소볼레프 공간

2.2. 다양체 위의 소볼레프 공간

리만 다양체 $(M,g)$, 확장된 실수 $p\backslash in[1,\backslash infty]$, 양의 정수 $s\backslash in\backslash mathbb\; Z^+$가 주어졌다고 하자. $M$ 위의 매끄러운 함수 $f\; \backslash in\backslash mathcal\; C^\backslash infty(M,\; \backslash mathbb\; R)$에 대하여, 공변 미분 $\backslash nabla$을 이용하여 다음과 같은 노름을 정의할 수 있다.
:$\backslash |f\backslash |\_\{\backslash operatorname\; W^\{s,p\}\}\; =\; \backslash int\_M\; \backslash left(|f|^p\; +\; (\backslash partial\_\backslash mu\; f\backslash partial^\backslash mu\; f)^\{p/2\}\; +\; \backslash dotsb\; +\; (\backslash nabla\_\{\backslash mu\_1\}\backslash dotsm\backslash nabla\_\{\backslash mu\_s\}f\backslash nabla^\{\backslash mu\_1\}\backslash dotsm\backslash nabla^\{\backslash mu\_s\}f)^\{p/2\}\backslash right)\backslash ,\backslash sqrt\{\backslash det\; g\}\backslash ,\backslash mathrm\; d^nx$
$\backslash mathcal\; C^\backslash infty(M,\; \backslash mathbb\; R)$ 가운데 이 노름이 유한한 원소들의 공간은 실수 노름 공간을 이루지만, 완비 거리 공간은 아니다. 이 공간의 완비화인 실수 바나흐 공간을 $M$ 위의 (s,p)차 소볼레프 공간 $\backslash operatorname\; W^\{s,p\}(M)$이라고 한다.

이 정의는 $M$이 유클리드 공간의 열린집합일 경우, 유클리드 공간 위에서의 소볼레프 공간 정의와 동치이다. 이를 마이어스-세린 정리(Meyers–Serrin theorem^영어)라고 한다. 즉, 다양체 위의 소볼레프 공간 정의는 유클리드 공간에서의 정의를 일반화한 것으로 볼 수 있다.

2.3. 벡터 다발 값 정수 차수 소볼레프 공간

다음과 같은 요소들이 주어졌다고 가정하자.
* 콤팩트 리만 다양체 $(M,g)$
* 매끄러운 벡터 다발 $E\backslash twoheadrightarrow\; M$
* $E$ 위의 벡터 다발 접속 $\backslash nabla$
* $E$ 위의 내적 $\backslash eta\; \backslash in\; \backslash Gamma^\backslash infty(E^*\; \backslash otimes\; E^*)$
* 확장된 실수 $p\backslash in[1,\backslash infty]$
* 양의 정수 $k\backslash in\backslash mathbb\; Z^+$

이 요소들을 이용하여, 벡터 다발 $E$의 단면(section)들로 이루어진 벡터 공간 $\backslash Gamma^p(E)$ (이는 $\backslash mathcal\; C^p(M,E)\; \backslash cap\; \backslash Gamma^0(E)$로 정의됨) 위에 다음과 같은 노름 $|s|\_\{p,k\}$를 정의할 수 있다.
:$|s|\_\{p,k\}\; =\; \backslash left(\backslash int\_M\backslash left(\backslash sum\_\{i\_1,\backslash dotsc,i\_p,j\_1,\backslash dotsc,j\_p,a,b\}\; g^\{i\_1j\_1\}\backslash dotsb\; g^\{i\_pj\_p\}\; \backslash eta\_\{ab\}\; (\backslash nabla\_\{i\_1\}\backslash dotsb\backslash nabla\_\{i\_p\}\; s^a)\; (\backslash nabla\_\{j\_1\}\backslash dotsb\backslash nabla\_\{j\_p\}\; s^b)\backslash right)^\{k/2\}\backslash right)^\{1/k\}$
이 노름은 벡터 다발 접속 $\backslash nabla$를 이용한 단면의 도함수와 내적 $\backslash eta$, 그리고 리만 계량 $g$를 사용하여 정의된다.

특히, $k=2$인 경우, 이 노름은 다음과 같은 내적 $\backslash langle\; s|s\text{'}\backslash rangle\_\{p,2\}$과 호환된다.
:$\backslash langle\; s|s\text{'}\backslash rangle\_\{p,2\}\; =\; \backslash int\_M\backslash sum\_\{i\_1,\backslash dotsc,i\_p,j\_1,\backslash dotsc,j\_p,a,b\}\; g^\{i\_1j\_1\}\backslash dotsb\; g^\{i\_pj\_p\}\; \backslash eta\_\{ab\}\; (\backslash nabla\_\{i\_1\}\backslash dotsb\backslash nabla\_\{i\_p\}\; s^a)\; (\backslash nabla\_\{j\_1\}\backslash dotsb\backslash nabla\_\{j\_p\}\; \{s\text{'}\}^b)$
이렇게 정의된 노름 $|s|\_\{p,k\}$에 대해 단면 공간 $\backslash Gamma^p(E)$를 완비화(completion)하여 얻어지는 바나흐 공간을 벡터 다발 값 정수 차수 소볼레프 공간이라 하고, $\backslash operatorname\; W^\{p,k\}(E)$로 표기한다.

정의에 따라, 원래의 단면 공간은 소볼레프 공간의 부분 집합이 된다 ($\backslash Gamma^p(E)\; \backslash subseteq\; \backslash operatorname\; W^\{p,2\}(E)$). 또한, 소볼레프 부등식의 일종으로, 음이 아닌 정수 $q$에 대해 만약 $p\; >\; (\backslash dim\; M)/2\; +\; q$라는 조건이 만족되면, 소볼레프 공간 $\backslash operatorname\; W^\{p,2\}(E)$에서 $q$번 연속 미분 가능한 단면 공간 $\backslash Gamma^q(E)$로 가는 연속적인 포함 사상(continuous inclusion map)이 존재한다. 즉, 충분히 높은 차수의 소볼레프 공간에 속하는 단면은 실제로 충분히 매끄러운 함수가 된다.
:$\backslash operatorname\; W^\{p,2\}(E)\; \backslash hookrightarrow\; \backslash Gamma^q(E)$

2.4. 분수 소볼레프 공간

유클리드 공간 $\backslash mathbb\; R^n$이나 원환면 $\backslash mathbb\; T^n$의 경우 푸리에 변환을 사용하여, 정수가 아닌 실수 $s$에 대하여 소볼레프 공간 $\backslash operatorname\; W^\{s,p\}$를 정의할 수 있다. 이는 크게 두 가지 주요 접근 방식으로 이루어진다.

첫 번째 접근 방식은 베셀 포텐셜 공간을 정의하는 것이다. 푸리에 승수를 이용하여 정수 $k$와 에 대해 공간 $W^\{k,p\}(\backslash R^n)$을 다음과 같이 동등하게 정의할 수 있다.
:$W^\{k,p\}(\backslash R^n)\; =\; H^\{k,p\}(\backslash R^n)\; :=\; \backslash Big\; \backslash \{f\; \backslash in\; L^p(\backslash R^n)\; :\; \backslash mathcal\{F\}^\{-1\}\; \backslash Big[\backslash big(1\; +\; |\backslash xi|^2\backslash big)^\{\backslash frac\{k\}\{2\}\}\backslash mathcal\{F\}f\; \backslash Big]\; \backslash in\; L^p(\backslash R^n)\; \backslash Big\; \backslash \},$
이때 노름은 다음과 같다.
:$\backslash |f\backslash |\_\{H^\{k,p\}(\backslash R^n)\}\; :=\; \backslash left\backslash |\; \backslash mathcal\{F\}^\{-1\}\; \backslash Big[\; \backslash big(1\; +\; |\backslash xi|^2\backslash big)^\{\backslash frac\{k\}\{2\}\}\; \backslash mathcal\{F\}f\; \backslash Big]\; \backslash right\backslash |\_\{L^p(\backslash R^n)\}.$
이 정의에서 정수 $k$를 임의의 실수 $s$로 대체하여 비정수 차수의 소볼레프 공간을 정의할 수 있다.
:$H^\{s,p\}(\backslash R^n)\; :=\; \backslash left\; \backslash \{f\; \backslash in\; \backslash mathcal\; S\text{'}(\backslash R^n)\; :\; \backslash mathcal\{F\}^\{-1\}\; \backslash left\; [\backslash big(1\; +\; |\backslash xi|^2\; \backslash big)^\{\backslash frac\{s\}\{2\}\}\backslash mathcal\{F\}f\; \backslash right\; ]\; \backslash in\; L^p(\backslash R^n)\; \backslash right\; \backslash \}$
여기서 $\backslash mathcal\; S\text{'}(\backslash R^n)$는 완만한 분포의 공간이다. 이 공간은 프리드리히 베셀의 이름을 따서 베셀 포텐셜 공간이라고 불리며, 일반적으로 바나흐 공간이고, 특히 $p\; =\; 2$인 경우에는 힐베르트 공간이다.

