기하 불변량 이론 몫
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1. 개요
기하 불변량 이론 몫은 체 위의 대수적 스킴에 작용하는 대수군의 몫을 구성하는 방법이다. 이는 안정성과 준안정 궤적을 사용하여 정의되며, 아핀 스킴, 일반 스킴, 사영 공간 등 다양한 경우에 적용된다. 기하 불변량 이론 몫은 힐베르트의 정리와 범주적 몫의 성질을 활용하여 구성되며, 몫 공간의 기하학적 성질을 연구하는 데 중요한 도구로 사용된다. 유한군 작용, 평면 위의 토러스 작용, 오비폴드, 사영 공간 등 다양한 예시를 통해 기하 불변량 이론 몫의 구체적인 적용을 살펴볼 수 있다.
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기하 불변량 이론 몫 | |
---|---|
개요 | |
분야 | 수학, 대수기하학 |
하위 분야 | 불변량 이론 |
관련 항목 | 대수군, 몫공간 |
기하 불변량 이론 몫 (GIT 몫) | |
정의 | 군 작용이 주어진 대수 다양체의 몫 |
관련 개념 | 선형 대수군 대수 다양체 몫공간 불변량 이론 |
중요성 | 모듈라이 공간 구성에 중요한 역할 |
2. 정의
기하 불변량 이론(GIT) 몫은 대수군 가 대수다양체 또는 스킴 에 작용할 때, 이 작용에 대한 불변량을 이용하여 몫 공간을 구성하는 방법이다. 이는 단순히 점들의 궤도 공간을 취하는 것보다 더 섬세한 기하학적 구조를 제공하며, 특히 몫 공간이 바람직한 성질(예: 분리성)을 갖도록 하는 데 중점을 둔다.
주요 정의는 다음 두 가지 경우로 나눌 수 있다.
1. '''아핀 스킴의 경우''': 가 아핀 스킴이고 대수군 가 작용할 때, 의 작용에 불변인 정칙 함수들의 환 를 고려한다. 기하 불변량 이론 몫은 이 불변량 환의 스펙트럼 으로 정의된다. 만약 가 유한 생성이고 가 가약군이라면, 역시 유한 생성이라는 중요한 성질이 성립한다 ('''나가타 정리''' Nagata’s theorem영어).
2. '''일반 스킴의 경우''': 가 일반적인 스킴일 때는 작용의 '''선형화'''와 대수적 선다발의 개념이 필요하다. 선형화된 작용을 갖춘 선다발 을 이용하여 '''준안정점'''(semistable point)과 '''안정점'''(stable point)이라는 개념을 정의한다. 기하 불변량 이론 몫은 일반적으로 준안정점들의 열린 부분 스킴 위에서 구성되며, 이는 국소적으로 아핀 스킴 몫들을 짜깁기하여 얻어진다. 이 경우, 몫의 구성은 처음에 선택한 선형화 방식에 따라 달라질 수 있다.
각 경우에 대한 더 자세한 정의와 구성 방법은 하위 섹션에서 설명한다.
2. 1. 아핀 스킴의 경우
체 , 위의 아핀 스킴 , 위의 대수군 , 그리고 군의 작용 가 주어졌다고 하자.이 군의 작용은 가환환 위에 다음과 같은 군의 작용을 유도한다.
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:
여기서 , , 이다.
이 작용에 대해 불변인 원소들의 집합, 즉 불변량의 대수 는 다음과 같이 정의된다.
:
는 위의 가환 결합 대수를 이룬다.
아핀 스킴 의 '''기하 불변량 이론 몫'''은 불변량 대수 의 스펙트럼으로 정의된다.
:
만약 가 위에서 유한 생성된 가환 결합 대수이고, 가 가약군이라면, 불변량 대수 역시 위에서 유한 생성된 가환 결합 대수이다. 이를 '''나가타 정리'''(Nagata’s theoremeng)라고 한다.
