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J-불변량

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목차

1. 개요

J-불변량은 상반 평면에서 정의되는 함수로, 타원 곡선의 동형 사상 클래스를 분류하는 데 사용된다. 이 함수는 아이젠슈타인 급수를 통해 정의되며, 모듈러 군의 작용에 대해 불변성을 갖는다. J-불변량은 모듈러 람다 함수, 세타 함수 등 다양한 방식으로 표현 가능하며, 특수한 τ 값에 대해 대수적인 값들을 갖는다. 또한, 푸리에 급수 전개와 괴물군과의 관계인 몬스트러스 문샤인 현상으로도 유명하다. J-불변량은 타원 곡선의 분류, 초월성 연구, 그리고 파이(π)의 근사값 계산 등 다양한 수학적 분야에서 활용된다.

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J-불변량
개요
분야수학
하위 분야수론, 복소해석학
정의𝑗(𝜏) = 1728 (g₂²(𝜏))/(g₂²(𝜏) − 27g₃²(𝜏))
다른 이름j 함수, 절대 불변량
특징
군SL(2, Z)의 작용에 불변
치역복소수 전체
특이점무한대에서 극점
푸리에 급수q⁻¹ + 744 + 196884q + 21493760q² + 864299970q³ + 20245856256q⁴ + 333202640600q⁵ + 4252023300096q⁶ + 44656994071935q⁷ + 401490886656000q⁸ + ...
관련 개념타원 곡선, 모듈러 형식

2. 정의

상반평면 \mathbb H = \{\tau \in \mathbb C, \operatorname{Im}(\tau) > 0\}에 정의된 복소함수이다. j-불변량은 상반평면 위의 각 점 \tau에 대응되는 타원 곡선의 동형류를 분류하는 중요한 역할을 한다.

상반평면의 점 \tau에 대해, 아이젠슈타인 급수와 관련된 두 함수 g_2(\tau)와 g_3(\tau)를 이용하여 다음과 같이 정의된다.

:j(\tau)=1728\frac{g_2(\tau)^3}{g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)^2}

여기서 분모 \Delta(\tau) = g_2(\tau)^3 - 27g_3(\tau)^2는 모듈러 판별식이라고 불린다. 상수 1728은 12^3이다. 일부 문헌에서는 j(\tau) 대신 J(\tau)=j(\tau)/1728을 사용하기도 한다.

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j-불변량의 정의는 타원 곡선 이론에서 비롯된 동기를 갖는다. 복소수체 \mathbb C 위의 모든 타원 곡선은 복소 토러스 \mathbb C / \Lambda (여기서 \Lambda는 2차원 격자)와 동형이다. 이 격자는 적절한 회전과 크기 조정을 통해 1과 상반평면의 원소 \tau \in \mathbb H로 생성되는 격자 \mathbb Z + \mathbb Z\tau와 동형이 되도록 만들 수 있다. 이 격자에 대응하는 타원 곡선은 바이어슈트라스 타원 함수를 사용하여 특정 방정식으로 나타낼 수 있으며, 이때 j(\tau)는 해당 타원 곡선의 동형류를 유일하게 결정하는 불변량이다. 즉, 두 타원 곡선이 동형일 필요충분조건은 그에 대응하는 j-불변량 값이 같은 것이다.

j-불변량은 가중치 0인 모듈러 함수이며, 특히 모듈러 군 \mathrm{SL}(2, \mathbb Z)의 작용에 대해 불변이다. 모듈러 판별식 \Delta(\tau)는 상반평면에서 0이 아니므로, j-불변량은 상반평면 전체에서 잘 정의된 정칙 함수이다.

2. 1. 아이젠슈타인 급수를 이용한 정의

상반평면 \mathbb H에 속하는 복소수 \tau에 대하여, 두 아이젠슈타인 급수 g_2(\tau)와 g_3(\tau)는 다음과 같이 정의된다.

:g_2(\tau)=60\sum_{(m,n)\ne(0,0)}(m+n\tau)^{-4}

:g_3(\tau)=140\sum_{(m,n)\ne(0,0)}(m+n\tau)^{-6}

여기서 (m, n)은 (0, 0)이 아닌 모든 정수 쌍을 나타낸다.

이 두 함수를 이용하여 '''j-불변량''' j(\tau)는 다음과 같이 정의된다.

:j(\tau)=1728\frac{g_2(\tau)^3}{g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)^2}

분모 \Delta(\tau) = g_2(\tau)^3 - 27g_3(\tau)^2는 모듈러 판별식이라고 불린다. 따라서 j-불변량은 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:j(\tau) = 1728 \frac{g_2(\tau)^3}{\Delta(\tau)}

모듈러 판별식 \Delta(\tau)는 데데킨트 에타 함수 \eta(\tau)를 사용하여 \Delta(\tau) = (2\pi)^{12}\,\eta^{24}(\tau)로도 나타낼 수 있으므로, j-불변량은 다음과 같이 표현되기도 한다.

:j(\tau) = 1728 \frac{g_2(\tau)^3}{(2\pi)^{12}\,\eta^{24}(\tau)}

상수 1728은 12^3과 같다. 일부 문헌에서는 j(\tau) 대신 J(\tau)=j(\tau)/1728을 사용하기도 한다.

g_2(\tau)와 g_3(\tau)는 정규화된 아이젠슈타인 급수 E_4(\tau)와 E_6(\tau)를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

:g_2(\tau) = \frac{4\pi^4}{3} E_4(\tau)

:g_3(\tau) = \frac{8\pi^6}{27} E_6(\tau)

여기서 E_4(\tau)와 E_6(\tau)는 다음과 같은 푸리에 급수를 갖는다.

:E_4(\tau)= 1+ 240\sum_{n=1}^\infty \frac{n^3 q^n}{1-q^n}

:E_6(\tau)= 1- 504\sum_{n=1}^\infty \frac{n^5 q^n}{1-q^n}

이때 q=e^{2\pi i \tau}는 노메의 제곱이다. 이를 이용하여 j-불변량을 E_4(\tau)와 E_6(\tau)로 직접 표현하면 다음과 같다.[1]

:j(\tau) = 1728 \frac{E_4(\tau)^3}{E_4(\tau)^3 - E_6(\tau)^2}

또한 모듈러 판별식은 다음과 같이 표현된다.

