고런스틴 환

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 다른 정의
3. 성질
4. 예시
5. 역사
참조

1. 개요

고런스틴 환은 뇌터 환의 일종으로, 뇌터 국소환, 가환환, 스킴에 대해 다양한 정의를 갖는다. 고런스틴 국소환은 단사 차원이 유한하거나, 크룰 차원과 같거나, 특정 Ext 함자 조건을 만족하는 뇌터 국소환으로 정의된다. 고런스틴 환은 모든 극대 아이디얼 또는 소 아이디얼에서의 국소화가 고런스틴 국소환인 뇌터 가환환이다. 고런스틴 스킴은 모든 닫힌 점 또는 모든 점에서의 국소 가환환이 고런스틴 국소환인 국소 뇌터 스킴이다. 고런스틴 환은 코언-매콜리 환의 부분집합이며, 정칙환, 완비교차환을 포함한다. 고런스틴 환은 세르 쌍대성, 그로텐디크 국소 쌍대성, 힐베르트 급수와 관련이 있으며, 대수 기하학에서 중요한 역할을 한다.

더 읽어볼만한 페이지

가환대수학 - 매개계
매개계는 뇌터 국소 가환환과 유한 생성 가군을 사용하여 정의되며, 가군의 길이와 크룰 차원을 활용하여 정칙 국소환에서 정칙 매개계의 성질을 규명하고, 추상대수기하학에서 기하학적 대상의 분류와 연구에 중요한 역할을 한다.
가환대수학 - 크룰 차원
크룰 차원은 환 내의 소수 아이디얼 체인의 길이를 이용하여 정의되며, 환론 및 대수기하학에서 중요한 역할을 하고 다양한 개념으로 확장되어 사용된다.

고런스틴 환
개요
종류	가환환
정의	국소환
성질	정칙환의 일반화
역사적 맥락
기원	프랜시스 소어비 맥컬리 (F. S. Macaulay)의 연구 1916년 논문 "가환대수의 대칭적 성질"에서 특정 다항식 환 연구
명칭 유래	다니엘 고렌슈타인 (Daniel Gorenstein)의 이름에서 유래 아이린 수잔 (Irena Swanson)에 따르면, 고렌슈타인이 1940년대에 맥컬리의 정리를 일반화함
발전	장피에르 세르 (Jean-Pierre Serre)의 1961년 추측에 중요한 역할 하임만 바스 (Hyman Bass)의 연구 (1963)
정의
국소환	뇌터 환 국소환 (R, m)에 대해 다음 조건들이 동치이며, 이를 만족하는 환을 고렌슈타인 환이라고 함
조건 1	Extⁱ_R(k, R) = 0 for i ≠ depth R, 여기서 k는 잉여류체 R/m
조건 2	dim_k Ext^{depth R}_R(k, R) = 1, 여기서 k는 잉여류체 R/m
조건 3	R의 잉여류체가 유한 사영 차원을 가짐
조건 4	R은 injective 차원이 유한함
조건 5	모든 i에 대해 Extⁱ_R(k, R)이 유한 생성 R-module이고, i > depth R이면 0임
특성	자기 주입 (self-injective) 뇌터 환은 고렌슈타인 환임
성질
일반적인 성질	고렌슈타인 환은 코헨-매콜리 환임 정칙 국소환은 고렌슈타인 환임 완비 교차 환 (complete intersection ring)은 고렌슈타인 환임 A가 고렌슈타인 환이고 G가 유한군이며 \|G\|가 A에서 가역적이면, A^G도 고렌슈타인 환임
특수한 경우	0차원 뇌터 환이 고렌슈타인 환일 필요충분조건은 자기 주입적임 1차원 정역이 고렌슈타인 환일 필요충분조건은 모든 non-zero 아이디얼이 가역적임
예시
예시	체 (field) 데데킨트 정역 군환 K[G] (K는 체, G는 유한군)
주의	모든 정수적으로 닫힌 정역이 고렌슈타인 환인 것은 아님.
활용
대수기하학	대수 곡선의 특이점 연구 듀얼리티 정리 (duality theorem)
참고 문헌
참고 문헌	Irena Swanson, What is a Gorenstein ring? Notices of the AMS 58, 793-794 (2011)

