화이트헤드 문제

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 집합론과의 독립성
5. 역사
6. 의의
참조

1. 개요

화이트헤드 문제는 특정 조건을 만족하는 아벨 군이 자유 아벨 군인지 묻는 수학적 문제이다. 이 문제는 집합론의 공리에 따라 결과가 달라지며, ZFC 공리계와 독립적임이 증명되었다. 즉, 체르멜로-프렝켈 집합론과 선택 공리를 기반으로 하는 ZFC에서는 화이트헤드 문제의 참/거짓을 증명할 수 없다. 이 문제는 순수 대수적인 문제이면서도 집합론적 공리에 민감하게 반응한다는 점에서 수학적 중요성을 가진다.

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화이트헤드 문제
화이트헤드 문제
분야	집합론
공식화	화이트헤드
최초 공식화 시기	1950년대
관련 개념	Ext¹(A, Z)
질문	모든 아벨 군 A에 대해 Ext¹(A, Z) = 0이면 A는 자유 아벨 군인가?
역사
해결	ZFC와 독립적임
해결자	사할론 셸라흐
해결 시기	1974년
참고 문헌
참고 문헌	Shelah1974

2. 정의

'''화이트헤드 문제'''는 다음 두 조건을 만족시키는 아벨 군 $A$ 가 존재하는지 여부를 묻는다.

$A$ 는 자유 아벨 군이 아니다.
$\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(A,\mathbb Z)\cong0$

두 번째 조건은 아벨 군의 아벨 범주에서의 Ext 함자에 대한 조건으로, 풀어 쓰면 다음과 같다.

임의의 아벨 군 $B$ 및 전사 군 준동형 $f\colon B\to A$ 에 대하여, 만약 $\ker f\cong\mathbb Z$ 라면, $f\circ g=\operatorname{id}_A$ 인 군 준동형 $g\colon A\to B$ 가 항상 존재한다.

두 번째 조건을 만족시키는 군을 '''화이트헤드 군'''(Whitehead group^영어)이라고 한다.

''A''가 모든 짧은 완전열에 대해 다음을 만족하는 아벨군이라고 가정하자.

:

0\rightarrow\mathbb{Z}\rightarrow B\rightarrow A\rightarrow 0

''B'' 또한 아벨군이라면, 분할되어야 한다. 이때 화이트헤드 문제는: ''A''가 자유군이어야 하는가? 이 분할 조건은

\operatorname{Ext}^1(A, \mathbb{Z}) = 0

조건과 동치이다. 이 조건을 만족하는 아벨군 ''A''를 때때로 '''화이트헤드 군'''이라고 부르며, 따라서 화이트헤드 문제는 다음과 같다. 모든 화이트헤드 군은 자유군인가? 정확한 시퀀스

:

0\rightarrow C\rightarrow B\rightarrow A\rightarrow 0

가 임의의 아벨군 ''C''에 대해 분할되어야 한다는 조건으로 강화될 경우, 이는 ''A''가 자유군이라는 것과 동치임이 잘 알려져 있다.

'''주의사항''': 모든 자유 아벨군이 화이트헤드 군이라는 화이트헤드 문제의 역은 잘 알려진 군론적 사실이다. 일부 저자는

\operatorname{Ext}^1(A, \mathbb{Z}) = 0

을 만족하는 ''비자유'' 군 ''A''만을 ''화이트헤드 군''이라고 부른다. 이 경우 화이트헤드 문제는 다음과 같다. 화이트헤드 군이 존재하는가?

3. 성질

모든 자유 아벨 군은 화이트헤드 군이다. 화이트헤드 군의 부분군은 화이트헤드 군이다. 가산 비자유 화이트헤드 군은 존재하지 않는다.^[2]

비가산 비자유 화이트헤드 군의 존재 여부는 사용하는 집합론에 따라 달라진다.

체르멜로-프렝켈 집합론 + 구성 가능성 공리로부터, 화이트헤드 군의 부재를 보일 수 있다.
체르멜로-프렝켈 집합론 + 마틴 공리 + 연속체 가설의 부정으로부터, 크기가 $\aleph_1$ 인 화이트헤드 군의 존재를 보일 수 있다.

이들 이론의 무모순성은 체르멜로-프렝켈 집합론의 무모순성과 동치이므로, 만약 체르멜로-프렝켈 집합론이 무모순적이라면 화이트헤드 문제는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적이다. 또한, 나아가 화이트헤드 문제는 (체르멜로-프렝켈 집합론이 무모순적이라면) 체르멜로-프렝켈 집합론 + 선택 공리 + 일반화 연속체 가설과도 독립적이다.