:\Delta(\tau) = (2\pi)^{12}\,\frac{E_4(\tau)^3 - E_6(\tau)^2}{1728}

j-불변량은 상반평면 \mathbb H = \{\tau \in \mathbb C, \operatorname{Im}(\tau) > 0\}에서 정의된 함수이다. 이 함수는 실수 축에서 자연 경계를 가지므로 상반평면 외부로 해석적 연속을 통해 확장될 수 없다.

j-불변량의 정의는 타원 곡선의 동형류와 관련하여 이해할 수 있다. 복소수체 \mathbb C 위의 모든 타원 곡선 E는 복소 토러스로 볼 수 있으며, 이는 \mathbb C 안의 2차원 격자 \Lambda = \{m\omega_1 + n\omega_2 \mid m, n \in \mathbb Z\} (여기서 \omega_1, \omega_2는 \mathbb R-선형독립인 복소수)에 의한 몫공간 \mathbb C / \Lambda와 동형이다. 격자는 회전과 크기 조정을 통해 (이는 타원 곡선의 동형류를 보존한다) 1과 상반평면의 원소 \tau \in \mathbb H에 의해 생성되도록 정규화할 수 있다 (\Lambda = \mathbb Z + \mathbb Z\tau). 이 격자에 대응하는 타원 곡선은 바이어슈트라스 타원 함수를 이용하여 y^2 = 4x^3 - g_2(\tau)x - g_3(\tau) 형태로 나타낼 수 있다. 이때 j(\tau)는 이 타원 곡선의 불변량이 된다. 즉, j(\tau_1) = j(\tau_2)일 필요충분조건은 \mathbb Z + \mathbb Z\tau_1 격자와 \mathbb Z + \mathbb Z\tau_2 격자에 대응하는 타원 곡선이 서로 동형인 것이다.

g_2는 가중치 4인 모듈러 형식이고 g_3는 가중치 6인 모듈러 형식이다. 따라서 g_2^3과 g_3^2는 모두 가중치 12인 모듈러 형식이 되며, 모듈러 판별식 \Delta = g_2^3 - 27g_3^2 역시 가중치 12인 모듈러 형식이 된다. j-불변량은 가중치 12인 두 모듈러 형식의 비에 상수를 곱한 형태이므로, 가중치 0인 모듈러 함수이다. 특히, j 함수는 모듈러 군 \mathrm{SL}(2, \mathbb Z)의 작용에 대해 불변이다. 즉, a, b, c, d가 ad-bc=1인 정수일 때, 모든 \tau \in \mathbb H에 대해 j\left(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\right) = j(\tau)가 성립한다.

모듈러 판별식 \Delta(\tau)는 상반평면 \mathbb H에서 0이 되지 않으므로, j-불변량은 상반평면 전체에서 잘 정의된 정칙 함수이다.

2. 2. 모듈러 판별식을 이용한 정의

상반평면 \mathbb H에 정의된 모듈러 판별식 \Delta(\tau)를 이용하여 J-불변량 j(\tau)를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:j(\tau) = 1728 \frac{g_2(\tau)^3}{\Delta(\tau)}

여기서 g_2(\tau)는 아이젠슈타인 급수와 관련된 함수이며, \Delta(\tau)는 모듈러 판별식이다. 모듈러 판별식은 다음과 같이 정의된다.

:\Delta(\tau) = g_2(\tau)^3 - 27g_3(\tau)^2

g_2(\tau)와 g_3(\tau)는 다음과 같이 정의되는 함수이다.

:g_2(\tau) = 60G_4(\tau) = 60\sum_{(m,n) \neq (0,0)} \left(m + n\tau\right)^{-4}

:g_3(\tau) = 140G_6(\tau) = 140\sum_{(m,n) \neq (0,0)} \left(m + n\tau\right)^{-6}

여기서 G_4(\tau), G_6(\tau)는 아이젠슈타인 급수이다.

모듈러 판별식은 데데킨트 에타 함수 \eta(\tau)를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

:\Delta(\tau) = (2\pi)^{12}\,\eta^{24}(\tau)

따라서 j(\tau)는 다음과 같이 여러 형태로 표현될 수 있다.

:j(\tau) = 1728 \frac{g_2(\tau)^3}{g_2(\tau)^3 - 27g_3(\tau)^2} = 1728 \frac{g_2(\tau)^3}{(2\pi)^{12}\,\eta^{24}(\tau)}

또한, j-불변량은 아이젠슈타인 급수 E_4(\tau)와 E_6(\tau)를 이용하여 직접 표현할 수도 있다.[1]

:j(\tau) = 1728 \frac{E_4(\tau)^3}{E_4(\tau)^3 - E_6(\tau)^2}

이때 E_4(\tau)와 E_6(\tau)는 다음과 같다.

:\begin{align}

E_4(\tau)&= 1+ 240\sum_{n=1}^\infty \frac{n^3 q^n}{1-q^n} \\

E_6(\tau)&= 1- 504\sum_{n=1}^\infty \frac{n^5 q^n}{1-q^n}

\end{align}

여기서 q=e^{2\pi i \tau}는 노메의 제곱이다.

모듈러 판별식 \Delta(\tau) 역시 E_4(\tau)와 E_6(\tau)를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.[1]

:\Delta(\tau) = (2\pi)^{12}\,\frac{E_4(\tau)^3 - E_6(\tau)^2}{1728}

\Delta(\tau)는 가중치 12인 모듈러 형식이고, g_2(\tau)는 가중치 4인 모듈러 형식이므로 g_2(\tau)^3은 가중치 12이다. 따라서 이들의 비율인 j(\tau)는 가중치 0인 모듈러 함수이며, 특히 모듈러 군 SL(2, '''Z''')의 작용 하에서 불변인 상반평면에서 복소수로 가는 유리형 함수이다.

3. 기본 영역

(이는 사영 특수 선형군 PSL(2, '''Z''')와 동형이다)의 작용에 대해 불변인 무게 0의 모듈라 함수이다. 즉, 상반평면 '''H''' 위의 점 ''τ''에 대해, 모듈라 군에 속하는 변환

: \tau \mapsto \frac{a\tau + b}{c\tau +d}, \qquad ad-bc =1,

을 적용해도 J-불변량의 값 ''j''(''τ'')는 변하지 않는다.

이러한 변환을 적절히 선택하면, 상반평면 위의 임의의 점 ''τ''를 기본 영역(fundamental domain영어)이라고 불리는 특정 영역 안의 점으로 옮길 수 있으며, 이 점은 원래 점과 동일한 J-불변량 값을 가진다. 일반적으로 사용되는 기본 영역은 다음 조건을 만족하는 ''τ'' 값들의 집합이다.

:\begin{align}

|\tau| &\ge 1 \\[5pt]


  • \tfrac{1}{2} &< \mathfrak{R}(\tau) \le \tfrac{1}{2} \\[5pt]
  • \tfrac{1}{2} &< \mathfrak{R}(\tau) < 0 \Rightarrow |\tau| > 1

\end{align}

여기서 는 ''τ''의 실수부를 나타낸다.

