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회문수

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1. 개요

회문수는 수를 뒤집었을 때 원래 수와 같은 수를 의미하며, 121, 353, 9009 등이 해당한다. 십진법뿐만 아니라 다른 기수법에서도 적용 가능하며, 수학적으로는 각 자릿수가 대칭을 이루는 수를 말한다. 십진법에서 짝수 자릿수의 회문수는 11의 배수이며, 자릿수에 따른 회문수의 개수가 존재한다. 거듭제곱 형태의 회문수와 이진법에서의 회문수도 존재하며, 라이크렐 수와 같이 회문수와 관련된 흥미로운 개념들이 있다. 2018년에는 모든 양의 정수를 세 회문수의 합으로 표현할 수 있다는 것이 증명되었고, 회문수의 역수들의 합은 수렴하는 수열을 이룬다.

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회문수

2. 정의

어떤 수를 순서대로 읽은 것과 거꾸로 읽은 것이 같을 때, 즉 주어진 수의 각 자릿수를 뒤집었을 때 원래 수와 같아지는 수를 회문수라고 한다. 회문수는 주로 십진법에서 다루지만, 다른 기수법에서도 적용할 수 있다. 0은 모든 진법에서 0이 되므로 회문수이다.

2. 1. 수학적 정의

b|b영어진법(b\geq2)에서 k+1자리를 가지는 수 n(n>0)에 대해, ni번째 자릿수를 a_i라 하면 다음과 같다.

:n=\sum_{i=0}^ka_ib^i

(0\leq a_i, a_k\neq0) 이때 모든 i에 대해 a_i=a_{k-i}인 경우 n을 회문수라고 정의한다. 0은 모든 진법에서 0이 되므로 회문수이다.

3. 십진법에서의 회문수

십진법에서 짝수 자릿수의 회문수는 11로 나누어 떨어진다.[1]

십진법에서 한 자릿수는 모두 회문수이며, 이는 다른 기수법에서도 마찬가지이다. 두 자릿수인 회문수는 9개가 있다.[1]

세 자릿수인 회문수는 90개가 있다(일의 자리에서 9가지 경우, 십의 자리에서 10가지 경우가 있기 때문). 네 자릿수인 회문수도 세 자릿수와 마찬가지로 90개가 존재한다.[1]

3. 1. 자릿수별 회문수 개수

한 자릿수는 모두 회문수이며, 다른 기수법에서도 마찬가지이다. (총 10개)[1] 두 자릿수인 회문수는 9개(11, 22, ..., 99), 세 자릿수인 회문수는 90개, 네 자릿수인 회문수도 90개이다.[1]

따라서 10000 이하의 수에는 199개의 회문수가 존재한다. 100000 이하의 수에는 1099개의 회문수가 존재하며, 10^n 이하의 회문수의 개수는 1999, 10999, 19999, 109999, 199999, 1099999, ... 가 된다.[1]

아래 표는 특정 성질을 만족하는 10^n 이하의 회문수의 개수를 나타낸 것이며, 0도 포함하였다.[1]

1011021031041051061071081091010
자연수1019109199109919991099919999109999199999
짝수594989489889488988894888988889
홀수51060110610111061101111061110111110
제곱수4714152031
세제곱수34578
소수45201137815953
제곱인수가 없는 자연수612671206751200682112160
제곱인수가 있는 정수(μ(n)=0)47427942479941787839
소수의 제곱수235
μ(n)=1인 수26355632458333836093
μ(n)=-1인 수46326435161734386067
두 소인수를 가지는 홀수14253920530317682403
두 소인수를 가지는 짝수231164413
세 소인수를 가지는 짝수13142412217910561400
서로 다른 세 소인수를 가지는 짝수01184425039020012814
세 소인수를 가지는 홀수01123417334817623292
카마이클 수0000011111
σ(n)이 회문수인 수6104711468814175683


3. 2. 특정 성질을 만족하는 회문수

제곱수, 세제곱수, 소수 등 특정한 성질을 만족하면서 회문수인 경우도 존재한다. 아래 표는 10^n 이하의 회문수 중 특정 성질을 만족하는 수의 개수를 나타낸 것이다. (0 포함)

