가중 사영 공간

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1. 개요
2. 정의
3. 분류
4. 성질
- 4.1. 아핀 덮개
5. 예
- 5.1. ℙ(1,1,n)
- 5.2. ℙ(1,2,3,…)
6. 역사
참조

1. 개요

가중 사영 공간은 가환환 K와 양의 정수 a₀, a₁, ..., aₙ에 의해 정의되는 사영 공간의 일종이다. 이는 등급환의 사영 스펙트럼으로, 무게 (a₀, a₁, ..., aₙ)를 갖는다. 가중 사영 공간은 원환 다양체이자 Q-파노 다양체이며, 대수적으로 닫힌 체 위의 가중 사영 공간은 사영 대수다양체를 이룬다. 모든 가중 사영 공간은 잘 만들어진 무게의 가중 사영 공간과 동형이며, 1975년 샤를 들로름에 의해 연구되었다.

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타원곡선은 체 위에서 정의되고 특이점이 없으며 종수가 1인 사영 대수 곡선으로, 유리점을 가지며, 특정 형태의 방정식으로 표현되고, 실수체 위에서는 연결 성분 개수가 판별식에 따라 달라지며, 복소수체 위에서는 원환면과 위상적으로 동형이고, 점들 간에 군 연산이 정의되어 암호학 및 정수론에 활용된다.
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가중 사영 공간
개요
가중 사영 공간 P(2,3)의 3차원 투영. 여기서 숫자 (2,3)은 좌표 x, y에 각각 곱해지는 가중치를 나타낸다.
정의	대수기하학에서, 가중 사영 공간은 사영 공간의 일반화이다.
로마자 표기	Gajeung sayeong gonggan
형식적 정의
기본 개념	K를 필드라 하자. 가중치 (a0,..., an)이 주어진다고 하자. 여기서 ai는 양의 정수이다. 아핀 공간 Kn+1에서 K× 작용을 다음과 같이 정의한다. t.(x0, ..., xn) = (tai x0, ..., tan xn) 가중 사영 공간 P(a0, ..., an)는 Kn+1 − {(0, ..., 0)}를 이 작용에 대한 몫으로 정의한다.
좌표	가중 사영 공간의 점은 좌표 [x0 : ... : xn]으로 표현된다. 여기서 좌표 xi는 K의 원소이며, 모두 0이 아닌 동시에, 다음을 만족한다. [x0 : ... : xn] = [tai x0 : ... : tan xn]
특별한 경우	모든 가중치가 1인 경우, 가중 사영 공간은 일반적인 사영 공간과 같다. P(1, ..., 1) = Pn
속성
특이점	가중 사영 공간은 일반적으로 특이점을 가질 수 있다.
몫 특이점	가중 사영 공간은 몫 특이점을 가진다.
유리성	모든 가중 사영 공간은 유리적이다.
예시
P(1, 1)	P(1, 1)은 사영 직선 P1과 같다.
P(1, 2)	P(1, 2)는 원뿔과 같다.

2. 정의

다음이 주어졌다고 하자.

가환환 $K$
양의 정수 $a_0, a_1, \dotsc, a_n \in \mathbb Z^+$

그렇다면, 등급환인 가환환

:

A = K[x_0, x_1, \dotsc, x_n]

:

\deg x_i = a_i

을 정의할 수 있다. 그 사영 스펙트럼

:

\operatorname{Proj} A = \mathbb P_K(a_0, a_1, \dotsc, a_n)

을 무게

(a_0, a_1, \dotsc, a_n)

의 '''가중 사영 공간'''이라고 한다. 물론, 이는 정수 계수 가중 사영 공간과

K

의 곱이다.

:

\mathbb P_K(a_0, a_1, \dotsc, a_n) = \mathbb P_{\mathbb Z}(a_0, a_1, \dotsc, a_n) \times K

즉, 만약

K

가 체일 때,

K^\times

는

\operatorname{Spec} K[x_0, \dotsc, x_n] \setminus \operatorname{Spec} K[x_0, \dotsc, x_n]/(x_0, \dotsc, x_n)

에 고정점 없이 다음과 같이 작용한다.

