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기하 불변량 이론 몫

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1. 개요

기하 불변량 이론 몫은 체 위의 대수적 스킴에 작용하는 대수군의 몫을 구성하는 방법이다. 이는 안정성과 준안정 궤적을 사용하여 정의되며, 아핀 스킴, 일반 스킴, 사영 공간 등 다양한 경우에 적용된다. 기하 불변량 이론 몫은 힐베르트의 정리와 범주적 몫의 성질을 활용하여 구성되며, 몫 공간의 기하학적 성질을 연구하는 데 중요한 도구로 사용된다. 유한군 작용, 평면 위의 토러스 작용, 오비폴드, 사영 공간 등 다양한 예시를 통해 기하 불변량 이론 몫의 구체적인 적용을 살펴볼 수 있다.

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기하 불변량 이론 몫
개요
분야수학, 대수기하학
하위 분야불변량 이론
관련 항목대수군, 몫공간
기하 불변량 이론 몫 (GIT 몫)
정의군 작용이 주어진 대수 다양체의 몫
관련 개념선형 대수군
대수 다양체
몫공간
불변량 이론
중요성모듈라이 공간 구성에 중요한 역할

2. 정의

기하 불변량 이론(GIT) 몫은 대수군 G대수다양체 또는 스킴 X에 작용할 때, 이 작용에 대한 불변량을 이용하여 몫 공간을 구성하는 방법이다. 이는 단순히 점들의 궤도 공간을 취하는 것보다 더 섬세한 기하학적 구조를 제공하며, 특히 몫 공간이 바람직한 성질(예: 분리성)을 갖도록 하는 데 중점을 둔다.

주요 정의는 다음 두 가지 경우로 나눌 수 있다.

1. '''아핀 스킴의 경우''': X = \operatorname{Spec}A가 아핀 스킴이고 대수군 G가 작용할 때, G의 작용에 불변인 정칙 함수들의 환 A^G를 고려한다. 기하 불변량 이론 몫은 이 불변량 환의 스펙트럼 \operatorname{Spec}(A^G)으로 정의된다. 만약 A가 유한 생성이고 G가약군이라면, A^G 역시 유한 생성이라는 중요한 성질이 성립한다 ('''나가타 정리''' Nagata’s theorem영어).

2. '''일반 스킴의 경우''': X가 일반적인 스킴일 때는 작용의 '''선형화'''와 대수적 선다발의 개념이 필요하다. 선형화된 작용을 갖춘 선다발 L을 이용하여 '''준안정점'''(semistable point)과 '''안정점'''(stable point)이라는 개념을 정의한다. 기하 불변량 이론 몫은 일반적으로 준안정점들의 열린 부분 스킴 X^{\operatorname{ss}} 위에서 구성되며, 이는 국소적으로 아핀 스킴 몫들을 짜깁기하여 얻어진다. 이 경우, 몫의 구성은 처음에 선택한 선형화 방식에 따라 달라질 수 있다.

각 경우에 대한 더 자세한 정의와 구성 방법은 하위 섹션에서 설명한다.

2. 1. 아핀 스킴의 경우

k, k 위의 아핀 스킴 X/\operatorname{Spec}k = \operatorname{Spec}A, k 위의 대수군 G/\operatorname{Spec} k, 그리고 군의 작용 G \times_k X \to X가 주어졌다고 하자.

이 군의 작용은 가환환 A 위에 다음과 같은 군의 작용을 유도한다.

:G \times A \to A

:(g.a)(x) = a(g^{-1}.x)

여기서 g \in G, a \in A, x \in X이다.

이 작용에 대해 불변인 원소들의 집합, 즉 불변량의 대수 A^G는 다음과 같이 정의된다.

:A^G = \{a\in A \colon\forall g\in G\colon g.a = a\}

A^Gk 위의 가환 결합 대수를 이룬다.

아핀 스킴 X = \operatorname{Spec} A의 '''기하 불변량 이론 몫'''은 불변량 대수 A^G의 스펙트럼으로 정의된다.

:X /\!/ G = \operatorname{Spec}(A^G)

만약 Ak 위에서 유한 생성된 가환 결합 대수이고, G가약군이라면, 불변량 대수 A^G 역시 k 위에서 유한 생성된 가환 결합 대수이다. 이를 '''나가타 정리'''(Nagata’s theoremeng)라고 한다.

2. 2. 일반 스킴의 경우

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 가정하자.

