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A∞-오퍼라드

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목차

1. 개요

A∞-오퍼라드는 위상 공간에서 정의되는 오퍼라드의 일종으로, 대칭군과 호모토피 동치 관계를 가지며, 대칭군의 작용이 군 자체의 작용과 일치하는 특징을 갖는다. A∞-오퍼라드는 A∞-대수라는 대수적 구조를 정의하며, 무한 개의 연산과 항등식으로 구성된다. A∞-대수는 벡터 공간의 모노이드 범주 위에 표현되며, 코호몰로지 위에 A∞-대수 구조를 갖는다. A∞-오퍼라드는 고리 공간과의 관계를 통해 호모토피 이론에서 중요한 역할을 한다.

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A∞-오퍼라드
일반 정보
유형오퍼라드
수학적 속성
구조A-무한대 구조
관련 개념대수 구조
호모토피

2. 정의

위상 공간 위에 작용하는 오퍼라드 중, 각 차원에서 대칭군의 작용과 호모토피 동치 관계를 만족하는 조건을 갖는 것을 A∞-오퍼라드라고 한다.

2. 1. A∞-오퍼라드의 정의

위상 공간 위에 작용하는 오퍼라드 A에 대하여, 만약 A(n)이 (이산 공간의 위상을 준) 대칭군 \operatorname{Sym}(n)과 호모토피 동치이며, 또한 A(n) 위의 대칭군 \operatorname{Sym}(n)의 작용이 군 위의 스스로의 작용과 같다면, A를 '''A∞-오퍼라드'''라고 한다.

비-Σ 오퍼라드(비대칭 오퍼라드 또는 순열이 없는 오퍼라드)의 경우, 오퍼라드 ''A''는 모든 공간 ''A''(''n'')이 수축 가능하면 ''A''∞이다. 범주가 위상 공간이 아닌 경우, ''호모토피''와 ''수축 가능성''의 개념은 사슬 복합체 범주에서의 호몰로지 동치와 같은 적절한 유사성으로 대체되어야 한다.

2. 2. An-오퍼라드

''A''''n''-오퍼라드는 특정 수준의 호모토피까지만 결합적인 곱셈을 매개변수화하는 개념이다. (''n'' ∈ '''N''')

  • ''A''1-공간은 점 있는 공간이다.
  • ''A''2-공간은 결합 조건이 없는 H-공간이다.
  • ''A''3-공간은 호모토피 결합 H-공간이다.

3. A∞-대수

벡터 공간의 모노이드 범주 위에 표현되는 A∞-오퍼라드를 통해 A∞-대수를 얻는다. A∞-대수는 무한히 많은 연산과 이들 사이의 관계식(항등식)으로 정의되는 대수적 구조이다.

A∞-오퍼라드 위의 다원환은 A∞-대수라고 불린다. 예를 들어, 심플렉틱 다양체의 후카야 범주( 의사정칙 곡선 참조)가 있다.

3. 1. A∞-대수의 정의

벡터 공간의 모노이드 범주 위에 표현되는 A∞-오퍼라드를 통해 '''A∞-대수'''를 얻는다. A∞-대수 A는 정수 등급을 갖는 벡터 공간으로 다음과 같이 표현된다.

:A=\bigoplus_{p\in\mathbb Z}A^p

모든 n\ge1에 대하여, 다음과 같은 n항 n겹선형 연산이 존재한다.

:m_n\colon A^{\oplus n}\to A

:\deg m_n=2-n

이 연산들은 다음과 같은 무한한 수의 항등식들을 만족시킨다. 모든 n\ge1에 대하여 다음이 성립한다.

:\sum_{r+s+t=n}(-1)^{r+st}m_{r+1+t}(a_1,\dots,a_r,m_s(b_1,\dots,b_s),c_1,\dots,c_t)=0\qquad\forall a_i,b_i,c_i\in A

처음 몇 개의 항등식은 다음과 같다. 여기서 m_1=\delta, m_2=\cdot으로 쓰자.