4. 집합론과의 독립성

모든 자유 아벨 군은 화이트헤드 군이며, 화이트헤드 군의 부분군은 화이트헤드 군이다. 가산 비자유 화이트헤드 군은 존재하지 않는다.^[2]

비가산 비자유 화이트헤드 군의 존재 여부는 사용하는 집합론에 따라 달라진다. 체르멜로-프렝켈 집합론에 구성 가능성 공리를 추가하면 화이트헤드 군이 존재하지 않음을 보일 수 있고, 마틴 공리와 연속체 가설의 부정을 추가하면 크기가 $\aleph_1$ 인 화이트헤드 군이 존재함을 보일 수 있다. 이 두 명제는 체르멜로-프렝켈 집합론의 무모순성과 동치이므로, 화이트헤드 문제는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)과 독립적이다. 또한 일반화 연속체 가설과도 독립적이다.

J. H. C. 화이트헤드는 1950년대에 제2 사촌 문제에서 영감을 받아 이 문제를 처음 제기했다. 스타인은 가산 그룹에 대해 이 문제에 긍정적으로 답했다. 더 큰 그룹에 대한 진전은 더뎠고, 이 문제는 수년간 대수학에서 중요한 문제로 여겨졌다.

사하론 셸라는 이 문제가 집합론의 일반적인 공리로부터 독립적임을 보였으며, 이는 괴델의 불완전성 정리 이후 결정 불가능한 명제 중 순수 대수적 문제로는 처음이었다. 셸라는 또한 화이트헤드 문제가 일반화 연속체 가설 하에서도 결정 불가능하다는 것을 보였다.^[1]

4. 1. 구성 가능성 공리

체르멜로-프렝켈 집합론과 구성 가능성 공리를 통해 화이트헤드 군이 존재하지 않음을 증명할 수 있다.^[2] 모든 집합이 구성 가능하다면, 모든 화이트헤드 군은 자유군이다.

4. 2. 마틴 공리

체르멜로-프렝켈 집합론 + 마틴 공리 + 연속체 가설의 부정으로부터, 크기가

\aleph_1

인 화이트헤드 군의 존재를 보일 수 있다.^[2] 이들 이론의 무모순성은 체르멜로-프렝켈 집합론의 무모순성과 동치이므로, 만약 체르멜로-프렝켈 집합론이 무모순적이라면 화이트헤드 문제는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적이다. 또한, 나아가 화이트헤드 문제는 (체르멜로-프렝켈 집합론이 무모순적이라면) 체르멜로-프렝켈 집합론 + 선택 공리 + 일반화 연속체 가설과도 독립적이다.

사하론 셸라는 표준 ZFC 공리계를 전제로, 이 문제가 집합론의 일반적인 공리로부터 독립적임을 보였다. 더 정확히 말해, 그는 다음과 같은 사실을 보였다.

만약 마틴 공리와 연속체 가설의 부정이 모두 성립한다면, 비자유 화이트헤드 군이 존재한다.

ZFC의 무모순성은 마틴 공리 및 연속체 가설의 부정 명제의 무모순성을 함의하므로, 화이트헤드 문제는 ZFC 내에서 해결될 수 없다.

4. 3. 일반화 연속체 가설

모든 자유 아벨 군은 화이트헤드 군이다. 화이트헤드 군의 부분군은 화이트헤드 군이다. 가산 비자유 화이트헤드 군은 존재하지 않는다.^[2]

비가산 비자유 화이트헤드 군의 존재 여부는 사용하는 집합론에 따라 달라진다.

체르멜로-프렝켈 집합론 + 구성 가능성 공리로부터, 화이트헤드 군의 부재를 보일 수 있다.
체르멜로-프렝켈 집합론 + 마틴 공리 + 연속체 가설의 부정으로부터, 크기가 $\aleph_1$ 인 화이트헤드 군의 존재를 보일 수 있다.

이들 이론의 무모순성은 체르멜로-프렝켈 집합론의 무모순성과 동치이므로, 만약 체르멜로-프렝켈 집합론이 무모순적이라면 화이트헤드 문제는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적이다. 또한, 나아가 화이트헤드 문제는 (체르멜로-프렝켈 집합론이 무모순적이라면) 체르멜로-프렝켈 집합론 + 선택 공리 + 일반화 연속체 가설과도 독립적이다.

사하론 셸라는 표준 ZFC 공리계를 전제로, 이 문제가 집합론의 일반적인 공리로부터 독립적임을 보였다. 더 정확히 말해, 그는 다음과 같은 사실을 보였다.