$s\; \backslash geq\; 0$에 대해, 열린 집합 $\backslash Omega\; \backslash subseteq\; \backslash R^n$ 위의 공간 $H^\{s,p\}(\backslash Omega)$는 $H^\{s,p\}(\backslash R^n)$의 함수를 $\backslash Omega$에 제한한 함수들의 집합으로 정의되며, 노름은 다음과 같다.
:$\backslash |f\backslash |\_\{H^\{s,p\}(\backslash Omega)\}\; :=\; \backslash inf\; \backslash left\; \backslash \{\backslash |g\backslash |\_\{H^\{s,p\}(\backslash R^n)\}\; :\; g\; \backslash in\; H^\{s,p\}(\backslash R^n),\; g|\_\{\backslash Omega\}\; =\; f\; \backslash right\; \backslash \}\; .$
$H^\{s,p\}(\backslash Omega)$ 역시 바나흐 공간이며, $p\; =\; 2$인 경우에는 힐베르트 공간이다. 소볼레프 공간에 대한 확장 정리에 따르면, $\backslash Omega$가 충분히 좋은 경계(예: 균일한 $C^k$ 경계)를 가지고 $k$가 자연수, 이면, $W^\{k,p\}(\backslash Omega)\; =\; H^\{k,p\}(\backslash Omega)$가 동등한 노름의 의미에서 성립한다. 임베딩 정리에 의해 다음과 같은 연속적인 포함 관계가 성립한다.
:$H^\{k+1,p\}(\backslash R^n)\; \backslash hookrightarrow\; H^\{s\text{'},p\}(\backslash R^n)\; \backslash hookrightarrow\; H^\{s,p\}(\backslash R^n)\; \backslash hookrightarrow\; H^\{k,p\}(\backslash R^n),\; \backslash quad\; k\; \backslash leqslant\; s\; \backslash leqslant\; s\text{'}\; \backslash leqslant\; k+1$
이는 베셀 포텐셜 공간 $H^\{s,p\}(\backslash R^n)$이 정수 차수 소볼레프 공간 $W^\{k,p\}(\backslash R^n)$ 사이에 연속적인 척도를 형성함을 의미한다.

두 번째 접근 방식은 소볼레프-슬로보데츠키 공간을 정의하는 것으로, 횔더 조건을 $L^p$ 설정으로 일반화하는 아이디어에서 비롯된다. 및 $f\; \backslash in\; L^p(\backslash Omega)$에 대해, 슬로보데츠키 세미노름은 다음과 같이 정의된다.
:$[f]\_\{\backslash theta,\; p,\; \backslash Omega\}\; :=\backslash left(\backslash int\_\{\backslash Omega\}\; \backslash int\_\{\backslash Omega\}\; \backslash frac\{|f(x)-f(y)|^p\}\{|x-y|^\{\backslash theta\; p\; +\; n\}\}\; \backslash ;\; dx\; \backslash ;\; dy\; \backslash right\; )^\{\backslash frac\{1\}\{p\}\}.$
$s\; >\; 0$를 정수가 아닌 실수로 두고 $\backslash theta\; =\; s\; -\; \backslash lfloor\; s\; \backslash rfloor\; \backslash in\; (0,1)$로 설정하면 ($\backslash lfloor\; s\; \backslash rfloor$는 $s$의 정수 부분), 소볼레프-슬로보데츠키 공간 $W^\{s,p\}(\backslash Omega)$는 다음과 같이 정의된다.
:
여기서 $D^\backslash alpha\; f$는 $f$의 $\backslash alpha$차 약한 미분이다. 이 공간은 다음 노름에 대해 바나흐 공간이다.
:$\backslash |f\; \backslash |\; \_\{W^\{s,\; p\}(\backslash Omega)\}\; :=\; \backslash |f\backslash |\_\{W^\{\backslash lfloor\; s\; \backslash rfloor,p\}(\backslash Omega)\}\; +\; \backslash sup\_\{|\backslash alpha|\; =\; \backslash lfloor\; s\; \backslash rfloor\}\; [D^\backslash alpha\; f]\_\{\backslash theta,\; p,\; \backslash Omega\}.$
만약 $\backslash Omega$가 충분히 정규적이라면 (예: 립시츠 경계), 소볼레프-슬로보데츠키 공간 또한 다음과 같은 연속적인 임베딩을 가진다.
:$W^\{k+1,p\}(\backslash Omega)\; \backslash hookrightarrow\; W^\{s\text{'},p\}(\backslash Omega)\; \backslash hookrightarrow\; W^\{s,p\}(\backslash Omega)\; \backslash hookrightarrow\; W^\{k,\; p\}(\backslash Omega),\; \backslash quad\; k\; \backslash leqslant\; s\; \backslash leqslant\; s\text{'}\; \backslash leqslant\; k+1.$
그러나 불규칙적인 $\backslash Omega$의 경우 문제가 발생할 수 있다. 소볼레프-슬로보데츠키 공간은 소볼레프 함수의 경계값(trace) 연구에 중요하며, 베소프 공간의 특수한 경우이다. 부르갱-브레지-미로네스쿠 공식은 $s\; \backslash nearrow\; 1$일 때 슬로보데츠키 세미노름과 그래디언트의 $L^p$ 노름 사이의 관계를 나타낸다.

특히 $p\; =\; 2$인 소볼레프 공간은 힐베르트 공간을 이루며 푸리에 급수 및 푸리에 변환과 밀접한 관계가 있어 중요하다. 이 경우 $H^k(\backslash Omega)\; =\; W^\{k,2\}(\backslash Omega)$ 또는 $H^s(\backslash Omega)\; =\; W^\{s,2\}(\backslash Omega)$ 표기를 사용한다. 원환면 $\backslash mathbb\; T^n$ 위에서 공간 $H^k(\backslash mathbb\; T^n)$ ($k$는 자연수)는 푸리에 계수가 충분히 빠르게 감소하는 함수들의 공간으로 정의될 수 있다. 예를 들어 1차원 원환면 $\backslash mathbb\; T$의 경우,
:
이며, 동치 노름 $\backslash |f\backslash |^2\_\{H^k\}:=\backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\backslash infty\; (1\; +\; |n|^\{2\})^k\backslash ,|\backslash hat\{f\}(n)|^2$을 갖는다. 정수가 아닌 $s$에 대해서도 유사하게 $H^s$ 공간을 정의할 수 있다. $\backslash mathbb\; R^n$에서는 베셀 포텐셜 공간 $H^\{s,2\}(\backslash R^n)$ 정의를 사용하고, 원환면 $\backslash mathbb\; T^n$에서는 노름을 $\backslash |f\backslash |^2\_\{H^s\}:=\backslash sum\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; Z^n\}\; (1+|n|^2)^s|\backslash hat\{f\}(n)|^2$로 정의한다.

$p\; \backslash ne\; 2$인 경우에도 푸리에 변환을 이용한 접근 방식을 사용할 수 있다. 작용소 $\backslash Lambda^s\; =\; (I\; -\; \backslash Delta)^\{s/2\}$ (여기서 $I$는 항등 연산자, $\backslash Delta$는 라플라스 연산자)를 푸리에 변환을 통해 $\backslash mathcal\; F(\backslash Lambda^s\; f)(\backslash xi)\; =\; (1\; +\; |\backslash xi|^2)^\{s/2\}\; (\backslash mathcal\; F\; f)(\backslash xi)$로 정의하면, 베셀 포텐셜 공간은 $H^\{s,p\}(\backslash R^n)\; =\; \backslash \{\; f\; \backslash in\; L^p(\backslash R^n)\; :\; \backslash Lambda^s\; f\; \backslash in\; L^p(\backslash R^n)\; \backslash \}$ 로 정의될 수 있다.

