세르 쌍대성

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 미분기하학적 정의
- 2.2. 대수기하학적 정의
3. 벡터 다발의 세르 쌍대성
- 3.1. 대수적 관점
- 3.2. 미분기하학적 관점
4. 연접층의 세르 쌍대성
5. 예시
- 5.1. 리만 곡면
- 5.2. 칼라비-야우 다양체
6. 대수 곡선
7. 그로텐디크 쌍대성
8. 한국 수학계의 연구 동향
참조

1. 개요

세르 쌍대성은 콤팩트 에르미트 다양체와 정칙 벡터 다발에 대해 돌보 코호몰로지 군 사이의 쌍대성을 설명하는 정리이다. 미분기하학적 정의는 호지 쌍대를 통해 에르미트 형식을 정의하고, 이를 통해 코호몰로지의 동형을 유도한다. 대수기하학적 정의는 쌍대화층을 사용하여 표준적인 동형 사상을 제시하며, 벡터 다발의 텐서곱과 관련된 세르 쌍대성을 설명한다. 세르 쌍대성은 층 코호몰로지에서의 컵 곱과 트레이스 사상의 합성을 통해 완전 쌍대성을 이룬다. 이 정리는 벡터 다발뿐만 아니라 연접층에도 적용되며, 그로텐디크는 이를 코헨-매콜리 스킴 위의 연접층에 대한 쌍대성으로 일반화했다. 한국 수학계에서는 세르 쌍대성과 그 일반화된 형태를 특이점을 가진 대수다양체, 모듈라이 공간 등 다양한 분야에 응용하는 연구가 활발히 진행되고 있다.

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세르 쌍대성
서론
분야	수학
하위 분야	대수기하학, 미분기하학, 복소기하학
관련 개념	코호몰로지, 접공간, 쌍대 공간
정의
개요	세르 쌍대성은 대수기하학, 미분기하학, 복소기하학에서 중요한 쌍대성 정리이며, 벡터 다발의 코호몰로지와 그 쌍대 사이의 관계를 설명한다.
형식	대수기하학: 완비 비특이 대수다양체 X와 벡터 다발 E에 대해 다음이 성립한다. 미분기하학: 콤팩트한 가향 다양체 M과 벡터 다발 E에 대해 다음이 성립한다.
수학적 표현
세르 쌍대성 (Serre duality)	Hⁱ(X, E) ≈ Hⁿ⁻ⁱ(X, E^∨ ⊗ ωX)^∨
변수 설명	X: 완비 비특이 대수다양체 또는 콤팩트한 가향 다양체 E: 벡터 다발 n: 다양체의 차원 Hⁱ: i차 코호몰로지 군 E^∨: E의 쌍대 다발 ωX: X의 표준 다발
역사 및 중요성
역사	장피에르 세르에 의해 처음 제기되었으며, 이후 알렉산더 그로텐디크에 의해 일반화되었다.
중요성	다양한 기하학적 문제 해결에 핵심적인 도구로 사용되며, 특히 복소다양체의 분류와 모듈라이 공간 연구에 중요한 역할을 한다.
응용
대수기하학	리만-로흐 정리 증명, 호지 이론 연구
미분기하학	드 람 코호몰로지 연구, 아티야-싱어 지표 정리 관련 연구
끈 이론	칼라비-야우 다양체 연구
관련 항목
관련 항목	코호몰로지 접공간 쌍대 공간 리만-로흐 정리 호지 이론 아티야-싱어 지표 정리 칼라비-야우 다양체

2. 정의

2. 1. 미분기하학적 정의

콤팩트 에르미트 다양체

M

과 그 위의 정칙 벡터 다발

E

가 주어졌을 때, 돌보 코호몰로지 군

H^{p,q}(M, E)

와

H^{n-p,n-q}(M, E^*)

사이에는 쌍대성이 성립한다. 여기서

n

은

M

의 복소 차원이고,

E^*

는

E

의 쌍대 벡터 다발이다.^[2]

호지 쌍대에 따라서

:

* \colon \Omega^{p,q}(M) \to \Omega^{n-q,n-p}(M)

:

* \circ * = (-)^{(p+q)(2n-p-q)} =(-)^{p+q}

가 존재한다. 이는 복소수 선형 변환이다. 또한, 복소켤레에 따라서

:

\overline{(-)} \colon \Omega^{p,q}(M) \to \Omega^{q,p}(M)

:

\overline{(-)} \circ \overline{(-)} = 1

이 존재한다.

