마틴 공리

1. 개요

마틴 공리는 집합론의 공리 중 하나로, 가산 사슬 조건(ccc)을 만족하는 부분 순서 집합과 조밀 집합에 대한 특정 필터의 존재성을 다룬다. 이는 라시오와-시코르스키 보조정리로 알려져 있으며, ZFC에서 증명 가능하다. 마틴 공리(MA)는 MA(κ)가 모든 κ < 𝔠에 대해 성립한다는 것을 의미하며, 적절 강제 공리 및 마틴의 최댓값과 같은 일반화를 갖는다. 마틴 공리는 연속체 가설을 함의하며, 여러 수학적 명제와 동치 관계를 갖는다. 또한, 마틴 공리는 조합론, 수학적 해석학, 위상수학에서 다양한 결과를 도출하며, 도널드 앤서니 마틴과 로버트 솔로베이가 1970년에 도입했다.

2. 정의

강제법 공리(強制法公理, forcing axiom^영어)는 다음과 같은 꼴의 명제이다.

* $\backslash mathsf\; P$ 조건을 만족시키는 원순서 집합 $(X,\backslash lesssim)$ 및 $X$의 공시작 집합들의 집합족 $\backslash mathcal\; D\backslash subseteq\backslash mathcal\; P(X)$에 대하여, 만약 라면, $\backslash mathcal\; D$-포괄적 필터 $F\backslash subseteq\; X$가 존재한다.

여기서 $\backslash mathsf\; P(-)$는 원순서 집합에 대한 술어이며, $\backslash kappa\backslash in\backslash operatorname\{Card\}$는 기수이다.

기수 κ에 대해 다음 명제를 정의한다.

;MA(κ): 가산 사슬 조건(ccc)을 만족하는 임의의 부분 순서 P와 |D| ≤ κ를 만족하는 P의 조밀 부분 집합의 집합 D = {D_i}_i∈I에 대해, 모든 D_i ∈ D에 대해 F ∩ D_i가 공집합이 아닌 P에 대한 필터 F가 존재한다.

이 문맥에서, 모든 P의 원소가 D에 하한을 가질 경우 집합 D는 조밀하다고 불린다. ccc의 적용을 위해, 안티체인은 P의 부분 집합 A로, A의 서로 다른 두 원소가 호환되지 않는 경우이다(두 원소가 부분 순서에서 둘 다 아래에 공통 원소가 존재하면 호환된다고 한다). 이는 예를 들어, 트리의 안티체인 개념과는 다르다.

MA(ℵ₀)는 ZFC에서 증명 가능하며, 라시오와-시코르스키 보조정리로 알려져 있다.

MA(2^ℵ₀)는 거짓이다. [0, 1]은 분리 가능 콤팩트 하우스도르프 공간이므로 (포함 관계에 따른 열린 부분 집합의 포셋인 P는) ccc이다. 그러나 P에서 조밀 집합의 다음과 같은 𝔠 크기의 두 집합을 고려해 보자. 어떤 x ∈ [0, 1]도 고립점이 아니므로 각 x는 조밀 부분 집합 { S | x ∉ S }를 정의한다. 각 r ∈ (0, 1]은 조밀 부분 집합 { S | diam(S) < r }를 정의한다. 두 집합을 합하면 크기가 𝔠이며, 둘 다 충족하는 필터는 [0, 1]의 모든 점을 동시에 피하면서 임의로 작은 지름을 가진 집합을 포함해야 한다. 그러나 임의로 작은 지름을 가진 집합을 포함하는 필터 F는 ⋂F에 점을 포함해야 한다 (콤팩트성에 의해).

마틴 공리 (MA)는 MA(κ)가 모든 κ < 𝔠에 대해 성립한다는 것이다.

;마틴 공리 (MA): MA(κ)는 모든 κ < 𝔠에 대해 성립한다.

ccc를 설명할 때 주의할 점은, 여기서 반사슬이란 $P$의 부분 집합 $A$로, 그 서로 다른 임의의 두 원소가 양립하지 않는다는 것이다. (두 원소가 양립한다는 것은, 그 반순서의 의미에서 하한이 존재한다는 것이다.) 이는, 예를 들어 나무에서의 반사슬과는 정의가 다르므로 주의해야 한다.

MA($\backslash aleph\_0$)는 참이다. 이는 라쇼바-시콜스키 보조정리로 알려져 있다.