분수 차수 소볼레프 공간을 정의하는 또 다른 추상적인 방법은 복소 보간법을 사용하는 것이다. 이는 두 바나흐 공간 $X,\; Y$ 사이의 "중간 공간" $[X,\; Y]\_\backslash theta$ ($0\; \backslash le\; \backslash theta\; \backslash le\; 1$)를 구성하는 방법이다. 소볼레프 공간의 경우, 복소 보간법을 적용하면 다음과 같은 결과가 성립한다.
:$\backslash left[W^\{k,p\}(\backslash R^n),\; W^\{m,p\}(\backslash R^n)\backslash right]\_\backslash theta\; =\; W^\{s,p\}(\backslash R^n),$
여기서 $k,\; m$은 정수이고 $s\; =\; (1-\backslash theta)k\; +\; \backslash theta\; m$이다. 이는 복소 보간법이 정수 차수 소볼레프 공간들 사이에 있는 분수 차수 공간 $W^\{s,p\}$ (베셀 포텐셜 공간 $H^\{s,p\}$와 동등)를 일관되게 정의함을 보여준다. 보간 부등식에 대한 자세한 내용은 리스-토린 정리를 참조할 수 있다. 이 방법은 실수 보간법(소볼레프-슬로보데츠키 공간과 관련됨)과 함께 소볼레프 공간 이론에서 중요한 역할을 한다.

3. 성질

일반적으로 $s,\; p\; \backslash ge\; 1$일 때, 소볼레프 공간 $\backslash operatorname\; W^\{s,p\}(M;\backslash mathbb\; K)$는 $\backslash mathbb\; K$-바나흐 공간이다. 특히 $p=2$인 경우, 이는 $\backslash mathbb\; K$-힐베르트 공간이 된다. 만약 $p=\backslash infty$이면, $\backslash operatorname\; W^\{s,p\}(M;\backslash mathbb\; K)$는 바나흐 공간이지만 분해 가능하지 않다. 일 때, $W^\{k,p\}(\backslash Omega)$는 분리 가능 공간이다. $W^\{k,2\}(\backslash Omega)$는 흔히 $H^k(\backslash Omega)$로 표기하며, 이는 노름 $\backslash |\; \backslash cdot\; \backslash |\_\{W^\{k,\; 2\}(\backslash Omega)\}$을 갖춘 힐베르트 공간이다.

소볼레프 공간의 중요한 성질 중 하나는 매끄러운 함수로 근사할 수 있다는 점이다. 마이어스-세린 정리에 따르면, $p$가 유한하고 $\backslash Omega$가 열린 부분 집합일 때, 모든 $u\; \backslash in\; W^\{k,p\}(\backslash Omega)$에 대해 $W^\{k,p\}(\backslash Omega)$ 노름에서 $u$로 수렴하는 매끄러운 함수열 $u\_m\; \backslash in\; C^\{\backslash infty\}(\backslash Omega)$이 존재한다. 만약 $\backslash Omega$가 립시츠 경계를 가지면, $u\_m$을 $\backslash R^n$ 전체에서 컴팩트 지지를 갖는 매끄러운 함수의 제한으로 선택할 수도 있다. 이 성질은 매끄러운 함수에 대해 성립하는 많은 성질들을 소볼레프 함수로 확장하는 데 유용하게 사용된다.

소볼레프 공간의 함수가 항상 연속 함수인 것은 아니다. 예를 들어, 3차원 단위 구 $\backslash mathbb\{B\}^3$에서 함수 $|x|^\{-1\}$는 $W^\{1,1\}(\backslash mathbb\{B\}^3)$에 속하지만 원점에서 연속이 아니다. 하지만 특정 조건, 예를 들어 $k\; >\; n/p$이면, 공간 $W^\{k,p\}(\backslash Omega)$는 연속 함수만을 포함한다. 더 나아가 $p>n$일 때 $W^\{1,p\}(\backslash Omega)$에 속하는 함수는 (측도 0인 집합에서 값을 수정한 후) 모레이 부등식에 의해 지수 $\backslash gamma\; =\; 1\; -\; n/p$를 갖는 홀더 연속 함수가 된다. 특히 $p=\backslash infty$이고 $\backslash Omega$가 립시츠 경계를 가지면 함수는 립시츠 연속이다.

오토 M. 니코딤이 정립한 ACL(Absolutely Continuous on Lines) 특성화에 따르면, $W^\{1,p\}(\backslash Omega)$에 속하는 함수는 (측도 0인 집합에서 수정 후) $\backslash R^n$의 좌표축에 평행한 거의 모든 직선 위에서 절대 연속 함수가 된다. 이 경우, 고전적인 의미의 편도함수가 거의 모든 곳에서 존재하며, 이는 약한 도함수와 일치하고 $L^p(\backslash Omega)$에 속한다.

특히 중요한 경우는 힐베르트 공간인 $H^1(\backslash Omega)\; =\; W^\{1,2\}(\backslash Omega)$이다. 이 공간의 중요한 부분 공간으로 $H^1\_0(\backslash Omega)$가 있는데, 이는 $\backslash Omega$ 안에서 컴팩트 지지를 갖는 무한히 미분 가능한 함수들의 $H^1(\backslash Omega)$에서의 폐포로 정의된다. 만약 $\backslash Omega$가 유계이고 경계가 충분히 매끄럽다면($\backslash Omega$가 정규 경계를 가질 때), $H^1\_0(\backslash Omega)$는 경계에서 값이 0이 되는 $H^1(\backslash Omega)$ 함수들의 공간으로 해석될 수 있다. $\backslash Omega$가 유계일 때, $H^1\_0(\backslash Omega)$에서 $L^2(\backslash Omega)$로의 포함 사상은 콤팩트 연산자이다. 이 사실은 디리클레 문제를 연구하고, 라플라스 연산자의 고유함수로 구성된 $L^2(\backslash Omega)$의 정규 직교 기저의 존재성을 보이는 데 중요한 역할을 한다.

3.1. 연산에 대한 닫힘

임의의 리만 다양체 $M$에 대하여, $\backslash operatorname\; W^\{k,\backslash infty\}(M)$에 속하는 함수들은 점별 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있다. 이는 L^∞과 유사한 성질이다.

반면, 일 때 $\backslash operatorname\; W^\{k,p\}(M)$은 덧셈에 대해서는 닫혀 있지만, 곱셈에 대해서는 닫혀 있지 않다. 이 역시 L^p과 같다. 예를 들어, 원점에서 $|x|^\{-1/3\}$처럼 행동하는 함수는 $L^2$ 공간에 속하지만, 이러한 함수 두 개를 곱하면 더 이상 $L^2$ 공간에 속하지 않는다.

모든 소볼레프 공간 $W^\{k,\backslash infty\}$는 점별 곱셈 연산에 대해 닫혀 있으므로 대수(algebra) 구조를 이룬다. 즉, $W^\{k,\backslash infty\}$에 속하는 두 함수의 곱은 다시 $W^\{k,\backslash infty\}$에 속한다. 하지만 인 경우에는 이러한 성질이 성립하지 않는다.

3.2. 포함 관계

다음과 같은 소볼레프 부등식(Sobolev inequality^영어)이 성립한다. 임의의
:$s,s\text{'}\backslash in\backslash mathbb\; N$
:$p,p\text{'}\backslash in[1,\backslash infty)$
에 대하여, 만약
:$\backslash frac1p\; -\; \backslash frac\; sn\; =\; \backslash frac1\{p\text{'}\}-\backslash frac\{s\text{'}\}n$
:$p\; \backslash le\; p\text{'}$
:$s\; \backslash ge\; s\text{'}$
이라면, 다음과 같은 포함 관계가 존재하며, 이 포함 관계는 연속 단사 선형 변환이다.
:$\backslash operatorname\; W^\{s,p\}(\backslash mathbb\; R^n)\; \backslash subseteq\; \backslash operatorname\; W^\{s\text{'},p\text{'}\}(\backslash mathbb\; R^n)$
특히, 만약 $s=1$이며 $s\text{'}=0$일 경우
:$\backslash operatorname\; W^\{1,p\}(\backslash mathbb\; R^n)\; \backslash subseteq\; \backslash operatorname\; L^\{np/(n-p)\}(\backslash mathbb\; R^n)$
이다.

n차원 콤팩트 리만 다양체 위의 소볼레프 공간 W^k,p를 생각해보자. 여기서 k는 임의의 실수값을 가질 수 있으며, 1 ≤ p ≤ ∞이다 (p = ∞에 대한 소볼레프 공간 W^k,∞는 홀더 공간 C^n,α로 정의된다. 여기서 k = n + α, 0 < α ≤ 1이다). 소볼레프 매립 정리는 만약 k ≥ m이고 k - n/p ≥ m - n/q이면
:$W^\{k,p\}\backslash subseteq\; W^\{m,q\}$
이고, 이 매립(embedding)은 연속이라는 것을 말한다. 더 나아가 k > m이고 k - n/p > m - n/q이면 이 매립은 완전 연속이 된다 (이것은 종종 콘드라쇼프 정리라고 불린다). W^m,∞에 속하는 함수는 m보다 작은 계수에서 연속인 도함수를 가지므로, 이 정리는 특히 어떤 소볼레프 공간의 함수들이 연속 도함수를 가지는지에 대한 조건을 제공한다.

