하디의 부등식

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1. 개요
2. 대수적 형태
- 2.1. 이산 형태
- 2.2. 이산 형태의 증명
3. 적분 형태
4. 다차원 형태
- 4.1. 점 주변에서의 다차원 하디 부등식
- 4.2. 경계 근처에서의 다차원 하디 부등식
5. 분수 형태
참조

1. 개요

하디 부등식은 수열과 함수의 적분 형태에 대한 부등식으로, 수학적 분석에서 중요한 역할을 한다. 이 부등식은 0으로 수렴하는 양의 실수열에 대한 부등식(대수적 형태, 이산 형태), 적분 가능한 함수에 대한 부등식(적분 형태), 그리고 다차원 공간 및 분수 형태까지 확장된다. 특히, 대수적 형태는 횔더 부등식을 사용하여 증명되며, 적분 형태는 변수 치환과 민코프스키 부등식을 통해 증명된다. 다차원 하디 부등식은 소볼레프 공간으로 확장되며, 경계 근처에서도 성립한다.

2. 대수적 형태

$\{a_i\}$ 를 0으로 수렴하는 양의 실수열이라 하고, p>1이라 할 때, 다음 부등식이 성립한다.

: $\sum_{n=1}^\infty \left (\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n}\right )^p \le \left (\frac{p}{p-1}\right )^p\sum_{n=1}^\infty a_n^p$

이 부등식은 하위 섹션인 "이산 형태"에서 더 자세히 다룬다.

2. 1. 이산 형태

\{a_i\}

를 0으로 수렴하는 양의 실수열이라 하고, p>1이라 할 때, 다음 부등식이 성립한다.

:

\sum_{n=1}^\infty \left (\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n}\right )^p \le \left (\frac{p}{p-1}\right )^p\sum_{n=1}^\infty a_n^p

^[1]

우변이 유한하다고 가정하면,

n\to\infty

일 때

a_n\to 0

이어야 한다. 따라서, 모든 양의 정수에 대해,

2^{-j}

보다 큰 항은 유한 개뿐이다.^[1]

이를 통해 원래 수열과 동일한 양의 항을 포함하는 감소 수열

b_1\ge b_2\ge\dotsb

을 구성할 수 있다(하지만 0 항이 없을 수 있음). 모든 n에 대해

a_1+a_2+\dotsb +a_n\le b_1+b_2+\dotsb +b_n

이므로, 새로운 수열에 대한 부등식을 보이는 것으로 충분하다. 이는

n-1 일 때 f(x)=b_n 이고, 그렇지 않으면 f(x)=0 으로 정의하는 적분 형태에서 직접적으로 유도된다. 실제로, 다음이 성립한다.

^[1]

:

\int_0^\infty f(x)^p\,dx=\sum_{n=1}^\infty b_n^p

그리고

n-1 에 대해, 다음이 성립한다.

^[1]

:

\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\,dt=\frac{b_1+\dots+b_{n-1}+(x-n+1)b_n}{x} \ge \frac{b_1+\dots+b_n}{n}

(마지막 부등식은

(n-x)(b_1+\dots+b_{n-1})\ge (n-1)(n-x)b_n

과 동치이며, 이는 새로운 수열이 감소하기 때문에 참이다) 따라서

:

\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{b_1+\dots+b_n}{n}\right)^p\le\int_0^\infty\left(\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\,dt\right)^p\,dx

.

p > 1

이고

b_1 , \dots , b_n

을 양의 실수라고 하자.

S_k = \sum_{i=1}^k b_i

로 설정한다. 먼저 다음 부등식을 증명한다.^[1]

:

\sum_{n=1}^N \frac{S_n^p}{n^p} \leq \frac{p}{p-1} \sum_{n=1}^N \frac{b_n S_n^{p-1}}{n^{p-1}}

T_n = \frac{S_n}{n}

으로 놓고,

\Delta_n

을 위 부등식 우변과 좌변의

n

번째 항의 차이, 즉

\Delta_n := T_n^p - \frac{p}{p-1} b_n T_n^{p-1}

로 놓자. 다음을 얻는다.^[1]

:

\Delta_n = T_n^p - \frac{p}{p-1} b_n T_n^{p-1} = T_n^p - \frac{p}{p-1} (n T_n - (n-1) T_{n-1}) T_n^{p-1}

또는

:

\Delta_n = T_n^p \left( 1 - \frac{np}{p-1} \right) + \frac{p (n-1)}{p-1} T_{n-1} T_n^p  .