1011021031041051061071081091010
자연수1019109199109919991099919999109999199999
짝수594989489889488988894888988889
홀수51060110610111061101111061110111110
제곱수4714152031
세제곱수34578
소수45201137815953
제곱인수가 없는 자연수612671206751200682112160
제곱인수가 있는 정수(μ(n)=0)47427942479941787839
소수의 제곱수[1]235
μ(n)=1인 수26355632458333836093
μ(n)=-1인 수46326435161734386067
두 소인수를 가지는 홀수14253920530317682403
두 소인수를 가지는 짝수231164413
세 소인수를 가지는 짝수13142412217910561400
서로 다른 세 소인수를 가지는 짝수01184425039020012814
세 소인수를 가지는 홀수01123417334817623292
카마이클 수0000011111
σ(n)이 회문수인 수6104711468814175683


4. 거듭제곱인 회문수

자연수 ''n''과 ''k''(''k''는 2, 3 또는 4)에 대해 거듭제곱수 ''n''''k''이 회문수가 되는 여러 경우가 있다.


  • 제곱인 회문수: 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, 14641, 40804, 44944, ...
  • 세제곱인 회문수: 0, 1, 8, 343, 1331, 1030301, 1367631, 1003003001, ...
  • 네제곱인 회문수: 0, 1, 14641, 104060401, 1004006004001, ...


제곱수가 회문수이지만 자기 자신은 회문수가 아닌 것으로 알려진 수로는 현재까지 2201이 유일하다.

4. 1. 11의 거듭제곱

1, 11, 111, 1111 등을 제곱하면 1, 121, 12321, 1234321, ...과 같이 회문수가 된다.[2]

4. 2. 네제곱근이 10^n + 1 꼴인 회문수

현재까지 발견된 네제곱인 회문수의 네제곱근은 모두 10^n+1 꼴이며, 모든 네제곱인 회문수에 대해 성립하는지는 밝혀지지 않았다.[2]

4. 3. G. J. Simmons의 추측

G. J. 시몬스(Simmons)는 5 이상의 k에 대해 n^k(n>1)꼴의 회문수는 존재하지 않는다고 추측하였다.[2]

5. 다른 기수법에서의 회문수

십진법 외 다른 기수법에서도 회문수를 정의하고 찾을 수 있다. 예를 들어 이진법, 7진법, 18진법, 24진법 등 다양한 기수법에서 회문수가 존재한다.

5. 1. 이진법 회문수

이진법에서 회문수는 다음과 같다.

: 0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, …

이를 십진법으로 표기하면 0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, …이다. 페르마 소수메르센 소수는 이진법에서 회문수인 소수가 된다.

5. 2. 여러 기수법에서 회문수가 되는 경우

숫자 자신보다 밑이 더 큰 기수법에서는 한 자릿수가 되므로, 모든 수는 무한히 많은 기수법에서 대칭이다. 숫자 자신보다 밑이 더 작은 경우만을 고려하면, 여러 기수법에서 회문수가 되는 경우가 존재한다. 예를 들어 1221_4=151_8=77_{14}=55_{20}=33_{34}=11_{104}, 1991_{10}=7C7_{16}이다.

7진법에서 1017은 52=347의 2배이기 때문에, 다음과 같이 여러 1017의 배수들은 제곱수인 회문수가 된다.

132202
2621111
5524444
101210201
143224442



18진법에서, 다음과 같이 여러 7의 거듭제곱수들은 회문수가 된다.

701
717
73111
74777
7612321
791367631



24진법에서, 다음과 같이 첫 여덟제곱을 포함하여 여러 거듭제곱수들은 회문수가 된다.

501
515
5211
5355
54121
555A5
561331
575FF5
5814641
5A15AA51
5C16FLF61



자연수 n에 대해 n-1진법에서는 11_{n-1}로 회문수가 되고, 2\leq b인 모든 b진법에서 회문수가 아닌 수를 강한 비회문수라 한다.

