회문수
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2. 정의
어떤 수를 순서대로 읽은 것과 거꾸로 읽은 것이 같을 때, 즉 주어진 수의 각 자릿수를 뒤집었을 때 원래 수와 같아지는 수를 회문수라고 한다. 회문수는 주로 십진법에서 다루지만, 다른 기수법에서도 적용할 수 있다. 0은 모든 진법에서 0이 되므로 회문수이다.
2. 1. 수학적 정의
b|b영어 진법(b\geq2 )에서 k+1 자리를 가지는 수 n (n>0 )에 대해, n 의 i 번째 자릿수를 a_i 라 하면 다음과 같다. :n=\sum_{i=0}^ka_ib^i (0\leq a_i, a_k\neq0 ) 이때 모든 i 에 대해 a_i=a_{k-i} 인 경우 n 을 회문수라고 정의한다. 0은 모든 진법에서 0이 되므로 회문수이다.
3. 십진법에서의 회문수
십진법에서 짝수 자릿수의 회문수는 11로 나누어 떨어진다. [1] 십진법에서 한 자릿수는 모두 회문수이며, 이는 다른 기수법에서도 마찬가지이다. 두 자릿수인 회문수는 9개가 있다. [1] 세 자릿수인 회문수는 90개가 있다(일의 자리에서 9가지 경우, 십의 자리에서 10가지 경우가 있기 때문). 네 자릿수인 회문수도 세 자릿수와 마찬가지로 90개가 존재한다. [1]
3. 1. 자릿수별 회문수 개수
한 자릿수는 모두 회문수이며, 다른 기수법에서도 마찬가지이다. (총 10개) [1] 두 자릿수인 회문수는 9개(11, 22, ..., 99), 세 자릿수인 회문수는 90개, 네 자릿수인 회문수도 90개이다. [1] 따라서 10000 이하의 수에는 199개의 회문수가 존재한다. 100000 이하의 수에는 1099개의 회문수가 존재하며, 10^n 이하의 회문수의 개수는 1999, 10999, 19999, 109999, 199999, 1099999, ... 가 된다. [1] 아래 표는 특정 성질을 만족하는 10^n 이하의 회문수의 개수를 나타낸 것이며, 0도 포함하였다. [1]101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010 자연수 10 19 109 199 1099 1999 10999 19999 109999 199999 짝수 5 9 49 89 489 889 4889 8889 48889 88889 홀수 5 10 60 110 610 1110 6110 11110 61110 111110 제곱수 4 7 14 15 20 31 세제곱수 3 4 5 7 8 소수 4 5 20 113 781 5953 제곱인수가 없는 자연수 6 12 67 120 675 1200 6821 12160 제곱인수가 있는 정수(μ(n)=0) 4 7 42 79 424 799 4178 7839 소수의 제곱수 2 3 5 μ(n)=1인 수 2 6 35 56 324 583 3383 6093 μ(n)=-1인 수 4 6 32 64 351 617 3438 6067 두 소인수를 가지는 홀수 1 4 25 39 205 303 1768 2403 두 소인수를 가지는 짝수 2 3 11 64 413 세 소인수를 가지는 짝수 1 3 14 24 122 179 1056 1400 서로 다른 세 소인수를 가지는 짝수 0 1 18 44 250 390 2001 2814 세 소인수를 가지는 홀수 0 1 12 34 173 348 1762 3292 카마이클 수 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 σ(n) 이 회문수인 수6 10 47 114 688 1417 5683
3. 2. 특정 성질을 만족하는 회문수
