페르마 수

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 페르마의 추측과 오일러의 반증
3. 성질
4. 작도 가능한 정다각형과의 관계
5. 일반화된 페르마 수
6. 응용
7. 미해결 문제
참조

1. 개요

페르마 수는 1637년 피에르 드 페르마가 2ⁿ+1 형태로 표현되는 정수가 소수일 것이라고 추측하면서 연구가 시작되었다. F0부터 F4까지는 소수였으나, 레온하르트 오일러가 F5를 소인수분해하여 페르마의 추측이 틀렸음을 증명했다. 페르마 수는 F_n = (F_n-1-1)²+1, F_n = F₀ … F_n-1 + 2 등의 성질을 가지며, 서로 다른 페르마 수는 서로소이다. 2ⁿ + 1 꼴의 소수인 페르마 소수는 F0=3, F1=5, F2=17, F3=257, F4=65537 뿐이며, 현재까지 n>4인 페르마 소수는 발견되지 않았다. 페르마 수는 정다각형 작도 가능성과 관련이 있으며, 일반화된 페르마 수는 $a^{2^n} + b^{2^n}$ 형태로 표현된다. 페르마 소수는 의사 난수열 생성에 응용되며, n>4인 페르마 소수의 존재 여부, 페르마 소수 및 합성수의 무한 존재 여부 등은 미해결 문제로 남아 있다.

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페르마 수
페르마 수
이름 유래	피에르 드 페르마
수식 형태	2^(2^n) + 1
변수	n은 음수가 아닌 정수
페르마 소수
OEIS	A019434
페르마 수	A000215
알려진 페르마 소수의 개수	5
알려진 페르마 소수	3, 5, 17, 257, 65537
가장 큰 알려진 페르마 소수	65537
미해결 문제
질문 1	n > 4일 때, 모든 페르마 수는 합성수인가?
질문 2	소수(합성수)인 페르마 수는 무수히 많거나 유한한가?

2. 역사

피에르 드 페르마는 1637년에 2^2ⁿ + 1 형태의 모든 정수가 소수일 것이라고 추측했지만, 1732년 레온하르트 오일러가 F₅ = 4,294,967,297 = 641 × 6,700,417 로 소인수분해하여 이 추측이 틀렸음을 보였다.^[30] 오일러는 페르마 수의 인수가 k2ⁿ⁺¹ + 1 형태를 가져야 한다는 것을 증명했으며(이후 루카스에 의해 k2ⁿ⁺² + 1 형태로 개선됨), 이는 페르마가 계산 실수로 인해 인수를 찾지 못한 이유를 설명해준다.^[2]

F₀부터 F₄까지는 소수임을 쉽게 확인할 수 있었으나, F₅ 이후의 수는 17세기 당시 기술로는 계산하기 어려웠고, 작은 소인수를 가지지 않아 페르마가 오류를 발견하기 어려웠다. 현재 n > 4 인 경우에 대해 알려진 페르마 소수는 없으며,^[3] 페르마 수에 대한 여러 가지 해결되지 않은 문제들이 남아있다.^[9]

2. 1. 페르마의 추측과 오일러의 반증

피에르 드 페르마는 1637년에 2ⁿ + 1 형태 (n은 음이 아닌 정수)로 표현 가능한 모든 정수가 소수일 것이라고 추측했다.^[30] 그러나 1732년 레온하르트 오일러가 ''F''₅ = 4,294,967,297 = 641 × 6,700,417 로 소인수분해하여 페르마의 추측이 틀렸음을 증명했다.^[30]

오일러는 ''F''_''n''의 모든 인수가 ''k''2^''n''+1 + 1 형태를 가져야 함을 증명했고 (이후 루카스에 의해 ''k''2^''n''+2 + 1로 개선됨), 641이 ''F''₅의 인수라는 것은 641 = 2⁷ × 5 + 1 및 641 = 2⁴ + 5⁴ 에서 유추할 수 있다.

페르마는 오일러가 증명한 인수 형식을 알고 있었을 가능성이 있지만, 간단한 계산을 수행하여 인수를 찾지 못한 것은 계산 실수^[2] 때문으로 추정된다.