5. 3. 강한 비회문수

자연수 n에 대해 n-1진법에서는 11_{n-1}로 회문수가 되지만, 2\leq b인 모든 b진법에서 회문수가 아닌 수를 강한 비회문수라 한다.

6. 라이크렐 수

회문 알고리즘을 거쳤을 때 결코 회문수가 되지 않는 수를 라이크렐 수라고 한다. 라이크렐 수가 존재하는지는 아직 밝혀지지 않았지만 196을 포함한 여러 수들을 라이크렐 수로 추측하고 있다.[3] 라이크렐 수의 후보로는 196, 879, 1997 등이 있다.

6. 1. 196-알고리즘 (회문 알고리즘)

비회문수는 알고리즘을 통해 회문수로 만들 수도 있다. 먼저 비회문수와 그 수를 뒤집은 수를 더하여 새로운 수를 얻는다. 이 과정을 회문수가 나올 때까지 반복하며, 이를 196-알고리즘 또는 회문 알고리즘이라고 한다.

회문 알고리즘을 거쳤을 때 결코 회문수가 되지 않는 수를 라이크렐 수라고 하며, 라이크렐 수가 존재하는지는 아직 밝혀지지 않았지만 196을 포함한 여러 수들을 라이크렐 수로 추측하고 있다.[3] 라이크렐 수의 후보로는 196, 879, 1997 등이 있다.

현재 가장 늦게 회문수가 되는 수는 12,000,700,000,025,339,936,491로, http://jasondoucette.com/pal/12000700000025339936491 288단계 후에 142자리의 회문수 ''44562665878976437622437848976653870388884783662598425855963436955852489526638748888307835667984873422673467987856626544''에 도달한다.

6. 2. 라이크렐 수의 정의

라이크렐 수는 회문 알고리즘을 거쳤을 때 결코 회문수가 되지 않는 수를 말한다. 라이크렐 수가 존재하는지는 아직 밝혀지지 않았지만 196을 포함한 여러 수들을 라이크렐 수로 추측하고 있다.[3] 라이크렐 수의 후보로는 196, 879, 1997 등이 있다.

6. 3. 라이크렐 수의 존재 여부

라이크렐 수는 회문 알고리즘을 거쳤을 때 결코 회문수가 되지 않는 수를 말한다. 라이크렐 수가 실제로 존재하는지는 아직 밝혀지지 않았지만,[3] 196을 포함한 여러 수들을 라이크렐 수로 추측하고 있다. 라이크렐 수의 후보로는 196, 879, 1997 등이 있다.

6. 4. 라이크렐 수 후보

라이크렐 수는 회문 알고리즘을 거쳤을 때 회문수가 되지 않는 수를 말하며, 이러한 수가 실제로 존재하는지는 아직 밝혀지지 않았다. 그러나 196을 포함한 여러 수들을 라이크렐 수로 추측하고 있다.[3] 라이크렐 수 후보로는 196, 879, 1997 등이 있다.

6. 5. 가장 늦게 회문수가 되는 수

현재까지 알려진 수 중 가장 늦게 회문수가 되는 수는 12,000,700,000,025,339,936,491이며, https://jasondoucette.com/pal/12000700000025339936491 288단계 후에 142자리의 회문수 ''44562665878976437622437848976653870388884783662598425855963436955852489526638748888307835667984873422673467987856626544''에 도달한다.

7. 회문수의 합

2018년에는 5 이상의 밑을 가지는 기수법에서 모든 양의 정수는 세 회문수의 합으로 표현할 수 있다는 것을 증명하는 논문이 게재되었다.[4]

또한 회문수의 역수들의 합은 수렴하는 수열이 되며, 그 값은 3.37028...이다.

참조

[1] OEIS The next example is 19 digits - 900075181570009.
[2] 서적 Problems in applied mathematics: selections from SIAM review https://books.google[...] 1990
[3] 웹사이트 Reply to Status of the 196 conjecture? https://mathoverflow[...] 2012-12-26
[4] 논문 Every positive integer is a sum of three palindromes http://www.ams.org/j[...] 2016-02-19



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