제곱수, 세제곱수, 소수 등 특정한 성질을 만족하면서 회문수인 경우도 존재한다. 아래 표는 10^n 이하의 회문수 중 특정 성질을 만족하는 수의 개수를 나타낸 것이다. (0 포함)101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010 자연수 10 19 109 199 1099 1999 10999 19999 109999 199999 짝수 5 9 49 89 489 889 4889 8889 48889 88889 홀수 5 10 60 110 610 1110 6110 11110 61110 111110 제곱수 4 7 14 15 20 31 세제곱수 3 4 5 7 8 소수 4 5 20 113 781 5953 제곱인수가 없는 자연수 6 12 67 120 675 1200 6821 12160 제곱인수가 있는 정수(μ(n)=0) 4 7 42 79 424 799 4178 7839 소수의 제곱수 [1] 2 3 5 μ(n)=1인 수 2 6 35 56 324 583 3383 6093 μ(n)=-1인 수 4 6 32 64 351 617 3438 6067 두 소인수를 가지는 홀수 1 4 25 39 205 303 1768 2403 두 소인수를 가지는 짝수 2 3 11 64 413 세 소인수를 가지는 짝수 1 3 14 24 122 179 1056 1400 서로 다른 세 소인수를 가지는 짝수 0 1 18 44 250 390 2001 2814 세 소인수를 가지는 홀수 0 1 12 34 173 348 1762 3292 카마이클 수 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 σ(n) 이 회문수인 수6 10 47 114 688 1417 5683
4. 거듭제곱인 회문수
자연수 ''n''과 ''k''(''k''는 2, 3 또는 4)에 대해 거듭제곱수 ''n''''k'' 이 회문수가 되는 여러 경우가 있다.
제곱 인 회문수: 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, 14641, 40804, 44944, ...세제곱인 회문수: 0, 1, 8, 343, 1331, 1030301, 1367631, 1003003001, ... 네제곱 인 회문수: 0, 1, 14641, 104060401, 1004006004001, ... 제곱수가 회문수이지만 자기 자신은 회문수가 아닌 것으로 알려진 수로는 현재까지 2201이 유일하다.
4. 1. 11의 거듭제곱
1, 11, 111, 1111 등을 제곱하면 1, 121, 12321, 1234321, ...과 같이 회문수가 된다. [2]
4. 2. 네제곱근이 10^n + 1 꼴인 회문수
현재까지 발견된 네제곱인 회문수의 네제곱근은 모두 10^n+1 꼴이며, 모든 네제곱인 회문수에 대해 성립하는지는 밝혀지지 않았다. [2]
4. 3. G. J. Simmons의 추측
G. J. 시몬스(Simmons)는 5 이상의 k 에 대해 n^k (n>1 )꼴의 회문수는 존재하지 않는다고 추측하였다. [2]
5. 다른 기수법에서의 회문수
십진법 외 다른 기수법에서도 회문수를 정의하고 찾을 수 있다. 예를 들어 이진법 , 7진법, 18진법, 24진법 등 다양한 기수법에서 회문수가 존재한다.
5. 1. 이진법 회문수
이진법 에서 회문수는 다음과 같다. : 0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, … 이를 십진법으로 표기하면 0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, …이다. 페르마 소수 와 메르센 소수 는 이진법에서 회문수인 소수가 된다.
5. 2. 여러 기수법에서 회문수가 되는 경우
숫자 자신보다 밑이 더 큰 기수법에서는 한 자릿수가 되므로, 모든 수는 무한히 많은 기수법에서 대칭이다. 숫자 자신보다 밑이 더 작은 경우만을 고려하면, 여러 기수법에서 회문수가 되는 경우가 존재한다. 예를 들어 1221_4=151_8=77_{14}=55_{20}=33_{34}=11_{104} , 1991_{10}=7C7_{16} 이다. 7진법에서 1017 은 52 =347 의 2배이기 때문에, 다음과 같이 여러 1017 의 배수들은 제곱수인 회문수가 된다.수 값 132 202 262 1111 552 4444 1012 10201 1432 24442
18진법에서, 다음과 같이 여러 7의 거듭제곱수들은 회문수가 된다.
수 값 70 1 71 7 73 111 74 777 76 12321 79 1367631
24진법에서, 다음과 같이 첫 여덟제곱을 포함하여 여러 거듭제곱수들은 회문수가 된다.