2. 정의

뇌터 국소환 $(R,\mathfrak m)$에 대하여 다음 조건들은 서로 동치하며, 이를 만족시키는 뇌터 국소환을 '''고런스틴 국소환'''(Gorenstein local ring^영어)이라고 한다.^[14]

$R$의 단사 차원이 유한하다.
$R$의 단사 차원이 크룰 차원과 같다. (뇌터 국소환의 크룰 차원은 항상 유한하다.)
$\operatorname{Ext}_R^n(R/\mathfrak m,R)\cong\begin{cases}0&n\ne\dim R\\R/\mathfrak m& n=\dim R\end{cases}$
$\operatorname{Ext}_R^n(R/\mathfrak m,R)=0$인 $n>\dim R$가 존재한다.
다음 두 조건이 성립한다.
* 모든 $n<\dim R$에 대하여, $\operatorname{Ext}_R^n(R/\mathfrak m,R)=0$이다.
* $\operatorname{Ext}_R^{\dim R}(R/\mathfrak m,R)\cong R/\mathfrak m$이다.
$R$는 코언-매콜리 환이며, $\operatorname{Ext}^{\dim n}_R(R/\mathfrak m,R)\cong R/\mathfrak m$이다.

여기서 $\dim R$는 $R$의 크룰 차원이며, $\operatorname{Ext}^n_R$는 Ext 함자이다.

뇌터 가환환 $R$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 뇌터 가환환을 '''고런스틴 환'''(Gorenstein ring^영어)이라고 한다.^[14]

모든 극대 아이디얼에서의 국소화가 고런스틴 국소환이다.
모든 소 아이디얼에서의 국소화가 고런스틴 국소환이다.

마찬가지로, 국소 뇌터 스킴에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 뇌터 스킴을 '''고런스틴 스킴'''(Gorenstein scheme^영어)이라고 한다.

모든 닫힌 점(극대 아이디얼)에서의 국소 가환환이 고런스틴 국소환이다.
모든 점(소 아이디얼)에서의 국소 가환환이 고런스틴 국소환이다.

2. 1. 다른 정의

고런스틴 환은 가환환으로서 소 아이디얼에서의 각 국소화가 고런스틴 국소환인 환을 말한다. 고런스틴 환은 코언-메콜리 환의 특수한 경우이다.^[2]

크룰 차원이 0인 노에터 국소환 ''R''(또는 ''R''이 ''R''-가군으로 유한 길이를 갖는 경우)은 Hom_''R''(''k'', ''R'')이 ''k''-벡터 공간으로서 차원이 1인 경우에만 고런스틴이다. 여기서 ''k''는 ''R''의 잉여류체이다. 또는 ''R''은 ''R''-가군으로 단순한 소클을 갖는다.^[2]

일반적으로, 노에터 국소환 ''R''은 최대 아이디얼에 있는 정규 수열 ''a''₁,...,''a''_''n''이 존재하여 몫환 ''R''/(''a''₁,...,''a''_''n'')이 차원이 0인 고런스틴 환인 경우에만 고런스틴이다.

예를 들어, ''R''이 체 ''k''에 대한 가환 등급 대수로서 ''k''-벡터 공간으로서 유한 차원을 갖는 경우, ''R'' = ''k'' ⊕ ''R''₁ ⊕ ... ⊕ ''R''_''m''이면, ''R''은 푸앵카레 쌍대성을 만족하는 경우에만 고런스틴이다. 이는 최상위 등급 조각 ''R''_''m''이 차원 1을 갖고, 곱 ''R''_''a'' × ''R''_{''m''−''a''} → ''R''_''m''이 모든 ''a''에 대해 완전 쌍대성인 것을 의미한다.^[3]

등급환이 아닌 경우, 고런스틴 성질을 일종의 쌍대성으로 해석할 수 있다. 체 ''F''에 대해, ''F''-벡터 공간으로서 유한 차원을 갖는 (따라서 환으로서 차원이 0인) 가환 ''F''-대수 ''R''은 대칭 쌍선형 형식 (''x'', ''y'') := ''e''(''xy'') on ''R'' (''F''-벡터 공간)이 비퇴화인 ''F''-선형 사상 ''e'': ''R'' → ''F''가 존재하는 경우에만 고런스틴이다.^[4]