영의 부등식에 따르면 다음을 얻는다.^[1]

:

T_{n-1} T_n^{p-1} \leq \frac{T_{n-1}^p}{p} + (p-1) \frac{T_n^p}{p}  ,

따라서 다음을 얻는다.^[1]

:

\Delta_n \leq \frac{n-1}{p-1} T_{n-1}^p - \frac{n}{p-1} T_n^p  .

소거법에 의해 다음을 얻는다.^[1]

:

\begin{align}\sum_{n=1}^N \Delta_n &\leq 0 - \frac{1}{p-1} T_1^p + \frac{1}{p-1} T_1^p - \frac{2}{p-1} T_2^p + \frac{2}{p-1} T_2^p - \frac{3}{p-1} T_3^p + \dotsb+ \frac{N-1}{p-1} T_{N-1}^p - \frac{N}{p-1} T_N^p \\&= - \frac{N}{p-1} T_N^p < 0  ,\end{align}

위 부등식을 증명한다.^[1]

횔더 부등식을 위 부등식의 우변에 적용하면 다음을 얻는다.^[1]

:

\sum_{n=1}^N \frac{S_n^p}{n^p} \leq \frac{p}{p-1} \sum_{n=1}^N \frac{b_n S_n^{p-1}}{n^{p-1}} \leq \frac{p}{p-1} \left( \sum_{n=1}^N b_n^p \right)^{1/p} \left( \sum_{n=1}^N \frac{S_n^p}{n^p} \right)^{(p-1)/p}

여기에서 즉시 다음을 얻는다.^[1]

:

\sum_{n=1}^N \frac{S_n^p}{n^p} \leq \left( \frac{p}{p-1} \right)^p \sum_{n=1}^N b_n^p  .

N \rightarrow \infty

로 보내면 하디 부등식을 얻는다.^[1]

2. 2. 이산 형태의 증명

\{a_i\}

를 0으로 수렴하는 양의 실수열이라 하고, p>1이라 하자. 그러면 다음 부등식이 성립한다.

$\sum_{n=1}^\infty \left (\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n}\right )^p \le \left (\frac{p}{p-1}\right )^p\sum_{n=1}^\infty a_n^p$

우변이 유한하다고 가정하면,

n\to\infty

일 때

a_n\to 0

이어야 한다. 따라서, 모든 양의 정수에 대해,

2^{-j}

보다 큰 항은 유한 개뿐이다.

이를 통해 원래 수열과 동일한 양의 항을 포함하는 감소 수열

b_1\ge b_2\ge\dotsb

을 구성할 수 있다(하지만 0 항이 없을 수 있음). 모든 n에 대해

a_1+a_2+\dotsb +a_n\le b_1+b_2+\dotsb +b_n

이므로, 새로운 수열에 대한 부등식을 보이는 것으로 충분하다. 이는

n-1 일 때 f(x)=b_n 이고, 그렇지 않으면 f(x)=0 으로 정의하는 적분 형태에서 직접적으로 유도된다.

p > 1

이고

b_1 , \dots , b_n

을 양의 실수라고 하자.

S_k = \sum_{i=1}^k b_i

로 설정한다. 먼저 다음 부등식을 증명한다.

:

\sum_{n=1}^N \frac{S_n^p}{n^p} \leq \frac{p}{p-1} \sum_{n=1}^N \frac{b_n S_n^{p-1}}{n^{p-1}}

T_n = \frac{S_n}{n}

으로 놓고,

\Delta_n

을 위 부등식의 우변과 좌변의

n

번째 항의 차이로 정의한다. 즉,

\Delta_n := T_n^p - \frac{p}{p-1} b_n T_n^{p-1}

이다. 다음을 얻는다.

:

\Delta_n = T_n^p - \frac{p}{p-1} b_n T_n^{p-1} = T_n^p - \frac{p}{p-1} (n T_n - (n-1) T_{n-1}) T_n^{p-1}

또는

:

\Delta_n = T_n^p \left( 1 - \frac{np}{p-1} \right) + \frac{p (n-1)}{p-1} T_{n-1} T_n^p  .

영의 부등식에 따르면 다음을 얻는다.