:

\lambda \cdot x_i = \lambda^{a_i} x_i

따라서, 이는 다음과 같은 몫으로 표현된다.

:

\mathbb P_K(a_0, \dotsc, a_n) = \frac{\operatorname{Spec} K[x_0, \dotsc, x_n] \setminus \operatorname{Spec} K[x_0, \dotsc, x_n]/(x_0, \dotsc, x_n)}{\mathbb G_{\mathrm m}^K}

그 닫힌점들의 집합은 다음과 같다.

:

\frac{\{(x_0, x_1, \dotsc, x_n) \in K^{n+1}\} \setminus \{(0, \dotsc, 0)\}}{(x_0, \dotsc, x_n) \sim (\lambda^{a_0} x_0, \dotsc, \lambda^{a_0} x_n) \qquad \forall \lambda \in K^\times}

3. 분류

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위에서, 모든 가중 사영 공간은 잘 만들어진 무게의 가중 사영 공간과 동형이다.^[1] 잘 만들어진 무게란 임의의 $n$ 개의 성분들의 최대공약수가 1인 경우를 의미한다. 즉, 임의의 $i\in\{0,1,\dotsc,n\}$ 에 대하여, $\gcd\{a_0,\dotsc,\widehat{a_i},\dotsc,a_n\} = 1$ 이다. (여기서 $\widehat{a_i}$ 는 $a_i$ 를 생략하라는 뜻이다.)

임의의 양의 정수 $b\in\mathbb Z^+$ 및 $i\in\{0,1,\dotsc,n\}$ 에 대하여, 다음과 같은 스킴 동형 사상이 존재한다.

: $\mathbb P(a_0,a_1,\dotsc,a_n) \cong \mathbb P(da_0,da_1,\dotsc,da_{i-1},a_i,da_{i+1},\dotsc,da_n) \cong \mathbb P(da_0,da_1,\dotsc,da_i,\dotsc,da_n)$

이는 Proj 구성의 성질이며, 기하학적으로는 ''d''-튜플 베로네세 매입에 해당한다.

4. 성질

가중 사영 공간은 원환 다양체이자 Q-파노 다양체이다.^[1] 대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 가중 사영 공간은 $K$ 위의 사영 대수다양체를 이룬다.^[4] 유일한 특이점은 순환 몫 특이점이다.

가중 사영 공간 '''P'''(''a''₀,''a''₁,...,''a''_n)는 차수가 ''a''₀,''a''₁,...,''a''_n인 단위 근의 군의 곱으로 주어지는 군에 의한 사영 공간의 몫과 동형이다.^[2]

4. 1. 아핀 덮개

가환환 K에 대하여, 가중 사영 공간 $\mathbb P_K(a_0,\dotsc,a_i)$는 n+1개의 아핀 스킴으로 구성된 열린 덮개를 갖는다. 각 $i\in\{0,\dotsc,n\}$에 대하여, $x_i$로 정의되는 열린집합 $U_i=\{\mathfrak p \in \mathbb P_K(a_0,\dotsc,a_n)\colon (x_i) \not\subseteq \mathfrak p \}$은 아핀 스킴이다.

특히, K가 대수적으로 닫힌 체일 때, $U_i$에 대응되는 가환환은 다음과 같다.

:$A_i = K[x_0,\dotsc,\hat x_i,\dotsc, x_n] / \mu_{a_i}$

여기서 $\mu_{a_i} = \{\lambda \in K^\times \colon \lambda^{a_i} = 1\}$는 1의 거듭제곱근으로 구성된 순환군이며, 그 작용은 $\lambda \cdot x_j = \lambda^{a_j}x_j$이다.

5. 예

모든 무게가 1이면, 가중 사영 공간은 일반적인 사영 공간과 같다.

: $\mathbb P_K(\underbrace{1,1,\dotsc,1}_{n+1}) = \mathbb P_K^n$

0차원 가중 사영 공간은 모두 0차원 사영 공간과 스킴으로서 동형이다.

: $\mathbb P_K(n) \cong \mathbb P_K^0 = \operatorname{Spec}K$

1차원 가중 사영 공간은 모두 1차원 사영 공간과 스킴으로서 동형이다.