MA($2^\{\backslash aleph\_0\}$)는 거짓이다. :[0,1]은 콤팩트하우스도르프 공간이며, 분리 가능하므로 ccc를 만족한다. [0,1]은 고립점을 포함하지 않으며, [0,1] 내의 점에 의한 일원 집합은 희소(어디에서나 비조밀)이다. 그러나, [0,1]은 $2^\{\backslash aleph\_0\}$개의 점에 의한 단일 집합의 합이며, $2^\{\backslash aleph\_0\}$개는 너무 많다.

2.1. 주요 강제법 공리

다음은 주로 사용되는 강제법 공리들이다.

모든 비가산 정칙 기수 $\backslash lambda$에 대하여, $X$에 대한 강제법이 $[\backslash lambda]^\backslash omega$의 정상 집합들을 보존하면, $X$가 고유성 조건(properness condition^영어)을 만족시킨다고 한다. 여기서 $[\backslash lambda]^\backslash omega$는 $\backslash lambda$의 가산 무한 부분 집합들의 족이다.

강제법 공리에 등장하는 기수 $\backslash kappa$를 다른 기수로 대체할 수 있으며, 이 경우 $\backslash mathsf\{MA\}(\backslash kappa)$와 같이 쓴다.

3. 성질

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)에서는 다음 두 명제를 보일 수 있다.

* 라시오바-시코르스키 보조정리: $\backslash kappa\backslash le\backslash aleph\_0\backslash implies\backslash mathsf\{MA\}(\backslash kappa)$
* $\backslash lnot\backslash mathsf\{MA\}(2^\{\backslash aleph\_0\})$. 예를 들어, 실수 구간 $[0,1]$은 분해 가능 콤팩트 하우스도르프 공간이므로 가산 강하향 반사슬 조건을 만족시킨다.

연속체 가설($\backslash mathsf\{CH\}$)은 마틴 공리($\backslash mathsf\{MA\}$)를 자명하게 함의한다.

다음은 $\backslash mathsf\{MA\}(\backslash kappa)$와 동치인 명제들이다.

* 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$에 대하여, $X$의 공집합이 아닌 열린집합들의 부분 순서 집합 $(\backslash operatorname\{Open\}(X)\backslash setminus\backslash \{\backslash varnothing\backslash \},\backslash subseteq)$이 가산 강하향 반사슬 조건을 만족시키면, $X$는 $\backslash kappa$ 이하의 수의 조밀한 곳이 없는 집합들의 합집합이 아니다.
* 콤팩트 하우스도르프 공간 X가 ccc을 만족하면, X는 κ개 이하의 어디에도 조밀하지 않은 집합들의 합집합이 아니다.
* 공집합이 아니고 위로 ccc인 poset P와, P의 공종속 부분 집합들의 집합 Y가 |Y| ≤ κ를 만족하면, 위로 방향족인 집합 A가 존재하여 A는 Y의 모든 원소를 만난다.
* 0이 아니고 ccc인 불 대수 A와, A의 부분 집합들의 집합 F가 |F| ≤ κ를 만족하면, 불 준동형사상 φ: A → Z/2Z가 존재하여 모든 X ∈ F에 대해 φ(a) = 1인 a ∈ X가 있거나, φ(b) = 0인 상한 b ∈ X가 있다.

$\backslash mathsf\{MA\}(\backslash kappa)$로부터 함의되는 명제는 다음과 같다.

* 원자가 없는 σ-유한 보렐 측도를 갖는 폴란드 공간에서 κ개 이하의 영집합의 합집합은 영집합이다. 특히, R의 르베그 측도가 0인 κ개 이하의 부분 집합의 합집합 또한 르베그 측도가 0이다.
* |X| < 2^κ인 콤팩트 하우스도르프 공간 X는 수열 컴팩트이다. 즉, 모든 수열이 수렴하는 부분 수열을 갖는다.
* N 상의 비 주 초필터는 κ보다 작은 기수의 기저를 갖지 않는다.
* 동치로, 임의의 x ∈ βN\N에 대해 𝜒(x) ≥ κ이며, 여기서 𝜒는 x의 특성이고, 따라서 𝜒(βN) ≥ κ이다.
* MA(ℵ₁)은 ccc 위상 공간의 곱이 ccc임을 함의한다 (이는 다시 수슬린 직선이 없음을 함의한다).

3.1. 함의 관계

마틴 최대 공리 ⇒ 고유 강제법 공리 ⇒ 마틴 공리

3.2. 무모순성

초콤팩트 기수가 존재한다면, ZFC(체르멜로-프렝켈 집합론(선택 공리 포함)) + 마틴 최대 공리는 무모순적이다.