  • k
  • k 위의 유한형 스킴 X / \operatorname{Spec}k
  • 대수적 선다발 L \twoheadrightarrow X
  • k 위의 대수군 G / \operatorname{Spec}k
  • 작용 G \times_k X \to X


이 데이터의 '''선형화'''는 선다발 L 위에 주어진 G의 작용 중 다음 두 조건을 만족시키는 것을 말한다.

  • 임의의 l\in L에 대하여, \pi(g. l) = g.\pi(y)이다. 즉, 이 작용은 각 올(fiber) L_x에 대하여 사상 L_x \to L_x를 정의한다.
  • 또한, 임의의 x\in X에 대하여, 작용으로 유도된 사상 G\times_k L_x\to L_xk-선형 변환이다.


이때, 대수적 선다발 L에 대하여 X의 기하점 (k의 대수적으로 닫힌 체 \bar K 계수의 유리점) x: \operatorname{Spec}\bar K \to X가 다음 조건을 만족하면 '''준안정점'''(semistable point)이라고 한다.

  • 어떤 양의 정수 nG-불변 단면(invariant section) s\in \Gamma(X,\mathcal L^{\otimes n})에 대해, s(x)\ne 0이고 집합 \{y\in X\colon s(y) \ne 0\}이 아핀 스킴인 열린 부분 스킴이다.


만약 위의 준안정점 정의에 더하여, 집합 \{y\in X\colon s(y)\ne 0\}에서 모든 기하점의 궤도(orbit)가 자리스키 닫힌집합이라는 조건이 추가로 성립하면, x를 '''안정점'''(stable point)이라고 한다.

준안정점들의 집합은 열린 부분 스킴을 이루며, 이를 X^{\operatorname{ss}}로 표기한다.

:X^{\operatorname{ss}} \subseteq X

정의에 따라, 충분히 큰 자연수 NG-불변 단면들

:s_1,\dotsc,s_n \in \Gamma(\mathcal L^{\otimes N})

이 존재하여 다음이 성립한다.

:\{x\in X\colon s_i(x)\ne0\} \cong \operatorname{Spec}R_i (여기서 \operatorname{Spec}R_i는 아핀 스킴이다)

:\bigcup_{i=1}^n\operatorname{Spec}R_i = X^{\operatorname{ss}}

따라서 각 아핀 열린 스킴 \operatorname{Spec}R_i에 대하여 기하 불변량 이론 몫

:V_i = \operatorname{Spec}R_i^G

를 정의할 수 있다. 여기서 R_i^GR_i에서 G의 작용에 불변인 원소들의 부분환이다. 이 아핀 스킴 V_i들을 짜깁기하여 k 위의 유한형 스킴

:X /\!/ G

를 정의할 수 있다. 이를 X의 '''기하 불변량 이론 몫'''이라고 부른다. 이 몫 스킴의 구성은 처음에 선택한 작용의 선형화에 의존한다.

3. 성질

k 위의 유한형 스킴 X 및 그 위에 작용하는 대수군 G 및 선다발 L 및 선형화가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 안정점으로 구성된 열린 부분 스킴 X^{\operatorname{s}} 및 준안정점으로 구성된 열린 부분 스킴 X^{\operatorname{ss}}이 존재한다. 이 경우 X^{\operatorname{s}}의 경우 몫공간인 스킴 X^{\operatorname{s}}/G를 정의할 수 있다. 이 경우 다음과 같은 사상들이 존재한다.

:\begin{matrix}

X^{\operatorname{s}} & \hookrightarrow & X^{\operatorname{ss}} & \hookrightarrow & X \\

\downarrow && \downarrow \\

X^{\operatorname{s}} / G & \hookrightarrow & X /\!/ G

\end{matrix}

4. 구성

''G''를 체 위의 준사영 스킴 ''X''에 작용하는 환원군으로 하고, ''L''을 ''X'' 위의 선형화된 풍부한 선다발로 하자. 섹션 링을 다음과 같이 정의한다.

:R = \bigoplus_{n \ge 0} \Gamma(X, L^{\otimes n})

반안정 궤적 X^{ss}는 정의에 따라 ''X''에서 영 집합 V(R_+^G)의 여집합이다. 즉, 이것은 (L^{\otimes n})^G의 전역 섹션 ''s''에 대해 U_s = \{ s \ne 0 \}인 모든 열린 부분 집합의 합집합이며, 여기서 ''n''은 충분히 크다. ''L''의 풍부성에 의해, 각 U_s는 아핀이며, U_s = \operatorname{Spec}(A_s)라고 하자. 그러면 아핀 GIT 몫을 형성할 수 있다.