이 두 사상은 서로 가환하며, 에르미트 형식

:

\langle-,-\rangle\colon\Omega^{p,q}(M) \times \Omega^{p,q} \mapsto \mathbb C

:

\langle\alpha,\beta\rangle \mapsto \int_M *\bar\alpha \wedge \beta

를 정의할 수 있다. 이 에르미트 형식은 돌보 코호몰로지에서 양의 정부호가 되며, 이를 통해 코호몰로지의 동형

:

\operatorname H^{p,q}(M) \cong \operatorname H^{n-p,n-q}(M)^*

이 성립한다.

보다 일반적으로, 정칙 벡터 다발

E \twoheadrightarrow M

의 경우, 쌍대 벡터 다발

E^* \twoheadrightarrow M

을 정의할 수 있다. 이 때,

:

\Omega^q(M;E) \times \Omega^{n-q}(M; \Omega^n\otimes_{\mathbb C} E^*) \to \mathbb C

:

(\alpha,\beta) \mapsto \int_M \alpha \wedge \beta

가 존재한다. 여기서

\Omega^n = \bigwedge^n\mathrm T^*M

은

M

의 표준 선다발이다.

이는 복소수 쌍선형 함수를 이루며, 층 코호몰로지를 취하면 비퇴화이다. 즉, 복소수 벡터 공간의 동형 사상

:

\operatorname H^q(M;E)^* \cong \Omega^{n-q}(M;\Omega^n\otimes_{\mathbb C}E^*)

이 존재한다.

세르 쌍대성은 푸앵카레 쌍대성이 코호몰로지류를 기본류

[M]

에 대하여 축약시켜 얻는 것과 달리, 코호몰로지류를 표준 선다발

K

에 대하여 축약시켜 얻는다는 차이점이 있다.

세르 쌍대성 정리는 호지 이론의 결과이다. 리만 계량이 있는 콤팩트 복소다양체

X

위에는 호지 별 연산자가 존재하며, 이를 통해 에르미트

L^2

-내적을 정의할 수 있다. 이를 통해 돌보 코호몰로지를 위한 호지 정리가 성립하며, 세르 쌍대성 정리는 다음과 같이 표현될 수 있다.

:

H^{p,q}(X,E) \cong H^{n-p,n-q}(X,E^*)^*.

2. 2. 대수기하학적 정의

대수적으로 닫힌 체

k

위의 순수하게

n

차원 사영 스킴

X

와

X

의 사영 공간으로의 매장

X \hookrightarrow \mathbb P_k^m

이 주어졌다고 하자. 여차원이

r = m-n

일때,

X

의 '''쌍대화층'''(dualizing sheaf}})은 다음과 같이 정의된다.

:

\omega_X = \underline{\operatorname{Ext}}^r_{\mathcal O_{\mathbb P^m_k

^영어 (\mathcal O_X,\omega_{\mathbb P^m})

이에 따라 Ext 함자와 쌍대 공간을 이용하여, 다음과 같은 표준적인 동형 사상들이 존재한다.

:

\operatorname{Ext}^{n-q}(\mathcal F,\omega_X) \cong \operatorname H^q(M,\mathcal F)^*

여기서

\operatorname H^{n-q}{}^*=\hom(H^{n-q},k)

는 쌍대 공간이다.

''X''를 체 ''k'' 위의 차원 ''n''인 매끄러운 다양체라고 하고, '''표준 선다발'''

K_X

를 여접다발의 최고차 외적 지수인 ''n''-형식 다발로 정의하면 다음과 같다.

:

K_X=\Omega^n_X={\bigwedge}^n(T^*X).

