포물선 운동

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1. 개요
2. 초기 속도
3. 포물선 운동의 물리량
4. 포물선 궤적의 성질
5. 공기 저항을 고려한 포물선 운동
- 5.1. 스토크스 항력 (Stokes Drag)
- 5.2. 뉴턴 항력 (Newton Drag)
6. 행성 규모에서의 포물선 운동
7. 고각 궤도 (Lofted Trajectory)
참조

1. 개요

포물선 운동은 초기 속도로 발사된 물체의 궤적을 설명하는 물리학 개념이다. 물체의 수평 및 수직 성분은 초기 속도와 발사 각도를 사용하여 표현되며, 수평 및 수직 운동은 서로 독립적으로 작용한다. 포물선 운동에서 가속도는 수평 방향으로는 0, 수직 방향으로는 중력 가속도와 같으며, 속도와 변위는 시간에 따라 변화한다. 공기 저항을 고려하면 궤적은 달라지며, 스토크스 항력과 뉴턴 항력 모델을 사용할 수 있다. 행성 규모에서는 지구의 곡률과 중력의 변화를 고려해야 하며, 고각 궤도와 같은 특수한 궤적도 존재한다.

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포물선 운동
개요
유형	고전 역학
관련 학문	운동학 동역학
변수
초기 속도	v₀
발사 각도	θ
중력 가속도	g
핵심 개념
수평 사거리	수평 도달 거리
최대 높이	최대 높이
비행 시간	총 비행 시간
운동 방정식
수평 위치	x(t) = v₀ * cos(θ) * t
수직 위치	y(t) = v₀ * sin(θ) * t - (1/2) * g * t²
수평 속도	vx(t) = v₀ * cos(θ)
수직 속도	vy(t) = v₀ * sin(θ) - g * t
수평 사거리 (R)
공식	R = (v₀² * sin(2θ)) / g
최대 사거리 각도	45°
최대 높이 (H)
공식	H = (v₀² * sin²(θ)) / (2g)
총 비행 시간 (T)
공식	T = (2 * v₀ * sin(θ)) / g
포물선 방정식
경로 방정식	y = x * tan(θ) - (g * x²) / (2 * v₀² * cos²(θ))
응용
예시	탄도학 스포츠 (야구, 골프, 농구 등) 군사
추가 정보
고려 사항	공기 저항, 코리올리 효과 등은 무시
관련 주제	사거리 탄도 발사체

2. 초기 속도

포물체가 초기 속도 $\mathbf{v}_0$ 로 발사될 때, 수평 및 수직 성분은 다음과 같이 표현된다.

: $\mathbf{v}_0 = v_{0x}\mathbf{i} + v_{0y}\mathbf{j}$ .

발사 각도 $\theta$ 를 사용하여 수평 및 수직 성분을 나타낼 수 있다.

: $v_{0x} = v_0\cos\theta$ ,

: $v_{0y} = v_0\sin\theta$ .

3. 포물선 운동의 물리량

포물선 운동에서 수평 운동과 수직 운동은 서로 독립적이다. 즉, 어느 운동도 다른 운동에 영향을 미치지 않는다. 이는 1638년 갈릴레오가 정립한 ''합성 운동''의 원리이며,^[1] 그는 이를 사용하여 포물선 운동의 포물선 형태를 증명했다.^[2]

탄도 궤적은 균일한 가속도를 가진 포물선이다. 예를 들어, 다른 힘이 없는 상태에서 일정한 가속도를 받는 우주선이 있다. 지구에서는 가속도의 크기가 고도에 따라 변하고, 궤적을 따라 위도/경도에 따라 방향이 변한다. 이는 타원 궤적을 유발하며, 작은 규모에서는 포물선과 매우 가깝다. 그러나 물체를 던졌을 때 지구가 갑자기 같은 질량의 블랙홀로 대체된다면 탄도 궤적이 무한대로 확장되는 포물선이 아니라 그 "블랙홀" 주위의 타원 궤도의 일부라는 것이 명백해질 것이다. 더 빠른 속도에서는 궤적이 원형, 포물선 또는 쌍곡선이 될 수도 있다(달이나 태양과 같은 다른 물체에 의해 왜곡되지 않는 한). 이 문서에서는 ''균일한'' 중력 가속도를 가정한다.

