면 모델은 반모수적이고, 그렇지 않으면 비모수적이다.

모수적 모델은 가장 일반적으로 사용되는 통계 모델이다. 데이비드 콕스 경은 "이들은(비모수적 모델과 반모수적 모델을 지칭) 일반적으로 구조 및 분포 형태에 대한 가정이 적지만 일반적으로 독립성에 대한 강한 가정을 포함한다"라고 말했다.^[9]

4. 1. 모수적 모델 (Parametric Model)

모수적 모델은 유한한 차원의 매개변수 집합을 가지는 통계 모델이다. 즉, 모델을 설명하기 위해 정해진 개수의 매개변수(parameter)를 사용한다.

예를 들어, 어린이 집단의 키를 예측하는 문제를 생각해 보자. 어린이들의 나이가 이산 균등 분포를 따른다고 가정하고, 키는 나이와 확률적인 관련이 있다고 가정한다. 이 관계를 다음과 같은 선형 회귀 모델로 나타낼 수 있다.

: 키_''i'' = ''b''₀ + ''b''₁나이_''i'' + ε_''i''

여기서 ''b''₀는 절편, ''b''₁은 나이에 곱해지는 매개변수, ε_''i''는 오차 항이며, ''i''는 각 어린이를 나타낸다. 이 모델은 키가 나이에 의해 예측되며 약간의 오차가 있음을 의미한다.

이 모델에서 오차 항 ε_''i''는 i.i.d. 가우시안 분포(평균 0)를 따른다고 가정할 수 있다. 이 경우 모델은 ''b''₀, ''b''₁, 그리고 가우시안 분포의 분산(σ²)까지 총 3개의 매개변수를 갖게 된다.

모델을 (''S'', ''P'') 형태로 공식화하면 다음과 같다.

''S'': 모든 가능한 (나이, 키) 쌍의 집합 (표본 공간)
Θ = (''b''₀, ''b''₁, σ²)의 각 가능한 값은 ''S''에 대한 분포를 결정하며, 이 분포를 ''F''_θ로 나타낸다.
''P'' = {''F''_θ : θ ∈ Θ}

이 예시에서 모델은 (1) ''S''를 지정하고 (2) ''P''에 대한 가정을 통해 결정된다. 키가 나이에 대한 선형 함수로 근사될 수 있다는 것과 근사 오차가 i.i.d. 가우시안 분포를 따른다는 두 가지 가정이 ''P''를 지정하기에 충분하다.

다른 예로, 데이터가 단변량 가우스 분포에서 발생한다고 가정하면, 통계 모델은 다음과 같이 표현된다.

:

\mathcal{P}=\left\{F_{\mu,\sigma }(x) \equiv \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp\left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) : \mu \in \mathbb{R}, \sigma > 0 \right\}

이 경우 모델의 차원(''k'')은 2이다. (μ, σ 두개의 매개변수)

데이터가 독립적이고 동일한 가우시안 잔차(평균 0)를 가진 직선에 따라 분포하는 점 (''x'', ''y'')로 구성된다고 가정하면, 이는 어린이 키 예시와 동일한 통계 모델로 이어진다. 이 통계 모델의 차원은 3이다 (직선의 절편, 기울기, 잔차 분포의 분산).

모수적 모델은 가장 일반적으로 사용되는 통계 모델이다. 데이비드 콕스는 "이들은(비모수적 모델) 일반적으로 구조나 분포 형태에 대한 가정이 적지만 일반적으로 독립성에 대한 강한 가정을 포함한다"라고 말했다.^[9]

4. 2. 비모수적 모델 (Nonparametric Model)

통계 모델에서 매개변수 집합

\Theta

가 무한 차원인 경우, 이를 비모수적 모델이라고 한다.^[1] 비모수적 모델은 데이터 분포에 대한 가정을 최소화하기 때문에 복잡한 현상을 모델링하는 데 유용하다. 한국 사회에서는 사회 현상의 복잡성을 반영하기 위해 비모수적 모델을 활용하며, 특히 사회적 다양성이 증가함에 따라 그 중요성이 커지고 있다.

데이비드 콕스 경은 비모수적 모델에 대해 "일반적으로 구조 및 분포 형태에 대한 가정은 적지만, 독립성에 대한 강력한 가정을 포함한다"라고 언급했다.^[1]

4. 3. 준모수적 모델 (Semiparametric Model)

준모수적 모델은 유한 차원과 무한 차원 매개변수를 모두 갖는 통계 모델이다. Semiparametric Model^영어 형식적으로, 통계 모델의 매개변수 집합 $\Theta$의 차원이 $k$이고 표본 수가 $n$일 때, $n$이 무한대로 갈 때 $k$도 무한대로 가면서 $k/n$이 0으로 수렴하면 이 모델은 준모수적 모델이다. 모수적 모델과 비모수적 모델의 특징을 결합한 모델이라고 할 수 있다.

데이비드 콕스 경은 "이들(준모수적 및 비모수적 모델)은 일반적으로 구조 및 분포 형태에 대한 가정이 적지만 일반적으로 독립성에 대한 강력한 가정을 포함한다"라고 말했다.

5. 중첩 모델 (Nested Models)

두 통계 모델에서 첫 번째 모델의 매개변수에 제약을 가하여 첫 번째 모델을 두 번째 모델로 변환할 수 있다면 두 모델은 중첩되었다고 한다. 예를 들어, 모든 가우스 분포 집합은 평균이 0인 가우스 분포 집합을 내포하고 있다. 즉, 모든 가우스 분포 집합에서 평균에 제약을 가하여 평균이 0인 분포를 얻는 것이다. 두 번째 예로, 다음과 같은 이차 모델이 있다.