만약 모든 집합이 구성 가능하다면, 모든 화이트헤드 군은 자유군이다.
만약 마틴 공리와 연속체 가설의 부정이 모두 성립한다면, 비자유 화이트헤드 군이 존재한다.

ZFC의 무모순성은 다음 두 명제의 무모순성을 함의하므로 화이트헤드 문제는 ZFC 내에서 해결될 수 없다.

구성 공리(모든 집합이 구성 가능하다고 주장)
마틴 공리 및 연속체 가설의 부정

5. 역사

존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드가 1950년대에 이 문제를 제기하였다. 1951년에 카를 슈타인Karl Stein|카를 슈타인^de은 모든 가산 화이트헤드 군이 자유 아벨 군임을 증명하였다.^[2]

1974년에 사하론 셸라흐는 크기가 $\aleph_1$ 인 군에 대한 화이트헤드 문제가 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적임을 보였고,^[3] 이듬해에 구성 가능성 공리를 가정하면 어떠한 크기의 비자유 화이트헤드 군도 존재하지 않음을 보였다.^[4] 셸라흐는 1977년~1980년에 화이트헤드 문제가 일반화 연속체 가설을 추가로 가정하여도 역시 독립적임을 보였다.^[5]^[6]

J. H. C. 화이트헤드는 사촌 문제에서 영감을 받아 1950년대에 이 문제를 처음 제기했다. 스타인은 가산 그룹에 대해 이 문제에 긍정적으로 답했다. 더 큰 그룹에 대한 진전은 더뎠고, 이 문제는 수년간 추상 대수학에서 중요한 문제로 여겨졌다.

셸라의 결과는 완전히 예상 밖이었다. 1931년 괴델의 불완전성 정리 이후 결정 불가능한 명제의 존재가 알려졌지만, 이전의 결정 불가능한 명제의 예(예: 연속체 가설)는 모두 순수한 집합론에 있었다. 화이트헤드 문제는 증명된 최초의 순수 대수적 문제였다.

셸라는 나중에 화이트헤드 문제는 연속체 가설을 가정하더라도 여전히 결정 불가능하다는 것을 보여주었다. 사실, 그것은 일반화된 연속체 가설 하에서도 결정 불가능하다.^[1] 화이트헤드 추측은 모든 집합이 구성 가능 우주한 경우 참이다. 이것과 무가산 아벨 군에 대한 다른 명제가 ZFC와 독립적으로 증명될 수 있다는 것은 그러한 군의 이론이 가정된 기본 집합론에 매우 민감하다는 것을 보여준다.

6. 의의

J. H. C. 화이트헤드는 제2 사촌 문제에서 영감을 받아 1950년대에 이 문제를 처음 제기했다. 스타인은 가산 그룹에 대해 이 문제에 긍정적으로 답했다. 더 큰 그룹에 대한 진전은 더뎠고, 이 문제는 수년간 대수학에서 중요한 문제로 여겨졌다.

셸라의 결과는 완전히 예상 밖이었다. 1931년 괴델의 불완전성 정리 이후 결정 불가능한 명제의 존재가 알려졌지만, 이전의 결정 불가능한 명제의 예(예: 연속체 가설)는 모두 순수한 집합론에 있었다. 화이트헤드 문제는 증명된 최초의 순수 대수적 문제였다.

셸라는 나중에 화이트헤드 문제는 연속체 가설을 가정하더라도 여전히 결정 불가능하다는 것을 보여주었다.^[1] 사실, 그것은 일반화된 연속체 가설 하에서도 결정 불가능하다. 화이트헤드 추측은 모든 집합이 구성 가능한 경우 참이다. 이것과 무가산 아벨 군에 대한 다른 명제가 ZFC와 독립적으로 증명될 수 있다는 것은 그러한 군의 이론이 가정된 기본 집합론에 매우 민감하다는 것을 보여준다.

참조

_[1] 웹사이트 The Whitehead Problem and Beyond (Lecture notes for NMAG565) https://www.karlin.m[...] Charles University 2023-02-16
_[2] 저널 Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Problem https://archive.org/[...]
_[3] 저널 Infinite Abelian groups, Whitehead problem and some constructions 1974
_[4] 저널 A compactness theorem for singular cardinals, free algebras, Whitehead problem and transversals 1975
_[5] 저널 Whitehead groups may not be free, even assuming CH. I 1977
_[6] 저널 Whitehead groups may not be free, even assuming CH. II 1980

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