  • (공경계의 멱영성) \delta^2=0
  • (곱 규칙) \delta(ab)=(\delta a)b+a(\delta b)
  • (호모토피 결합 법칙) a(bc)-(ab)c=\delta m_3(a,b,c)+m_3(\delta a,b,c)+m_3(a,\delta b,c)+m_3(a,b,\delta c)
  • m_3(ab,c,d)-m_3(a,bc,d)+m_3(a,b,cd)-m_3(a,b,c)d-am_3(b,c,d)=-\delta m_4(a,b,c,d)+m_4(\delta a,b,c,d)+m_4(a,\delta b,c,d)+m_4(a,b,\delta c,d)+m_4(a,b,c,\delta d)
  • \vdots


따라서, (A,\delta)는 공사슬 복합체를 이룬다.

3. 2. A∞-대수 사이의 사상

두 A∞-대수 A, B 사이의 사상은 다음 데이터로 주어진다.

  • 각 n\ge1에 대하여, 차수 1-n인 겹선형 사상 f_n\colon A^{\otimes n}\to B


이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 모든 n\ge1에 대하여,

:\sum_{r+s+t=n}(-1)^{r+st}f_{r+1+t}(a_1,\dots,a_r,m_s(a_{r+1},\dots,a_{r+s}),a_{r+s+1},\dots,a_n)=\sum_{k=1}^n\sum_{i_1+\cdots+i_k=n}(-1)^{\sum_{\ell=1}^k(k-\ell)(i_\ell-1)}m_r(f_{i_1}(a_1,\dots,a_{i_1}),f_{i_2}(\dots),\dots,f_{i_k}(\dots,a_n))

구체적으로, 처음 몇 n에 대한 조건은 다음과 같다.

:f_1\circ\delta=\delta\circ f_1

:f_1(a\cdot b)=f_1(a)\cdot f_1(b)+\delta f_2(a,b)+f_2(\delta a,b)+f_2(a,\delta b)

:\vdots

3. 3. A∞-대수의 코호몰로지

A∞-대수 A의 코호몰로지 H^\bullet(A) 위에도 자연스러운 A∞-대수의 구조가 존재하며, 이 경우 m_1=0이 된다.

4. A∞-오퍼라드와 고리 공간

공간 ''X''가 다른 공간의 고리 공간 ''BX''이면, 이 경우에만 ''X''는 A_{\infty}-오퍼라드 위의 대수이고, 연결 요소의 모노이드 ''π''0(''X'')가 그룹이다. A_{\infty}-오퍼라드 위의 대수는 '''\mathbf{A}_{\infty}-공간'''이라고 한다. 연결된 A_{\infty}-공간은 고리 공간이며, 연결되지 않은 A_{\infty}-공간의 군 완성은 고리 공간이다.

A_{\infty}-오퍼라드는 A_{\infty}-오퍼라드 위의 대수와 고리 공간 사이의 관계 때문에 호모토피 이론에서 중요하다.

5. 예시

'''결합 오퍼라드'''는 A(n)=\operatorname{Sym}(n)인 오퍼라드이다. 즉, 결합 법칙이 (호모토피를 무시하지 않아도) 정확하게 성립하는 대수를 나타낸다.

'''작은 구간 오퍼라드'''(little interval operad영어)의 경우, A(n)은 단위 구간 (0,1) 속에 존재하는 n개의 서로소 열린 구간들의 공간이다.

A_{\infty}-오퍼라드 위의 대수는 A_{\infty}-대수라고 불린다. 예시로는 정의될 수 있을 때 심플렉틱 다양체의 후카야 범주가 있으며, 이는 의사정칙 곡선을 참조하면 된다.

A_{\infty}-오퍼라드의 가장 명백하지만, 그다지 유용하지 않은 예시는 a(n) = \Sigma_n로 주어지는 ''결합 오퍼라드'' ''a''이다. 이 오퍼라드는 엄격히 결합적인 곱셈을 설명한다. 정의에 따라, 다른 모든 A_{\infty}-오퍼라드는 호모토피 동치인 ''a''로의 사상을 갖는다.

A∞-오퍼라드의 기하학적 예시는 Stasheff 다면체로 주어진다.

덜 조합적인 예시는 '''작은 구간 오퍼라드'''이다. 공간 A(n)은 단위 구간에 ''n''개의 서로소 구간을 임베딩하는 모든 것으로 구성된다.


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