:\pi_s\colon U_s \to U_s /\!/ G = \operatorname{Spec}(A_s^G).

U_s /\!/ G는 불변량에 대한 힐베르트의 정리에 의해 유한 타입임을 참고하라. 범주적 몫의 보편적인 성질에 의해, 이러한 아핀 몫은 접착되어

:\pi\colon X^{ss} \to X /\!/_L G,

을 결과로 얻으며, 이는 ''L''에 대한 ''X''의 GIT 몫이다. 만약 ''X''가 사영 스킴, 즉 ''R''의 Proj이면, 몫 X /\!/_L G는 단순히 불변량환 R^G의 Proj로 주어진다.

가장 흥미로운 경우는 안정 궤적[1] X^s이 비어 있지 않은 경우이다. X^s는 유한한 안정자를 가지고 X^{ss}에서 닫힌 궤도를 갖는 반안정 점들의 열린 집합이다. 이러한 경우, GIT 몫은 다음과 같이 제한된다.

:\pi^s\colon X^s \to X^s/\!/G,

이는 모든 올이 궤도라는 성질을 갖는다. 즉, \pi^s는 진짜 몫 (즉, 기하 몫)이며, X^s/G = X^s/\!/G로 표기한다. 이 때문에, X^s가 비어 있지 않은 경우, GIT 몫 \pi는 종종 ''X''의 열린 부분 집합의 기하 몫의 "콤팩트화"로 언급된다.

어렵고 해결되지 않은 질문은 다음과 같다. 위 GIT 방식에서 어떤 기하 몫이 발생하는가? 이 질문은 GIT 접근 방식이 계산하기 어려운 추상 몫과 달리 ''명시적'' 몫을 생성하기 때문에 매우 흥미롭다. 이 질문에 대한 알려진 부분적인 답은 다음과 같다.[2] XG의 작용을 갖는 국소 인자 대수적 다양체 (예: 매끄러운 다양체)라고 하자. 열린 부분 집합 U \subset X와 기하 몫 \pi\colon U \to U/G가 존재하여 (1) \pi아핀 사상이고 (2) U/G가 준사영이라고 가정하자. 그러면 어떤 선형화된 선다발 ''L''에 대해 U \subset X^s(L)이다. (유사한 질문은 어떤 부분환이 어떤 방식으로 불변량환인지 결정하는 것이다.)

5. 예시

기하 불변량 이론(GIT) 몫은 대수기하학에서 군의 작용을 갖는 공간의 몫을 구성하는 중요한 방법 중 하나이다. 환원군 ''G''가 체 위의 준사영 스킴 ''X''에 작용하고, ''L''이 ''X'' 위의 선형화된 풍부한 선다발이라고 하자. 이때 섹션 링 R = \bigoplus_{n \ge 0} \Gamma(X, L^{\otimes n})을 정의한다. 반안정 점들의 집합 X^{ss}은 ''X''에서 불변 다항식들의 영 집합을 제외한 부분으로 정의되며, 이 위에서 GIT 몫 사상 \pi\colon X^{ss} \to X /\!/_L G를 구성할 수 있다. 이 몫은 국소적으로 아핀 GIT 몫들을 이어 붙여 얻어지며, 각 아핀 몫은 불변량에 대한 힐베르트의 정리에 의해 유한 타입 스킴의 스펙트럼으로 주어진다. 만약 ''X''가 사영 스킴, 즉 ''R''의 Proj라면, 몫 X /\!/_L G는 단순히 불변량환 R^G의 Proj가 된다.

특히 안정 점들의 집합[1] X^s는 반안정 점들 X^{ss} 안의 열린 부분집합으로, 유한한 안정자 군을 가지고 닫힌 궤도를 갖는 점들로 이루어진다. 만약 X^s가 비어 있지 않다면, GIT 몫을 X^s로 제한한 사상 \pi^s\colon X^s \to X^s/\!/G는 모든 올이 정확히 하나의 궤도가 되는 기하 몫 X^s/G와 같다. 이러한 이유로 GIT 몫 \pi는 종종 ''X''의 열린 부분집합 위에서의 기하 몫의 "콤팩트화"로 여겨진다.