함수 ''j''(''τ'')를 이 기본 영역으로 제한하면, 복소수 '''C''' 전체의 값을 정확히 한 번씩 가진다. 즉, 복소평면 '''C''' 위의 어떤 값 ''c''에 대해서도, ''c'' = ''j''(''τ'')를 만족하는 ''τ''가 기본 영역 안에 유일하게 존재한다. 따라서 J-불변량은 기본 영역을 전체 복소 평면에 일대일로 대응시키는 성질을 갖는다.[2]

리만 곡면으로서 기본 영역은 종수 0을 가진다. 또한, 모든 (레벨 1) 모듈라 함수는 J-불변량의 유리 함수로 표현될 수 있으며, 반대로 J-불변량의 모든 유리 함수는 모듈라 함수가 된다. 이는 모듈라 함수들이 이루는 체가 '''C'''(''j'')임을 의미한다.

4. 특이 모듈리와 복소수 곱셈

j-불변량은 특정 값에서 주목할 만한 대수적 성질을 가진다. 만약 \tau가 상반평면의 점이고, 해당 타원 곡선이 복소수 곱셈을 갖는 경우 (즉, \tau가 허수 부분이 양수인 허수 이차 수체의 원소인 경우), j(\tau) 값은 대수적 정수가 된다.[3] 이러한 특별한 j(\tau) 값들을 특이 모듈리(singular moduli|영어)라고 부른다.

j-불변량과 관련된 주요 성질은 다음과 같다.


  • 체 확대 Q[*j*(*τ*), *τ*]/Q(*τ*)는 아벨 확대이다. 이는 해당 확대의 갈루아 군이 아벨 군임을 의미한다.
  • Λ를 {1, *τ*}로 생성된 C 안의 격자라고 하자. 이 격자 Λ를 곱셈 연산 하에서 안정시키는 Q(*τ*)의 모든 원소들은 단위원을 갖는 환을 형성하며, 이를 정환(order)이라고 부른다. 동일한 정환을 가지는 다른 생성자 {1, *τ*′}를 갖는 격자는 Q(*τ*) 위에서 *j*(*τ*)의 대수적 켤레인 *j*(*τ*′)를 정의한다. 포함 관계에 따라 정렬했을 때, Q(*τ*) 안의 유일한 최대 정환은 Q(*τ*)의 대수적 정수 환이며, 이 최대 정환을 갖는 *τ* 값들은 Q(*τ*)의 비분기 확대를 유도한다.


이러한 고전적인 결과들은 복소수 곱셈 이론의 중요한 부분을 형성하며 이론의 출발점이 되었다.

4. 1. 헤그너 수와 라마누잔 상수

헤그너 수 d에 대해, j\left(\frac{1+i\sqrt d}{2}\right)의 값은 정수가 되는 특별한 성질이 있다. 예를 들어, 헤그너 수인 7, 11, 19, 43, 67, 163에 대해 \tau = \frac{1+i\sqrt d}{2}를 계산하면, j(\tau) 값은 각각 −153, −323, −963, −9603, −52803, −6403203으로 모두 정수가 된다.

이러한 성질은 j-불변량의 푸리에 급수를 통해 이해할 수 있다. j(\tau)의 푸리에 급수는 다음과 같다.

:j(\tau) = \frac{1}{q} + 744 + 196884 q + \cdots

여기서 q = \exp(2\pi i \tau)이다. 만약 \tau = \frac{1+i\sqrt d}{2} (단, d는 헤그너 수)를 대입하면, q = \exp(2\pi i \frac{1+i\sqrt d}{2}) = \exp(\pi i - \pi\sqrt d) = \exp(\pi i)\exp(-\pi\sqrt d) = -\exp(-\pi\sqrt d)가 된다.

만약 헤그너 수 d가 충분히 크다면, q = -\exp(-\pi\sqrt d)의 절댓값 |\exp(-\pi\sqrt d)|는 0에 매우 가까워진다. 따라서 푸리에 급수에서 q의 고차항들(196884 q 등)은 무시할 수 있을 정도로 작아지며, 다음과 같은 근사식이 성립한다.

:j\left(\frac{1+i\sqrt d}{2}\right) \approx \frac{1}{q} + 744 = \frac{1}{-\exp(-\pi\sqrt d)} + 744 = -\exp(\pi\sqrt d) + 744

그런데 j\left(\frac{1+i\sqrt d}{2}\right)는 이미 정수임이 알려져 있으므로, 위 근사식은 -\exp(\pi\sqrt d) + 744가 정수에 매우 가깝다는 것을 의미한다. 결과적으로 \exp(\pi\sqrt d)는 그 자체로 정수에 매우 가까운 초월수가 된다.

특히 가장 큰 헤그너 수인 d=163을 사용하면, \exp(\pi\sqrt{163}) 값은 다음과 같이 소수점 아래 9가 12번이나 반복될 정도로 정수에 극도로 가깝다.

:e^{\pi \sqrt{163}} = 262\,537\,412\,640\,768\,743.999\,999\,999\,999\,25\cdots

이 수는 인도의 수학자 스리니바사 라마누잔이 발견하였으며, 그의 이름을 따 라마누잔 상수(Ramanujan constant영어)라고 불린다.

5. 푸리에 급수와 몬스트러스 문샤인

j-불변량은 푸리에 급수로 전개할 수 있으며, 이를 q-전개라고도 한다. 이 푸리에 급수의 계수들은 정수이며, 가장 큰 예외적 유한 단순군인 괴물군의 기약 표현 차원과 놀라운 관계를 맺고 있다. 이 관계는 가공할 헛소리(monstrous moonshine|몬스트러스 문샤인영어)라고 불리며, 수학의 여러 분야를 연결하는 중요한 주제이다.

5. 1. 가공할 헛소리 (몬스트러스 문샤인)

j-불변량의 푸리에 급수는 q=\exp(2\pi i\tau)를 사용하여 표현하면 다음과 같다.

:j(\tau) = q^{-1} + 744 + 196884 q + 21493760 q^2 + 864299970 q^3 + 20245856256 q^4 + 333202640600q^5+\cdots

j는 첨점(cusp)에서 단순 극을 가지므로 q-전개에는 q^{-1} 항 아래의 항이 없다. 모든 푸리에 계수는 정수이며, 이는 몇 가지 유사 정수를 생성하는데, 특히 라마누잔 상수가 있다.