일상적인 범위에서 사선 투사된 물체는 지표면 부근에서 운동하게 된다. 이때 물체의 지표면으로부터의 높이는 지구의 반지름에 비해 충분히 작기 때문에 물체에 작용하는 중력은 일정하다고 간주할 수 있다. 여기서 수평 방향을

x

축, 연직 상방을

y

축으로 잡으면, 사선 투사된 물체의 속도 및 위치는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\begin{align}v_x &= v_0\cos\theta, \\v_y &= -gt+v_0\sin\theta; \\x &= v_0t\cos\theta, \\y &= -\frac{1}{2}gt^2+v_0t\sin\theta+y_0\end{align}

여기서

v_x

,

v_y

는 각각 물체의 속도의 ''x'' 성분, ''y'' 성분이며,

v_0

는 초기 속도,

\theta

는 투사 각도,

t

는 투사 후 경과 시간이다. 또한,

y_0

는 물체의 초기 고도이며, 물체의 ''x'' 성분의 초기 위치는 0으로 설정되어 있다.

먼저,

y_{0}=0

일 때를 생각하면,

:

y=-\dfrac {g}{2v^{2}_{0}\cos ^{2}\theta }x^{2}+x\tan \theta

가 되어, y는 x의 이차 함수로 표시되므로 물체가 그리는 궤적은 포물선이 된다는 것을 알 수 있다.

또한 이 식으로부터,

0<\theta<\pi/2

일 때, 물체의 고도가

y=0

이 되는 위치를

x_0

라고 하면,

:

x_0=\frac{{v_0}^2\sin2\theta}{g}

가 되어, 투사된 물체의 최대 도달 거리가 되는 투사 각도

\theta_0

는

:

\theta_0=\frac{\pi}{4}

이상으로부터, 초기 고도가 0일 때 최대 도달 거리가 되는 투사 각도는

45^{\circ}

이다.

다음으로,

y_0=h

일 때 최대 도달 거리가 되는 투사 각도

\theta

는

:

\tan \theta =\dfrac {v_{0}}{\sqrt {v^{2}_{0}+2gh}}

가 되어, 초기 고도가 있는 경우, 최대 도달 거리가 되는 투사 각도는

45^{\circ}

보다 작아진다.

이때의 최대 도달 거리

x

는

:

x=\dfrac {v_{0}\sqrt {v^{2}_{0}+2gh}}{g}

가 된다.

3. 1. 가속도

포물선 운동에서 수평 방향의 가속도는 0이며, 수직 방향의 가속도는 중력 가속도

-g

로 일정하다. g는 중력 가속도이다.(지구 표면 근처에서는

9.81\,\mathrm{m/s^2}

). y축 가속도는 대상 물체에 대한 지구의 힘

(-F_g/m)

으로도 불릴 수 있다.

일상적인 범위에서 사선 투사된 물체는 지표면 부근에서 운동하며, 물체의 지표면으로부터 높이는 지구 반지름에 비해 충분히 작기 때문에 물체에 작용하는 중력은 일정하다고 간주할 수 있다.

3. 2. 속도

포물선 운동에서 속도의 수평 방향 성분은 가속도가 0이므로 변하지 않는다. 반면, 수직 방향 속도 성분은 중력에 의해 일정하게 변한다. x 방향과 y 방향 속도 성분은 다음과 같다.

:

v_x=v_0 \cos(\theta)

,

:

v_y=v_0 \sin(\theta) - gt

.

포물체의 속도 크기는 피타고라스 정리를 이용하여 계산할 수 있다.

:

v=\sqrt{v_x^2 + v_y^2 \ }

.

일-에너지 정리에 따르면, 속도의 수직 성분은 다음과 같다.

:

v_y^2 = (v_0 \sin \theta)^2-2gy

.

이 공식은 공기 저항을 무시하며, 착륙 지점의 높이가 균일하게 0이라고 가정한다.

