네제곱수

2. 성질

네제곱수는 제곱수의 제곱이다. (n⁴ = (n²)²)

모든 양의 정수는 최대 19개의 네제곱수의 합으로 표현할 수 있으며, 13792보다 큰 모든 정수는 최대 16개의 네제곱수의 합으로 표현할 수 있다. (\[\[\[와링의 문제]]] 참조).^[1]

페르마는 네제곱수가 다른 두 네제곱수의 합으로 표현될 수 없음을 증명했다. (\[\[특정 지수의 페르마의 마지막 정리 증명#n = 4|''n'' = 4 케이스]] 페르마의 마지막 정리; 페르마의 직각삼각형 정리 참조). 오일러는 네제곱수가 세 네제곱수의 합으로 표현될 수 없다고 추측했으나, 1986년 엘키스가 반례를 발견하여 이 추측이 틀렸음을 증명했다.^[2]

사차 방정식은 근호를 사용하여 일반적인 해를 구할 수 있는 가장 높은 차수의 방정식이다. (\[\[아벨-루피니 정리]] 참조)

''n''번째까지의 네제곱수의 총합은 다음과 같다.

$\backslash sum\_\{k=1\}^\{n\}\; k^4\; =\backslash frac\{1\}\{30\}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)$

네제곱수의 역수의 총합은 다음과 같다.

$\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n^4\}\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^4\}\{90\}$

사제곱수의 열에서 세 번째 계차수열은 공차가 24인 등차수열이며, 네 번째 계차수열은 상수열 24이다. 따라서 사제곱수의 열은 4계 등차수열이다.

만, 억, 조와 같이 한국어에서 사용되는 큰 수들은 10^4''n'' = (10^''n'')⁴ 꼴이므로 모두 네제곱수이다.

2. 1. 약수

2. 2. 잉여류

• 32(2⁵)로 나눈 나머지는 0, 1, 16, 17의 4가지이다.
• 네제곱수를 3으로 나눈 나머지는 0 또는 1이다.
• * 9(3²)로 나눈 나머지는 0, 1, 4, 7의 4가지이다. (삼진법으로 표기하면 00, 01, 11, 21)
• 네제곱수를 5로 나눈 나머지는 0 또는 1이다.
• * 25(5²)로 나눈 나머지는 0, 1, 6, 11, 16, 21의 6가지이다. (오진법으로 표기하면 00, 01, 11, 21, 31, 41)
• 7 이상의 소수에서도 비슷한 논의가 가능하지만, 제한이 약하다.

2. 3. 진법과 네제곱수

16진법에서 네제곱수의 마지막 0이 아닌 자릿수는 항상 1이다.^[1]

다른 진법에서 네제곱수의 끝자리 패턴은 다음과 같다.

• '''육진법''': 끝자리는 0, 1, 3, 4 중 하나이다. 끝 두 자리는 00, 01, 04, 13, 21, 24, 41, 44 중 하나이며, 00과 13은 각각 끝 네 자리가 0000, 1213으로 확정된다.
• '''십이진법''': 끝자리는 0, 1, 4, 9 중 하나이다. 끝 두 자리는 8가지 경우가 가능하다.
• '''이십진법''': 끝자리는 0, 1, 5, G (십진법의 16) 중 하나이다. 끝 두 자리는 12가지 경우가 가능하다.
• '''육십진법''' (편의상 십진수 두 자리로 표기): 끝자리는 0, 1, 16, 21, 25, 36, 40, 45 중 하나이다. 끝 두 자리는 48가지 경우가 가능하다.