:e^{\pi \sqrt{163}} \approx 640320^3 + 744.

q^n의 계수에 대한 점근 공식은 다음과 같으며, 이는 하디-리틀우드 원 방법으로 증명할 수 있다.[4][5]

:\frac{e^{4\pi\sqrt{n}}}{\sqrt{2}\,n^{3/4}}

이 푸리에 급수의 계수들은 가장 큰 예외적 유한 단순군인 괴물군의 기약 표현들의 차원과 놀라운 관계를 맺고 있다. 구체적으로 각 계수는 괴물군의 기약 표현 차원들의 단순한 조합으로 나타난다.

:

\begin{align}

1 & = 1 \\

196884 & = 196883 + 1 \\

21493760 & = 21296876 + 196883 + 1 \\

864299970 & = 842609326 + 21296876 + 2\cdot 196883 + 2\cdot 1 \\

20245856256&=18538750076+2\cdot842609326+21296876+3\cdot196883+3\cdot1\\

&=19360062527+842609326+2\cdot21296876+3\cdot196883+2\cdot1\\

333202640600 & =293553734298+2\cdot 18538750076+3\cdot 842609326+2\cdot 21296876+5\cdot 196883+5\cdot 1\\

& =293553734298+19360062527+ 18538750076+2\cdot 842609326+3\cdot 21296876+5\cdot 196883+4\cdot 1\\

4252023300096 & =3879214937598+293553734298+4\cdot 18538750076+6\cdot842609326+2\cdot21296876+7\cdot196883+7\cdot1 \\

& {}\,\,\, \vdots

\end{align}



이러한 관계를 가공할 헛소리(monstrous moonshine|몬스트러스 문샤인영어)라고 부른다. 여기서 '몬스트러스'(monstrous영어)는 괴물 군(Monster group)에 대한 일종의 말장난이다. 이 놀라운 관계는 1970년대 John McKay|존 매케이영어(1939–)에 의해 처음 발견되었고, 존 호턴 콘웨이가 '몬스트러스 문샤인'이라는 이름을 붙였다. 이 관계는 리처드 보처즈가 리치 격자에 축소화한 보손 끈 이론을 사용하여 설명하였으며, 보처즈는 이 공로로 필즈상을 수상했다.

더욱 주목할 만한 점은, q의 양의 거듭제곱에 해당하는 푸리에 계수들이 '문샤인 모듈'(moonshine module)이라고 불리는 몬스터 군의 무한 차원 차수 대수 표현(구체적으로는 몬스터 정점 대수)의 각 차수 부분 공간(graded piece)의 차원과 일치한다는 것이다. 특히, q^n의 계수는 문샤인 모듈의 차수 n 부분의 차원이 된다. 첫 번째 예로, 차원이 196,884인 그리어스 대수(Griess algebra)는 푸리에 급수의 196884q 항에 해당한다. 존 맥케이가 처음 발견한 이 놀라운 관찰은 문샤인 이론의 시작점이 되었다.

문샤인 추측에 대한 연구는 존 호턴 콘웨이와 Simon P. Norton|사이먼 P. 노턴영어이 종수(genus) 0의 모듈러 함수를 연구하는 방향으로 이어졌다. 존 G. 톰슨은 이러한 함수들 중 다음과 같은 형태로 정규화될 수 있는 것들,

:q^{-1} + {O}(q)

이 유한 개수만 존재한다는 것을 증명했다. 이후 크리스 J. 커민스(Chris J. Cummins)는 그러한 함수가 정확히 6486개 있으며, 그중 616개가 정수 계수를 갖는다는 것을 보였다.[6]

6. 초월성

1937년 테오도어 슈나이더는 \tau가 상반평면의 이차 무리수라면 j(\tau)는 대수적 정수가 된다는 사실을 증명했다. 또한 \tau가 대수적 수이지만 허수 이차체의 원소가 아니라면, j(\tau)는 초월수임을 증명했다.

j-함수는 이 외에도 여러 초월적 성질을 가진다. 쿠르트 말러는 '말러 추측'으로 알려진 특정 초월성 관련 결과를 추측했으며, 이는 1990년대 유리 네스테렌코(Yu. V. Nesterenko)와 파트리스 필리폰(Patrice Phillipon)의 연구 결과로부터 증명되었다. 증명된 말러 추측에 따르면, \tau가 상반평면에 있을 때 e^{2\pi i \tau}와 j(\tau)는 동시에 대수적일 수 없다.

더 나아가, 현재는 더 강력한 결과들이 알려져 있다. 예를 들어 e^{2\pi i \tau}가 대수적 수라면, 다음 세 수는 대수적으로 독립이며, 따라서 이 중 적어도 두 개는 초월수이다.

:j(\tau), \frac{j^\prime(\tau)}{\pi}, \frac{j^{\prime\prime}(\tau)}{\pi^2}

7. 여러 표현 방식



j-불변량은 상반평면 \mathbf{H} = \{\tau \in \mathbf{C} \mid \operatorname{Im}(\tau) > 0\}에서 정의되는 함수로, 여러 방식으로 표현될 수 있다. 기본적인 정의는 다음과 같다.

:j(\tau) = 1728 \frac{g_2(\tau)^3}{\Delta(\tau)} = 1728 \frac{g_2(\tau)^3}{g_2(\tau)^3 - 27g_3(\tau)^2} = 1728 \frac{g_2(\tau)^3}{(2\pi)^{12}\,\eta^{24}(\tau)}

여기서 g_2(\tau)와 g_3(\tau)는 아이젠슈타인 급수 G_4(\tau), G_6(\tau)와 관련된 모듈러 불변량이다.

:g_2(\tau) = 60G_4(\tau) = 60\sum_{(m,n) \neq (0,0)} \left(m + n\tau\right)^{-4}

:g_3(\tau) = 140G_6(\tau) = 140\sum_{(m,n) \neq (0,0)} \left(m + n\tau\right)^{-6}

\Delta(\tau)는 모듈러 판별식 \Delta(\tau) = g_2(\tau)^3 - 27g_3(\tau)^2이고, \eta(\tau)는 데데킨트 에타 함수이다. 상수 1728은 12^3과 같다.

j-불변량은 타원 곡선의 동형류와 깊은 관련이 있다. 복소수 \mathbf{C} 위의 모든 타원 곡선은 복소 토러스로 볼 수 있으며, 이는 상반평면의 원소 \tau \in \mathbf{H}에 의해 생성되는 격자 \{m + n\tau \mid m, n \in \mathbb{Z}\}와 대응된다. 이 격자는 바이어슈트라스 타원 함수를 통해 타원 곡선 y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3(\tau)와 연결되며, j(\tau)는 이 타원 곡선의 동형류를 결정하는 불변량이다.

j-불변량은 정규화된 아이젠슈타인 급수 E_4(\tau), E_6(\tau)를 이용하여 직접 표현할 수도 있다.