일상적인 범위에서 사선 투사된 물체는 지표면 부근에서 운동하게 된다. 이때 물체의 지표면으로부터의 높이는 지구의 반지름에 비해 충분히 작기 때문에 물체에 작용하는 중력은 일정하다고 간주할 수 있다. 여기서 수평 방향을 x축, 연직 상방을 y축으로 잡으면, 사선 투사된 물체의 속도 및 위치는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\begin{align}v_x &= v_0\cos\theta, \\v_y &= -gt+v_0\sin\theta; \\x &= v_0t\cos\theta, \\y &= -\frac{1}{2}gt^2+v_0t\sin\theta+y_0\end{align}

여기서

v_x

,

v_y

는 각각 물체의 속도의 x 성분, y 성분이며,

v_0

는 초기 속도,

\theta

는 투사 각도,

t

는 투사 후 경과 시간이다. 또한,

y_0

는 물체의 초기 고도이며, 물체의 x 성분의 초기 위치는 0으로 설정되어 있다.

3. 3. 변위 (위치)

어떤 시점

t

에서 발사체의 수평 변위는

x = v_0 t \cos(\theta)

이다.^[3] 수직 변위는

y = v_0 t \sin(\theta) - \frac{1}{2}gt^2

이다.^[3] 변위의 크기는

\Delta r=\sqrt{x^2 + y^2 }

이다.

x = v_0 t \cos(\theta)

및

y = v_0 t\sin(\theta) - \frac{1}{2}gt^2

에서 t를 소거하면 다음 방정식을 얻을 수 있다.^[3]

:

y = \tan(\theta) \cdot x-\frac{g}{2v^2_{0}\cos^2 \theta} \cdot x^2=\tan\theta \cdot x \left(1-\frac{x}{R}\right).

여기서 R은 발사체의 도달거리이다.

g, θ, v₀가 상수이므로 위 방정식은 다음과 같은 형태를 갖는다.

:

y=ax+bx^2

,

여기서 a와 b는 상수이다. 이것은 포물선의 방정식이므로 경로는 포물선이다. 포물선의 축은 수직이다.

발사체의 위치 (x,y)와 발사 각도 (θ 또는 α)가 알려진 경우, 앞서 언급한 포물선 방정식에서 v₀에 대해 풀어서 초기 속도를 찾을 수 있다.

:

v_0 = \sqrt

.

y_{0}=0

일 때,

:

y=-\dfrac {g}{2v^{2}_{0}\cos ^{2}\theta }x^{2}+x\tan \theta

가 되어, y는 x의 이차 함수로 표시되므로 물체가 그리는 궤적은 포물선이 된다.

또한 이 식으로부터,

0<\theta<\pi/2

일 때, 물체의 고도가

y=0

이 되는 위치를

x_0

라고 하면,

:

x_0=\frac{{v_0}^2\sin2\theta}{g}

가 되어, 투사된 물체의 최대 도달 거리가 되는 투사 각도

\theta_0

는

:

\theta_0=\frac{\pi}{4}

이상으로부터, 초기 고도가 0일 때 최대 도달 거리가 되는 투사 각도는

45^{\circ}

이다.

y_0=h

일 때 최대 도달 거리가 되는 투사 각도

\theta

는

:

\tan \theta =\dfrac {v_{0}}{\sqrt {v^{2}_{0}+2gh}}

가 되어, 초기 고도가 있는 경우, 최대 도달 거리가 되는 투사 각도는

45^{\circ}

보다 작아진다.

이때의 최대 도달 거리

x

는

:

x=\dfrac {v_{0}\sqrt {v^{2}_{0}+2gh}}{g}

가 된다.