''X''가 사영과 같은 ''k'' 위에서 사상일때, 세르 쌍대성에 따르면, ''X'' 위의 대수적 벡터 다발 ''E''와 정수 ''i''에 대해, 자연스러운 동형 사상이 존재한다.

:

H^i(X,E)\cong H^{n-i}(X,K_X\otimes E^{\ast})^{\ast}

여기서

\otimes

는 벡터 다발의 텐서곱을 나타낸다. 따라서 두 코호몰로지 군의 차원은 같다.

:

h^i(X,E)=h^{n-i}(X,K_X\otimes E^{\ast}).

푸앵카레 쌍대성과 마찬가지로, 세르 쌍대성의 동형 사상은 층 코호몰로지에서 컵 곱에서 비롯된다. 즉, 컵 곱과

H^n(X,K_X)

에 대한 자연스러운 '''트레이스 사상'''의 합성은 완전 쌍대성이다.

:

H^i(X,E)\times H^{n-i}(X,K_X\otimes E^{\ast})\to H^n(X,K_X)\to k.

트레이스 사상은 드람 코호몰로지에서 적분에 해당하는 가해 층 코호몰로지에 대한 것이다.

3. 벡터 다발의 세르 쌍대성

3. 1. 대수적 관점

''X''를 체 ''k'' 위의 차원 ''n''인 매끄러운 다양체라고 하자. '''표준 선다발'''

K_X

는 ''X'' 위의 ''n''-형식 다발, 즉 여접다발의 최고차 외적 지수로 정의된다.

:

K_X=\Omega^n_X={\bigwedge}^n(T^*X).

''X''가 ''k'' 위에서 사상(예: 사영)이면, 세르 쌍대성에 따라 ''X'' 위의 대수적 벡터 다발 ''E''와 정수 ''i''에 대해, 다음의 자연스러운 동형 사상이 존재한다.

:

H^i(X,E)\cong H^{n-i}(X,K_X\otimes E^{\ast})^{\ast}

여기서

\otimes

는 벡터 다발의 텐서곱을 나타낸다. 따라서 두 코호몰로지 군의 차원은 같다.

:

h^i(X,E)=h^{n-i}(X,K_X\otimes E^{\ast}).

푸앵카레 쌍대성과 마찬가지로, 세르 쌍대성의 동형 사상은 층 코호몰로지에서 컵 곱에서 비롯된다. 즉, 컵 곱과

H^n(X,K_X)

에 대한 자연스러운 '''트레이스 사상'''의 합성은 완전 쌍대성이다.

:

H^i(X,E)\times H^{n-i}(X,K_X\otimes E^{\ast})\to H^n(X,K_X)\to k.

트레이스 사상은 드람 코호몰로지에서 적분에 해당하는 가해 층 코호몰로지에 대한 것이다.

3. 2. 미분기하학적 관점

세르 쌍대성은 콤팩트 복소다양체 ''X''와 ''X''위의 정칙 벡터 다발 ''E''에 대한 정리이다.^[2] 호지 이론에 따르면, 리만 계량이 주어진 콤팩트 복소다양체

X

위에는 호지 별 연산자가 존재한다.

:

\star: \Omega^p(X) \to \Omega^{2n-p}(X),

여기서

\dim_{\mathbb{C}} X = n

이다.

X

가 복소수이므로, 복소 미분 형식은

(p,q)

유형으로 분리 가능하다. 호지 별 연산자는 이 등급과 다음과 같이 상호 작용한다.

:

\star: \Omega^{p,q}(X) \to \Omega^{n-q,n-p}(X).

정칙 지수와 반정칙 지수가 서로 바뀌는 것을 주목해야 한다.

\bar{\star}\omega = \star \bar{\omega}

로 켤레선형 호지 별 연산자를 정의하면, 다음과 같다.

:

\bar{\star} : \Omega^{p,q}(X) \to \Omega^{n-p,n-q}(X).

켤레선형 호지 별을 이용해 에르미트

L^2

-내적을 정의할 수 있다.

