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회문 소수

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1. 개요

회문 소수는 회문이면서 소수인 정수이다. 짝수 자릿수를 갖는 10진 회문 소수는 11뿐이며, 현재까지 알려진 가장 큰 회문 소수와 삼중 회문 소수 등이 존재한다. 2진법에서 메르센 소수와 페르마 소수는 회문 소수에 포함되며, 벨페고르 소수와 같은 특수한 형태의 회문 소수도 있다. 회문 소수가 무한히 존재하는지는 아직 밝혀지지 않았다.

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회문 소수
정의
설명십진법 전개에서 회문인 소수
수열 정보
종류무한 수열
처음 몇 개의 항2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151
가장 큰 알려진 항101888529 - 10944264 - 1
OEISA002385
OEIS 이름회문 소수: 십진법 전개가 회문인 소수

2. 특징

짝수 자릿수를 갖는 10진 회문 소수는 11뿐이다. 이는 짝수 자릿수를 갖는 회문수는 11의 배수가 되기 때문이다.[6] 2007년에 발견된 10180004 + 248797842 + 1는 현재까지 알려진 가장 큰 회문 소수이다. 2021년 8월에 발견된 10490000 + 3 · (107383 - 1)/9 · 10241309 + 1도 매우 큰 회문 소수이다.[6] 소수가 되는 레피유닛(1이 연속된 수)은 회문 소수이다. 회문 소수가 무한히 존재하는지는 아직 밝혀지지 않았다.

3. 다양한 진법에서의 회문 소수

이진법에서 회문 소수에는 메르센 소수와 페르마 소수가 포함된다. 2진법 회문 소수는 2진수 11(10진수 3)을 제외하고 모두 홀수 자릿수를 갖는다. 짝수 자릿수를 가진 회문은 3으로 나누어 떨어진다. 2진 회문 소수의 정수열은 (2진수로) 11, 101, 111, 10001, 11111, 1001001, 1101011, 1111111, 100000001, ... (OEIS A117697) 순으로 이어진다.[6]

십진법 이외에, 이진법에서의 회문 소수를 작은 순서대로 나열하면 (괄호 안은 10진법으로 변환) 다음과 같다.

: 11 (3), 101 (5), 111 (7), 10001 (17), 11111 (31), 1001001 (73), 1101011 (107), 1111111 (127), 100000001 (257), 100111001 (313), 110111011 (443), … (1193, 1453, 1571, 1619, 1787, 1831, 1879, 4889, 5113, 5189[7], 5557, 5869, 5981, 6211, 6827, 7607, 7759, 7919, 8191, 17377, 18097, 18289, 19433, 19609, 19801, 21157, 22541, 22669, 22861, 23581), 101110111011101 (24029[8])

4. 벨페고르 소수

미신적인 의미 때문에, 회문 소수인 1000000000000066600000000000001은 벨페고르의 이름을 따서 벨페고르 소수로 알려져 있다. 벨페고르 소수는 양쪽에 13개의 0과 1로 둘러싸인 숫자 666으로 구성되어 있다. 벨페고르 소수는 소수 ''p''가 가운데 666을 가지고 회문인 '''짐승 회문 소수'''의 한 예이다. 또 다른 짐승 회문 소수는 700666007이다.[4]

5. 삼중 회문 소수

리벤보임은 '''삼중 회문 소수'''를 다음과 같은 소수 ''p''로 정의한다. ''p''는 ''q''개의 숫자를 가진 회문 소수이며, 여기서 ''q''는 ''r''개의 숫자를 가진 회문 소수이고, ''r'' 또한 회문 소수이다.[5] 예를 들어, ''p'' = 1011310 + 4661664e|e영어5652 + 1은 ''q'' = 11311개의 숫자를 가지며, 11311은 ''r'' = 5개의 숫자를 갖는다. (10진법) 삼중 회문 소수의 첫 번째 예는 11자리 수인 10000500001이다. 10진법에서 삼중 회문 소수는 2진법과 같은 다른 진법에서도 회문일 수 있지만, 그 진법에서도 삼중 회문 소수라면 매우 놀라운 일이 될 것이다.

참조

[1] 웹사이트 World of Palindromic Primes https://www.worldofn[...] 2023-04-01
[2] 논문 Almost all palindromes are composite
[3] 웹사이트 The Top Twenty: Palindrome http://primes.utm.ed[...]
[4] 뉴스 The Pursuit of Beauty http://www.newyorker[...] CreateSpace 2015-02-02
[5] 서적 The New Book of Prime Number Records
[6] 웹사이트 The Top Twenty: Palindrome http://primes.utm.ed[...]
[7] OEIS2C
[8] OEIS2C



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