4. 포물선 궤적의 성질

일상적인 범위에서 사선 투사된 물체는 지표면 부근에서 운동하게 된다. 이때 물체의 지표면으로부터의 높이는 지구의 반지름에 비해 충분히 작기 때문에 물체에 작용하는 중력은 일정하다고 간주할 수 있다. 여기서 수평 방향을 $x$ 축, 연직 상방을 $y$ 축으로 잡으면, 사선 투사된 물체의 속도 및 위치는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\begin{align}v_x &= v_0\cos\theta, \\v_y &= -gt+v_0\sin\theta; \\x &= v_0t\cos\theta, \\y &= -\frac{1}{2}gt^2+v_0t\sin\theta+y_0\end{align}$

여기서 $v_x$ , $v_y$ 는 각각 물체의 속도의 ''x'' 성분, ''y'' 성분이며, $v_0$ 는 초기 속도, $\theta$ 는 투사 각도, $t$ 는 투사 후 경과 시간이다. 또한, $y_0$ 는 물체의 초기 고도이며, 물체의 ''x'' 성분의 초기 위치는 0으로 설정되어 있다.

먼저, $y_{0}=0$ 일 때를 생각하면,

: $y=-\dfrac {g}{2v^{2}_{0}\cos ^{2}\theta }x^{2}+x\tan \theta$

가 되어, y는 x의 이차 함수로 표시되므로 물체가 그리는 궤적은 포물선이 된다는 것을 알 수 있다.

또한 이 식으로부터, $0<\theta<\pi/2$ 일 때, 물체의 고도가 $y=0$ 이 되는 위치를 $x_0$ 라고 하면,

: $x_0=\frac{{v_0}^2\sin2\theta}{g}$

가 되어, 투사된 물체의 최대 도달 거리가 되는 투사 각도 $\theta_0$ 는

: $\theta_0=\frac{\pi}{4}$

이상으로부터, 초기 고도가 0일 때 최대 도달 거리가 되는 투사 각도는 $45^{\circ}$ 이다.

다음으로, $y_0=h$ 일 때 최대 도달 거리가 되는 투사 각도 $\theta$ 는

: $\tan \theta =\dfrac {v_{0}}{\sqrt {v^{2}_{0}+2gh}}$

가 되어, 초기 고도가 있는 경우, 최대 도달 거리가 되는 투사 각도는 $45^{\circ}$ 보다 작아진다.

이때의 최대 도달 거리 $x$ 는

: $x=\dfrac {v_{0}\sqrt {v^{2}_{0}+2gh}}{g}$

가 된다.

4. 1. 비행 시간

물체가 공중에 머무르는 총 시간(비행 시간)은 다음과 같이 계산된다.

:

t=\frac{2 v_0\sin(\theta)}{g}

여기서 v₀는 초기 속도, θ는 투사 각도, g는 중력 가속도이다. 이 공식은 공기 저항을 무시하고, 발사체가 수평축(x축)으로 돌아오는 경우(y=0)를 가정한다.

발사체의 수평 및 수직 속도는 서로 독립적이므로, 수평 속도에 대한 변위 공식을 사용하여 목표 지점까지 도달하는 시간을 구할 수도 있다.

:

t=\frac{x}{v_0\cos(\theta)}

만약, 출발점이 충돌 지점과 관련하여 높이 y₀에 있는 경우 비행 시간은 다음과 같다.

:

t = \frac{d}{v \cos\theta} = \frac{v \sin \theta + \sqrt{(v \sin \theta)^2 + 2gy_0}}{g}

초기 고도가 0일 때 최대 도달 거리가 되는 투사 각도는

45^{\circ}

이다. 초기 고도가 있는 경우, 최대 도달 거리가 되는 투사 각도는

45^{\circ}

보다 작아진다.

4. 2. 최대 높이

물체가 도달하는 가장 높은 높이를 물체의 운동 정점이라고 한다. 높이 증가는

v_y=0

이 될 때까지 지속된다.

최대 높이(h)에 도달하는 시간은 다음과 같다.

:

t_h = \frac{v_0 \sin(\theta)}

.

포물선의 최대 높이의 수직 변위는 다음과 같이 계산된다.

:

h = v_0 t_h \sin(\theta) - \frac{1}{2} gt^2_h

:

h = \frac{v_0^2 \sin^2(\theta)}{2|g|}

최대 도달 높이는 ''θ''=90°에서 얻을 수 있으며, 이 때 최대 높이는 다음과 같다.

:

h_{\mathrm{max}} = \frac{v_0^2}{2|g|}

발사체의 위치 (x,y)와 발사 각도 (θ)가 알려진 경우, 다음 방정식을 통해 h에 대한 해를 구하여 최대 높이를 찾을 수 있다.