''F''₀, ..., ''F''₄는 쉽게 소수임을 확인할 수 있지만, ''F''₅ 이후는 (17세기 당시의 계산 기술로는) 상당히 큰 수이며 작은 소인수를 포함하지 않아 페르마가 추측의 오류를 발견하기 어려웠다.

3. 성질

페르마 소수는 홀수 소수 ''p''에 대해 두 개의 ''p'' 거듭제곱의 차로 표현될 수 없다.
''F''₀와 ''F''₁을 제외하고, 페르마 수의 마지막 십진수는 7이다.
모든 페르마 수의 역수의 합은 무리수이다. (1963년 솔로몬 W. 골롬)^[5]

페팽의 검사법은 ''n'' > 0에 대해

F_n=2^{2^n}+1

을 ''n''번째 페르마 수라고 할 때,

F_n

이 소수일 필요충분조건은

3^{(F_n-1)/2}\equiv-1\pmod{F_n}

이다.

3^{(F_n-1)/2}

식은 반복 제곱을 사용하여

F_n

을 모듈로 계산할 수 있으며, 이로 인해 검사법은 빠른 다항 시간 알고리즘이 된다. 하지만 페르마 수는 매우 빠르게 증가하므로, 합리적인 시간과 공간 내에서 소수의 페르마 수만 검사할 수 있다.

페르마 수의 약수와 같은 형태의 숫자

k\times2^m+1

의 소수성을 검사하는 방법으로 프로스 정리가 있다. 홀수

k < 2^m

에 대해

N = k\times2^m + 1

이라고 할 때, 만약

a^{(N-1)/2} \equiv -1\pmod{N}

를 만족하는 정수 ''a''가 존재한다면

N

은 소수이다.

N = F_n > 3

이면, 야코비 기호는

a = 3

에 대해 항상 −1과 같으며, 프로스 정리의 이 특수한 경우는 페팽의 검사법으로 알려져 있다.

페팽의 검사는 페르마 수의 소수성에 대한 필요충분조건을 제공하며, 현대 컴퓨터로 구현할 수 있다.

3. 1. 기본 성질

페르마 수는 다음 점화 관계를 만족한다.

:

F_n = (F_{n-1} - 1)^2 + 1

:

F_n = F_0 \cdots F_{n-1} + 2

:(''n'' ≥ 1)

:

F_n = F_{n-1} + 2^{2^{n-1}}F_0 \cdots F_{n-2}

:

F_n = F_{n-1}^2 - 2(F_{n-2} - 1)^2

:(''n'' ≥ 2)

위 식들은 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다. 두 번째 식으로부터 골드바흐의 정리를 추론할 수 있는데, 이는 서로 다른 두 페르마 수는 서로소라는 것이다.

''F''₀와 ''F''₁을 제외한 모든 페르마 수의 일의 자리 숫자는 7이다.

모든 페르마 수의 역수의 합은 무리수이다. (솔로몬 W. 골롬, 1963)^[5]

페르마 수는 모두 홀수이므로, 위에서 제시된 네 번째 점화식으로부터 서로 다른 두 페르마 수는 서로소임을 알 수 있다.

페르마 수는 다음의 합동식을 만족한다.

''n'' ≥ 2 이면, $F_n \equiv 17 \ or \ 41 \pmod{72}$
''n'' ≥ 2 이면, $F_n \equiv 17, 37, 57 \ or \ 97 \pmod{100}$

2^{m} + 1

(

m

≥ 2) 형태의 소수는 페르마 수이다. 일반적으로,

a^{m} + 1

(

a

≥ 2) 가 소수이면,

a

는 짝수이고

m

은 2의 거듭제곱이다.

3. 2. 소수성

2^''n'' + 1 꼴의 수가 소수라면 ''n''은 반드시 2의 거듭제곱이어야 한다. 따라서 2^''n'' + 1 꼴의 소수는 모두 페르마 수가 된다. 이러한 소수를 '''페르마 소수'''라고 한다. 현재까지 알려진 페르마 소수는 ''F''₀, ''F''₁, ''F''₂, ''F''₃, ''F''₄ 뿐이다. 어떤 수가 페르마 소수인지 확인할 때에는 페팽 소수판별법이 많이 쓰인다.^[2]

''n'' > 4인 페르마 소수는 아직 알려져 있지 않다.