:

\langle \alpha, \beta \rangle_{L^2} = \int_X \alpha \wedge \bar{\star}\beta,

여기서

\alpha \wedge \bar{\star}\beta

는

(n,n)

-형식으로, 복소수 값을 갖는

2n

-형식이므로

X

에서 정규 배향에 대해 적분할 수 있다.

(E,h)

가 에르미트 정칙 벡터 다발이면, 에르미트 계량

h

는

E

와 쌍대 벡터 다발 사이에 켤레선형 동형 사상

\tau: E\to E^*

를 제공한다.

\bar{\star}_E (\omega \otimes s) = \bar{\star} \omega \otimes \tau(s)

로 정의하면, 다음 동형 사상을 얻는다.

:

\bar{\star}_E : \Omega^{p,q}(X,E) \to \Omega^{n-p,n-q}(X,E^*)

여기서

\Omega^{p,q}(X,E)= \Omega^{p,q}(X) \otimes \Gamma(E)

는 매끄러운

E

값 복소 미분 형식이다.

\tau

와

h

에 의해 주어진

E

와

E^*

사이의 페어링을 사용하면, 에르미트

L^2

-내적을

E

값 형식에 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\langle \alpha, \beta \rangle_{L^2} = \int_X \alpha \wedge_h \bar{\star}_E \beta,

여기서

\wedge_h

는 미분 형식의 외적이며,

h

에 의해 주어진

E

와

E^*

사이의 페어링을 사용한다.

돌보 코호몰로지를 위한 호지 정리에 따르면,

:

\Delta_{\bar{\partial}_E} = \bar{\partial}_E^* \bar{\partial}_E + \bar{\partial}_E \bar{\partial}_E^*

(

\bar{\partial}_E

는

E

의 돌보 연산자,

\bar{\partial}_E^*

는 내적에 대한 형식적 수반)일 때, 다음과 같다.

:

H^{p,q}(X,E) \cong \mathcal{H}^{p,q}_{\Delta_{\bar{\partial}_E}} (X).

여기서 왼쪽은 돌보 코호몰로지, 오른쪽은 조화

E

-값 미분 형식의 벡터 공간이다.

:

\mathcal{H}^{p,q}_{\Delta_{\bar{\partial}_E}} (X) = \{\alpha \in \Omega^{p,q}(X,E) \mid \Delta_{\bar{\partial}_E} (\alpha) = 0\}.

이 결과를 바탕으로, 세르 쌍대성은 다음과 같이 표현된다.

:

H^{p,q}(X,E) \cong H^{n-p,n-q}(X,E^*)^*.

이는 호지 이론을 사용하여 증명 가능하다. 즉,

H^{p,q}(X,E)

의 코호몰로지 클래스

[\alpha]

가 고유 조화 대표자

\alpha \in \mathcal{H}^{p,q}_{\Delta_{\bar{\partial}_E}} (X)

를 가지면,

:

(\alpha, \bar{\star}_E \alpha) = \langle \alpha, \alpha \rangle_{L^2} \ge 0

이고,

\alpha = 0

일 때에만 등호가 성립한다. 따라서 복소선형 페어링

:

(\alpha, \beta) = \int_X \alpha \wedge_h \beta

은

\mathcal{H}^{p,q}_{\Delta_{\bar{\partial}_E}} (X)

와

\mathcal{H}^{n-p,n-q}_{\Delta_{\bar{\partial}_{E^*}}} (X)

사이에서 비퇴화이며, 세르 쌍대성의 동형 사상을 유도한다.

대수적 관점에서 세르 쌍대성은

p=0

을 취하고, 돌보의 정리를 적용하여 얻을 수 있다. 돌보의 정리는

:

H^{p,q}(X,E) \cong H^q(X, \boldsymbol{\Omega}^p \otimes E)

(왼쪽은 돌보 코호몰로지, 오른쪽은 층 코호몰로지,

\boldsymbol{\Omega}^p

는 정칙

(p,0)

-형식의 층) 이므로

:

H^q(X,E) \cong H^{0,q}(X,E) \cong H^{n,n-q}(X,E^*)^* \cong H^{n-q}(X, K_X \otimes E^*)^*

가 성립한다. 여기서 정칙

(n,0)

-형식의 층이

X

의 표준 선다발임을 사용했다.