:

h=\frac{(x\tan\theta)^2}{4(x\tan\theta-y)}.

최대 높이에서의 앙각 (φ)은 다음과 같다.

:

\phi = \arctan

4. 3. 최대 수평 도달 거리

물체가 수평으로 이동하는 최대 거리는

d = \frac{v_0^2}

\sin(2\theta) 이다.^[4] 여기서 d는 물체가 초기 높이(y=0)로 되돌아갈 때 이동한 수평 거리이며,

\sin(2\theta)=1

일 때 최대값을 가진다. 이는

2\theta=90^\circ

, 즉

\theta=45^\circ

에 해당한다.^[4] 따라서 최대 수평 도달 거리는 발사 각도가 45°일 때 얻어지며, 그 값은

d_{\mathrm{max}} = \frac{v^2}

이다.

진공 및 균일 중력장에서 발사각에 따른 포물선 궤적 변화(속도 10 m/s²).

수평면에서 수평 도달 거리 d와 최대 높이 h 사이의 관계는

h = \frac{d\tan\theta}{4}

이다. 만약

h = R

이면,

\theta = \arctan(4)\approx 76.0^\circ

이다.

초기 고도가 0일 때, 물체가 그리는 궤적은 다음의 이차 함수로 표현된다.

:

y=-\dfrac {g}{2v^{2}_{0}\cos ^{2}\theta }x^{2}+x\tan \theta

초기 고도가 h일때, 최대 도달 거리가 되는 투사각은

:

\tan \theta =\dfrac {v_{0}}{\sqrt {v^{2}_{0}+2gh}}

가 되어, 초기 고도가 있는 경우, 최대 도달 거리가 되는 투사 각도는

45^{\circ}

보다 작아진다.

이때의 최대 도달 거리

x

는

:

x=\dfrac {v_{0}\sqrt {v^{2}_{0}+2gh}}{g}

가 된다.

5. 공기 저항을 고려한 포물선 운동

공기 저항은 항상 주변 매질 내에서 운동 방향과 반대 방향으로 작용하며, 절대 속도에 따라 크기가 달라지는 힘을 생성한다. : $\mathbf{F_{air}} = -f(v)\cdot\mathbf{\hat v}$ . 마찰력의 속도 의존성은 매우 낮은 속도에서는 선형( $f(v) \propto v$ )(스토크스 항력)이고, 큰 속도에서는 이차( $f(v) \propto v^2$ )(뉴턴 항력)이다.^[8] 이러한 거동 간의 전환은 레이놀즈 수에 의해 결정되며, 이는 물체의 속도와 크기, 매질의 밀도 $\rho$ 및 동점성 $\eta$ 에 따라 달라진다. 레이놀즈 수가 약 1 미만인 경우 의존성은 선형이고, 1000 이상(난류 흐름)인 경우 이차가 된다. 동점성률 $\eta/\rho$ 이 약 0.15 cm²/s인 공기에서, 이는 물체의 속도와 직경의 곱이 약 0.015 m²/s 이상일 때, 즉 일반적으로 투사체의 경우 항력이 ''v''에 대해 이차가 된다는 것을 의미한다.

스토크스 항력: $\mathbf{F_{air}} = -k_{\mathrm{Stokes}}\cdot\mathbf{v}\qquad$ (for $Re\lesssim 1$ )
뉴턴 항력: $\mathbf{F_{air}} = -k\,|\mathbf{v}|\cdot\mathbf{v}\qquad$ (for $Re\gtrsim 1000$ )

오른쪽의 자유 물체도는 공기 저항과 중력의 영향을 받는 투사체에 대한 것이다. 여기서 공기 저항은 투사체의 속도와 반대 방향으로 작용한다고 가정한다:

\mathbf{F_{\mathrm{air}}} = -f(v)\cdot\mathbf{\hat v}

[[File:https://cdn.onul.works/wiki/source/1950f866a17_aad16f51.gif|thumb|400px|70° 각도로 던져진 질량의 궤적:

공기 저항이 없을 때 (포물선)
스토크스 항력이 있을 때
뉴턴 항력이 있을 때]]

물체가 받는 공기 저항의 크기는 공기에 대한 물체의 속도에 비례한다. 따라서 공기 저항이 있는 경우 위의 경우와는 다른 운동을 한다.