소수 정리에 따르면, ''N'' 주변의 적절한 구간 내의 임의의 정수가 소수일 확률은 1/ln ''N''이다. 페르마 수가 크기가 같은 임의의 정수와 같은 확률로 소수이고, ''F''₅, ..., ''F''₃₂가 합성수라는 점을 이용하면, ''F''₄ 이후의 페르마 소수의 예상 개수는 다음과 같이 추정할 수 있다.

:

\sum_{n \ge 33} \frac{1}{\ln F_{n}} < \frac{1}{\ln 2} \sum_{n \ge 33} \frac{1}{\log_2(2^{2^n})} = \frac{1}{\ln 2} 2^{-32} < 3.36 \times 10^{-10}.

이는 ''F''₄ 이후의 페르마 소수가 존재할 확률의 상한으로 해석할 수 있다.

이 주장은 엄밀한 증명은 아니다. 페르마 수가 "무작위"로 행동한다고 가정하지만, 페르마 수의 인수에는 특별한 속성이 있기 때문이다. Boklan과 콘웨이는 또 다른 페르마 소수가 있을 확률이 10억 분의 1 미만임을 시사하는 보다 정밀한 분석을 발표했다.^[5]

F_n=2^{2^n}+1

을 ''n''번째 페르마 수라고 할 때, 페팽의 검사법은 다음과 같다.

:

F_n

이 소수일 필요충분조건은

3^{(F_n-1)/2}\equiv-1\pmod{F_n}

이다.

3^{(F_n-1)/2}

식은 반복 제곱을 사용하여

F_n

을 모듈로 계산할 수 있다. 이로 인해 페팽의 검사법은 빠른 다항 시간 알고리즘이 된다. 하지만 페르마 수는 매우 빠르게 증가하므로, 합리적인 시간과 공간 내에서는 소수의 페르마 수만 검사할 수 있다.

페르마 수의 약수와 같은 형태의 숫자

k\times2^m+1

의 소수성을 검사하는 방법으로 프로스 정리가 있다.

:'''프로스 정리''' (1878). 홀수

k < 2^m

에 대해

N = k\times2^m + 1

이라고 하자. 만약 다음 조건을 만족하는 정수 ''a''가 존재한다면

::

a^{(N-1)/2} \equiv -1\pmod{N}

:그렇다면

N

은 소수이다. 반대로, 위의 합동식이 성립하지 않고,

::

\left(\frac{a}{N}\right)=-1

(야코비 기호 참조)

:이라면

N

은 합성수이다.

만약

N = F_n > 3

이면, 위의 야코비 기호는

a = 3

에 대해 항상 −1과 같으며, 프로스 정리의 이 특수한 경우는 페팽의 검사법으로 알려져 있다. 페팽의 검사법과 프로스 정리는 일부 페르마 수의 합성수를 증명하기 위해 컴퓨터에서 구현되었지만, 두 검사법 모두 특정한 비자명 약수를 제공하지는 않는다. 실제로,

F_{20}

과

F_{24}

에 대한 특정한 소인수는 알려져 있지 않다.

페르마 수의 크기 때문에 소인수분해하거나 소수임을 확인하는 것조차 어렵다. 페팽의 검사는 페르마 수의 소수성에 대한 필요충분조건을 제공하며, 현대 컴퓨터로 구현할 수 있다.

3. 3. 소인수 분해

페르마 수의 크기 때문에 소인수분해를 하거나 소수인지 판별하는 것은 매우 어렵다. 에두아르 뤼카는 1878년에 n ≥ 2 일 때 페르마 수

F_n

의 모든 인수가

k\times2^{n+2}+1

의 형태를 갖는다는 것을 증명했다(프로스 수 참고).

처음 12개의 페르마 수의 소인수 분해는 다음과 같다.