:E_4(\tau) = \frac{g_2(\tau)}{2\zeta(4)} = 1+ 240\sum_{n=1}^\infty \frac{n^3 q^n}{1-q^n}

:E_6(\tau) = \frac{g_3(\tau)}{2\zeta(6)} = 1- 504\sum_{n=1}^\infty \frac{n^5 q^n}{1-q^n}

여기서 q=e^{2\pi i \tau}는 노메의 제곱이다. 이를 이용하면 j-불변량은 다음과 같이 표현된다.[1]

:j(\tau) = 1728 \frac{E_4(\tau)^3}{E_4(\tau)^3 - E_6(\tau)^2}

모듈러 판별식 \Delta(\tau) 역시 아이젠슈타인 급수로 표현할 수 있다.

:\Delta(\tau) = (2\pi)^{12}\,\eta^{24}(\tau) = (2\pi)^{12}\,\frac{E_4(\tau)^3 - E_6(\tau)^2}{1728}

j-불변량은 가중치 0인 모듈러 함수이며, 모듈러 군 \mathrm{SL}(2, \mathbb{Z})의 작용에 대해 불변이다. 즉, a, b, c, d가 ad-bc=1을 만족하는 정수일 때 j\left(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\right) = j(\tau)가 성립한다.

이 외에도 j-불변량은 모듈러 람다 함수나 세타 함수 등을 이용하여 다양하게 표현될 수 있다.

7. 1. 모듈러 람다 함수를 이용한 표현

j(\tau) = \frac{256(1-x)^3}{x^2}

여기서 x = \lambda(1 - \lambda)이고, \lambda는 모듈러 람다 함수이다. 모듈러 람다 함수는 다음과 같이 정의된다.

\lambda(\tau) = \frac{\theta_2^4(e^{\pi i\tau})}{\theta_3^4(e^{\pi i\tau})} = k^2(\tau)

이는 야코비 세타 함수 \theta_m의 비율이며, 타원 모듈러스 k(\tau)의 제곱이다.[7][17] j의 값은 \lambda가 다음 교차비의 여섯 가지 값 중 하나로 대체될 때 변하지 않는다.[8][18]

\left\{ \lambda, \frac{1}{1-\lambda}, \frac{\lambda-1}{\lambda}, \frac{1}{\lambda}, \frac{\lambda}{\lambda-1}, 1-\lambda \right\}

j의 분기점은 \{0, 1, \infty\}에 있으며, 따라서 j는 벨리 함수이다.[9][19]

7. 2. 세타 함수를 이용한 표현

노메 q=e^{\pi i \tau}와 야코비 세타 함수를 다음과 같이 정의한다.

:\vartheta(0; \tau) = \vartheta_{00}(0; \tau) = 1 + 2 \sum_{n=1}^\infty \left(e^{\pi i\tau}\right)^{n^2} = \sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2}

여기에서 지표가 있는 세타 함수를 유도할 수 있다. 다음과 같이 정의하자.

:a=\theta_{2}(0; q)=\vartheta_{10}(0; \tau)

:b=\theta_{3}(0; q)=\vartheta_{00}(0; \tau)

:c=\theta_{4}(0; q)=\vartheta_{01}(0; \tau)

여기서 \theta_{m}과 \vartheta_{n}은 표기법을 변경한 것이며, 이 세 함수 사이에는 a^4 - b^4 + c^4 = 0인 관계가 성립한다.

그러면, 모듈러 불변량 g_2(\tau), g_3(\tau)와 모듈러 판별식 \Delta는 세타 함수 a, b, c를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:g_2(\tau) = \tfrac{2}{3}\pi^4 \left(a^8 + b^8 + c^8\right)

:g_3(\tau) = \tfrac{4}{27}\pi^6 \sqrt{\frac{(a^8+b^8+c^8)^3-54(abc)^8}{2}}

:\Delta = g_2^3-27g_3^2 = (2\pi)^{12}\eta(\tau)^{24} = (2\pi)^{12} \left(\tfrac{1}{2}a b c\right)^8

여기서 \eta(\tau)는 데데킨트 에타 함수이다.

이를 이용하여 j(\tau)를 세타 함수로 표현하면 다음과 같이 빠르게 계산할 수 있는 형태가 된다.

:j(\tau) = 1728\frac{g_2^3}{g_2^3-27g_3^2} = 32 \frac{\left(a^8 + b^8 + c^8\right)^3 }{ \left(a b c\right)^8}

8. 대수적 정의

j-불변량은 타원 곡선의 동형 사상 클래스에 대한 불변량으로서 순수하게 대수적으로 정의할 수 있다.[10]

임의의 체 위에서 정의된 평면 타원 곡선의 일반적인 방정식은 다음과 같다.

:y^2 + a_1 xy + a_3 y = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6

이 방정식의 계수들을 이용하여 다음과 같은 값들을 정의한다.

:\begin{align}

b_2 &= a_1^2 + 4a_2,\\

b_4 &= a_1a_3 + 2a_4,\\

b_6 &= a_3^2 + 4a_6,\\

b_8 &= a_1^2a_6 - a_1a_3a_4 + a_2a_3^2 + 4a_2a_6 - a_4^2,\\

c_4 &= b_2^2 - 24b_4,\\

c_6 &= -b_2^3 + 36b_2b_4 - 216b_6

\end{align}

또한, 타원 곡선의 판별식 Δ는 다음과 같이 정의된다.

:\Delta = -b_2^2b_8 + 9b_2b_4b_6 - 8b_4^3 - 27b_6^2

이 값들을 이용하여 타원 곡선의 j-불변량은 다음과 같이 대수적으로 정의된다.

:j = \frac{c_4^3}{\Delta}

만약 타원 곡선이 정의된 체의 표수가 2 또는 3이 아니라면, j-불변량은 다음과 같이 표현될 수도 있다.

:j = 1728\frac{c_4^3}{c_4^3-c_6^2}

9. 역함수

j-불변량의 역함수는 {}_2F_1 초기하 함수로 표현될 수 있다(피카르-푸흐스 방정식 참조). 구체적으로, 주어진 수 ''N''에 대해 j(\tau) = N 방정식을 ''τ''에 대해 푸는 방법은 적어도 네 가지가 알려져 있다.

'''방법 1''': ''λ''에 대한 6차 방정식 풀기

:j(\tau) = \frac{256\bigl(1-\lambda(1-\lambda)\bigr)^3}{\bigl(\lambda(1-\lambda)\bigr)^2} = \frac{256\left(1-x\right)^3}{x^2}

여기서 x = \lambda(1 - \lambda)이고, ''λ''는 모듈러 람다 함수이다. 이 6차 방정식은 ''x''에 대한 3차 방정식으로 풀 수 있다. 그러면, ''λ''의 여섯 가지 값 중 하나에 대해 다음 식이 성립한다.