이때, 물체의 속도 및 위치는 다음과 같다.

:

\begin{align}v_x &= v_0e^{-kt/m}\cos\theta, \\v_y &= \left(v_0\sin\theta+\frac{m}{k}g\right)e^{-kt/m}-\frac{m}{k}g; \\x &= \frac{mv_0}{k}\left(1-e^{-kt/m}\right)\cos\theta, \\y &= \frac{m}{k}\left\{\left(v_0\sin\theta+\frac{m}{k}g\right)\left(1-e^{-kt/m}\right)-gt\right\}+y_0\end{align}

또한,

t

를 매개변수로 하면,

x

와

y

의 관계는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

y=\frac{x}{v_0\cos\theta}\left(v_0\sin\theta+\frac{m}{k}g\right)+\frac{m^2g}{k^2}\ln\left(1-\frac{kx}{mv_0\cos\theta}\right)+y_0

여기서,

m

은 물체의 질량,

k

는 공기 저항 계수이다.

공기 저항은 물체에 속도에 비례하는 반대 방향의 힘을 받기 때문에, 중력과 공기 저항을 받는 물체는 이내 중력과 공기 저항이 평형을 이루어 종단 속도에 도달한다. 종단 속도는,

v_x

및

v_y

의 극한을 취함으로써 구할 수 있다. 여기서 종단 속도의 ''x'' 성분을

v_{x\infty}

, ''y'' 성분을

v_{y\infty}

라고 하면

:

\begin{align}v_{x\infty} &= \lim_{t \to \infty}v_x=0 \\v_{y\infty} &= \lim_{t \to \infty}v_y=-\frac{m}{k}g\end{align}

가 되어, 충분한 시간이 경과한 후, 공기(유체) 중에 사영된 물체는 연직 아래 방향으로 등속 직선 운동을 한다는 것을 알 수 있다.

이 때문에, 유체 중에서 사영된 물체는 수평 방향으로는 특정 거리 이상으로는 도달할 수 없다. 물체가 수평 방향으로 도달할 수 있는 한계 거리를

x_\infty

라고 하면,

x

의 극한을 취하여

:

x_\infty=\lim_{t\to\infty}x=\frac{m}{k}v_0\cos\theta

임을 구할 수 있다.

5. 1. 스토크스 항력 (Stokes Drag)

스토크스 항력(

\mathbf{F_{air}} \propto \mathbf{v}

)은 공기 중에서 매우 낮은 속도에서만 적용되며, 따라서 투사체의 일반적인 경우는 아니다.^[9] 그러나

F_\mathrm{air}

의

v

에 대한 선형 의존성은 매우 간단한 미분 운동 방정식을 유발한다.^[9]

:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\begin{pmatrix}v_x \\ v_y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\mu\,v_x \\ -g-\mu\,v_y\end{pmatrix}

여기서 2개의 데카르트 성분은 완전히 독립적이 되므로 해결하기가 더 쉽다.^[9] 여기서,

v_0

,

v_x

및

v_y

는 각각 초기 속도, x 방향의 속도 및 y 방향의 속도를 나타내는 데 사용된다. 투사체의 질량은 m으로 표시되며,

\mu:=k/m

이다. ^[9]

이때, 물체의 속도 및 위치는 다음과 같다.^[10]

:

\begin{align}v_x &= v_0e^{-kt/m}\cos\theta, \\v_y &= \left(v_0\sin\theta+\frac{m}{k}g\right)e^{-kt/m}-\frac{m}{k}g; \\x &= \frac{mv_0}{k}\left(1-e^{-kt/m}\right)\cos\theta, \\y &= \frac{m}{k}\left\{\left(v_0\sin\theta+\frac{m}{k}g\right)\left(1-e^{-kt/m}\right)-gt\right\}+y_0\end{align}

또한,

t

를 매개변수로 하면,

x

와

y

의 관계는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

y=\frac{x}{v_0\cos\theta}\left(v_0\sin\theta+\frac{m}{k}g\right)+\frac{m^2g}{k^2}\ln\left(1-\frac{kx}{mv_0\cos\theta}\right)+y_0

여기서,

m

은 물체의 질량,

k

는 공기 저항 계수이다.