2. 2. 일반 스킴의 경우
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 가정하자.이 데이터의 '''선형화'''는 선다발 위에 주어진 의 작용 중 다음 두 조건을 만족시키는 것을 말한다.
- 임의의 에 대하여, 이다. 즉, 이 작용은 각 올(fiber) 에 대하여 사상 를 정의한다.
- 또한, 임의의 에 대하여, 작용으로 유도된 사상 는 -선형 변환이다.
이때, 대수적 선다발 에 대하여 의 기하점 (의 대수적으로 닫힌 체 계수의 유리점) 가 다음 조건을 만족하면 '''준안정점'''(semistable point)이라고 한다.
- 어떤 양의 정수 과 -불변 단면(invariant section) 에 대해, 이고 집합 이 아핀 스킴인 열린 부분 스킴이다.
만약 위의 준안정점 정의에 더하여, 집합 에서 모든 기하점의 궤도(orbit)가 자리스키 닫힌집합이라는 조건이 추가로 성립하면, 를 '''안정점'''(stable point)이라고 한다.
준안정점들의 집합은 열린 부분 스킴을 이루며, 이를 로 표기한다.
:
정의에 따라, 충분히 큰 자연수 과 -불변 단면들
:
이 존재하여 다음이 성립한다.
: (여기서 는 아핀 스킴이다)
:
따라서 각 아핀 열린 스킴 에 대하여 기하 불변량 이론 몫
:
를 정의할 수 있다. 여기서 는 에서 의 작용에 불변인 원소들의 부분환이다. 이 아핀 스킴 들을 짜깁기하여 위의 유한형 스킴
:
를 정의할 수 있다. 이를 의 '''기하 불변량 이론 몫'''이라고 부른다. 이 몫 스킴의 구성은 처음에 선택한 작용의 선형화에 의존한다.
3. 성질
체 위의 유한형 스킴 및 그 위에 작용하는 대수군 및 선다발 및 선형화가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 안정점으로 구성된 열린 부분 스킴 및 준안정점으로 구성된 열린 부분 스킴 이 존재한다. 이 경우 의 경우 몫공간인 스킴 를 정의할 수 있다. 이 경우 다음과 같은 사상들이 존재한다.
:
4. 구성
''G''를 체 위의 준사영 스킴 ''X''에 작용하는 환원군으로 하고, ''L''을 ''X'' 위의 선형화된 풍부한 선다발로 하자. 섹션 링을 다음과 같이 정의한다.
:
반안정 궤적 는 정의에 따라 ''X''에서 영 집합 의 여집합이다. 즉, 이것은 의 전역 섹션 ''s''에 대해 인 모든 열린 부분 집합의 합집합이며, 여기서 ''n''은 충분히 크다. ''L''의 풍부성에 의해, 각 는 아핀이며, 라고 하자. 그러면 아핀 GIT 몫을 형성할 수 있다.
:
는 불변량에 대한 힐베르트의 정리에 의해 유한 타입임을 참고하라. 범주적 몫의 보편적인 성질에 의해, 이러한 아핀 몫은 접착되어
:
을 결과로 얻으며, 이는 ''L''에 대한 ''X''의 GIT 몫이다. 만약 ''X''가 사영 스킴, 즉 ''R''의 Proj이면, 몫 는 단순히 불변량환 의 Proj로 주어진다.
가장 흥미로운 경우는 안정 궤적[1] 이 비어 있지 않은 경우이다. 는 유한한 안정자를 가지고 에서 닫힌 궤도를 갖는 반안정 점들의 열린 집합이다. 이러한 경우, GIT 몫은 다음과 같이 제한된다.
:
이는 모든 올이 궤도라는 성질을 갖는다. 즉, 는 진짜 몫 (즉, 기하 몫)이며, 로 표기한다. 이 때문에, 가 비어 있지 않은 경우, GIT 몫 는 종종 ''X''의 열린 부분 집합의 기하 몫의 "콤팩트화"로 언급된다.