F₀	2¹ + 1	3 (소수)
F₁	2² + 1	5 (소수)
F₂	2⁴ + 1	17 (소수)
F₃	2⁸ + 1	257 (소수)
F₄	2¹⁶ + 1	65,537 (알려진 가장 큰 페르마 소수)
F₅	2³² + 1	4,294,967,297 = 641 × 6,700,417 (1732년 완전 소인수 분해^[7])
F₆	2⁶⁴ + 1	18,446,744,073,709,551,617 (20자리) = 274,177 × 67,280,421,310,721 (1855년 완전 소인수 분해)
F₇	2¹²⁸ + 1	340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457 (39자리) = 59,649,589,127,497,217 × 5,704,689,200,685,129,054,721 (1970년 완전 소인수 분해)
F₈	2²⁵⁶ + 1	115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,937 (78자리) = 1,238,926,361,552,897 × 93,461,639,715,357,977,769,163,558,199,606,896,584,051,237,541,638,188,580,280,321 (1980년 완전 소인수 분해)
F₉	2⁵¹² + 1	13,407,807,929,942,597,099,574,024,998,205,846,127,479,365,820,592,393,377,723,561,443,721,764,030,073,546,976,801,874,298,166,903,427,690,031,858,186,486,050,853,753,882,811,946,569,946,433,649,006,084,097 (155자리) = 2,424,833 × 7,455,602,825,647,884,208,337,395,736,200,454,918,783,366,342,657 × 741,640,062,627,530,801,524,787,141,901,937,474,059,940,781,097,519,023,905,821,316,144,415,759,504,705,008,092,818,711,693,940,737 (1990년 완전 소인수 분해)
F₁₀	2¹⁰²⁴ + 1	179,769,313,486,231,590,772,930...304,835,356,329,624,224,137,217 (309자리) = 45,592,577 × 6,487,031,809 × 4,659,775,785,220,018,543,264,560,743,076,778,192,897 × 130,439,874,405,488,189,727,484...806,217,820,753,127,014,424,577 (1995년 완전 소인수 분해)
F₁₁	2²⁰⁴⁸ + 1	32,317,006,071,311,007,300,714,8...193,555,853,611,059,596,230,657 (617자리) = 319,489 × 974,849 × 167,988,556,341,760,475,137 × 3,560,841,906,445,833,920,513 × 173,462,447,179,147,555,430,258...491,382,441,723,306,598,834,177 (1988년 완전 소인수 분해)

현재 ''F''₀에서 ''F''₁₁까지만 완전히 인수분해되었다.^[9] 분산 컴퓨팅 프로젝트인 Fermat Search는 페르마 수의 새로운 인수를 찾고 있다.^[8]

1950년 이전까지 알려진 페르마 수의 인수는 다음과 같다.

연도	발견자	페르마 수	인수
1732	오일러	$F_5$	$5 \cdot 2^7 + 1$
1732	오일러	$F_5$ (완전 소인수 분해)	$52347 \cdot 2^7 + 1$
1855	클라우젠	$F_6$	$1071 \cdot 2^8 + 1$
1855	클라우젠	$F_6$ (완전 소인수 분해)	$262814145745 \cdot 2^8 + 1$
1877	페르부신	$F_{12}$	$7 \cdot 2^{14} + 1$
1878	페르부신	$F_{23}$	$5 \cdot 2^{25} + 1$
1886	젤호프	$F_{36}$	$5 \cdot 2^{39} + 1$
1899	커닝엄	$F_{11}$	$39 \cdot 2^{13} + 1$
1899	커닝엄	$F_{11}$	$119 \cdot 2^{13} + 1$
1903	웨스턴	$F_9$	$37 \cdot 2^{16} + 1$
1903	웨스턴	$F_{12}$	$397 \cdot 2^{16} + 1$
1903	웨스턴	$F_{12}$	$973 \cdot 2^{16} + 1$
1903	웨스턴	$F_{18}$	$13 \cdot 2^{20} + 1$
1903	컬린	$F_{38}$	$3 \cdot 2^{41} + 1$
1906	모어헤드	$F_{73}$	$5 \cdot 2^{75} + 1$
1925	크라이칙	$F_{15}$	$579 \cdot 2^{21} + 1$

알려진 가장 큰 합성 페르마 수는 ''F''_18233954이며, 그 소인수 7 × 2^18233956 + 1은 2020년 10월에 발견되었다.