GIT 몫 이론에서 중요한 질문 중 하나는 어떤 종류의 기하 몫이 이러한 GIT 구성 방식을 통해 얻어질 수 있는지이다. 이는 GIT 접근 방식이 추상적인 몫 이론과 달리 구체적이고 계산 가능한 몫을 제공하기 때문에 의미가 있다. 이 질문에 대한 부분적인 답으로, 만약 X가 국소 인자 대수 다양체이고, 열린 부분집합 U \subset X 위에 아핀 사상인 기하 몫 \pi\colon U \to U/G가 존재하며 몫 공간 U/G가 준사영 스킴이라면, 어떤 선형화된 선다발 ''L''에 대해 U가 안정점 집합 X^s(L) 안에 포함된다는 것이 알려져 있다.[2]

구체적인 예시로는 유한군 작용이나 토러스 작용에 대한 GIT 몫이 있다. 예를 들어, 아핀 공간 \mathbb{A}^2에 대한 \mathbb{Z}/2 작용이나 곱셈 군 \mathbb{G}_m의 작용을 생각할 수 있으며, 각각의 경우 불변량 환과 그에 대응하는 GIT 몫 공간의 구조를 분석할 수 있다. 이러한 예시들은 GIT 몫이 반드시 위상적인 궤도 공간과 일치하지 않을 수 있음을 보여주기도 한다.[3] 자세한 내용은 하위 섹션에서 다룬다.

5. 1. 유한군 작용 (Z/2)

기하 불변량 이론(GIT) 몫의 간단한 예시 중 하나는 \mathbb{Z}/2 군의 작용으로 주어진다. 이 작용은 복소수 계수를 갖는 2변수 다항식 환 \Complex[x,y]에 다음과 같이 정의된다.

:

\begin{align}

x \mapsto (-x) && y \mapsto (-y)

\end{align}



이 작용에 대해 변하지 않는 다항식들, 즉 불변량들로 이루어진 환 \Complex[x,y]^{\Z/2}은 단항식 x^2,xy,y^2에 의해 생성된다. 따라서 불변량의 환은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:\Complex[x,y]^{\Z/2} = \Complex[x^2,xy,y^2] = \frac{\Complex[a,b,c]}{(ac - b^2)}

여기서 a = x^2, b = xy, c = y^2로 두면, 이들은 ac - b^2 = (x^2)(y^2) - (xy)^2 = 0 이라는 관계식을 만족한다.

기하학적으로 이는 2차원 아핀 공간 \mathbb{A}^2에서 몫 공간으로 가는 사상으로 해석할 수 있다. 몫 공간은 불변량의 환에 대응하는 아핀 스킴(affine scheme)으로 주어진다.

:\mathbb{A}^2 \to \text{Spec}\left(\frac{\Complex[a,b,c]}{(ac - b^2)}\right) =: \mathbb{A}^2/(\Z/2)

이 몫 공간 \mathbb{A}^2/(\Z/2)a, b, c를 좌표로 갖는 3차원 아핀 공간 \mathbb{A}^3 안에서 ac - b^2 = 0 이라는 방정식으로 정의되는 부분다양체이다. 이 부분다양체의 특이점은 방정식 f(a,b,c) = ac - b^2 = 0과 그 미분 df가 동시에 0이 되는 점을 찾아 확인할 수 있다.

:df = \begin{bmatrix}

c & -2b & a

\end{bmatrix}

방정식 f=0과 미분 df = \begin{bmatrix} c & -2b & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}을 동시에 만족하는 유일한 점은 원점 (0,0,0)이다. 따라서 이 몫 공간은 원점에 고립된 특이점을 갖는 특이 부분다양체이다. 기하학적으로 이는 원점에 원뿔 곡면 형태의 특이점을 가지며, 듀 발 특이점의 한 종류인 일반 이중점(ordinary double point)에 해당한다.

5. 2. 평면 위의 토러스 작용

곱셈 군 \mathbb{G}_m아핀 평면 X = \mathbb{A}^2에 작용하는 토러스 작용을 다음과 같이 정의해 보자.

t\cdot (x,y) = (tx,t^{-1}y)

이 작용은 여러 궤도를 가진다.

  • 원점 (0,0)
  • x축에서 원점을 제외한 부분: \{(x,0) : x \neq 0\}
  • y축에서 원점을 제외한 부분: \{(0,y) : y \neq 0\}
  • xy = a (a는 0이 아닌 복소수) 형태의 쌍곡선.