공기 저항은 물체에 속도에 비례하는 반대 방향의 힘을 받기 때문에, 중력과 공기 저항을 받는 물체는 이내 중력과 공기 저항이 평형을 이루어 종단 속도에 도달한다. 종단 속도는,

v_x

및

v_y

의 극한을 취함으로써 구할 수 있다. 여기서 종단 속도의 ''x'' 성분을

v_{x\infty}

, ''y'' 성분을

v_{y\infty}

라고 하면

:

\begin{align}v_{x\infty} &= \lim_{t \to \infty}v_x=0 \\v_{y\infty} &= \lim_{t \to \infty}v_y=-\frac{m}{k}g\end{align}

가 되어, 충분한 시간이 경과한 후, 공기(유체) 중에 사영된 물체는 연직 아래 방향으로 등속 직선 운동을 한다는 것을 알 수 있다.

이 때문에, 유체 중에서 사영된 물체는 수평 방향으로는 특정 거리 이상으로는 도달할 수 없다. 물체가 수평 방향으로 도달할 수 있는 한계 거리를

x_\infty

라고 하면,

x

의 극한을 취하여

:

x_\infty=\lim_{t\to\infty}x=\frac{m}{k}v_0\cos\theta

임을 구할 수 있다.

5. 2. 뉴턴 항력 (Newton Drag)

레이놀즈 수가 1000 이상일 때, 공기 저항은 속도의 제곱에 비례하는 뉴턴 항력(

F_{\mathrm{air}} = -k v^2

)으로 나타난다.^[11] 동점성 계수가 약 0.15 cm²/s인 공기에서, 이는 물체의 속도와 직경의 곱이 약 0.015 m²/s 이상이어야 함을 의미한다.

이러한 뉴턴 항력은 운동 방정식을 해석적으로 풀기 어렵게 만들어, 주로 수치적 해법을 사용한다.^[11]

일반적인 경우, 다음과 같은 가정을 통해 항력 방정식을 적용한다.^[11]

중력 가속도 $g$ 는 일정하다.
공기 저항은 항력 공식으로 주어진다: $\mathbf{F_D} = -\tfrac{1}{2} c \rho A\, v\,\mathbf{v}$
''F_D''는 항력
''c''는 항력 계수
ρ는 공기 밀도
''A''는 발사체의 단면적
$\mu=k/m :=$ $c\rho A/(2m)$ $= c \rho/(2\rho_p l)$ ( 탄도 계수와 관련)

뉴턴 항력을 받는 발사체의 일반적인 경우는 해석적으로 해결할 수 없지만, 몇 가지 특수한 경우는 가능하다.

'''근'''수평''' 운동''': 총알과 같이 $|v_x|\gg|v_y|$ 인 경우, 수직 속도 성분은 수평 운동에 거의 영향을 미치지 않는다. 이 경우 중력이 무시될 때, 혹은 엔진이 꺼진 자동차와 같이 수직 운동이 방지될 때도 적용 가능하다.^[11]

'''상승'''하는 수직 운동''':^[11] 발사체는 수직 방향으로 특정 시간 이상 상승할 수 없으며, 최고점에 도달한다.

'''하강'''하는 수직 운동''':^[11] 특정 시간 이후 발사체는 거의 종단 속도에 도달한다.

일반적인 드래그가 있는 포물선 운동은 상미분 방정식의 수치 적분을 통해 계산할 수 있다.^[11]

6. 행성 규모에서의 포물선 운동

발사체가 지구 반지름에 비해 상당한 거리(약 100km 이상)를 이동할 때, 지구의 곡률과 균일하지 않은 지구의 중력을 고려해야 한다. 이는 예를 들어 우주선과 대륙간 탄도 미사일의 경우에 해당한다. 그러면 궤적은 (공기 저항이 없을 때) 포물선에서 지구 중심을 초점으로 하는 케플러 타원으로 일반화된다. 발사체의 운동은 케플러의 행성 운동 법칙을 따른다.