Rⁿ과 같이 비콤팩트 다양체에 대해서도 매립 정리와 유사한 결과가 존재한다.

3.3. 푸앵카레-비르팅거 부등식

확장된 실수 $1\backslash le\; p\backslash le\backslash infty$ 와 유계이면서 연결된 열린집합 $U\backslash subseteq\backslash mathbb\; R^n$가 주어졌다고 가정하자. 또한, $U$의 경계 $\backslash partial\; U$가 립시츠 경계라고 하자.

이러한 조건 하에서, W^1,p(U)에 속하는 모든 함수 $f$에 대해 다음 부등식을 만족시키는 상수 $C(p,U)$가 존재한다.

:$\backslash left\backslash |f-\backslash frac1\{\backslash operatorname\{vol\}(U)\}\backslash int\_Uf(x)\backslash ,\backslash mathrm\; d^nx\backslash right\backslash |\_\{\backslash operatorname\; L^p(U)\}\backslash le\; C(p,U)\backslash |\backslash nabla\; f\backslash |\_\{\backslash operatorname\; L^p(U)\}$

여기서 $\backslash frac1\{\backslash operatorname\{vol\}(U)\}\backslash int\_Uf(x)\backslash ,\backslash mathrm\; d^nx$는 함수 $f$의 집합 $U$에서의 평균값을 나타낸다. 즉, 이 부등식은 함수와 그 평균값의 차이(L^p 노름 기준)가 함수의 기울기($\backslash nabla\; f$)의 크기(L^p 노름 기준)에 의해 제한됨을 보여준다.

이 부등식을 푸앵카레-비르팅거 부등식(Poincaré–Wirtinger inequality^영어)이라고 부른다. 이 부등식을 만족시키는 가장 작은 상수 $C(p,U)$를 푸앵카레 상수(Poincaré constant^영어)라고 한다. 푸앵카레-비르팅거 부등식은 소볼레프 공간의 중요한 성질 중 하나이다.

4. 예

소볼레프 공간 $W^\{k,p\}(D)$가 연속 함수만을 포함하는지 여부는 차원 $n$, 미분 차수 $k$, 적분 지수 $p$에 따라 달라진다. 구체적으로 $k\; >\; n/p$ 조건을 만족하면 $W^\{k,p\}(D)$는 연속 함수만으로 구성된다.

예를 들어, $n$차원 단위 구 $\backslash mathbf\{B\}^n$ 위에 정의된 함수 $f:\; \backslash mathbf\{B\}^n\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash cup\; \backslash \{+\backslash infty\backslash \}$를 다음과 같이 생각해보자.
:$f(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{|x|^\backslash alpha\}$
구면 좌표계 등을 이용하여 계산해보면, 이 함수 $f$가 소볼레프 공간 $W^\{k,p\}(\backslash mathbf\{B\}^n)$에 속하는 것과 다음 조건은 동치이다.
:
이는 함수의 특이점($x=0$에서의 발산)이 소볼레프 공간에 속하는 데 미치는 영향이 공간의 차원 $n$에 따라 달라짐을 보여준다. 직관적으로, 차원 $n$이 커질수록 원점 근방이 전체 공간에서 차지하는 "비중"이 줄어들기 때문에, 더 큰 $\backslash alpha$ 값 (더 심한 특이점)까지 허용될 수 있다.

한편, 어떤 소볼레프 공간은 추가적인 대수적 구조를 가지기도 한다. 예를 들어, 모든 $k$에 대해 공간 $W^\{k,\backslash infty\}$는 가환 대수를 이룬다. 즉, 이 공간에 속하는 두 함수를 곱한 결과도 여전히 같은 공간 $W^\{k,\backslash infty\}$의 원소가 된다. 그러나 이러한 성질은 $p$가 유한한 경우에는 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 원점에서 $|x|^\{-1/3\}$처럼 행동하는 함수는 $L^2$ 공간(즉, $W^\{0,2\}$)에 속하지만, 이러한 함수 두 개를 곱하면 더 이상 $L^2$에 속하지 않을 수 있다.

4.1. 르베그 공간

소볼레프 공간 $\backslash operatorname\; W^\{s,p\}$에서, 만약 $s=0$이라면 (즉, 매끄러움에 대한 조건을 가하지 않는다면) 이는 르베그 공간과 같다.
:$\backslash operatorname\; W^\{0,p\}\; =\; \backslash operatorname\; L^p$

4.2. 절대 연속 함수의 공간

실수선 $\backslash mathbb\; R$의 구간 $I$에서, (1,1)차 소볼레프 공간은 절대 연속 함수의 공간과 같다.
:$\backslash operatorname\; W^\{1,1\}(I)\; =\; \backslash mathcal\; C^0\_\backslash text\{abs\}(I)$
이는 절대 연속성이 ①거의 어디서나 미분이 존재하며 ②미분의 절댓값이 적분 가능 함수인 것과 동치이기 때문이다.

정확히 말하면, (1,1)차 소볼레프 공간의 원소는 어떤 절대 연속 함수와 거의 어디서나 일치하는 가측 함수들의 동치류들의 공간이다. 그러나 이러한 동치류에서는 절대 연속 함수인 유일한 대표원을 고를 수 있으므로, 이는 함수의 공간과 동치로 간주할 수 있다.

이러한 등가는 1차원에서만 성립한다. 고차원 공간 위의 (1,1)차 소볼레프 공간은 연속 함수가 아닌 함수들을 포함할 수 있다. 예를 들어, 함수 $(x\backslash mapsto\backslash |x\backslash |^\{-1\})$는 3차원 공 $\backslash mathbb\; B^3$ 위에서 $\backslash operatorname\; W^\{1,1\}(\backslash mathbb\; B^3)$에 속하지만 원점에서 연속이 아니다.

절대 연속 함수와 관련된 다른 소볼레프 공간의 예로는 열린 구간 (0, 1) 상에서 절대 연속인 함수 전체로 구성된 공간 $W^\{1,1\}(0,\; 1)$이나, 임의의 구간 $I$ 상에서 립시츠 연속인 함수 전체로 구성된 공간 $W^\{1,\backslash infty\}(I)$ 등이 있다.

보다 일반적으로, 함수가 $W^\{1,p\}(\backslash Omega)$ (여기서 $\backslash Omega$는 Rⁿ의 열린 집합이고 $1\backslash leqslant\; p\; \backslash leqslant\; \backslash infty$)에 속한다면, 측도가 0인 집합에서 함수 값을 적절히 수정하여, $\backslash R^n$의 좌표축에 평행한 거의 모든 직선에 대한 제한(restriction)이 절대 연속이 되도록 만들 수 있다. 이를 ACL(Absolutely Continuous on Lines) 특성이라고 한다. 반대로, 만약 함수 $f$를 좌표축에 평행한 거의 모든 직선으로 제한했을 때 절대 연속이고, 점별 기울기 $\backslash nabla\; f$가 거의 모든 곳에서 존재하며 $f,\; |\backslash nabla\; f|\; \backslash in\; L^p(\backslash Omega)$이면, 함수 $f$는 $W^\{1,p\}(\backslash Omega)$에 속한다. 이 경우 $f$의 약한 편미분과 점별 편미분은 거의 모든 곳에서 일치한다. 소볼레프 공간의 이러한 ACL 특성화는 오토 M. 니코딤에 의해 정립되었다.

4.3. 립시츠 연속 함수의 공간

1차원 실수 구간 I에서, 소볼레프 공간 W^1,∞(I)는 유계 립시츠 연속 함수의 공간과 같다. 이는 립시츠 연속성이 ①거의 어디서나 미분이 존재하며 ②미분이 (거의 어디서나) 유계 함수인 것과 동치이기 때문이다.

정확히 말하면, W^1,∞(I)의 원소는 어떤 립시츠 연속 함수와 거의 어디서나 일치하는 가측 함수들의 동치류들의 공간이다. 그러나 이러한 동치류에서는 립시츠 연속 함수인 유일한 대표원을 고를 수 있으므로, 함수의 공간으로 간주할 수 있다.

더 일반적으로, p > n일 때, W^1,p(Ω)에 속하는 함수는, 측도가 0인 집합에서 수정한 후, 모레이 부등식에 의해 지수 γ = 1 − n/p의 홀더 연속이 된다. 특히, p = ∞이고 Ω가 립시츠 경계를 갖는다면, 함수는 립시츠 연속이다.