4. 연접층의 세르 쌍대성

세르 쌍대성은 벡터 다발뿐만 아니라, 더 일반적인 연접층에 대해서도 성립한다.^[4] 알렉상드르 그로텐디크는 코헨-매콜리 스킴 위의 연접층에 대한 쌍대성을 확립하고, 쌍대화 층의 개념을 도입했다.^[4]

체 ''k''에 대한 순수한 차원 ''n''의 코헨-매콜리 스킴 ''X''에 대해, 그로텐디크는 '''쌍대층'''( $\omega_X$ )을 정의했다.^[4] ''X''가 ''k''에 대해 proper하다고 가정하면, ''X'' 위의 가환층 ''E''와 정수 ''i''에 대해, 세르 쌍대성은 다음의 자연스러운 동형 사상이 존재함을 나타낸다.

: $\operatorname{Ext}^i_X(E,\omega_X)\cong H^{n-i}(X,E)^*$

이는 유한 차원 ''k''-벡터 공간이다.^[4] 여기서 Ext 군은 가환 범주의 $O_X$ -가군에서 취한다.^[4] ''E''가 벡터 다발일 때, $\operatorname{Ext}^i_X(E,\omega_X)$ 는 $H^i(X,E^*\otimes \omega_X)$ 와 동형이므로, 이는 이전의 명제를 포함한다.^[4]

''X''가 ''k''에 대해 매끄럽다면, $\omega_X$ 는 표준 선 다발 $K_X$ 이다.^[4] ''X''가 ''k''에 대한 매끄러운 스킴 ''Y'' 내에서 여차원 ''r''인 코헨-매콜리 부분 스킴인 경우, 쌍대층은 Ext 층으로 설명할 수 있다.^[5]

: $\omega_X\cong\mathcal{Ext}^r_{O_Y}(O_X,K_Y).$

''X''가 매끄러운 스킴 ''Y'' 내에서 여차원 ''r''인 국소 완비 교차인 경우, ''Y''에서 ''X''의 법 다발은 랭크 ''r''의 벡터 다발이고, ''X''의 쌍대층은 다음과 같다.^[6]

: $\omega_X\cong K_Y|_X\otimes {\bigwedge}^r(N_{X/Y}).$

이 경우, ''X''는 $\omega_X$ 가 선 다발인 코헨-매콜리 스킴이며, 이는 ''X''가 고렌스타인임을 의미한다.^[6]

예를 들어, 체 ''k'' 위의 사영 공간 ${\mathbf P}^n$ 에서 동차 다항식 $f_1,\ldots,f_r$ (차수 $d_1,\ldots,d_r$ )에 의해 정의된 완비 교차인 ''X''를 생각할 수 있다.^[6] ''X''의 차원이 $n-r$ 임을 의미하는 완비 교차의 경우, 정수 ''d''에 대해 ${\mathbf P}^n$ 위에 선 다발 ''O''(''d'')가 있으며, 차수 ''d''의 동차 다항식을 ''O''(''d'')의 단면으로 볼 수 있다. 그러면 ''X''의 쌍대층은 부착 공식에 의해 다음과 같은 선 다발이다.

: $\omega_X=O(d_1+\cdots+d_r-n-1)|_X,$ ^[6]

5. 예시

5. 1. 리만 곡면

\Sigma

가 콤팩트 리만 곡면이라고 하고,

L\twoheadrightarrow\Sigma

이 그 위의 정칙 선다발이라고 하자. 그렇다면, 이 경우

:

\operatorname H^i(\Sigma;L) = 0\qquad\forall i\ge2

이며, 세르 쌍대성에 따라서

:

\operatorname H^1(\Sigma;L) \cong \operatorname H^0(\Sigma;K_\Sigma\otimes_{\mathbb C}L^{-1})

:

\operatorname H^0(\Sigma;L) \cong \operatorname H^1(\Sigma;K_\Sigma\otimes_{\mathbb C}L^{-1})

이다. 여기서

K_\Sigma = \mathrm T^*\Sigma

는

\Sigma

의 표준 선다발이다.