:

T_{n-1} T_n^{p-1} \leq \frac{T_{n-1}^p}{p} + (p-1) \frac{T_n^p}{p}  ,

따라서 다음을 얻는다.

:

\Delta_n \leq \frac{n-1}{p-1} T_{n-1}^p - \frac{n}{p-1} T_n^p  .

소거법에 의해 다음을 얻는다.

:

\begin{align}\sum_{n=1}^N \Delta_n &\leq 0 - \frac{1}{p-1} T_1^p + \frac{1}{p-1} T_1^p - \frac{2}{p-1} T_2^p + \frac{2}{p-1} T_2^p - \frac{3}{p-1} T_3^p + \dotsb+ \frac{N-1}{p-1} T_{N-1}^p - \frac{N}{p-1} T_N^p \\&= - \frac{N}{p-1} T_N^p < 0  ,\end{align}

위 부등식을 증명한다. 횔더 부등식을 위 부등식의 우변에 적용하면 다음을 얻는다.

:

\sum_{n=1}^N \frac{S_n^p}{n^p} \leq \frac{p}{p-1} \sum_{n=1}^N \frac{b_n S_n^{p-1}}{n^{p-1}} \leq \frac{p}{p-1} \left( \sum_{n=1}^N b_n^p \right)^{1/p} \left( \sum_{n=1}^N \frac{S_n^p}{n^p} \right)^{(p-1)/p}

여기에서 즉시 다음을 얻는다.

:

\sum_{n=1}^N \frac{S_n^p}{n^p} \leq \left( \frac{p}{p-1} \right)^p \sum_{n=1}^N b_n^p  .

N \rightarrow \infty

로 보내면 하디 부등식을 얻는다.

3. 적분 형태

f가 실수 상에서 음이 아닌 값을 갖는 적분가능함수이고 1[6]

: $\int_0^\infty \left (\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\, dt\right)^p\, dx\le\left (\frac{p}{p-1}\right )^p\int_0^\infty f(x)^p\, dx.$

: $\int_0^\infty \left (\int_x^\infty \frac{1}{t} f(t)\, dt\right)^p\, dx\le\left (\frac{p}{p-1}\right )^p\int_0^\infty f(x)^p\, dx.$

여기서 첫 번째 부등식은 p=∞일 때도 성립한다.

3. 1. 기본 적분 형태

f가 실수 상의 음이 아닌 값을 갖는 적분가능함수이고 1[6]

:

\int_0^\infty \left (\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\, dt\right)^p\, dx\le\left (\frac{p}{p-1}\right )^p\int_0^\infty f(x)^p\, dx.

:

\int_0^\infty \left (\int_x^\infty \frac{1}{t} f(t)\, dt\right)^p\, dx\le\left (\frac{p}{p-1}\right )^p\int_0^\infty f(x)^p\, dx.

여기서 첫 번째 부등식은 p=∞일 때도 성립한다.

변수 치환을 통해 다음을 얻을 수 있다.

:

\left(\int_0^\infty\left(\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\,dt\right)^p\ dx\right)^{1/p}=\left(\int_0^\infty\left(\int_0^1 f(sx)\,ds\right)^p\,dx\right)^{1/p},

이는 민코프스키의 적분 부등식에 의해

\int_0^1\left(\int_0^\infty f(sx)^p\,dx\right)^{1/p}\,ds

보다 작거나 같다.

마지막으로, 또 다른 변수 치환을 통해 마지막 식은 다음과 같다.

:

\int_0^1\left(\int_0^\infty f(x)^p\,dx\right)^{1/p}s^{-1/p}\,ds=\frac{p}{p-1}\left(\int_0^\infty f(x)^p\,dx\right)^{1/p}.

3. 2. 적분 형태의 증명

f^영어가 실수 상의 음이 아닌 값을 갖는 적분가능함수이고 1영어<∞일 때, 다음 두 부등식이 성립한다.^[6]

#

\int_0^\infty \left (\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\, dt\right)^p\, dx\le\left (\frac{p}{p-1}\right )^p\int_0^\infty f(x)^p\, dx.

#

\int_0^\infty \left (\int_x^\infty \frac{1}{t} f(t)\, dt\right)^p\, dx\le\left (\frac{p}{p-1}\right )^p\int_0^\infty f(x)^p\, dx.

여기서 첫 번째 부등식은 p^영어=∞일 때도 성립한다.