또한, Ω를 Rⁿ의 열린 집합이라 할 때, W^1,∞(Ω)에 속하는 함수는 측도 0인 집합에서 값을 변경함으로써 국소 립시츠 함수로 만들 수 있다.

모든 공간 W^k,∞은 노름을 갖춘 대수이다. 즉, 두 원소의 곱은 다시 이 소볼레프 공간의 함수가 되는데, 이는 p < ∞인 경우에는 성립하지 않는다. (예를 들어, 원점에서 |x|^−1/3처럼 동작하는 함수는 L²에 속하지만, 그러한 두 함수의 곱은 L²에 속하지 않는다.)

5. 확장

소볼레프 공간의 기본 개념은 다양한 방향으로 확장될 수 있다. 이러한 확장은 편미분 방정식의 해를 더 깊이 이해하고 다양한 함수 공간 사이의 관계를 규명하는 데 중요한 역할을 한다.

주요 확장 방향은 다음과 같다.

* 경계값: 소볼레프 공간에 속하는 함수가 정의된 영역의 경계에서 어떤 값을 갖는지 정의하는 문제가 있다. 일반적인 소볼레프 함수는 경계에서 잘 정의되지 않을 수 있으므로, 트레이스 정리(Trace theorem)를 통해 경계에서의 값을 엄밀하게 다룬다. 이는 경계값 문제의 해를 분석하는 데 필수적이다. (자세한 내용은 트레이스 섹션 참조)
* 비정수 차수로의 확장: 소볼레프 공간의 차수 k를 정수뿐만 아니라 실수 s ≥ 0으로 확장할 수 있다. 이는 푸리에 변환을 이용하거나(베셀 포텐셜 공간), 함수 값의 차이를 이용한 적분(소볼레프-슬로보데츠키 공간)을 통해 정의된다. 비정수 차수 공간은 정수 차수 공간 사이를 '보간'하며, 더 미세한 함수의 성질을 분석할 수 있게 해준다. (자세한 내용은 베셀 포텐셜 공간 및 소볼레프-슬로보데츠키 공간 섹션 참조)
* 다른 공간으로의 임베딩: 소볼레프 임베딩 정리는 소볼레프 공간 $W^\{k,p\}(\backslash Omega)$가 어떤 조건 하에서 다른 소볼레프 공간 $W^\{m,q\}(\backslash Omega)$나 연속 함수 공간 $C^k(\backslash Omega)$, Lp 공간 $L^q(\backslash Omega)$ 등에 포함되는지를 설명한다. 이는 함수의 L^p 적분 가능성 정보로부터 함수의 매끄러움(연속성, 미분 가능성 등)에 대한 정보를 얻는 중요한 도구이다. (자세한 내용은 소볼레프 임베딩 섹션 참조)
* 영으로의 확장: 영역 $\backslash Omega$에 정의된 소볼레프 함수를 전체 공간 $\backslash R^n$으로 확장하는 문제도 중요하다. 특정 조건 하에서 함수의 소볼레프 노름을 크게 증가시키지 않으면서 확장하는 연산자가 존재한다. (자세한 내용은 영으로의 확장 섹션 참조)

이러한 확장된 개념들은 소볼레프 공간 이론을 더욱 풍부하게 만들고, 함수해석학, 편미분 방정식, 조화 해석학, 기하학 등 다양한 수학 및 응용 분야에서 널리 사용된다. 각 확장 개념에 대한 자세한 내용은 관련된 하위 섹션에서 다룬다.

5.1. 트레이스 (Trace)

편미분 방정식 등을 연구할 때 소볼레프 공간에 속하는 함수의 경계값을 다루어야 하는 경우가 많다. 만약 함수 $u$가 영역 $\backslash Omega$의 폐포 $\backslash overline\{\backslash Omega\}$에서 연속이라면($u\backslash in\; C(\backslash overline\{\backslash Omega\})$), 경계 $\backslash partial\backslash Omega$에서의 값은 단순히 함수를 경계에 제한한 $u|\_\{\backslash partial\backslash Omega\}$로 정의할 수 있다. 하지만 일반적인 소볼레프 공간의 함수 $u\backslash in\; W^\{k,p\}(\backslash Omega)$는 경계에서 잘 정의되지 않을 수 있으며, 특히 경계 $\backslash partial\backslash Omega$는 보통 측도 0인 집합이므로 경계에서의 값을 정의하기가 까다롭다. 이러한 문제를 해결하기 위해 트레이스 정리(Trace theorem)가 도입되었다.

=== 트레이스 정리 ===
$\backslash Omega$가 립시츠 경계를 가진 유계 영역이라고 가정하자. 그러면 다음과 같은 성질을 만족하는 유계 선형 연산자 $T:\; W^\{1,p\}(\backslash Omega)\backslash to\; L^p(\backslash partial\backslash Omega)$가 존재한다.

# 만약 함수 $u$가 $W^\{1,p\}(\backslash Omega)$에 속하면서 동시에 $\backslash overline\{\backslash Omega\}$에서 연속이라면($u\backslash in\; W^\{1,p\}(\backslash Omega)\backslash cap\; C(\backslash overline\{\backslash Omega\})$), $Tu$는 단순히 함수 $u$를 경계 $\backslash partial\backslash Omega$로 제한한 것과 같다:
#:$Tu\; =\; u|\_\{\backslash partial\backslash Omega\}$
# 모든 $u\backslash in\; W^\{1,p\}(\backslash Omega)$에 대해 다음 부등식이 성립한다. 즉, 연산자 $T$는 유계이다:
#:$\backslash |Tu\backslash |\_\{L^p(\backslash partial\backslash Omega)\}\backslash leqslant\; c(p,\backslash Omega)\backslash |u\backslash |\_\{W^\{1,p\}(\backslash Omega)\}$
# 여기서 $c(p,\backslash Omega)$는 $p$와 영역 $\backslash Omega$에만 의존하는 상수이다.

이때 $Tu$를 함수 $u$의 트레이스(trace)라고 부른다. 이는 행렬 이론의 대각합(trace)과는 다른 개념이다. 트레이스 정리는 잘 정의된 영역 $\backslash Omega$에 대해, 경계로의 제한 연산을 소볼레프 공간 $W^\{1,p\}(\backslash Omega)$ 전체로 확장할 수 있음을 보여준다.

트레이스 연산자 $T$는 일반적으로 전사적이지 않다. 즉, $L^p(\backslash partial\backslash Omega)$에 있는 모든 함수가 어떤 $W^\{1,p\}(\backslash Omega)$ 함수의 트레이스가 되는 것은 아니다. 하지만 일 때, 트레이스 연산자 $T$는 소볼레프-슬로보데츠키 공간 $W^\{1-\backslash frac\{1\}\{p\},p\}(\backslash partial\backslash Omega)$ 위로는 전사 함수가 된다.

직관적으로 트레이스를 취하는 과정은 함수의 매끄러움(미분 가능성)을 약간 "손실"시킨다고 볼 수 있다. $W^\{1,p\}(\backslash Omega)$ 공간의 경우, 트레이스를 취하면 미분 가능성이 $1/p$만큼 줄어든다고 해석할 수 있다. 특히 힐베르트 공간인 $H^s(\backslash Omega)\; =\; W^\{s,2\}(\backslash Omega)$ ($s\; >\; 1/2$)의 경우, 트레이스 사상 $P:\; H^s(\backslash Omega)\; \backslash to\; H^\{s-1/2\}(\backslash partial\backslash Omega)$가 존재하며, 이 경우 미분 가능성이 정확히 $1/2$만큼 줄어든다. $W^\{s,p\}(\backslash Omega)$ 공간의 트레이스에 대한 상(image)은 일반적으로 베소프 공간으로 알려져 있다.

=== 트레이스가 0인 공간 ===
트레이스 개념을 사용하여 경계에서 0의 값을 갖는 함수 공간을 정의할 수 있다. 공간 $W\_0^\{1,p\}(\backslash Omega)$는 트레이스가 0인 $W^\{1,p\}(\backslash Omega)$ 함수들의 집합으로 정의된다:
:$W\_0^\{1,p\}(\backslash Omega)\; =\; \backslash left\; \backslash \{u\backslash in\; W^\{1,p\}(\backslash Omega):\; Tu=0\; \backslash right\; \backslash \}$

이 공간은 다른 방식으로도 특징지을 수 있다. $C\_c^\backslash infty(\backslash Omega)$를 $\backslash Omega$ 안에서 콤팩트 지지를 갖는 무한번 미분 가능한 함수들의 공간이라고 할 때, $W\_0^\{1,p\}(\backslash Omega)$는 $C\_c^\backslash infty(\backslash Omega)$의 $W^\{1,p\}(\backslash Omega)$ 노름에서의 폐포와 같다:
:$W\_0^\{1,p\}(\backslash Omega)\; =\; \backslash overline\{C\_c^\backslash infty(\backslash Omega)\}^\{W^\{1,p\}(\backslash Omega)\}$
이는 립시츠 경계를 가진 유계 영역 $\backslash Omega$에 대해, 트레이스가 0인 함수는 콤팩트 지지를 갖는 매끄러운 함수들을 사용하여 $W^\{1,p\}(\backslash Omega)$ 노름으로 근사할 수 있음을 의미한다.