: $y = b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + \varepsilon ,\,\varepsilon \sim N(0,\sigma ^{2})$

이 모델은 다음과 같은 선형 모델을 내포하고 있다.

: $y=b_{0}+b_{1}x+\varepsilon ,\,\varepsilon \sim N(0,\sigma ^{2})$

— 매개변수 $b_2$ 를 0으로 제약한다.

이 두 예에서 첫 번째 모델은 두 번째 모델보다 더 높은 차원을 갖는다(첫 번째 예에서 평균이 0인 모델의 차원은 1이다). 이러한 경우는 종종 있지만, 항상 그런 것은 아니다. 차원이 같은 예로, 양의 평균을 갖는 가우스 분포 집합은 모든 가우스 분포 집합 내에 중첩되어 있다. 이들은 모두 차원이 2이다.

6. 통계 모델의 비교

통계적 모델 비교는 통계적 추론에서 기본적인 과정이다.^[8] 고니시와 기타가와는 "통계적 추론 문제의 대부분은 통계적 모델링과 관련된 문제로 간주될 수 있으며, 이러한 문제들은 일반적으로 여러 통계적 모델의 비교로 공식화된다"라고 언급했다.^[8]

6. 1. 모델 비교 기준

통계적 모델 비교는 대부분의 통계적 추론에서 기본적이다.^[8] 통계적 추론 문제의 대부분은 통계적 모델링과 관련된 문제로 간주될 수 있으며, 이러한 문제들은 일반적으로 여러 통계적 모델의 비교로 공식화된다. 모델 비교에 사용되는 일반적인 기준에는 ''R''², 베이즈 인자, 아카이케 정보 기준, 우도비 검정과 그 일반화인 상대적 우도 등이 있다.

6. 2. 모델 비교 방법

통계적 모델 비교는 대부분의 통계적 추론에 기본적이다.^[8] 고니시와 기타가와는 "통계적 추론 문제의 대부분은 통계적 모델링과 관련된 문제로 간주될 수 있다. 이러한 문제들은 일반적으로 여러 통계적 모델의 비교로 공식화된다."라고 언급한다. 모델 비교에 사용되는 일반적인 기준에는 ''R''², 베이즈 인자, 아카이케 정보 기준, 그리고 일반화된 상대적 우도와 함께 우도비 검정이 있다.

두 통계적 모델을 비교하는 또 다른 방법은 뤼시앙 르 캄이 소개한 결핍 개념을 사용하는 것이다.^[8]

7. 조건부 확률 모델

조건부 확률 모델은 조건부 확률을 표현하는 확률 모델이다.^[16] 확률 분포는 $p_\theta(x|y)$ 로 표현되며, 여기서 $y$ 는 모델의 '''입력'''으로 불린다.^[17]

모델의 입력을 분포에 연결하는 방법은 다양하다. 예를 들어, 카테고리컬 분포 $Categorical(x; \boldsymbol{p})$ 를 사용하고, 그 파라미터 $\boldsymbol{p}$ 를 입력의 신경망 변환으로 표현하는 조건부 확률 모델을 생각해 볼 수 있다. 이는 다음과 같이 표현된다.

: $p_\theta(x|y) = Categorical(x; \boldsymbol{p}=NeuralNet_\theta(y))$

7. 1. 조건부 확률 모델의 정의

조건부 확률을 표현하는 확률 모델이다.^[16]

조건부 확률 모델의 확률 분포는 p_θ(x|y)|피 세타 엑스 바 와이^영어로 표현되며, y|와이^영어는 모델의 '''입력'''(input^영어)이라고도 불린다.^[17]

다양한 사건들이 조건부 확률 모델을 사용하여 모델링될 수 있다. 예를 들어 다음과 같다.

이미지 분류기 p_θ(class|image)|피 세타 클래스 바 이미지^영어: 이미지에 조건이 걸린 (이미지를 입력으로 한) 소속 클래스의 확률을 출력
이미지 생성기 p_θ(image|class)|피 세타 이미지 바 클래스^영어: 클래스에 조건이 걸린 (클래스를 입력으로 한) 이미지의 확률을 출력

모델의 입력을 분포에 연결(parameterize)하는 방법은 다양하게 존재한다. 예시로 분포에 카테고리컬 분포 Categorical(x; p)|카테고리컬 엑스 세미콜론 피^영어를 채용하고, 그 파라미터 p|피^영어를 입력의 신경망에 의한 변환으로 표현하는 조건부 확률 모델을 생각할 수 있다. 이것은 다음과 같이 정식화된다.

: p_θ(x|y) = Categorical(x; p=NeuralNet_θ(y))|피 세타 엑스 바 와이 이콜 카테고리컬 엑스 세미콜론 피 이콜 뉴럴넷 세타 와이^영어

7. 2. 조건부 확률 모델의 예시

이미지 분류기

p_\theta(class|image)

는 이미지에 조건이 걸린 (이미지를 입력으로 한) 소속 클래스의 확률을 출력한다.^[16] 이미지 생성기

p_\theta(image|class)

는 클래스에 조건이 걸린 (클래스를 입력으로 한) 이미지의 확률을 출력한다.^[17]

참조

_[1] 서적
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적
_[8] 간행물 Sufficiency and Approximate Sufficiency Institute of Mathematical Statistics 1964
_[9] 서적
_[10] 서적
_[11] 서적
_[12] 서적
_[13] 서적
_[14] 서적
_[15] 서적
_[16] 논문 "a conditional model pθ(y|x) that approximates the underlying conditional distribution p∗(y|x)" Foundations and Trends in Machine Learning
_[17] 논문 "pθ(y|x) ... x is often called the input of the model." Foundations and Trends in Machine Learning
_[18] 서적
_[19] 서적

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