어렵고 해결되지 않은 질문은 다음과 같다. 위 GIT 방식에서 어떤 기하 몫이 발생하는가? 이 질문은 GIT 접근 방식이 계산하기 어려운 추상 몫과 달리 ''명시적'' 몫을 생성하기 때문에 매우 흥미롭다. 이 질문에 대한 알려진 부분적인 답은 다음과 같다.[2] 를 의 작용을 갖는 국소 인자 대수적 다양체 (예: 매끄러운 다양체)라고 하자. 열린 부분 집합 와 기하 몫 가 존재하여 (1) 가 아핀 사상이고 (2) 가 준사영이라고 가정하자. 그러면 어떤 선형화된 선다발 ''L''에 대해 이다. (유사한 질문은 어떤 부분환이 어떤 방식으로 불변량환인지 결정하는 것이다.)
5. 예시
기하 불변량 이론(GIT) 몫은 대수기하학에서 군의 작용을 갖는 공간의 몫을 구성하는 중요한 방법 중 하나이다. 환원군 ''G''가 체 위의 준사영 스킴 ''X''에 작용하고, ''L''이 ''X'' 위의 선형화된 풍부한 선다발이라고 하자. 이때 섹션 링 을 정의한다. 반안정 점들의 집합 은 ''X''에서 불변 다항식들의 영 집합을 제외한 부분으로 정의되며, 이 위에서 GIT 몫 사상 를 구성할 수 있다. 이 몫은 국소적으로 아핀 GIT 몫들을 이어 붙여 얻어지며, 각 아핀 몫은 불변량에 대한 힐베르트의 정리에 의해 유한 타입 스킴의 스펙트럼으로 주어진다. 만약 ''X''가 사영 스킴, 즉 ''R''의 Proj라면, 몫 는 단순히 불변량환 의 Proj가 된다.
특히 안정 점들의 집합[1] 는 반안정 점들 안의 열린 부분집합으로, 유한한 안정자 군을 가지고 닫힌 궤도를 갖는 점들로 이루어진다. 만약 가 비어 있지 않다면, GIT 몫을 로 제한한 사상 는 모든 올이 정확히 하나의 궤도가 되는 기하 몫 와 같다. 이러한 이유로 GIT 몫 는 종종 ''X''의 열린 부분집합 위에서의 기하 몫의 "콤팩트화"로 여겨진다.
GIT 몫 이론에서 중요한 질문 중 하나는 어떤 종류의 기하 몫이 이러한 GIT 구성 방식을 통해 얻어질 수 있는지이다. 이는 GIT 접근 방식이 추상적인 몫 이론과 달리 구체적이고 계산 가능한 몫을 제공하기 때문에 의미가 있다. 이 질문에 대한 부분적인 답으로, 만약 가 국소 인자 대수 다양체이고, 열린 부분집합 위에 아핀 사상인 기하 몫 가 존재하며 몫 공간 가 준사영 스킴이라면, 어떤 선형화된 선다발 ''L''에 대해 가 안정점 집합 안에 포함된다는 것이 알려져 있다.[2]
구체적인 예시로는 유한군 작용이나 토러스 작용에 대한 GIT 몫이 있다. 예를 들어, 아핀 공간 에 대한 작용이나 곱셈 군 의 작용을 생각할 수 있으며, 각각의 경우 불변량 환과 그에 대응하는 GIT 몫 공간의 구조를 분석할 수 있다. 이러한 예시들은 GIT 몫이 반드시 위상적인 궤도 공간과 일치하지 않을 수 있음을 보여주기도 한다.[3] 자세한 내용은 하위 섹션에서 다룬다.