변수 치환을 통해 다음을 얻을 수 있다.

:

\left(\int_0^\infty\left(\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\,dt\right)^p\ dx\right)^{1/p}=\left(\int_0^\infty\left(\int_0^1 f(sx)\,ds\right)^p\,dx\right)^{1/p},

이는 민코프스키의 적분 부등식에 의해

\int_0^1\left(\int_0^\infty f(sx)^p\,dx\right)^{1/p}\,ds

보다 작거나 같다.

마지막으로, 또 다른 변수 치환을 통해 마지막 식은 다음과 같다.

:

\int_0^1\left(\int_0^\infty f(x)^p\,dx\right)^{1/p}s^{-1/p}\,ds=\frac{p}{p-1}\left(\int_0^\infty f(x)^p\,dx\right)^{1/p}.

3. 3. 일반화된 1차원 형태

일반화된 가중 1차원 하디 부등식은 다음과 같다.^[2]

$\alpha + \tfrac{1}{p} < 1$ 이면,

:

\int_0^\infty \biggl(y^{\alpha - 1} \int_0^y x^{-\alpha} f(x)\,dx \biggr)^p \,dy \le\frac{1}{\bigl(1 - \alpha - \frac{1}{p}\bigr)^p} \int_0^\infty f(x)^p\, dx

$\alpha + \tfrac{1}{p} > 1$ 이면,

:

\int_0^\infty \biggl(y^{\alpha - 1} \int_y^\infty x^{-\alpha} f(x)\,dx \biggr)^p\,dy \le\frac{1}{\bigl(\alpha + \frac{1}{p} - 1\bigr)^p} \int_0^\infty f(x)^p\, dx.

4. 다차원 형태

하디 부등식은 다차원 형태로 확장될 수 있다.

4. 1. 점 주변에서의 다차원 하디 부등식

L^{p}

공간으로 확장된 다차원 하디 부등식은 다음과 같은 형태를 띤다. 여기서

f\in C_{c}^{\infty}(\mathbb{R}^{n})

이고, 상수

\frac{p}{n-p}

는 최적 상수이다. 이 부등식은 조밀성에 의해 소볼레프 공간

W^{1, p} (\mathbb{R}^n)

으로 확장된다.

p > n \ge 2

인 경우, 모든

f\in C_{c}^{\infty}(\mathbb{R}^{n})

에 대해 다음 부등식이 성립한다.

:

\Big(1 - \frac{n}{p}\Big)^p  \int_{\mathbb{R}^n} \frac{\vert f(x) - f (0)\vert^p}

4. 2. 경계 근처에서의 다차원 하디 부등식

\Omega \subsetneq \mathbb{R}^n

이 비어있지 않은 볼록 열린 집합이라면, 모든

f \in W^{1, p} (\Omega)

에 대해 다음이 성립한다.

:

\Big(1 - \frac{1}{p}\Big)^p\int_{\Omega} \frac{\vert f (x)\vert^p}{\operatorname{dist} (x, \partial \Omega)^p}\,dx\le \int_{\Omega}\vert \nabla f \vert^p,

이 상수는 개선될 수 없다.

5. 분수 형태

만약 1^영어 ≤ ''p'' < ∞이고 0 < λ < ∞이며, λ ≠ 1일 때, ''C''라는 상수가 존재하여 을 만족하는 모든 ''f'' : (0, ∞) → ℝ에 대해 다음이 성립한다.^[5]

:

\int_0^\infty \frac{\vert f (x)\vert^p}{x^{\lambda}} \,dx

≤ C \int_0^\infty \int_0^\infty \frac{\vert f (x) - f (y)\vert^p}{\vert x - y\vert^{1+\lambda}} \,dx \, dy.

참조

_[1] 논문 Note on a theorem of Hilbert https://zenodo.org/r[...]
_[2] 서적 Inequalities 1952
_[3] 서적 Hardy Inequalities on Homogeneous Groups: 100 Years of Hardy Inequalities https://www.springer[...] Birkhäuser Basel 2019
_[4] 논문 On the best constant for Hardy’s inequality in $\mathbb {R}^n$ 1998
_[5] 논문 The role of the Hardy type inequalities in the theory of function spaces http://imar.ro/journ[...] 2018
_[6] 서적 실해석 & 함수해석학 교우사 2002

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