5. 2. 칼라비-야우 다양체

칼라비-야우 다양체의 경우 표준 선다발이 자명하므로 호지 수들 사이에 다음과 같은 관계가 성립한다.

:

h^{p,q}=h^{p,n-q}

특히, 세르 쌍대성을 사용하여 칼라비-야우 다양체인

\mathbb{P}^4

내의 5차 삼중체에 대해 복소 변형의 수

\dim(H^1(X,TX))

를 계산할 수 있다. 칼라비-야우 조건은

K_X \cong \mathcal{O}_X

임을 보장하므로, 세르 쌍대성은

H^1(X,TX) \cong H^2(X, \mathcal{O}_X\otimes \Omega_X) \cong H^2(X, \Omega_X)

임을 보여준다. 이는 복소 모듈리의 수가 호지 다이아몬드에서

h^{2,1}

과 같음을 나타낸다. 물론, 이 설명은 모든 칼라비-야우 다양체에서의 변형이 방해받지 않는다는 보고몰로프-톈-토도로프 정리에 의존한다.

6. 대수 곡선

대수 곡선(콤팩트 리만 곡면)의 경우, 세르 쌍대성은 리만-로흐 정리와 밀접하게 관련되어 있다.^[3] 체 ''k'' 위의 매끄러운 사영 곡선 ''X'' 위의 선 다발 ''L''에 대해, 0이 아닌 코호몰로지 군은 $H^0(X,L)$ 과 $H^1(X,L)$ 뿐이며, 세르 쌍대성은 $H^1$ 군을 (다른 선 다발에 대해) $H^0$ 군으로 표현한다.^[3]

종수 ''g''인 곡선 ''X'' 위의 차수 ''d''인 선 다발 ''L''에 대한 리만-로흐 정리는 다음과 같다.

: $h^0(X,L)-h^1(X,L)=d-g+1.$

세르 쌍대성을 사용하면 이를 더 기본적인 용어로 표현할 수 있다.

: $h^0(X,L)-h^0(X,K_X\otimes L^*)=d-g+1.$

여기서, $h^0(X,K_X\otimes L^*)$ 는 세르쌍대성에 의해 $h^1(X,L)$ 와 같다.

이 공식은 제수로 표현되며, 19세기 정리의 원래 버전이다. 이는 주어진 곡선이 사영 공간에 어떻게 임베딩될 수 있는지 분석하고 대수 곡선을 분류하는 데 사용되는 주요 도구이다. 음의 차수를 갖는 선 다발의 모든 전역 단면은 0이고, 표준 다발의 차수는 $2g-2$ 이므로, 리만-로흐 정리는 차수 $d>2g-2$ 인 선 다발 ''L''에 대해 $h^0(X,L)$ 이 $d-g+1$ 과 같다는 것을 의미한다.

종수 ''g''가 2 이상일 때, $H^1(X,TX)$ 는 ''X''의 1차 변형 공간이며, 세르 쌍대성에 의해 $h^1(X,TX)=h^0(X,K_X^{\otimes 2})=3g-3$ 이다. 이것은 종수 ''g''의 곡선의 모듈러스 공간의 차원이 $3g-3$ 임을 보여주는 데 필요한 기본적인 계산이다.

세르 쌍대성은 곡선의 리만-로흐 정리에 이미 포함되어 있다. 곡선 에 대해 coherent 군 는 에 대해 소멸하지만, 는 일반적으로 자명하지 않다. 정리의 기본 관계식은 와 에 관련되어 있으며, 여기서 는 인자이고 는 표준류의 인자이다. 를 의 차원으로 인식하고 있으며(여기서 는 인자 에 의해 결정되는 선속을 의미), 이 경우 세르 쌍대성은 군 와 )}}를 관련시키며, 차원의 관계를 알 수 있다(표기: 는 표준 선속, 는 쌍대 선속, 병치는 선속의 텐서 곱이다).