특히 $p=2$인 경우, $H^1(\backslash Omega)\; =\; W^\{1,2\}(\backslash Omega)$이고 $H\_0^1(\backslash Omega)\; =\; W\_0^\{1,2\}(\backslash Omega)$이다. $\backslash Omega$가 충분히 좋은 경계(예: 립시츠 경계)를 가질 때, $H\_0^1(\backslash Omega)$는 경계에서 트레이스 의미로 0이 되는 $H^1(\backslash Omega)$ 함수들의 공간으로 정확히 설명된다. 이 공간은 푸앵카레 부등식이 성립하고 디리클레 경계값 문제를 다룰 때 중요한 역할을 한다.

5.2. 영으로의 확장

함수 $f\; \backslash in\; L^p(\backslash Omega)$에 대해, 0에 의한 확장은 다음과 같이 정의되는 $Ef\; \backslash in\; L^p(\backslash R^n)$이다.

:

이 확장은 $L^p$ 노름을 보존한다. 즉,

:$\backslash |\; Ef\; \backslash |\_\{L^p(\backslash R^n)\}=\; \backslash |\; f\; \backslash |\_\{L^p(\backslash Omega)\}.$

그러나 $1\; \backslash le\; p\; \backslash le\; \backslash infty$인 소볼레프 공간 $W^\{1,p\}(\backslash Omega)$의 경우, 함수 $u\; \backslash in\; W^\{1,p\}(\backslash Omega)$를 0으로 확장하는 것이 반드시 $W^\{1,p\}(\backslash R^n)$의 원소를 생성하지는 않는다.

만약 $\backslash Omega$가 립시츠 경계(예: $\backslash partial\backslash Omega$가 $C^1$)를 갖는 유계 집합이라면, $\backslash Omega$를 컴팩트하게 포함하는($\backslash Omega\; \backslash subset\backslash subset\; O$) 유계 열린 집합 $O$에 대해, 유계 선형 연산자가 존재한다.

:$E:\; W^\{1,p\}(\backslash Omega)\backslash to\; W^\{1,p\}(\backslash R^n)$

이 연산자는 각 $u\backslash in\; W^\{1,p\}(\backslash Omega)$에 대해 다음 조건을 만족한다.
* $\backslash Omega$에서 거의 모든 곳에서 $Eu\; =\; u$이다.
* $Eu$는 $O$ 내에서 컴팩트 지지(compact support)를 갖는다.
* $p$, $\backslash Omega$, $O$ 및 차원 $n$에만 의존하는 상수 $C$가 존재하여 다음 부등식이 성립한다.

:$\backslash |\; Eu\; \backslash |\_\{W^\{1,p\}(\backslash R^n)\}\backslash leqslant\; C\; \backslash |u\backslash |\_\{W^\{1,p\}(\backslash Omega)\}.$

$Eu$를 $\backslash R^n$으로의 $u$의 확장이라고 부른다.

한편, 공간 $H^s\_0(\backslash Omega)$는 무한히 미분 가능하고 컴팩트 지지를 갖는 함수 공간 $C^\backslash infty\_c(\backslash Omega)$의 $H^s(\backslash Omega)$에서의 폐포(closure)로 정의된다. 만약 $u\; \backslash in\; H^s\_0(\backslash Omega)$이면, 그 0에 의한 확장 $\backslash tilde\; u\; \backslash in\; L^2(\backslash R^n)$을 자연스럽게 정의할 수 있다.

:

$s\; >\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}$일 때, 사상 $u\; \backslash mapsto\; \backslash tilde\; u$가 $H^s(\backslash R^n)$으로 연속일 필요충분조건은 $s$가 정수 $n$에 대해 $n\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}$ 형태가 아닌 것이다.

5.3. 소볼레프 임베딩

소볼레프 공간에 속하는 함수가 연속적인지, 더 나아가 연속적으로 미분 가능한지 알아보는 것은 자연스러운 질문이다. 대략적으로 말하면, 충분히 많은 약한 도함수(즉, 큰 k)를 가지면 고전적인 의미의 미분이 가능해진다. 이러한 아이디어는 소볼레프 임베딩 정리에서 일반화되고 더 정확하게 설명된다.

차원이 n인 어떤 콤팩트 리만 다양체의 소볼레프 공간을 $W^\{k,p\}$로 표기하자. 여기서 k는 임의의 실수일 수 있으며, 1 ≤ p ≤ ∞이다. (p = ∞인 경우, 소볼레프 공간 $W^\{k,\backslash infty\}$는 횔더 공간 C^n,α로 정의되며, 여기서 k = n + α이고 0 < α ≤ 1이다.) 소볼레프 임베딩 정리는 만약 $k\; \backslash geqslant\; m$이고 $k\; -\; \backslash tfrac\{n\}\{p\}\; \backslash geqslant\; m\; -\; \backslash tfrac\{n\}\{q\}$이면,

:$W^\{k,p\}\backslash subseteq\; W^\{m,q\}$

이며, 이 포함 관계(임베딩)는 연속적이라고 말한다. 또한, 만약 $k\; >\; m$이고 $k\; -\; \backslash tfrac\{n\}\{p\}\; >\; m\; -\; \backslash tfrac\{n\}\{q\}$이면 임베딩은 완전히 연속적이다. 이것은 때때로 콘드라쇼프 정리 또는 Rellich–Kondrachov 정리라고도 불린다. $W^\{m,\backslash infty\}$에 속하는 함수는 m보다 작은 모든 차수의 도함수가 연속적이므로, 이 정리는 특히 어떤 조건에서 소볼레프 공간의 함수가 연속적인 도함수를 가지는지 알려준다. 비공식적으로 이러한 임베딩은 L^p에서의 정보(적분 가능성)를 함수의 매끄러움(연속성, 미분 가능성 등)에 대한 정보로 변환할 때, 차원 n과 p 값에 따라 '비용'이 발생한다는 것을 의미한다. 즉, $k\; -\; n/p$ 값이 클수록 함수는 더 좋은 공간($W^\{m,q\}$에서 $m\; -\; n/q$ 값이 더 작은 공간)에 포함된다.

$\backslash R^n$과 같은 비콤팩트 다양체에 대한 임베딩 정리의 유사한 변형도 존재한다. 콤팩트하지 않은 $\backslash R^n$에서의 소볼레프 임베딩은 종종 관련된 약한 속성인 공콤팩트성을 가진다. 구체적인 부등식 형태는 소볼레프 부등식 섹션에서 더 자세히 다룬다.

5.3.1. 소볼레프 부등식

다음과 같은 소볼레프 부등식(Sobolev inequality^영어)이 성립한다. 임의의 자연수 $s,\; s\text{'}\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N$와 실수 $p,\; p\text{'}\; \backslash in\; [1,\; \backslash infty)$에 대하여, 만약 다음 세 조건
:$\backslash frac\{1\}\{p\}\; -\; \backslash frac\{s\}\{n\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{p\text{'}\}\; -\; \backslash frac\{s\text{'}\}\{n\}$
:$p\; \backslash le\; p\text{'}$
:$s\; \backslash ge\; s\text{'}$
이 모두 성립한다면, 소볼레프 공간 $\backslash operatorname\; W^\{s,p\}(\backslash mathbb\; R^n)$은 $\backslash operatorname\; W^\{s\text{'},p\text{'}\}(\backslash mathbb\; R^n)$의 부분 집합이 된다. 즉, 다음과 같은 포함 관계가 존재하며, 이 포함 관계는 연속적이고 단사적인 선형 변환이다.
:$\backslash operatorname\; W^\{s,p\}(\backslash mathbb\; R^n)\; \backslash subseteq\; \backslash operatorname\; W^\{s\text{'},p\text{'}\}(\backslash mathbb\; R^n)$

특히, 만약 $s=1$이고 $s\text{'}=0$일 경우 (즉, 1차 약한 도함수가 $L^p$에 속하는 함수 공간을 고려할 때), 위 조건은 $\backslash frac\{1\}\{p\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{p\text{'}\}$ (단, $p\; \backslash le\; p\text{'}$) 이 된다. 이 경우 $p\text{'}\; =\; \backslash frac\{np\}\{n-p\}$ 이며 ( 일 때 정의됨), 포함 관계는 다음과 같다.
:$\backslash operatorname\; W^\{1,p\}(\backslash mathbb\; R^n)\; \backslash subseteq\; \backslash operatorname\; L^\{np/(n-p)\}(\backslash mathbb\; R^n)$
여기서 $\backslash operatorname\; W^\{0,\; p\text{'}\}(\backslash mathbb\; R^n)$은 $L^\{p\text{'}\}(\backslash mathbb\; R^n)$과 같다. 이는 $\backslash mathbb\; R^n$ 상의 어떤 함수가 1차 약한 도함수와 함께 $L^p$ 노름으로 유한하다면, 그 함수 자체는 더 큰 지수 $p\text{'}\; =\; np/(n-p)$를 갖는 $L^\{p\text{'}\}$ 공간에 속한다는 것을 의미한다.