:\tau = i \frac{{}_2F_1 \left (\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},1;1 - \lambda \right )}{{}_2F_1 \left (\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},1;\lambda \right)} = i\frac{\operatorname{M}(1,\sqrt{1-\lambda})}{\operatorname{M}(1,\sqrt{\lambda})}

여기서 M은 산술-기하 평균이다.[11]

'''방법 2''': ''γ''에 대한 4차 방정식 풀기

:j(\tau) = \frac{27\left(1 + 8\gamma\right)^3}{\gamma\left(1 - \gamma\right)^3}

네 개의 근 중 하나에 대해 다음 식이 성립한다.

:\tau = \frac{i}{\sqrt{3}} \frac{{}_2F_1 \left (\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},1;1-\gamma \right)}{{}_2F_1 \left(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},1;\gamma \right )}

'''방법 3''': ''β''에 대한 3차 방정식 풀기

:j(\tau) = \frac{64\left(1+3\beta\right)^3}{\beta\left(1-\beta\right)^2}

세 개의 근 중 하나에 대해 다음 식이 성립한다.

:\tau = \frac{i}{\sqrt{2}} \frac{{}_2F_1 \left (\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{4},1;1-\beta \right)}{{}_2F_1 \left(\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{4},1;\beta \right )}

'''방법 4''': ''α''에 대한 2차 방정식 풀기

:j(\tau)=\frac{1728}{4\alpha(1-\alpha)}

그러면 다음 식이 성립한다.

:\tau = i \frac{{}_2F_1 \left (\tfrac{1}{6},\tfrac{5}{6},1;1-\alpha \right)}{{}_2F_1 \left(\tfrac{1}{6},\tfrac{5}{6},1;\alpha \right )}

한 근은 ''τ''를 제공하고 다른 근은 -\frac{1}{\tau}를 제공하지만, j(\tau) = j(-\frac{1}{\tau})이므로 어떤 ''α''를 선택하든 차이가 없다.

후자의 세 가지 방법(방법 2, 3, 4)은 타원 함수를 다른 기저로 변환하는 라마누잔의 이론에서 찾을 수 있다.

역변환은 그 비율이 무한대가 될 때조차도 타원 함수 주기의 고정밀 계산에 적용된다. 관련 결과는 크기가 2의 거듭제곱인 허수 축의 점에서의 ''j'' 값을 2차 근을 통해 표현할 수 있다는 것이다(따라서 자 및 컴퍼스 작도가 가능하다). 후자의 결과는 모듈러 방정식이 2차인 ''j''에 대한 것이 3차이기 때문에 거의 명백하지 않다.[12]

10. 파이 공식

1987년에 추드노프스키 형제는 다음의 식을 발견했다.[13]

:\frac{1}{\pi} = \frac{12}{640320^{3/2}} \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (163 \cdot 3344418k + 13591409)}{(3k)!\left(k!\right)^3 \left(-640320\right)^{3k}}

이 식의 증명에는 다음의 사실이 사용된다.

:j\left(\frac{1+\sqrt{-163}}{2}\right) = -640320^3.

유사한 공식들은 라마누잔-사토 급수를 참조하라.

11. 다른 체 위에서의 타원 곡선 분류

j-불변량은 복소수 또는 더 일반적으로는 대수적으로 닫힌 체 위의 타원 곡선의 동형류만을 구별한다. 다른 체 위에서는 j-불변량이 같더라도 서로 동형이 아닌 타원 곡선이 존재할 수 있다. 예를 들어, 다음 두 타원 곡선 E_1, E_2를 생각해보자.

:

\begin{align}

E_1: &\quad y^2 = x^3 - 25x \\

E_2: &\quad y^2 = x^3 - 4x

\end{align}



두 곡선 모두 j-불변량은 1728이다. 하지만 유리수 체 \mathbb{Q} 위에서 두 곡선은 동형이 아니다.

E_2의 유리점은 다음과 같이 유한하다.

: E_2(\mathbb{Q}) = \{\infty, (2,0), (-2,0), (0,0) \}

이는 x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x-2)(x+2) 이므로, y=0일 때 x는 0, 2, -2가 된다. 만약 y = a \neq 0인 유리수 해가 존재한다고 가정하면, x^3 - 4x - a^2 = 0의 해 x도 유리수여야 한다. 그러나 카르다노 공식 등을 이용하면 이 방정식의 해는 모두 무리수임을 보일 수 있어, y \neq 0인 유리수 해는 존재하지 않는다.

반면, E_1 위에는 무한히 많은 유리점이 존재한다. 예를 들어 점 (-4, 6)은 E_1 위에 있으며(6^2 = (-4)^3 - 25(-4) \implies 36 = -64 + 100), 이 점과 타원 곡선의 덧셈 연산을 이용하여 다른 많은 유리점들을 생성할 수 있다. 점들의 집합 \{ n(-4,6) : n \in \mathbb{Z} \}을 고려하면, E_1에 대한 방정식은 36n^2 = -64n^3 + 100n 이 된다. (0,0) 해를 제외하고 4n으로 나누면 이차 방정식 16n^2 + 9n - 25 = 0을 얻고, 이는 다음과 같은 유리수 해를 가진다.

: n = \frac{


  • 9 \pm \sqrt{81 - 4\cdot 16\cdot(-25)}

}{2\cdot 16} =

\frac{-9 \pm \sqrt{1681}}{32} = \frac{-9 \pm 41}{32}

따라서 n=1과 n = -50/32 = -25/16이라는 유리수 해가 존재하며, 이는 E_1 위에 무한히 많은 유리점이 있음을 보여준다.

결과적으로 \mathbb{Q} 위에서 E_1과 E_2는 유리점의 개수가 다르므로 동형일 수 없다.

하지만 체를 \mathbb{Q}(\sqrt{10})으로 확장하면, 두 곡선은 동형이 된다. 구체적으로 다음과 같은 동형 사상이 존재한다.

: \phi: E_1(\mathbb{Q}(\sqrt{10})) \to E_2(\mathbb{Q}(\sqrt{10}))

: (x,y)\mapsto (\mu^2x,\mu^3y) \quad \text{ 여기서 }\ \mu = \frac{\sqrt{10}}{2}

이 예시는 j-불변량이 대수적으로 닫힌 체가 아닌 일반적인 체 위에서는 타원 곡선의 동형 여부를 완전히 결정하지 못함을 보여준다.

12. 특수값

특별한 점에서 j-불변량의 값은 다음과 같다.