3. 3. 1. 소수성 상태

n^영어 > 4인 페르마 소수는 아직 알려져 있지 않다. 그밖에도 다음과 같은 의문은 해결되지 않고 있다.

n^영어 > 4인 ''F_n''이 모두 합성수인가?
페르마 소수가 무한히 많은가?
합성수인 페르마 수가 무한히 많은가?

5 ≤ ''n'' ≤ 32 사이의 모든 ''F''_n은 합성수라는 것이 밝혀졌다. 이 중 5 ≤ ''n'' ≤ 11 사이의 수만이 완전한 소인수분해가 구해져 있다.

페르마 수 F_n 에 대하여 현재의 소수성 상태는 아래 표와 같다.^[29]

F_n의 특성	n
소수	0, 1, 2, 3, 4
완전히 소인수분해 됨	5, 6, 7, 8 (각각 2개의 소인수), 9 (소인수 3개), 10 (소인수 4개), 11 (소인수 5개)
6개의 소인수가 알려짐	12
4개의 소인수가 알려짐	13
3개의 소인수가 알려짐	15, 19, 25, 52, 287
2개의 소인수가 알려짐	16, 17, 18, 27, 30, 36, 38, 39, 42, 77, 147, 150, 251, 284, 416, 417
오직 1개의 소인수가 알려짐	14, 21, 22, 23, 26, 28, 29, 31, 32, 37, 40, 43, ...(280개)... 18233954
합성수임은 확인되었으나 소인수를 모름	20, 24
소수인지 합성수인지 모름	33, 34, 35, 41, 44, 45, 46, 47, 49, 50, ...

4. 작도 가능한 정다각형과의 관계

카를 프리드리히 가우스는 정다각형의 작도 가능성에 대한 충분 조건을 공식화했고, 피에르 방첼이 1837년에 필요 조건에 대한 완전한 증명을 제시했다. 그 결과는 '''가우스-방첼 정리'''로 알려져 있다.

: ''n''개의 변을 가진 정다각형은 ''n''이 2의 거듭제곱이거나 2의 거듭제곱과 서로 다른 페르마 소수의 곱일 때, 즉 자(定規)와 컴퍼스로 작도할 수 있다. 여기서 ''k'', ''s''는 음이 아닌 정수이고 ''p''_''i''는 서로 다른 페르마 소수이다.

양의 정수 ''n''이 위의 형태를 갖는 것은 오일러 피 함수 ''φ''(''n'')이 2의 거듭제곱일 때와 동치이다.

1000개 이하의 변(굵은 글씨) 또는 홀수 변 개수를 가진 알려진 작도 가능한 다각형의 변의 수

5. 일반화된 페르마 수

숫자 $n$ $a$ $F_n(a)$ 가 소수인
숫자 $n$ $a$ $F_n(a)$ 가 소수인
숫자 $n$ $a$ $F_n(a)$ 가 소수인
숫자 $n$ 20, 1, 2, 3, 4, ...180, ...342, ...50...30, 1, 2, 4, 5, 6, ...191, ...351, 2, 6, ...511, 3, 6, ...40, 1, 2, 3, ...201, 2, ...360, 1, ...520, ...50, 1, 2, ...210, 2, 5, ...370, ...533, ...60, 1, 2, ...220, ...38...541, 2, 5, ...72, ...232, ...391, 2, ...55...8(없음)241, 2, ...400, 1, ...561, 2, ...90, 1, 3, 4, 5, ...250, 1, ...414, ...570, 2, ...100, 1, ...261, ...420, ...580, ...111, 2, ...27(없음)433, ...591, ...120, ...280, 2, ...444, ...600, ...130, 2, 3, ...291, 2, 4, ...450, 1, ...610, 1, 2, ...141, ...300, 5, ...460, 2, 9, ...62...151, ...31...473, ...63...160, 1, 2, ...32(없음)482, ...64(없음)

