가군의 근기

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 가군의 근기와 주각
- 2.2. 환의 근기와 주각
3. 성질
4. 예
- 4.1. 환의 근기와 주각
- 4.2. 아벨 군의 근기와 주각
  - 4.2.1. 순환군
  - 4.2.2. 나눗셈군
5. 역사
참조

1. 개요

가군의 근기는 가군의 극대 부분 가군들의 교집합으로 정의되며, 가군의 주각은 가군의 극소 부분 가군들의 합으로 정의된다. 환을 가군으로 생각할 때, 환의 근기는 제이콥슨 근기라고 불리며, 환의 왼쪽 주각과 오른쪽 주각은 일반적으로 서로 다르다. 가군의 근기와 주각은 가군 준동형에 의해 보존되며, 유한 생성 가군, 직합, 네터 가군 등에서 특수한 성질을 갖는다. 제이콥슨 근기는 환의 모든 극대 아이디얼의 교집합이며, 나카야마 보조정리는 유한 생성 가군에 대한 중요한 결과를 제공한다. 이 개념들은 장 디외도네, 네이선 제이컵슨, 나카야마 다다시에 의해 도입되었다.

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가군의 근기

2. 정의

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_RM$ 이 주어졌을 때, $M$ 의 진부분 가군 가운데 극대 원소를 '''극대 부분 가군'''이라고 한다. 즉, 극대 부분 가군 $_RN\subsetneq{}_RM$ 은 $_R(M/N)$ 이 단순 가군이 되는 것이다. 마찬가지로, $M$ 의, 영가군이 아닌 부분 가군 가운데 극소 원소(즉, 부분 가군 가운데 단순 가군인 것)를 '''극소 부분 가군'''(minimal submodule^영어)이라고 한다.

R

을 환으로,

M

을 좌

R

-가군이라고 하자.

M

의 부분 가군

N

이 '''극대''' 또는 '''코단순''' 이라는 것은 몫

M/N

이 단순 가군일 때를 말한다.

2. 1. 가군의 근기와 주각

환

R

위의 왼쪽 가군

_RM

에 대해, '''근기'''(根基, radical^영어)

\operatorname{rad}M

와 '''주각'''(柱脚, socle^영어)

\operatorname{soc}M

을 정의할 수 있으며, 이 둘은 서로 쌍대 개념이다.

왼쪽 가군

M

의 '''근기'''

\operatorname{rad}M\subseteq M

는 모든 극대 부분 가군들의 교집합이며, 이는

M

의 잉여적 부분 가군들의 합과 일치한다. 만약 극대 부분 가군이 존재하지 않는다면 이는

M

과 같다.

왼쪽 가군

M

의 '''주각'''

\operatorname{soc}M\subseteq M

은 모든 극소 부분 가군들의 합이며, 이는

M

의 본질적 부분 가군들의 교집합과 일치한다. 만약 극소 부분 가군이 존재하지 않는다면 이는 영가군이다.

오른쪽 가군의 근기 및 주각 역시 마찬가지로 정의된다.

M

의 진부분 가군 가운데 극대 원소를 '''극대 부분 가군'''이라고 한다. 즉, 극대 부분 가군

_RN\subsetneq{}_RM

은

_R(M/N)

이 단순 가군이 되는 것이다.

M

의, 영가군이 아닌 부분 가군 가운데 극소 원소, 즉 부분 가군 가운데 단순 가군인 것을 '''극소 부분 가군'''(minimal submodule^영어)이라고 한다.

가군 ''M''의 '''근기'''는 ''M''의 모든 극대 부분 가군들의 교집합으로 정의된다.

:

\mathrm{rad}(M) = \bigcap\, \{N \mid N \mbox{ 은 } M \mbox{ 의 극대 부분 가군이다.}\}

동치적으로,

:

\mathrm{rad}(M) = \sum\, \{S \mid S \mbox{ 는 } M \mbox{ 의 여분 부분 가군이다.}\}

2. 2. 환의 근기와 주각

환

R

는 스스로 위의 왼쪽 가군

_RR

또는 오른쪽 가군

R_R

으로 생각할 수 있다. 이 경우,

_RR

와

R_R

의 근기 및 주각을 생각할 수 있다.

_RR

와

R_R

의 근기는

R

의 동일한 부분 집합을 정의한다.

:

\operatorname{rad}(_RR)=\operatorname{rad}(R_R)\subseteq R

이는 (왼쪽 아이디얼이자 오른쪽 아이디얼이므로) 양쪽 아이디얼을 이루며,

R

의 '''제이콥슨 근기'''(Jacobson radical^영어)라고 한다.