이때 GIT 몫 X//\mathbb{G}_m은 불변 다항식들의 환 \mathcal{O}_{\mathbb{A}^2}^{\mathbb{G}_m}을 구조층으로 가진다. 이 환은 \mathbb{C}[xy]와 같으며, 이는 아핀 직선 \mathbb{A}^1의 좌표환과 동형이다. 따라서 GIT 몫 사상은 다음과 같이 주어진다.

\pi\colon \mathbb{A}^2 \to \mathbb{A}^2//\mathbb{G}_m \cong \mathbb{A}^1


여기서 사상 \pi는 점 (x,y)xy로 보낸다.

몫 공간 \mathbb{A}^1의 점 (0)의 역상 \pi^{-1}(0)xy=0을 만족하는 점들의 집합이다. 이는 원점 (0,0), x축(원점 제외), y축(원점 제외)이라는 세 종류의 궤도로 이루어진다. 이 예시는 GIT 몫이 반드시 위상 공간으로서의 궤도 공간과 일치하지는 않음을 보여준다. 만약 GIT 몫이 궤도 공간이었다면, 이 세 궤도에 해당하는 점은 하나여야 하지만, 실제로는 구별되는 궤도들이 하나의 점으로 사상된다. 이는 결과 공간이 비분리 공간과 유사한 성질을 가질 수 있음을 시사한다.[3]

5. 3. 오비폴드

K 위의 2차원 아핀 스킴 \mathbb A^2_K = \operatorname{Spec} K[x,y]를 생각하자. 여기에 2차 순환군 G = \operatorname{Cyc}(2)가 다음과 같이 작용한다고 가정한다.

:(x,y)\mapsto (-x,-y)

또한, 체 K의 표수(\operatorname{char} K)는 2가 아니라고 가정한다 (\operatorname{char}K \ne 2).

이 작용에 대한 불변 다항식들의 환 K[x,y]^G는 다음과 같이 주어진다.

:K[x,y]^G \cong \frac{K[a,b,c]}{(ac-b^2)}

여기서 동형사상은 구체적으로 다음과 같다.

:(a,b,c) \mapsto (x^2,xy,y^2)

따라서, 이 작용에 대한 기하 불변량 이론 몫은 다음과 같이 계산된다.

:\mathbb A^2_K /\!/ G = \operatorname{Spec}(K[x,y]^G) = \operatorname{Spec}\frac{K[a,b,c]}{(ac-b^2)}

이는 3차원 아핀 공간 \mathbb A^3_K = \operatorname{Spec} K[a,b,c] 안에서 방정식 ac - b^2 = 0으로 정의되는 이차 초곡면이다. 이는 오비폴드의 한 예시가 된다.

5. 4. 사영 공간

k가 주어졌다고 하자. 곱셈군 K^\times사영 공간 X = \mathbb P^n_k 위에 다음과 같이 작용한다고 하자.

:\lambda . [x_0:x_1:\dotsb:x_n] = [\lambda^{-n}x_0:\lambda x_1:\dotsb:\lambda x_n]

그렇다면, 닫힌 점 x=[x_0:\dotsb:x_n]는 힐베르트-멈퍼드 수치 조건에 의하여 다음과 같이 분류된다.

  • 만약 x_0 \ne 0이며 (x_1,\dotsc,x_n) \ne (0,\dotsc,0)이라면, x안정점이다.
  • 만약 x = [1:0:\dotsb:0]이라면, x안정점도, 준안정점도 아니다.
  • 만약 x_0 = 0이라면, x안정점도, 준안정점도 아니다.

(이 경우 모든 준안정점은 안정점이다.)

즉, 이 경우 준안정점의 부분 공간은

:X^{\operatorname{ss}} \cong \mathbb A^n_K \setminus \{0\}

이며, 그 위의 k^\times의 작용은

:\lambda . (x_1,\dotsc,x_n) = (\lambda x_1,\dotsc,\lambda x_n)

이다. 따라서 그 기하 불변량 이론 몫은

:X /\!/ k^\times = \mathbb P^{n-1}_k

이다.

참조

[1] 기타
[2] 기타
[3] 논문 Notes on GIT and symplectic reduction for bundles and varieties International Press of Boston
[4] 저널 Invariant theory, old and new
[5] 서적 Geometric invariant theory Springer-Verlag



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