τiexp(2πi/3)exp(2πi/6)i∞(1+i\sqrt{7})/2(1+i\sqrt{11})/2(1+i\sqrt{19})/2(1+i\sqrt{43})/2(1+i\sqrt{67})/2(1+i\sqrt{163})/2
j(τ)172800∞−153−323−963−9603−52803−6403203



이 가운데, 7, 11, 19, 43, 67, 163은 헤그너 수이다.

J-불변량은 기본 영역의 "각"

:\tfrac{1}{2}\left(1 + i \sqrt{3}\right)

에서 0이 된다.

다음은 몇 가지 특수값을 나타낸다.

:\begin{align}

J(i) &= J \left( \tfrac{1 + i}{2} \right) = 1 \\

J\left(\sqrt{2}i\right) &= \big(\tfrac{5}{3}\big)^3 \\

J(2i) &= \big(\tfrac{11}{2}\big)^3 \\

J\left(2\sqrt{2}i\right) &= \tfrac{125}{216} \left(19 + 13\sqrt{2} \right)^3\\

J(4i) &= \tfrac{1}{64} \left(724 + 513\sqrt{2} \right)^3\\

J\left( \tfrac{1 + 2i}{2} \right) &= \tfrac{1}{64} \left(724 - 513\sqrt{2} \right)^3\\

J\left( \tfrac{1 + 2\sqrt{2}i}{3} \right) &= \tfrac{125}{216} \left(19 - 13\sqrt{2} \right)^3\\

J(3i) &= \tfrac{1}{27} \left(2 + \sqrt{3}\right)^2 \left(21 + 20\sqrt{3}\right )^3 \\

J\left(2\sqrt{3}i\right) &= \tfrac{125}{16} \left(30 + 17\sqrt{3}\right)^3\\

J\left( \tfrac{1 + 7\sqrt{3}i}{2} \right) &= -\tfrac{64000}{7} \left(651 + 142\sqrt{21} \right)^3\\

J\left(\tfrac{1 + 3\sqrt{11}i}{10} \right) &= \tfrac{64}{27} \left(23 - 4\sqrt{33}\right)^2 \left(-77 + 15\sqrt{33} \right)^3\\

J\left(\sqrt{21}i\right) &= \tfrac{1}{128} \left(3 + \sqrt{7} \right)^5 \left( 17 + 7\sqrt{3} + 59\sqrt{7} + 35\sqrt{21}\right)^3\\

J\left( \tfrac{\sqrt{30}i}{1} \right) &= \tfrac{1}{4} \left(7 + 5\sqrt{2} + 3\sqrt{5} + 2\sqrt{10} \right)^4 \left( 55 + 30\sqrt{2} + 12\sqrt{5} + 10\sqrt{10} \right)^3\\

J\left( \tfrac{\sqrt{30}i}{2} \right) &= \tfrac{1}{4} \left(7 + 5\sqrt{2} - 3\sqrt{5} - 2\sqrt{10} \right)^4 \left( 55 + 30\sqrt{2} - 12\sqrt{5} - 10\sqrt{10} \right)^3\\

J\left( \tfrac{\sqrt{30}i}{5} \right) &= \tfrac{1}{4} \left(7 - 5\sqrt{2} + 3\sqrt{5} - 2\sqrt{10} \right)^4 \left( 55 - 30\sqrt{2} + 12\sqrt{5} - 10\sqrt{10} \right)^3\\

J\left( \tfrac{\sqrt{30}i}{10} \right) &= \tfrac{1}{4} \left(7 - 5\sqrt{2} - 3\sqrt{5} + 2\sqrt{10} \right)^4 \left( 55 - 30\sqrt{2} - 12\sqrt{5} + 10\sqrt{10} \right)^3\\

J\left(\tfrac{1+\sqrt{31}i}{2}\right)&=\left(1-\left(1+\frac{\sqrt{19}}{2}\left(\sqrt{\tfrac{13-\sqrt{93}}{13+\sqrt{93}}}\cdot\sqrt[3]{\tfrac{\sqrt{31}+\sqrt{27}}{\sqrt{31}-\sqrt{27}}}+\sqrt{\tfrac{13+\sqrt{93}}{13-\sqrt{93}}}\cdot\sqrt[3]{\tfrac{\sqrt{31}-\sqrt{27}}{\sqrt{31}+\sqrt{27}}}\right)\right)^2\right)^3\\

J(5i) &= \left( 1 + \tfrac{9}{4} \sqrt{5} \left( 13 + 5 \sqrt{5} \right)^2 \right)^3\\

J\left( \tfrac{5 i + 1}{2} \right) &= \left( 1 - \tfrac{9}{4} \sqrt{5} \left( 13 - 5 \sqrt{5} \right)^2 \right)^3\\

J(6i) &= \tfrac{1}{216}\left(2 + \sqrt{3}\right)^{10} \left(231 + 380\sqrt{3} + \left(204 + 158\sqrt{3} \right)\sqrt[4]{12}\right)^3\\

J(\sqrt{70}i) &= \left(1 + \tfrac{9}{4}\left(303 + 220\sqrt{2} + 139\sqrt{5} + 96\sqrt{10}\right)^2 \right)^3\\

J(\sqrt{94}i) &= \left(1 + \tfrac{9}{8192} \left(3 + 2\sqrt{2} + \sqrt{9+8\sqrt{2}}\right)^8 \left(8 + \left(-1 - \sqrt{2} + \sqrt{9+8\sqrt{2}}\right) \left(-2 + 2\sqrt{2} + \sqrt{3 + 4\sqrt{2} + 3\sqrt{9 + 8\sqrt{2}}}\right)\right)^2\right)^3\\

J(7i) &= \left( 1 + \tfrac{9}{32}\sqrt[4]{28} \left(3+\sqrt{7}\right)^3 \left(13 + 3\sqrt{7} + \left(6+\sqrt{7} \right)\sqrt[4]{28}\right)^2 \right)^3\\

J(8i) &= \left( 1 + \tfrac{9}{4} \sqrt[4]{2} \left (1 + \sqrt{2} \right) \left(123 + 104\sqrt[4]{2} + 88\sqrt{2} + 73\sqrt[4]{8}\right)^2 \right)^3\\

J(10i) &= \left(1 + \tfrac{9}{8}\left(2402 + 1607\sqrt[4]{5} + 1074\sqrt[4]{25} + 719\sqrt[4]{125}\right)^2 \right)^3\\

J\left( \tfrac{5 i}{2} \right) &= \left(1 + \tfrac{9}{8}\left(2402 - 1607\sqrt[4]{5} + 1074\sqrt[4]{25} - 719\sqrt[4]{125}\right)^2 \right)^3\\

J(\sqrt{130}i) &= \left(1 + \tfrac{9}{4}\left(7392 + 3289\sqrt{5} + 2040\sqrt{13} + 917\sqrt{65}\right)^2 \right)^3\\