궤적의 매개변수는 위에 언급된 균일한 중력장의 값에서 조정되어야 한다. 지구 반지름은 R로, g는 표준 표면 중력으로 한다.

\tilde v:=v/\sqrt{Rg}

를 제1우주속도 또는 탈출 속도에 대한 발사 속도로 하자.

발사 및 충격 사이의 총 거리 d:

:

d = \frac{v^2 \sin(2 \theta)}{g} \Big/ \sqrt{1-\left(2-\tilde v^2\right)\tilde v^2\cos^2\theta}

(여기서 발사 각도

\theta=\tfrac12\arccos\left(\tilde v^2/(2-\tilde v^2)\right)

)

최적 발사 각도 θ=45^o에서 발사체의 최대 사거리:

:

d_{\mathrm{max}} = \frac{v^2}{g} \big/ \left(1-\tfrac12\tilde v^2\right)

여기서

v<\sqrt{Rg}

, 제1우주속도

행성 표면 위의 발사체의 최대 높이:

:

h = \frac{v^2 \sin^2\theta}{g} \Big/ \left(1-\tilde v^2+\sqrt{1-\left(2-\tilde v^2\right)\tilde v^2\cos^2\theta}\right)

수직 발사(

\theta=90^\circ

) 시 발사체의 최대 높이:

:

h_{\mathrm{max}} = \frac{v^2}{2g} \big/ \left(1-\tfrac12\tilde v^2\right)

여기서

v<\sqrt{2Rg}

, 제2우주속도,

비행 시간:

:

t = \frac{2v\sin\theta}{g} \cdot \frac{1}{2-\tilde v^2} \left(1 + \frac{1}{\sqrt{2-\tilde v^2}\,\tilde v\sin\theta}\arcsin\frac{\sqrt{2-\tilde v^2}\,\tilde v\sin\theta}{\sqrt{1-\left(2-\tilde v^2\right)\tilde v^2\cos^2\theta}}\right)

7. 고각 궤도 (Lofted Trajectory)

로켓의 탄도 궤도 중 특수한 경우로, 같은 사거리에 도달하는 데 필요한 최소 에너지 궤도보다 원지점이 더 높은 궤도이다.^[12] 즉, 로켓이 더 높이 날아가므로 같은 착륙 지점에 도달하기 위해 더 많은 에너지를 사용한다.^[12] 이는 더 넓은 시야/통신 범위를 제공하기 위해 지평선까지의 거리를 늘리거나, 미사일이 착륙 시 충돌하는 각도를 변경하는 등 다양한 이유로 수행될 수 있다.^[12] 고각 궤도는 미사일 로켓 공학 및 우주 비행에서 모두 사용된다.^[12]

참조

_[1] 서적 Two New Sciences Leiden 1638
_[2] 서적 Galileo Unbound Oxford University Press 2018
_[3] 서적 Calculus: Early Transcendentals Cengage 2021
_[4] 서적 Classical Mechanics https://orca.phys.uv[...]
_[5] 문서
_[6] 문서
_[7] 문서
_[8] 서적 Classical Dynamics of Particles and Systems https://books.google[...] Brooks/Cole
_[9] 서적 Introduction to Classical Mechanics https://books.google[...] Prentice Hall Internat. 1997-09
_[10] 간행물 Wind-influenced projectile motion
_[11] 서적 Classical Mechanics: Point Particles and Relativity https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[12] 문서 Ballistic Missile Defense, Glossary, v. 3.0 https://definedterm.[...] US Department of Defense 1997-06
_[13] 웹사이트 6.4 Drag Force and Terminal Speed - University Physics Volume 1 {{!}} OpenStax https://openstax.org[...] 2016-09-19
_[14] 서적 Two New Sciences Leiden 1638
_[15] 웹인용 (역학이야기) 공기저항을 받는 물체의 포물선운동 https://lucwriter.ti[...] 2011-08-03

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