크룰 차원 ''n''인 가환 노에터 국소환 (''R'', ''m'', ''k'')에 대해, 다음은 동치이다:^[5]

''R''은 ''R''-가군으로서 유한 주입 차원을 갖는다.
''R''은 ''R''-가군으로서 주입 차원 ''n''을 갖는다.
Ext 군 $\operatorname{Ext}^i_R(k,R) = 0$ for ''i'' ≠ ''n''이고 $\operatorname{Ext}^n_R(k,R) \cong k$
$\operatorname{Ext}^i_R(k,R) = 0$ for some ''i'' > ''n''
$\operatorname{Ext}^i_R(k,R) = 0$ for all ''i'' < ''n''이고 $\operatorname{Ext}^n_R(k,R) \cong k$
''R''은 ''n''차원 고런스틴 환이다.

(반드시 가환일 필요는 없는) 환 ''R''은 ''R''이 왼쪽 ''R''-가군과 오른쪽 ''R''-가군 모두로서 유한 주입 차원을 갖는 경우 고런스틴이라고 한다. ''R''이 국소환인 경우, ''R''을 국소 고런스틴 환이라고 한다.

3. 성질

정칙환, 완비교차환(complete intersection ring), 코언-매콜리 환 사이에 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

:정칙환 ⊊ 완비교차환 ⊊ 고런스틴 환 ⊊ 코언-매콜리 환

뇌터 국소환 $R$ 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.^[14]

$R$ 가 고런스틴 국소환이다.
$R$ 의 (극대 아이디얼에서의) 완비화 $\hat R$ 가 고런스틴 국소환이다.

임의의 체

K

위의 아르틴 가환 결합 대수(즉,

K

-벡터 공간으로서 유한 차원인 것)

R

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[15]

고런스틴 환이다.
어떤 $K$ -선형 변환 $t\colon R\to K$ 에 대하여, 대칭 쌍선형 형식 $\langle x,y\rangle = t(xy)$ 이 비퇴화 쌍선형 형식이다.

크룰 차원이 0인 임의의 뇌터 국소환

(R,\mathfrak m,\kappa=R/\mathfrak m)

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$R$ 는 고런스틴 국소환이다.
$\hom_R(\kappa,R)$ 는 $\kappa$ -벡터 공간으로서 1차원이다.

뇌터 국소환은 그 완비화가 고런스틴 환일 때에만 고런스틴 환이다.^[6]

임베딩 코차원이 ''c''인 뇌터 국소환 (''R'', ''m'', ''k'')에서 ''c'' = dim_''k''(''m''/''m''²) − dim(''R'')이다. 기하학적으로, 이것은 정규 스킴 내의 코차원이 ''c''인 부분 스킴의 국소환에 대해 성립한다. 세르는 ''c''가 2 이하일 경우, ''R''이 완전 교차일 때에만 고런스틴임을 보였다.^[10] Buchsbaum과 Eisenbud는 왜곡 대칭 행렬의 Pfaffian의 관점에서 코차원이 3인 고런스틴 환에 대한 구조 정리를 제시했다.^[11] 2011년에 마일스 리드는 이 구조 정리를 코차원 4의 경우로 확장했다.^[12]

3. 1. 세르 쌍대성

세르 쌍대성에서, 쌍대화 복합체는 가역층 하나로 주어진다. (이는 쌍대화 복합체에서 등급

-\dim X

의 성분이다.) 만약

f

가 매끄러운 사상이라면, 이 가역층은

\dim X

차 미분 형식의 가역층인 표준 선다발이다.^[6]

고런스틴 스킴 ''X''의 표준 쌍대화 복합체는 선 다발이다(차수 −dim(''X'')에서 복합체). 이 선 다발은 ''X''의 표준 번들이며, 세르 쌍대성은 매끄러운 경우와 마찬가지로 고런스틴 스킴에 대해 동일한 형태를 취한다.^[7]