3.3. ZFC에서 증명 가능한 경우

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)에서는 다음 두 명제를 보일 수 있다.

* 라시오바-시코르스키 보조정리: $\backslash kappa\backslash le\backslash aleph\_0\backslash implies\backslash mathsf\{MA\}(\backslash kappa)$
* $\backslash lnot\backslash mathsf\{MA\}(2^\{\backslash aleph\_0\})$. 예를 들어, 실수 구간 $[0,1]$은 분해 가능 콤팩트 하우스도르프 공간이므로 가산 강하향 반사슬 조건을 만족시킨다.

임의의 원순서 집합 $(X,\backslash lesssim)$에 대하여, 만약 $X$에 대한 강제법이 $\backslash omega\_1$의 정상 집합을 보존하지 않는다면, 조건 $\backslash mathsf\; P(X\text{'})\backslash iff\; X=X\text{'}$에 대한, $\backslash aleph\_2$ 미만의 공시작 집합들의 집합족에 대한 강제법 공리는 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)에서 거짓이다. 즉, 이러한 의미에서 마틴 최대 공리는 "가장 강력한" 강제법 공리이다.

3.4. 강제법 공리를 함의하는 명제

연속체 가설($\backslash mathsf\{CH\}$)은 마틴 공리($\backslash mathsf\{MA\}$)를 자명하게 함의한다.

3.5. 강제법 공리와 동치인 명제

다음은 $\backslash mathsf\{MA\}(\backslash kappa)$와 동치인 명제들이다.

* 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$에 대하여, $X$의 공집합이 아닌 열린집합들의 부분 순서 집합 $(\backslash operatorname\{Open\}(X)\backslash setminus\backslash \{\backslash varnothing\backslash \},\backslash subseteq)$이 가산 강하향 반사슬 조건을 만족시키면, $X$는 $\backslash kappa$ 이하의 수의 조밀한 곳이 없는 집합들의 합집합이 아니다.
* 콤팩트 하우스도르프 공간 X가 ccc을 만족하면, X는 κ개 이하의 어디에도 조밀하지 않은 집합들의 합집합이 아니다.
* 공집합이 아니고 위로 ccc인 poset P와, P의 공종속 부분 집합들의 집합 Y가 |Y| ≤ κ를 만족하면, 위로 방향족인 집합 A가 존재하여 A는 Y의 모든 원소를 만난다.
* 0이 아니고 ccc인 불 대수 A와, A의 부분 집합들의 집합 F가 |F| ≤ κ를 만족하면, 불 준동형사상 φ: A → Z/2Z가 존재하여 모든 X ∈ F에 대해 φ(a) = 1인 a ∈ X가 있거나, φ(b) = 0인 상한 b ∈ X가 있다.

3.6. 강제법 공리로부터 함의되는 명제

* 원자가 없는 σ-유한 보렐 측도를 갖는 폴란드 공간에서 κ개 이하의 영집합의 합집합은 영집합이다. 특히, R의 르베그 측도가 0인 κ개 이하의 부분 집합의 합집합 또한 르베그 측도가 0이다.
* |X| < 2^κ인 콤팩트 하우스도르프 공간 X는 수열 컴팩트이다. 즉, 모든 수열이 수렴하는 부분 수열을 갖는다.
* N 상의 비 주 초필터는 κ보다 작은 기수의 기저를 갖지 않는다.
* 동치로, 임의의 x ∈ βN\N에 대해 𝜒(x) ≥ κ이며, 여기서 𝜒는 x의 특성이고, 따라서 𝜒(βN) ≥ κ이다.
* MA(ℵ₁)은 ccc 위상 공간의 곱이 ccc임을 함의한다 (이는 다시 수슬린 직선이 없음을 함의한다).

4. 역사

로버트 M. 솔로베이와 도널드 앤서니 마틴(Donald Anthony Martin^영어)이 1970년에 마틴 공리를 도입하였다.

제임스 얼 바움가트너(James Earl Baumgartner^영어)와 사하론 셸라흐는 1970년대에 고유 강제법 공리를 도입하였다.

1988년에 매슈 포어먼(Matthew Foreman^영어), 메나헴 마기도르, 사하론 셸라흐가 마틴 최대 공리를 도입하였다. 포먼, 마기도르, 셸라흐는 이 논문에서 마틴 최대 공리가 특정 의미에서 가장 강력한 강제법 공리임을 증명하였다.

셸던 W. 데이비스는 자신의 저서에서 마틴 공리가 베어 범주 정리에 의해 동기가 부여되었다고 제안했다.