근기와 달리,

\operatorname{soc}(_RR)

(=모든 단순 왼쪽 아이디얼의 합)과

\operatorname{soc}(R_R)

(=모든 단순 오른쪽 아이디얼의 합)은 일반적으로 서로 다르며, 이를

R

의 '''왼쪽 주각'''(left socle^영어) 및 '''오른쪽 주각'''(right socle^영어)이라고 한다.

3. 성질

임의의 $R$ -가군 준동형 $f\colon {}_RM\to{}_RN$ 에 대하여, 다음이 성립한다.^[1]

$f(\operatorname{rad}M)\subseteq\operatorname{rad}N$
$f(\operatorname{soc}M)\subseteq\operatorname{soc}N$

모든 유한 생성 가군은 (초른 보조정리에 따라) 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 가지므로, 영가군이 아닌 가군

_RM

의 경우

M\ne\operatorname{rad}(_RM)

이다.^[1]

가군의 (유한 또는 무한) 직합

M=\bigoplus_{i\in I}M_i

에 대하여, 다음이 성립한다.^[1]

$\operatorname{soc}M\cong\bigoplus_{i\in I}\operatorname{soc}M_i$
$\operatorname{rad}M\cong\bigoplus_{i\in I}\operatorname{rad}M_i$

모든 왼쪽 가군

_RM

에 대하여, 다음이 성립한다.^[1]

$\operatorname{rad}\left(_MR/\operatorname{rad}(_RM)\right)=0$
$\operatorname{soc}\left(\operatorname{soc}(_RM)\right)=\operatorname{soc}(_RM)$

Noetherian 가군에서

\operatorname{rad}(M)

자체는 과잉 부분 가군이다.

M

이 링 위에서 유한 생성 가군이면

\operatorname{rad}(M)

자체는 과잉 부분 가군인데, 이는

M

이 유한 생성될 때

M

의 모든 진 부분 가군이

M

의 극대 부분 가군에 포함되기 때문이다.^[1]

모든 오른쪽

R

-가군

M

에 대해

\operatorname{rad}(M) = \{0\}

인 환을 오른쪽 V-링이라고 한다.^[1]

M

이 유한 생성 가군인 것과

M/\operatorname{rad}(M)

이 유한 생성이고

\operatorname{rad}(M)

이

M

의 잉여 부분 가군인 것은 동치이다.^[1]

3. 1. 환·가군 성질의 필요충분조건

왼쪽 가군

_RM

에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

반단순 가군이다.
$\operatorname{soc}(_RM)=M$ 이다.

환

R

에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이다.

반단순환이다.
$\operatorname{soc}(_RR)=R$ 이다.
$\operatorname{soc}(R_R)=R$ 이다.
모든 왼쪽 가군 $_RM$ 에 대하여 $\operatorname{soc}(_RM)=M$ 이다.
모든 오른쪽 가군 $M_R$ 에 대하여 $\operatorname{soc}(M_R)=M$ 이다.

환

R

에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

반원시환이다.
$\operatorname{rad}R=0$ 이다.

3. 2. 아이디얼성

제이컵슨 근기는 양쪽 아이디얼이다. 모든 환은 (초른 보조정리에 따라) 적어도 하나 이상의 극대 아이디얼을 가지므로, 자명환이 아닌 환

R

의 경우

R\ne\operatorname{rad}(R)

이다.

환

R

의 왼쪽 주각 및 오른쪽 주각은 둘 다 양쪽 아이디얼이다.

3. 3. 나카야마 보조정리

환

R

위의 왼쪽 가군

_RM

이 주어졌다고 하자.

\operatorname{rad}R

는 아이디얼이므로,

:

(\operatorname{rad}R)M=\left\{r_1m_1+r_2m_2+\cdots+r_km_k\colon k\in\mathbb N,\;r_1,\dots,r_k\in\operatorname{rad}R,\;m_1,\dots,m_k\in M\right\}\subseteq M

는

_RM

의 부분 가군을 이룬다. '''나카야마 보조정리'''(Nakayama lemma^영어)에 따르면, 다음 세 명제 가운데 적어도 하나가 성립한다.

$M$ 은 유한 생성 왼쪽 가군이 아니다.
$(\operatorname{rad}R)M\subsetneq M$ 이다.
$M=0$ 이다.

'''증명:'''

_RM

이 영가군이 아닌 유한 생성 왼쪽 가군이라고 하자.

m_1,\dots,m_k\in M

가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

(생성 집합) $Rm_1+Rm_2+\cdots+Rm_k=M$
(극소성) 임의의 $1\le i\le k$ 에 대하여, $Rm_1+Rm_2+\cdots+Rm_{i-1}+Rm_{i+1}+\cdots+Rm_k\ne M$

M

이 영가군이 아니므로

k\ge1

이다.