: $\mathbb P_K(m,n) \cong \mathbb P_K(m,1) \cong \mathbb P_K(1,1) = \mathbb P_K^2$

5. 1. ℙ(1,1,n)

\mathbb P_K(1,1,n)

은 2차원에서 사영 공간과 동형이 아닌 가장 간단한 가중 사영 공간이다. 이는 다음과 같은 닫힌 몰입을 갖는다.

:

\mathbb P_K(1,1,n) \to \mathbb P_K^{n+1}

:

[x:y:z] \mapsto [x^n:x^{n-1}y:y^{n-2}y^2:\dotsb:x^ky^{n-k}:\dotsb:y^n:z]

이는 다음과 같은 사영 대수다양체와 동형이다.

:

\mathbb P_K(1,1,n) \cong \operatorname{Proj} \frac{K[X_0,X_1,\dotsc,X_n,Y]}{(\{X_{i-1}X_j - X_iX_{j-1} \colon i,j \in \{0,1,\dotsc,n-1\}\})}

이는 좌표

Y

에 의존하지 않으므로, 유리 곡선

\operatorname{Proj} K[X_0,\dotsc,X_n] / (\{X_{i-1}X_j - X_iX_{j-1} \colon i,j \in \{0,1,\dotsc,n-1\}\})

위의 뿔을 이루며, 뿔의 꼭짓점은

[0:0:\dotsb:0:1]

이다.

예를 들어,

n=2

인 경우 다음과 같다.

:

\mathbb P_K(1,1,2) \to \mathbb P_K^3

:

[x:y:z] \mapsto [x^2:xy:y^2:z]

이는 다음과 같은 사영 대수다양체와 동형이다.

:

\mathbb P_K(1,1,2) \cong \operatorname{Proj} \frac{K[X,Y,Z,W]}{(XZ-Y^2)}

이는 3차원 사영 공간 속의 이차 초곡면이다.

5. 2. ℙ(1,2,3,…)

가환환

K

에 대하여, 사영 공간

\mathbb P_K^n = \operatorname{Proj}K[x_0,x_1,\dotsc,x_n]

를 생각하자. 그 위에는 대칭군

\operatorname{Sym}(n+1)

이 좌표

(x_0,\dotsc,x_n)

에 대한 순열로 작용한다. 이에 대한 기하 불변량 이론 몫은 다음과 같다.

:

\mathbb P_K^n / \operatorname{Sym}(n+1) = \operatorname{Proj}(K[x_0,\dotsc,x_n]^{\operatorname{Sym}(n+1)})

이 경우,

K[x_0,\dotsc,x_n]^{\operatorname{Sym}(n+1)}

은 다음과 같은 기초 대칭 함수로 생성된다.

:

X_1 = x_0+x_1+\dotsb+x_n

:

X_2 = x_0x_1 + x_0x_2 + \dotsb + x_i x_j + \dotsb + x_{n-1}x_n

:

\vdots

:

X_{n+1} = x_0x_1\dotsm x_n

:

\deg X_i = i\qquad(i\in\{1,\dotsc,n+1\})

따라서 이는 가중 사영 공간

:

\mathbb P_K^n / \operatorname{Sym}(n+1) = \operatorname{Proj}(K[x_0,\dotsc,x_n]^{\operatorname{Sym}(n+1)}) = \mathbb P_K(1,2,\dotsc,n,n+1)

을 이룬다.

6. 역사

이 개념은 이미 1975년에 샤를 들로름이 ‘비등방 사영 공간’(espace projectif anisotrope^프랑스어)이라는 이름으로 연구하였다.^[5]

참조

_[1] 간행물 Linear algebra and toric data of weighted projective spaces 2012
_[2] GIT quotient weighted projective stack https://mathoverflow[...]
_[3] 서적 Group actions and vector fields. Proceedings of a Polish-North American Seminar Held at the University of British Columbia, January 15 - February 15, 1981 Springer-Verlag
_[4] 저널 An introduction to varieties in weighted projective space 2016
_[5] 저널 Espaces projectifs anisotropes 1975

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