J(\sqrt{190}i) &= \left(1 + 18 \left(31570 + 22323\sqrt{2} + 14139\sqrt{5} + 9998\sqrt{10}\right)^2 \right)^3\\

J(2\sqrt{58}i) &= \left(1+\tfrac{9}{256}\left(1+\sqrt{2}\right)^5\left(5+\sqrt{29}\right)^5\left(793+907\sqrt{2}+237\sqrt{29}+103\sqrt{58}\right)^2\right)^3\\

J\left( \tfrac{1 + \sqrt{1435}i}{2} \right) &= \left( 1 - 9 \left ( 9892538 + 4424079\sqrt{5} + 1544955\sqrt{41} + 690925\sqrt{205} \right )^2 \right)^3\\

J\left( \tfrac{1 + \sqrt{1555}i}{2} \right) &= \left( 1 - 9 \left ( 22297077 + 9971556\sqrt{5} + \left ( 3571365 + 1597163\sqrt{5} \right ) \sqrt{\tfrac{31 + 21\sqrt{5}}{2}} \right)^2 \right)^3\\

\end{align}

2014년에 몇몇 특수값이 계산되었다.[21]

:\begin{align}

J \left( \tfrac{5 i + 2}{4} \right) &= \left( 1 - \tfrac{9 \left( 1 + \sqrt{5} \right)^{38}}{2^{41} \sqrt{2}} \Bigl( 7485 - 762 \sqrt{2} + 1479 \sqrt{5} - 3072 \sqrt{10} - \sqrt[4]{5} \left( 178 - 2221 \sqrt{2} + 3148 \sqrt{5} - 1289 \sqrt{10} \right) \Bigr)^2 \right)^3\\

J \left( \tfrac{10 i + 1}{2} \right) &= \left( 1 - \tfrac{9 \left( 1 + \sqrt{5} \right)^{38}}{2^{41} \sqrt{2}} \Bigl( 7485 - 762 \sqrt{2} + 1479 \sqrt{5} - 3072 \sqrt{10} + \sqrt[4]{5} \left( 178 - 2221 \sqrt{2} + 3148 \sqrt{5} - 1289 \sqrt{10} \right) \Bigr)^2 \right)^3\\

J \left( \tfrac{5 i}{4} \right) &= \left( 1 + \tfrac{9 \left( 1 + \sqrt{5} \right)^{38}}{2^{41} \sqrt{2}} \Bigl( 7485 + 762 \sqrt{2} + 1479 \sqrt{5} + 3072 \sqrt{10} - \sqrt[4]{5} \left( 178 + 2221 \sqrt{2} + 3148 \sqrt{5} + 1289 \sqrt{10} \right) \Big)^2 \right)^3\\

J(20 i) &= \left( 1 + \tfrac{9 \left( 1 + \sqrt{5} \right)^{38}}{2^{41} \sqrt{2}} \Bigl( 7485 + 762 \sqrt{2} + 1479 \sqrt{5} + 3072 \sqrt{10} + \sqrt[4]{5} \left( 178 + 2221 \sqrt{2} + 3148 \sqrt{5} + 1289 \sqrt{10} \right) \Bigr)^2 \right)^3

\end{align}

이전에 나타낸 모든 값은 실수이다. 복소 켤레쌍은 J(10 i)와 J(5 i/2)에 대해, 참고 문헌과 같이 값에 따라 위와 같이 대칭을 이루는 것으로 추정된다.

:\begin{align}

J \left( \tfrac{5 i \pm 1}{4} \right) &= \left(1 - \tfrac{9}{8}\left((2402 - 1074\sqrt{5}) i \pm (1607 - 719\sqrt{5}) \sqrt[4]{5} \right)^2 \right)^3

\end{align}

4개의 특수값은 2개의 복소 켤레쌍으로 주어진다.[22]

:\begin{align}

J \left( \tfrac{4 \left( 5 i \pm 1 \right)}{13} \right) = \left(1 - \tfrac{9 \left( 1 - \sqrt{5} \right)^{38}}{2^{41} \sqrt{2}} \Bigl( 7485 - 762 \sqrt{2} - 1479 \sqrt{5} + 3072 \sqrt{10} \pm i \sqrt[4]{5} \left( 178 - 2221 \sqrt{2} - 3148 \sqrt{5} + 1289 \sqrt{10} \right) \Bigr)^2 \right)^3\\

J \left( \tfrac{5 \left( 4 i \pm 1 \right)}{17} \right) = \left(1 + \tfrac{9 \left( 1 - \sqrt{5} \right)^{38}}{2^{41} \sqrt{2}} \Bigl( 7485 + 762 \sqrt{2} - 1479 \sqrt{5} - 3072 \sqrt{10} \pm i \sqrt[4]{5} \left( 178 + 2221 \sqrt{2} - 3148 \sqrt{5} - 1289 \sqrt{10} \right) \Bigr)^2 \right)^3

\end{align}

참조

[1] arXiv Hankel Determinants of Eisenstein Series
[2] 서적 Complex functions: an algebraic and geometric viewpoint https://books.google[...] Cambridge UP
[3] 서적 The Arithmetic of Elliptic Curves Springer-Verlag
[4] 간행물 Über die Entwicklungskoeffizienten der automorphen Formen
[5] 간행물 The Fourier coefficients of the modular invariant j(τ)
[6] 간행물 Congruence subgroups of groups commensurable with ''PSL''(2,'''Z''')$ of genus 0 and 1 http://projecteuclid[...]
[7] 문서
[8] citation Elliptic Functions Springer-Verlag
[9] citation Introduction to compact Riemann surfaces and dessins d'enfants Cambridge University Press
[10] 서적 Elliptic functions Springer-Verlag
[11] 웹사이트 The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss https://www.research[...]
[12] 서적 Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity Wiley-Interscience
[13] citation The Computation of Classical Constants
[14] 서적 The Arithmetic of Elliptic Curves Springer-Verlag
[15] 서적 Über die Entwicklungskoeffizienten der automorphen Formen
[16] 서적 The Fourier coefficients of the modular invariant j(τ) The Johns Hopkins University Press
[17] 문서
[18] citation Elliptic Functions Springer-Verlag
[19] citation Introduction to compact Riemann surfaces and dessins d'enfants Cambridge University Press
[20] 서적 Monstrous moonshine and monstrous Lie superalgebras
[21] 웹사이트 Multiplication and division on elliptic curves, torsion points and roots of modular equations http://www.ccas.ru/d[...] 2014-10-17
[22] 웹사이트 Torsion points on elliptic curves and modular polynomial symmetries http://www.ccas.ru/s[...] 2014-10-15


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