귀류법을 사용하여,

\operatorname{rad}(R)M=M

이라고 가정하자. 그렇다면,

:

\sum_{i=1}^km_i=\sum_{i=1}^kj_ir_im_i

가 되는

r_1,\dots,r_k\in R

및

j_1,\dots,j_k\in\operatorname{rad}(R)

가 존재한다. 제이컵슨 근기의 성질에 의하여, 모든

1\le i\le k

에 대하여

1-j_ir_i\in R^\times

는 가역원이다. 따라서,

:

m_1=-(1-j_1r_1)^{-1}\sum_{i=2}^k(1-j_ir_i)m_i

가 되며, 이는

\{m_1,\dots,m_k\}

의 극소성과 모순된다.

3. 4. 제이컵슨 근기의 원소의 성질

환 ''R''의 원소 ''r''∈''R''에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이다.

''r''∈rad''R''이다.
임의의 왼쪽 단순 가군 ''M''에 대하여, ''rM''={0}이다.
임의의 오른쪽 단순 가군 ''M''에 대하여, ''Mr''={0}이다.
모든 왼쪽 극대 아이디얼 ''m''에 대하여, ''r''∈''m''이다.
모든 오른쪽 극대 아이디얼 ''m''에 대하여, ''r''∈''m''이다.
모든 ''s''∈''R''에 대하여, 1-''rs''는 가역원이다.
모든 ''s''∈''R''에 대하여, 1-''sr''는 가역원이다.
모든 ''s'',''s''∈''R''에 대하여, 1-''srs''는 가역원이다.

즉, 제이컵슨 근기는 모든 (왼쪽 또는 오른쪽) 극대 아이디얼들의 교집합이자 모든 (왼쪽 또는 오른쪽) 단순 가군들의 소멸자들의 교집합이다. (이는 가환환의 영근기가 모든 소 아이디얼들의 교집합인 것과 유사하다.)

가환환 ''R''의 제이컵슨 근기는 영근기를 부분 아이디얼로 갖는다.

:√(0)⊆rad''R''

만약 가환환 ''R''가 정수환 위의 유한 생성 단위 결합 대수이거나, 아니면 체 위의 유한 생성 단위 결합 대수라면, 제이컵슨 근기는 영근기와 같다.

4. 예

체의 근기는 영 아이디얼이며, 주각은 전체 아이디얼이다.^[1] 보다 일반적으로, 모든 원시환의 근기는 영 아이디얼이다. 정수환 $\mathbb Z$ 의 근기는 영 아이디얼이다. 국소환 $(R,\mathfrak m)$ 의 근기는 유일한 극대 아이디얼 $\mathfrak m$ 이다.

아벨 군은 정수환 $\mathbb Z$ 위의 가군과 같으므로, 아벨 군의 근기와 주각을 정의할 수 있다.^[1] 무한 순환군 $\mathbb Z$ 은 극소 부분군을 갖지 않으며, 극대 부분군은 소수 $p$ 에 대하여 $p\mathbb Z$ 의 꼴이다. 따라서 근기와 주각은 모두 자명군이다. 나눗셈군(예를 들어, 유리수체의 덧셈군이나 프뤼퍼 군)은 극대 부분군을 갖지 않으므로, 나눗셈군은 스스로의 근기와 같다. 유리수체의 덧셈군은 극소 부분군 또한 갖지 않으므로, 주각은 자명군이다.

4. 1. 환의 근기와 주각

환

R

을 스스로 위의 왼쪽 가군

_RR

또는 오른쪽 가군

R_R

으로 생각할 수 있다. 이 경우,

_RR

와

R_R

의 근기 및 주각을 생각할 수 있다.

_RR

와

R_R

의 근기는

R

의 동일한 부분 집합을 정의한다.

:

\operatorname{rad}(_RR)=\operatorname{rad}(R_R)\subseteq R

이는 (왼쪽 아이디얼이자 오른쪽 아이디얼이므로) 양쪽 아이디얼을 이루며,

R

의 '''제이컵슨 근기'''(Jacobson radical^영어)라고 한다.

근기의 경우와 달리, 일반적으로

\operatorname{soc}(_RR)

(=모든 단순 왼쪽 아이디얼의 합)과

\operatorname{soc}(R_R)

(=모든 단순 오른쪽 아이디얼의 합)은 일반적으로 서로 다르며, 이를

R

의 '''왼쪽 주각'''(left socle^영어) 및 '''오른쪽 주각'''(right socle^영어)이라고 한다.

체

K

는 영 아이디얼와 전체 아이디얼 밖의 아이디얼을 갖지 않는다. 따라서 체의 근기는 영 아이디얼이며, 체의 주각은 전체 아이디얼이다.