5. 1. 유한군 작용 (Z/2)
기하 불변량 이론(GIT) 몫의 간단한 예시 중 하나는 군의 작용으로 주어진다. 이 작용은 복소수 계수를 갖는 2변수 다항식 환 에 다음과 같이 정의된다.:
이 작용에 대해 변하지 않는 다항식들, 즉 불변량들로 이루어진 환 은 단항식 에 의해 생성된다. 따라서 불변량의 환은 다음과 같이 표현할 수 있다.
:
여기서 로 두면, 이들은 이라는 관계식을 만족한다.
기하학적으로 이는 2차원 아핀 공간 에서 몫 공간으로 가는 사상으로 해석할 수 있다. 몫 공간은 불변량의 환에 대응하는 아핀 스킴(affine scheme)으로 주어진다.
:
이 몫 공간 은 를 좌표로 갖는 3차원 아핀 공간 안에서 이라는 방정식으로 정의되는 부분다양체이다. 이 부분다양체의 특이점은 방정식 과 그 미분 가 동시에 0이 되는 점을 찾아 확인할 수 있다.
:
방정식 과 미분 을 동시에 만족하는 유일한 점은 원점 이다. 따라서 이 몫 공간은 원점에 고립된 특이점을 갖는 특이 부분다양체이다. 기하학적으로 이는 원점에 원뿔 곡면 형태의 특이점을 가지며, 듀 발 특이점의 한 종류인 일반 이중점(ordinary double point)에 해당한다.
5. 2. 평면 위의 토러스 작용
곱셈 군 이 아핀 평면 에 작용하는 토러스 작용을 다음과 같이 정의해 보자.이 작용은 여러 궤도를 가진다.
이때 GIT 몫 은 불변 다항식들의 환 을 구조층으로 가진다. 이 환은 와 같으며, 이는 아핀 직선 의 좌표환과 동형이다. 따라서 GIT 몫 사상은 다음과 같이 주어진다.
여기서 사상 는 점 를 로 보낸다.
몫 공간 의 점 의 역상 은 을 만족하는 점들의 집합이다. 이는 원점 , 축(원점 제외), 축(원점 제외)이라는 세 종류의 궤도로 이루어진다. 이 예시는 GIT 몫이 반드시 위상 공간으로서의 궤도 공간과 일치하지는 않음을 보여준다. 만약 GIT 몫이 궤도 공간이었다면, 이 세 궤도에 해당하는 점은 하나여야 하지만, 실제로는 구별되는 궤도들이 하나의 점으로 사상된다. 이는 결과 공간이 비분리 공간과 유사한 성질을 가질 수 있음을 시사한다.[3]
5. 3. 오비폴드
체 위의 2차원 아핀 스킴 를 생각하자. 여기에 2차 순환군 가 다음과 같이 작용한다고 가정한다.:
또한, 체 의 표수()는 2가 아니라고 가정한다 ().
이 작용에 대한 불변 다항식들의 환 는 다음과 같이 주어진다.
:
여기서 동형사상은 구체적으로 다음과 같다.
:
따라서, 이 작용에 대한 기하 불변량 이론 몫은 다음과 같이 계산된다.
:
이는 3차원 아핀 공간 안에서 방정식 으로 정의되는 이차 초곡면이다. 이는 오비폴드의 한 예시가 된다.
5. 4. 사영 공간
체 가 주어졌다고 하자. 곱셈군 이 사영 공간 위에 다음과 같이 작용한다고 하자.:
그렇다면, 닫힌 점 는 힐베르트-멈퍼드 수치 조건에 의하여 다음과 같이 분류된다.
(이 경우 모든 준안정점은 안정점이다.)
즉, 이 경우 준안정점의 부분 공간은
:
이며, 그 위의 의 작용은
:
이다. 따라서 그 기하 불변량 이론 몫은
:
이다.
참조
[1]
기타
[2]
기타
[3]
논문
Notes on GIT and symplectic reduction for bundles and varieties
International Press of Boston
[4]
저널
Invariant theory, old and new
[5]
서적
Geometric invariant theory
Springer-Verlag
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