3. 2. 그로텐디크 국소 쌍대성

차원이 ''n''인 고런스틴 국소환 (''R'', ''m'', ''k'')에 대해, 그로텐디크 국소 쌍대성은 다음과 같은 형태를 취한다.^[8] ''E''(''k'')를 잉여체 ''k''의 ''R''-모듈로서의 주입 포락선이라고 하자. 그러면, 임의의 유한 생성된 ''R''-모듈 ''M''과 정수 ''i''에 대해, 국소 코호몰로지 군

H^i_m(M)

는 다음의 의미에서

\operatorname{Ext}_R^{n-i}(M,R)

의 쌍대이다.

::

H_m^i(M) \cong \operatorname{Hom}_R(\operatorname{Ext}_R^{n-i}(M,R), E(k)).

3. 3. 힐베르트 급수와의 관계

스탠리는 ''R''이 정역인 체 ''k'' 위의 유한 생성 가환 등급 대수 ''R''에 대해, 고런스틴 성질은 힐베르트 급수와 함께 코헨-매콜리 성질에 의해서만 결정된다는 것을 보였다.^[9]

:

f(t) = \sum\nolimits_j \dim_k(R_j)t^j.

: 즉, 등급 정역 ''R''은 코헨-매콜리이고 힐베르트 급수가 대칭일 때에만 고런스틴이다.

:

f\left(\tfrac{1}{t} \right)=(-1)^n t^s f(t)

: 여기서 ''s''는 어떤 정수이고, ''n''은 ''R''의 차원이다.^[9]

4. 예시

모든 완전 교차환은, 특히 모든 정칙 국소환은 고런스틴 환이다.
환 ''R'' = ''k''[''x'',''y'',''z'']/(''x''², ''y''², ''xz'', ''yz'', ''z''²−''xy'')는 완전 교차 환이 아닌 0차원 고런스틴 환이다. ''k''-벡터 공간으로서 ''R''의 기저는 $\{1,x,y,z,z^2\}$ 로 주어지며, ''R''의 소클은 ''k''-벡터 공간으로서 1차원을 가지며 ''z''²에 의해 생성되므로 고런스틴 환이다. 또는, ''x'', ''y'', ''z''가 모두 같은 차수를 가지는 등급 환으로 볼 때 ''R''이 푸앵카레 쌍대성을 만족한다는 것을 관찰할 수 있다. ''R''은 3개의 생성원과 5개의 최소 관계 집합을 가지므로 완전 교차환이 아니다.
환 ''R'' = ''k''[''x'',''y'']/(''x''², ''y''², ''xy'')는 고런스틴 환이 아닌 0차원 코헨-매콜리 환이다. ''k''-벡터 공간으로서 ''R''의 기저는 $\{1,x,y\}$ 로 주어지며, ''R''의 소클은 ''k''-벡터 공간으로서 2차원이며 ''x''와 ''y''에 의해 생성되므로 고런스틴 환이 아니다.

5. 역사

대수 곡선에 대한 대니얼 고런스틴(Daniel Gorenstein^영어)의 논문^[16]을 바탕으로, 알렉산더 그로텐디크가 도입하였다.^[17] 고런스틴 자신은 "나는 고런스틴 환의 정의조차 이해하지 못한다"라고 말하는 것을 좋아했다고 한다.^[18]

참조

_[1] 서적 1995
_[2] 서적 1995
_[3] 서적 1999
_[4] 서적 1999
_[5] 서적 1989
_[6] 서적 1989
_[7] 서적 1995
_[8] 서적 1993
_[9] 서적 1978
_[10] 서적 1995
_[11] 서적 1993
_[12] 서적 2011
_[13] 서적 1986
_[14] 서적 Commutative ring theory Cambridge University Press 1989-06
_[15] 서적 Lectures on modules and rings Springer-Verlag 1999
_[16] 저널 An arithmetic theory of adjoint plane curves 1952
_[17] 서적 Séminaire Bourbaki. Volume 4: Années 1956/57 – 1957/58. Exposés 137–168 Société Mathématique de France 1957
_[18] 서적 Commutative algebra with a view toward algebraic geometry Springer-Verlag 1995

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com