:

\operatorname{rad}K=0

:

\operatorname{soc}K=K

보다 일반적으로, 모든 원시환의 근기는 영 아이디얼이다. 정수환

\mathbb Z

의 근기는 영 아이디얼이다.

국소환

(R,\mathfrak m)

의 근기는 (극대 아이디얼이 하나밖에 없으므로) 유일한 극대 아이디얼

\mathfrak m

이다.

정수환의 몫환

\mathbb Z/(n)

의 극대 아이디얼들은

n\in\mathbb Z

의 소인수들의 주 아이디얼이다. 따라서,

n

의 소인수 분해가

:

n=\prod_ip_i^{n_i}

라면,

\mathbb Z/(n)

의 제이컵슨 근기는 다음과 같은 주 아이디얼이다. 이는 영근기와 같으며, 만약

n

이 제곱 인수가 없는 정수라면 이는 영 아이디얼과 같다.

:

\operatorname{rad}(\mathbb Z/(n))=\sqrt{(0)}=(\prod_ip_i)\subseteq\mathbb Z/(n)

4. 2. 아벨 군의 근기와 주각

아벨 군은 정수환

\mathbb Z

위의 가군과 같으므로, 아벨 군의 근기와 주각을 정의할 수 있다.^[1]

4. 2. 1. 순환군

무한 순환군

\mathbb Z

은 극소 부분군을 갖지 않으며, 극대 부분군은 소수

p

에 대하여

p\mathbb Z

의 꼴이다. 따라서 근기와 주각은 모두 자명군이다.

:

\operatorname{rad}(_{\mathbb Z}\mathbb Z)=\operatorname{soc}(_{\mathbb Z}\mathbb Z)=0

임의의 자연수

n

의 소인수 분해가 다음과 같이 주어졌다고 하자.

:

n=p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_k^{n_k}

그렇다면, 자연수의 근기는 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\operatorname{rad}(n)=p_1p_2\cdots p_k

n

차 순환군

\mathbb Z/n

의 극소 부분군은

n

의 소인수

p_i

크기의 순환군

(n/p_i)\mathbb Z/n

이며, 극대 부분군은

n/p_i

크기의 순환군

(p_i)\mathbb Z/n

에 대응한다. 따라서 이 경우 다음이 성립한다.

:

\operatorname{rad}(_{\mathbb Z}(\mathbb Z/n))=(\operatorname{rad}n)\mathbb Z/n\cong\mathbb Z/(n/\operatorname{rad}n))

:

\operatorname{soc}(_{\mathbb Z}(\mathbb Z/n))=(n/\operatorname{rad}n)\mathbb Z/n\cong\mathbb Z/(\operatorname{rad}n)

4. 2. 2. 나눗셈군

나눗셈군(예를 들어, 유리수체의 덧셈군이나 프뤼퍼 군)은 극대 부분군을 갖지 않으므로, 나눗셈군은 스스로의 근기와 같다. 유리수체의 덧셈군은 극소 부분군 또한 갖지 않으므로, 주각은 자명군이다.

:

\operatorname{rad}(_{\mathbb Z}\mathbb Q)=\mathbb Q

:

\operatorname{soc}(_{\mathbb Z}\mathbb Q)=0

프뤼퍼 군의 부분군들은

:

0\subsetneq p^{-1}\mathbb Z/\mathbb Z\subsetneq p^{-2}\mathbb Z/\mathbb Z\subsetneq\cdots\subset\mathbb Z(p^\infty)

이므로, 그 유일한 극소 부분군은

p^{-1}\mathbb Z/\mathbb Z

이며, 이는 그 주각과 같다.

:

\operatorname{rad}(_{\mathbb Z}\mathbb Z(p^\infty))=\mathbb Z(p^\infty)

:

\operatorname{soc}(_{\mathbb Z}\mathbb Z(p^\infty))=p^{-1}\mathbb Z/\mathbb Z

5. 역사

환의 주각 개념은 장 디외도네가 1942년에 도입하였다.^[1]^[2] 제이컵슨 근기 개념은 네이선 제이컵슨이 1945년에 도입하였다.^[3] 나카야마 보조정리는 나카야마 다다시가 1951년에 도입하였다.^[4]

참조

_[1] 저널 Sur le socle d’un anneau et les anneaux simple infinis http://www.numdam.or[...] 1942
_[2] 저널 Lectures on rings and modules Chelsea Publishing Company 1986
_[3] 저널 The radical and semi-simplicity for arbitrary rings https://archive.org/[...] 1945
_[4] 저널 A remark on finitely generated modules http://projecteuclid[...] 1951

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