수 값 50 1 51 5 52 11 53 55 54 121 55 5A5 56 1331 57 5FF5 58 14641 5A 15AA51 5C 16FLF61
자연수 n 에 대해 n-1 진법에서는 11_{n-1} 로 회문수가 되고, 2\leq b인 모든 b 진법에서 회문수가 아닌 수를 강한 비회문수라 한다.
5. 3. 강한 비회문수
자연수 n 에 대해 n-1 진법에서는 11_{n-1} 로 회문수가 되지만, 2\leq b인 모든 b 진법에서 회문수가 아닌 수를 강한 비회문수라 한다.
6. 라이크렐 수
회문 알고리즘을 거쳤을 때 결코 회문수가 되지 않는 수를 라이크렐 수 라고 한다. 라이크렐 수가 존재하는지는 아직 밝혀지지 않았지만 196을 포함한 여러 수들을 라이크렐 수로 추측하고 있다. [3] 라이크렐 수의 후보로는 196, 879, 1997 등이 있다.
6. 1. 196-알고리즘 (회문 알고리즘)
비회문수는 알고리즘을 통해 회문수로 만들 수도 있다. 먼저 비회문수와 그 수를 뒤집은 수를 더하여 새로운 수를 얻는다. 이 과정을 회문수가 나올 때까지 반복하며, 이를 196-알고리즘 또는 회문 알고리즘이라고 한다. 회문 알고리즘을 거쳤을 때 결코 회문수가 되지 않는 수를 라이크렐 수 라고 하며, 라이크렐 수가 존재하는지는 아직 밝혀지지 않았지만 196을 포함한 여러 수들을 라이크렐 수로 추측하고 있다. [3] 라이크렐 수의 후보로는 196, 879, 1997 등이 있다. 현재 가장 늦게 회문수가 되는 수는 12,000,700,000,025,339,936,491로, http://jasondoucette.com/pal/12000700000025339936491 288 단계 후에 142자리의 회문수 ''44562665878976437622437848976653870388884783662598425855963436955852489526638748888307835667984873422673467987856626544''에 도달한다.
6. 2. 라이크렐 수의 정의
라이크렐 수 는 회문 알고리즘을 거쳤을 때 결코 회문수가 되지 않는 수를 말한다. 라이크렐 수가 존재하는지는 아직 밝혀지지 않았지만 196을 포함한 여러 수들을 라이크렐 수로 추측하고 있다. [3] 라이크렐 수의 후보로는 196, 879, 1997 등이 있다.
6. 3. 라이크렐 수의 존재 여부
라이크렐 수 는 회문 알고리즘을 거쳤을 때 결코 회문수가 되지 않는 수를 말한다. 라이크렐 수가 실제로 존재하는지는 아직 밝혀지지 않았지만, [3] 196을 포함한 여러 수들을 라이크렐 수로 추측하고 있다. 라이크렐 수의 후보로는 196, 879, 1997 등이 있다.
6. 4. 라이크렐 수 후보
라이크렐 수 는 회문 알고리즘을 거쳤을 때 회문수가 되지 않는 수를 말하며, 이러한 수가 실제로 존재하는지는 아직 밝혀지지 않았다. 그러나 196을 포함한 여러 수들을 라이크렐 수로 추측하고 있다. [3] 라이크렐 수 후보로는 196, 879, 1997 등이 있다.
6. 5. 가장 늦게 회문수가 되는 수
현재까지 알려진 수 중 가장 늦게 회문수가 되는 수는 12,000,700,000,025,339,936,491이며, https://jasondoucette.com/pal/12000700000025339936491 288 단계 후에 142자리의 회문수 ''44562665878976437622437848976653870388884783662598425855963436955852489526638748888307835667984873422673467987856626544''에 도달한다.
7. 회문수의 합
2018년에는 5 이상의 밑을 가지는 기수법에서 모든 양의 정수는 세 회문수의 합으로 표현할 수 있다는 것을 증명하는 논문이 게재되었다. [4] 또한 회문수의 역수들의 합은 수렴하는 수열이 되며, 그 값은 3.37028...이다.
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