$n$	$F_n(a)$ 가 소수인 밑 a^영어 (짝수 a^영어만 고려)	OEIS 수열
0	2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, ...	A006093
1	2, 4, 6, 10, 14, 16, 20, 24, 26, 36, 40, 54, 56, 66, 74, 84, 90, 94, 110, 116, 120, 124, 126, 130, 134, 146, 150, 156, 160, 170, 176, 180, 184, ...	A005574
2	2, 4, 6, 16, 20, 24, 28, 34, 46, 48, 54, 56, 74, 80, 82, 88, 90, 106, 118, 132, 140, 142, 154, 160, 164, 174, 180, 194, 198, 204, 210, 220, 228, ...	A000068
3	2, 4, 118, 132, 140, 152, 208, 240, 242, 288, 290, 306, 378, 392, 426, 434, 442, 508, 510, 540, 542, 562, 596, 610, 664, 680, 682, 732, 782, ...	A006314
4	2, 44, 74, 76, 94, 156, 158, 176, 188, 198, 248, 288, 306, 318, 330, 348, 370, 382, 396, 452, 456, 470, 474, 476, 478, 560, 568, 598, 642, ...	A006313
5	30, 54, 96, 112, 114, 132, 156, 332, 342, 360, 376, 428, 430, 432, 448, 562, 588, 726, 738, 804, 850, 884, 1068, 1142, 1198, 1306, 1540, 1568, ...	A006315
6	102, 162, 274, 300, 412, 562, 592, 728, 1084, 1094, 1108, 1120, 1200, 1558, 1566, 1630, 1804, 1876, 2094, 2162, 2164, 2238, 2336, 2388, ...	A006316
7	120, 190, 234, 506, 532, 548, 960, 1738, 1786, 2884, 3000, 3420, 3476, 3658, 4258, 5788, 6080, 6562, 6750, 7692, 8296, 9108, 9356, 9582, ...	A056994
8	278, 614, 892, 898, 1348, 1494, 1574, 1938, 2116, 2122, 2278, 2762, 3434, 4094, 4204, 4728, 5712, 5744, 6066, 6508, 6930, 7022, 7332, ...	A056995
9	46, 1036, 1318, 1342, 2472, 2926, 3154, 3878, 4386, 4464, 4474, 4482, 4616, 4688, 5374, 5698, 5716, 5770, 6268, 6386, 6682, 7388, 7992, ...	A057465
10	824, 1476, 1632, 2462, 2484, 2520, 3064, 3402, 3820, 4026, 6640, 7026, 7158, 9070, 12202, 12548, 12994, 13042, 15358, 17646, 17670, ...	A057002
11	150, 2558, 4650, 4772, 11272, 13236, 15048, 23302, 26946, 29504, 31614, 33308, 35054, 36702, 37062, 39020, 39056, 43738, 44174, 45654, ...	A088361
12	1534, 7316, 17582, 18224, 28234, 34954, 41336, 48824, 51558, 51914, 57394, 61686, 62060, 89762, 96632, 98242, 100540, 101578, 109696, ...	A088362
13	30406, 71852, 85654, 111850, 126308, 134492, 144642, 147942, 150152, 165894, 176206, 180924, 201170, 212724, 222764, 225174, 241600, ...	A226528
14	67234, 101830, 114024, 133858, 162192, 165306, 210714, 216968, 229310, 232798, 422666, 426690, 449732, 462470, 468144, 498904, 506664, ...	A226529
15	70906, 167176, 204462, 249830, 321164, 330716, 332554, 429370, 499310, 524552, 553602, 743788, 825324, 831648, 855124, 999236, 1041870, ...	A226530
16	48594, 108368, 141146, 189590, 255694, 291726, 292550, 357868, 440846, 544118, 549868, 671600, 843832, 857678, 1024390, 1057476, 1087540, ...	A251597
17	62722, 130816, 228188, 386892, 572186, 689186, 909548, 1063730, 1176694, 1361244, 1372930, 1560730, 1660830, 1717162, 1722230, 1766192, ...	A253854
18	24518, 40734, 145310, 361658, 525094, 676754, 773620, 1415198, 1488256, 1615588, 1828858, 2042774, 2514168, 2611294, 2676404, 3060772, ...	A244150
19	75898, 341112, 356926, 475856, 1880370, 2061748, 2312092, 2733014, 2788032, 2877652, 2985036, 3214654, 3638450, 4896418, 5897794, ...	A243959
20	919444, 1059094, 1951734, 1963736, ...	A321323