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평사도법

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목차

1. 개요

평사도법(Stereographic projection)은 구 또는 타원체 표면의 점을 평면에 투영하는 지도 투영법의 일종이다. 고대 이집트에서 사용되었을 가능성이 있으며, 히파르코스가 처음 사용한 것으로 여겨진다. 1507년 발터 루드가 지구 표면에 평사도법을 적용한 최초의 사례를 만들었고, 룸볼트 메르카토르가 1595년 자신의 아틀라스에 적도면을 사용하면서 지도 제작에 널리 사용되었다. 평사 투영은 등각 투영이며, 모든 각도를 정확하게 표현하고, 구의 원을 원으로 렌더링하는 유일한 지도 투영법이다. 갈 스테레오 투영법, GS50 투영법 등 다양한 파생 투영법이 개발되어 활용되고 있다.

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평사도법

2. 역사

스테레오그래픽 투영법은 극지방에서 고대 이집트인들에게 알려졌을 가능성이 있지만, 그 발명은 종종 최초로 이를 사용한 그리스인인 히파르코스에게 기인한다. 1695년, 에드먼드 핼리는 별자리 지도에 대한 관심에서 이 지도가 등각사상임을 증명하는 최초의 수학적 증명을 발표했다.[2] 그는 친구인 아이작 뉴턴이 발명한 미적분학을 사용했다.

2. 1. 고대 및 중세

고대 이집트인들이 극면의 경우 평사도법을 알고 있었을 가능성이 있지만, 그 발명은 이를 최초로 사용한 그리스인 히파르코스의 공으로 여겨진다. 사면의 경우는 4세기 그리스 수학자 알렉산드리아의 테온이 사용했고, 적도면의 경우는 11세기 아랍 천문학자 알-자르칼리가 사용했다. 평사도법에 대한 가장 초기의 서면 설명은 프톨레마이오스의 ''플라니스페리움''으로, "플라니스피어 투영"이라고 불린다.

2. 2. 근대



스테레오그래픽 투영법은 1507년 로렌의 생디에의 발터 루드가 지구 표면의 스테레오그래픽 투영법을 최초로 사용하기 전까지는 별자리 지도에만 사용되었다. 1595년 룸볼트 메르카토르가 자신의 아틀라스에 적도면을 사용한 후 지도 제작에서 인기가 높아졌으며,[1] 17세기 내내 동반구와 서반구 지도를 만드는 데 자주 사용되었다.[4]

2. 3. 현대

1695년, 에드먼드 핼리는 별자리 지도에 대한 관심에서 이 지도가 등각사상임을 증명하는 최초의 수학적 증명을 발표했다.[2] 그는 친구인 아이작 뉴턴이 발명한 미적분학을 사용했다.

3. 공식

평사도법은 극좌표를 사용하여 표현할 수 있으며, 구면 좌표계와 평면 좌표계 사이의 관계를 나타내는 공식이 존재한다.

평사도법의 공식 유도와 구면 및 타원체 평사 투영법에 대한 자세한 내용은 하위 섹션을 참고하면 된다.

3. 1. 구면 평사 투영법

극을 투영 원점으로 삼았을 때, 위도를 \phi, 지도상의 거리를 r이라 하면 다음과 같이 주어진다.

: r = 2 (\sec \phi - \tan \phi)

일반적으로 극좌표를 사용하여 다음과 같이 표현된다.

:

\begin{align}

r &= 2 R \tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\varphi}{2}\right) \\

\theta &= \lambda

\end{align}



여기서 R은 구의 반지름이고, \varphi와 \lambda는 각각 위도와 경도이다.

3. 2. 극 타원체 투영법

지구 모형이 타원체인 경우 등각 위도를 사용하여 투영한다.[1] 타원체의 횡 또는 경사 평사 투영법에는 여러 형태가 있는데, 어떤 방법은 등각 구를 통해 이중 투영을 사용하고 다른 방법은 그렇지 않다. 횡 또는 경사 평사 투영법의 예시로는 밀러 편평 평사 투영법[3]과 루실 경사 평사 투영법이 있다.[4]

3. 3. 한국어 문서의 공식 유도

정각성에 의해 다음이 성립한다.

: - \frac {d\phi}{\cos \phi \, d\lambda} = \frac {dr}{r \, d\lambda}

: \frac {dr}{r} = - \sec \phi \, d\phi

: \log r = \log (\sec \phi - \tan \phi) + C

이제 C를 구하면 된다. 투영 원점 근처에서는 길이가 보존되어야 하므로, r' (\frac {\pi}{2}) = -1 이다.

위의 식에서 \frac {dr}{d\phi} = e^{C} ({\sec \phi \tan \phi - \sec ^2 \phi}) 이므로,

: -1 = r' (\frac {\pi}{2}) = \lim_{ \phi \to \frac{\pi}{2} ^{-} } e^{C} ({\sec \phi \tan \phi - \sec ^2 \phi}) = e^{C} \lim_{ \phi \to \frac{\pi}{2} ^{-} } \frac {\sin \phi -1}{\cos ^2 \phi} = - \frac {e^C}{2}

따라서 e^{C} = 2 가 된다.

4. 특징

평사도법은 방위도법의 일종으로, 중심점을 지나는 모든 대원의 상대적인 방향을 충실하게 표현한다. 등각 투영이므로 모든 각도를 정확하게 표현한다.[1]

4. 1. 등각성

평사 투영은 모든 각도를 정확하게 표현하는 등각 투영이다.[1] 구면 형태의 평사 투영은 모든 소원을 원으로 나타내는 유일한 지도 투영법이다.

4. 2. 원 보존성

평사도는 모든 소원을 원으로 나타내는 유일한 지도 투영법이다.[1]

4. 3. 기하학적 성질

평사 투영은 지도의 중심점 반대편에 있는 구 위의 점에 투시점이 있는 원근 투영과 동일하다.

r의 표현식이 \varphi가 -\frac{\pi}{2}에 가까워짐에 따라 발산하므로, 평사 투영은 무한히 크며, (북극을 중심으로 하는 지도에서) 남극을 표시하는 것은 불가능하다. 그러나 지도의 경계를 충분히 확장하면 남극에 임의로 가까운 점을 표시하는 것은 가능하다.[1]

5. 파생 투영법

방위 도법 비교


스테레오그래픽 투영법을 기반으로 갈 스테레오 투영법, GS50 투영법 등 다양한 파생 투영법이 개발되었다.

5. 1. 갈 스테레오 투영법 (Gall Stereographic Projection)

갈 스테레오 투영법의 위선은 횡 스테레오 투영법의 중앙 자오선과 동일한 간격으로 분포되어 있다.

5. 2. GS50 투영법 (GS50 Projection)

GS50 투영법은 사위 스테레오 투영법을 복소 평면에 매핑한 다음, 10차 다항식을 통해 해당 점을 변환하여 형성된다.

참조

[1] 간행물 Map Projections---A Working Manual United States Geological Survey 1987
[2] 서적 Portraits of the Earth: A Mathematician Looks at Maps American Mathematical Society 2002
[3] 논문 The Miller Oblated Stereographic Projection for Africa, Europe, Asia and Australasia 1986
[4] 서적 Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections The University of Chicago Press 1993


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