이 공식화에서 리만-로흐 정리는 층의 오일러 표수/Euler characteristic of a sheaf^영어

:''h''⁰(''D'') \minus; ''h''¹(''D''),

를 곡선의 종수

:''h''¹(''C'',''O''_''C''),

와 의 차수의 말로 계산한 것으로 볼 수 있다.

곡선의 세르 쌍대성은 리만 곡면의 이론에서 복소 구조의 변형 이론/deformation theory^영어은 고전적으로 이차 미분/quadratic differential^영어(즉, 의 절단)을 사용하여 연구되는 것과 같이, 흥미로운 관점을 가지고 있다. 고다이라 구니히코와 D. C. 스펜서/D. C. Spencer^영어의 변형 이론은 를 통한 변형을 동일시하며, 여기서 는 접속 층 이다. 쌍대성은 이러한 접근 방식이 일치하는 이유를 보여준다.

7. 그로텐디크 쌍대성

알렉상드르 그로텐디크는 세르 쌍대성을 유도 범주의 언어를 사용하여 더 광범위하게 일반화했다.^[7] 체 *k* 위의 유한형식 스킴 *X*에 대해, *X* 위의 코히어런트 층의 유계 유도 범주 $D^b_{\operatorname{coh}}(X)$ 의 대상 $\omega_X^{\bullet}$ 가 존재하며, 이를 *k* 위의 *X*의 '''쌍대 복합체'''라고 한다. 쌍대 복합체를 사용하여, 세르 쌍대성은 *k* 위의 모든 proper 스킴 *X*로 일반화된다.^[7]

그로텐디크의 일반화에서, 세르 쌍대성은 특이점을 가진 스킴에 대해서도 쌍대성을 정의하며, 훨씬 더 광범위한 설정에서의 K/coherent duality}}의 일부가 된다.^[7] 이경우 {{mvar^영어는 층의 사슬 복합체, 즉 dualizing complex^영어에 의해 표현될 수 있다.^[7]

8. 한국 수학계의 연구 동향

한국의 대수기하학 연구자들은 세르 쌍대성과 그 일반화된 형태에 대한 연구를 활발히 진행하고 있다. 특히, 특이점을 가진 대수다양체, 모듈라이 공간, 비가환 기하학 등 다양한 분야에서 세르 쌍대성의 응용을 탐구하고 있다. 알렉상드르 그로텐디크의 일반화에서, 세르 쌍대성은 훨씬 더 광범위한 설정에서의 coherent duality의 일부가 된다. 일반적인 세르 쌍대성에서는 여접다발의 행렬식 다발이 K의 역할을 수행하며, 완전히 일반적인 경우 K는 V의 비특이성에 대한 어떠한 가정 없이는 단 하나의 층으로는 존재할 수 없다. 완전히 일반적인 공식화는 유도 범주와 Ext 함자를 사용하여, K가 층의 사슬 복합체, 즉 dualizing complex에 의해 표현될 수 있도록 한다.

더불어민주당 소속 정치인들과 관련된 수학적 업적은 찾아보기 어려우나, 한국 수학계는 전반적으로 진보적인 성향을 띠며 국제적인 협력과 학문적 교류를 중시하는 경향이 있다.

참조

_[1] 서적 exercise 3.2.3 2005
_[2] 서적 Proposition 4.1.15 1955
_[3] 서적 Serre duality 1968
_[4] 서적 Theorem III.7.6 1977
_[5] 서적 proof of Proposition III.7.5 http://stacks.math.c[...] 1977
_[6] 서적 Theorem III.7.11 http://stacks.math.c[...] 1977
_[7] 서적 Corollary VII.3.4(c) http://stacks.math.c[...] 1966
_[8] 서적 Definition 1.28, Theorem 3.12 2006
_[9] 간행물 Stacks Project, Tag 0E58 http://stacks.math.c[...]

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