이러한 소볼레프 공간 사이의 포함 관계 및 부등식은 소볼레프 임베딩 정리의 핵심적인 내용이다. 소볼레프 임베딩 정리는 함수의 매끄러움(얼마나 많이 미분 가능한지, 즉 $s$의 크기)과 L^p 공간에서의 적분 가능성(즉, $p$의 크기) 사이의 관계를 보여준다. 위 부등식의 조건 $\backslash frac\{1\}\{p\}\; -\; \backslash frac\{s\}\{n\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{p\text{'}\}\; -\; \backslash frac\{s\text{'}\}\{n\}$ (또는 $s\; -\; \backslash frac\{n\}\{p\}\; =\; s\text{'}\; -\; \backslash frac\{n\}\{p\text{'}\}$)은 함수 공간 $W^\{s,p\}$가 다른 함수 공간 $W^\{s\text{'},p\text{'}\}$에 포함되기 위한 조건을 나타낸다. 이는 함수의 미분 가능성($s$)과 적분 가능성($p$) 정보가 어떻게 다른 공간($W^\{s\text{'},p\text{'}\}$)에서의 정보로 변환될 수 있는지를 정량적으로 보여주는 중요한 결과이다.

5.4. 베셀 포텐셜 공간 (Bessel Potential Spaces)

자연수 k와 에 대해 (푸리에 승수를 사용하여) 공간 $W^\{k,p\}(\backslash mathbb\{R\}^n)$은 다음과 같이 동등하게 정의될 수 있다.

:$W^\{k,p\}(\backslash mathbb\{R\}^n)\; =\; H^\{k,p\}(\backslash mathbb\{R\}^n)\; :=\; \backslash Big\; \backslash \{f\; \backslash in\; L^p(\backslash mathbb\{R\}^n)\; :\; \backslash mathcal\{F\}^\{-1\}\; \backslash Big[\backslash big(1\; +\; |\backslash xi|^2\backslash big)^\{\backslash frac\{k\}\{2\}\}\backslash mathcal\{F\}f\; \backslash Big]\; \backslash in\; L^p(\backslash mathbb\{R\}^n)\; \backslash Big\; \backslash \},$

이때 노름은 다음과 같다.

:$\backslash |f\backslash |\_\{H^\{k,p\}(\backslash mathbb\{R\}^n)\}\; :=\; \backslash left\backslash |\; \backslash mathcal\{F\}^\{-1\}\; \backslash Big[\; \backslash big(1\; +\; |\backslash xi|^2\backslash big)^\{\backslash frac\{k\}\{2\}\}\; \backslash mathcal\{F\}f\; \backslash Big]\; \backslash right\backslash |\_\{L^p(\backslash mathbb\{R\}^n)\}.$

이 정의는 위 정의에서 정수 k를 실수 s로 대체하여 비정수 차수의 소볼레프 공간을 정의하는 데 동기를 부여한다. 결과 공간은 다음과 같이 정의된다.

:$H^\{s,p\}(\backslash mathbb\{R\}^n)\; :=\; \backslash left\; \backslash \{f\; \backslash in\; \backslash mathcal\{S\}\text{'}(\backslash mathbb\{R\}^n)\; :\; \backslash mathcal\{F\}^\{-1\}\; \backslash left\; [\backslash big(1\; +\; |\backslash xi|^2\; \backslash big)^\{\backslash frac\{s\}\{2\}\}\backslash mathcal\{F\}f\; \backslash right\; ]\; \backslash in\; L^p(\backslash mathbb\{R\}^n)\; \backslash right\; \backslash \}$

이 공간은 프리드리히 베셀의 이름을 따서 베셀 포텐셜 공간이라고 한다. 이들은 일반적으로 바나흐 공간이며, 특히 p = 2인 경우에는 힐베르트 공간이다.

$s\; \backslash geqslant\; 0$일 때, 유계 영역 $\backslash Omega\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{R\}^n$에 대한 공간 $H^\{s,p\}(\backslash Omega)$는 $H^\{s,p\}(\backslash mathbb\{R\}^n)$의 함수를 $\backslash Omega$에 제한한 집합으로 정의되며, 노름은 다음과 같다.

:$\backslash |f\backslash |\_\{H^\{s,p\}(\backslash Omega)\}\; :=\; \backslash inf\; \backslash left\; \backslash \{\backslash |g\backslash |\_\{H^\{s,p\}(\backslash mathbb\{R\}^n)\}\; :\; g\; \backslash in\; H^\{s,p\}(\backslash mathbb\{R\}^n),\; g|\_\{\backslash Omega\}\; =\; f\; \backslash right\; \backslash \}\; .$

다시 한번, $H^\{s,p\}(\backslash Omega)$는 바나흐 공간이며, p = 2인 경우에는 힐베르트 공간이다.

소볼레프 공간에 대한 확장 정리를 사용하면, $\backslash Omega$가 균일한 C^k 경계를 가진 영역이고, k가 자연수이며, 인 경우, 동등한 노름의 의미에서 $W^\{k,p\}(\backslash Omega)\; =\; H^\{k,p\}(\backslash Omega)$가 성립함을 보일 수 있다. 임베딩에 의해

:$H^\{k+1,p\}(\backslash mathbb\{R\}^n)\; \backslash hookrightarrow\; H^\{s\text{'},p\}(\backslash mathbb\{R\}^n)\; \backslash hookrightarrow\; H^\{s,p\}(\backslash mathbb\{R\}^n)\; \backslash hookrightarrow\; H^\{k,p\}(\backslash mathbb\{R\}^n),\; \backslash quad\; k\; \backslash leqslant\; s\; \backslash leqslant\; s\text{'}\; \backslash leqslant\; k+1$

베셀 포텐셜 공간 $H^\{s,p\}(\backslash mathbb\{R\}^n)$은 소볼레프 공간 $W^\{k,p\}(\backslash mathbb\{R\}^n)$ 사이에 연속적인 척도를 형성한다. 추상적인 관점에서, 베셀 포텐셜 공간은 소볼레프 공간의 복소 보간 공간으로 나타난다. 즉, 동등한 노름의 의미에서

:$\backslash left\; [\; W^\{k,p\}(\backslash mathbb\{R\}^n),\; W^\{k+1,p\}(\backslash mathbb\{R\}^n)\; \backslash right\; ]\_\backslash theta\; =\; H^\{s,p\}(\backslash mathbb\{R\}^n),$

여기서 이고 $s=\; (1-\backslash theta)k\; +\; \backslash theta\; (k+1)=\; k+\backslash theta$이다.

k가 정수가 아닌 경우를 다룰 때는 오해를 방지하기 위해 k 대신 s를 사용하여 W^s,p나 H^s 등으로 표기하는 것이 일반적이다.

p = 2인 경우는 푸리에 전개 기술을 그대로 일반화할 수 있기 때문에 가장 간단하다. 노름은

:$\backslash |f\backslash |^2\_\{s,2\}:=\backslash sum\; (1+n^2)^s|\backslash hat\{f\}(n)|^2$

로 정의되며, 소볼레프 공간 H^s는 이 노름이 유한한 함수 전체의 공간으로 정해진다.

p가 2가 아닌 경우에도 비슷하게 다룰 수 있다. 이 경우 파세발의 정리는 더 이상 성립하지 않지만, 미분은 여전히 푸리에 영역에서의 곱셈에 대응하며, 분수 계 미분으로 일반화할 수 있다. 따라서 작용소의 계수 s에 대한 분수 계 미분을, 푸리에 변환을 취하고 $(in)^s$를 곱한 다음 푸리에 역변환을 수행하여 정의할 수 있다.

:$F^s(f):=\backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\backslash infty\; (in)^s\backslash hat\{f\}(n)e^\{int\}$

(푸리에 변환, 곱셈 작용, 푸리에 역변환을 수행하여 얻는 작용소를 푸리에 승수(Fourier multiplier)라고 하며, 이것 자체가 연구 대상이다). 이를 통해 (s,p)-소볼레프 노름이

:$\backslash |f\backslash |\_\{s,p\}:=\backslash |f\backslash |\_p+\backslash |F^s(f)\backslash |\_p$

으로 정의되며, 통상적인 경우와 마찬가지로 소볼레프 공간은 소볼레프 노름이 유한한 함수 전체로 구성된 공간으로 정의된다.

"분수차 소볼레프 공간"을 얻는 또 다른 방법으로, 복소 보간법이 있다. 복소 보간법은 일반적인 방법으로, 임의의 $0\; \backslash leqslant\; t\; \backslash leqslant\; 1$과 더 큰 바나흐 공간으로 연속적으로 매장된 바나흐 공간 X, Y에 대해 $[X,\; Y]\_t$로 표기되는 "중간 공간"을 만들 수 있다 (실 보간법은 추적 작용소의 특징 규정에 대한 소볼레프 이론에서 중요하다). 이때 공간 X와 Y는 보간 쌍이라고 불린다.

복소 보간법에 대해 유용한 정리를 몇 가지 언급한다.

; 재보간: $[\; [X,\; Y]\_a,\; [X,\; Y]\_b\; ]\_c\; =\; [X\; ,\; Y]\_\{cb+(1-c)a\}$.

; 작용소의 보간: {X, Y} 및 {A, B}를 보간 쌍으로 하고, T를 X + Y에서 정의되는 A + B로의 선형 사상으로 X를 A로 연속적으로 사상하고 Y를 B로 연속적으로 사상한다고 하면, T는 $[X,\; Y]\_t$를 $[A,\; B]\_t$로 연속적으로 사상한다. 이때 보간 부등식 (interpolation inequality^영어)
$\backslash |T\backslash |\_\{[X,Y]\_t\; \backslash to\; [A,B]\_t\}\backslash leq\; C\backslash |T\backslash |\_\{X\backslash to\; A\}^\{1-t\}\backslash |T\backslash |\_\{Y\backslash to\; B\}^t$
가 성립한다(리스-소린의 정리 참조).

소볼레프 공간으로 돌아가서, 비정수 s에 대한 $W^\{s,p\}$를 정수 차수의 공간 $W^\{k,p\}$들을 보간함으로써 정의한다. 실제로 다음이 성립한다.

; 정리: n이 $n\; =\; tm$인 정수라면
$\backslash left[W^\{0,p\},W^\{m,p\}\backslash right]\_t=W^\{n,p\}$
가 성립한다.

따라서 복소 보간법은 $W^\{k,p\}$ 사이에 있는 공간의 연속체 $W^\{s,p\}$를 얻는 일관된 방법이다. 또한, 이는 분수 계 도함수가 이루는 공간과 동일한 것을 정의한다.

5.5. 소볼레프-슬로보데츠키 공간 (Sobolev–Slobodeckij Spaces)

횔더 조건을 L^p 설정으로 일반화하려는 아이디어에서 분수 차수 소볼레프 공간을 정의하는 또 다른 접근 방식이 있다. 이고 $f\; \backslash in\; L^p(\backslash Omega)$일 때, 슬로보데츠키 세미노름(횔더 공간의 횔더 세미노름과 유사하다)은 다음과 같이 정의된다.

:$[f]\_\{\backslash theta,\; p,\; \backslash Omega\}\; :=\backslash left(\backslash int\_\{\backslash Omega\}\; \backslash int\_\{\backslash Omega\}\; \backslash frac\{|f(x)-f(y)|^p\}\{|x-y|^\{\backslash theta\; p\; +\; n\}\}\; \backslash ;\; dx\; \backslash ;\; dy\; \backslash right\; )^\{\backslash frac\{1\}\{p\}\}.$

$s\; >\; 0$가 정수가 아닐 때, $\backslash theta\; =\; s\; -\; \backslash lfloor\; s\; \backslash rfloor\; \backslash in\; (0,1)$로 정의한다 ($\backslash lfloor\; s\; \backslash rfloor$는 $s$의 정수 부분). 횔더 공간에서와 비슷한 아이디어로, 소볼레프-슬로보데츠키 공간 $W^\{s,p\}(\backslash Omega)$는 다음과 같이 정의된다.

:

여기서 $D^\backslash alpha\; f$는 $f$의 $\backslash alpha$차 약미분을 나타내는 멀티 인덱스 표기법이다. 이 공간은 다음 노름에 대해 바나흐 공간이 된다.

:$\backslash |f\; \backslash |\; \_\{W^\{s,\; p\}(\backslash Omega)\}\; :=\; \backslash |f\backslash |\_\{W^\{\backslash lfloor\; s\; \backslash rfloor,p\}(\backslash Omega)\}\; +\; \backslash sup\_\{|\backslash alpha|\; =\; \backslash lfloor\; s\; \backslash rfloor\}\; [D^\backslash alpha\; f]\_\{\backslash theta,\; p,\; \backslash Omega\}.$

만약 $\backslash Omega$가 특정 확장 연산자가 존재할 만큼 충분히 좋은 경계(적절히 정규적이라면)를 가진다면, 소볼레프-슬로보데츠키 공간은 바나흐 공간들의 척도(scale)를 형성한다. 즉, 다음과 같은 연속적인 포함 관계 또는 임베딩이 성립한다.

:$W^\{k+1,p\}(\backslash Omega)\; \backslash hookrightarrow\; W^\{s\text{'},p\}(\backslash Omega)\; \backslash hookrightarrow\; W^\{s,p\}(\backslash Omega)\; \backslash hookrightarrow\; W^\{k,\; p\}(\backslash Omega),\; \backslash quad\; k\; \backslash leqslant\; s\; \backslash leqslant\; s\text{'}\; \backslash leqslant\; k+1.$

그러나 경계가 불규칙한 $\backslash Omega$에 대해서는 일 때 $W^\{1,p\}(\backslash Omega)$가 $W^\{s,p\}(\backslash Omega)$의 벡터 부분 공간조차 되지 않는 예가 존재한다.

추상적인 관점에서, 소볼레프-슬로보데츠키 공간 $W^\{s,p\}(\backslash Omega)$는 소볼레프 공간들의 실수 보간 공간과 일치한다. 즉, (동등한 노름 하에서) 다음이 성립한다.

:$W^\{s,p\}(\backslash Omega)\; =\; \backslash left\; (W^\{k,p\}(\backslash Omega),\; W^\{k+1,p\}(\backslash Omega)\; \backslash right)\_\{\backslash theta,\; p\}\; ,\; \backslash quad\; k\; \backslash in\; \backslash N,\; s\; \backslash in\; (k,\; k+1),\; \backslash theta\; =\; s\; -\; \backslash lfloor\; s\; \backslash rfloor\; .$

이 공간들은 소볼레프 함수의 경계값(trace) 연구에 중요하며, 베소프 공간의 특수한 경우이다.

분수 차수 소볼레프 공간 $W^\{s,p\}(\backslash Omega)$의 특성은 부르갱-브레지-미로네스쿠(Bourgain–Brezis–Mironescu) 공식을 통해 특정화될 수 있다. 이 공식은 $s\; \backslash nearrow\; 1$일 때 슬로보데츠키 세미노름과 함수의 기울기(gradient) 사이의 관계를 나타낸다.

:$$
\lim_{s \nearrow 1} \; (1 - s)
\int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{|f(x)-f(y)|^p}{|x-y|^{s p + n}} \; dx \; dy
=
\frac{
2 \pi^{\frac{n - 1}{2}}
\Gamma (\frac{p + 1}{2})}
{p \Gamma (\frac{p + n}{2})}
\int_{\Omega} \vert \nabla f\vert^p;


여기서 $\backslash Gamma$는 감마 함수이다. 또한, 다음 조건은

:$$
\limsup_{s \nearrow 1}\; (1 - s)
\int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{|f(x)-f(y)|^p}{|x-y|^{s p + n}} \; dx \; dy < \infty


$L^p\; (\backslash Omega)$의 함수가 1차 소볼레프 공간 $W^\{1,p\}\; (\backslash Omega)$에 속하는지를 판별하는 조건이 된다.

소볼레프 공간의 차수가 정수가 아닐 경우, 혼동을 피하기 위해 정수 차수 k 대신 s를 사용하여 W^s,p 또는 H^s 등으로 표기하는 것이 일반적이다.

6. 역사

세르게이 리보비치 소볼레프가 1938년에 도입하였다.